猜押07圓的綜合，三角形(四邊形)綜合（第20，25題）猜押考點3年山東濟(jì)南真題考情分析押題依據(jù)圓的綜合2024年山東濟(jì)南卷第20題，2023年山東濟(jì)南卷第22題，2022年山東濟(jì)南卷第23題山東濟(jì)南中考中，圓的綜合與三角形（四邊形）綜合是重點考查內(nèi)容。在題型上，多以解答題形式出現(xiàn)。圓的綜合常結(jié)合切線、圓周角等知識，考查形式靈活；三角形（四邊形）綜合常與全等、相似結(jié)合，難度中等偏上，注重考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力和邏輯推理能力圓、三角形、四邊形是初中幾何核心知識，能全面考查學(xué)生對幾何概念、定理的理解運(yùn)用及邏輯推理能力，難度中等偏上。其考查能體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，符合中考選拔要求，所以2025年中考大概率會繼續(xù)考查。三角形（四邊形）綜合2024年山東濟(jì)南卷第25題，2023年山東濟(jì)南卷第26題、2022年山東濟(jì)南卷第26題題型一圓的綜合1．如圖，是的內(nèi)接三角形，，，連接，并延長交于點，過點作的切線，與的延長線交于點．(1)求證：；(2)若，求線段的長．2．如圖，，，，是上的四點，是直徑，，過點作交的延長線于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．3．如圖，圓O的半徑為1，過點的直線與圓O相切于點B，與y軸相交于點C.(1)求的長；(2)求直線的解析式4．如圖，在中，，以為直徑的分別交，于點，，于點，交的延長線于點．(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求的長．5．如圖，在中，，以為直徑作，分別交于點，交于點，過作于，連接并延長交的延長線于點．(1)求證：是的切線；(2)連接交于，若，，求的值．6．如圖，是直徑，是上一點，不與，重合，點是延長線上一點，連接，，，且．(1)求證：直線是的切線；(2)若，求的值；(3)若，求的值.7．如圖，內(nèi)接于圓，點、在圓上，且弦，過點作圓切線交延長線與，連接、、、．若．(1)求證：；(2)連接，若，，，求長．8．如圖，是的外接圓，是的直徑，于點E．(1)求證：；(2)連接并延長，交于點G，連接，若，求的長．9．如圖，在中，是直徑，D是的中點，連接、．(1)求證：；(2)若，，求的長（結(jié)果保留）．10．如圖，在中，點為上一點，以點為圓心，的長為半徑的與相切于點，與相交于點．(1)尺規(guī)作圖：過點作于點，交的延長線于點．(2)證明：．(3)若，，求的長．11．如圖，內(nèi)接于，是的直徑，D是劣弧的中點，連接，過點A作的切線交的延長線于點P．(1)求證：；(2)連接，當(dāng)時，求證：四邊形是菱形．12．如圖，是的切線，切點為，是的弦．過點作，交于點，連接，過點作，交于點．連接并延長交于點，交過點的直線于點，且．(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的長．13．在《圓的對稱性》一節(jié)，我們學(xué)習(xí)了“圓心角、弧、弦之間的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等”．定義：從圓心到弦的距離叫做弦心距，弦心距也可以說成圓心到弦的垂線段的長度．如圖①，在中垂足為，垂足為，和都是弦心距．實際上我們還可以得到“圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系”如下：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．請直接運(yùn)用圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系解答下列問題：如圖②，是的平分線上一點，以點為圓心的圓與角的兩邊分別交于．

(1)求證：；(2)若角的頂點在圓上或圓內(nèi)，上述結(jié)論是否成立？若不成立，請說明理由；若成立，請加以證明．

題型二三角形（四邊形）綜合方向一三角形綜合1．問題發(fā)現(xiàn)（1）小明在解決問題“如圖（1），中，，E為的中點，于點D．求證：．”時，由E為的中點聯(lián)想到構(gòu)造三角形的中位線．如圖（2），取的中點F，連接，，則是的中位線，故且，從而可得．要證，只需證即可．請你幫助小明完成證明過程．深入探究（2）如圖（3），中，，，E為的中點，平分，交的延長線于點F，求的長．拓展應(yīng)用（3）如圖（4），中，，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（）得到，連接，E為的中點，連接，請直接寫出長度的取值范圍．2．綜合與探究問題情境：在等腰直角中，，，為直線上任意一點，連接．將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得線段，連接．嘗試發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，當(dāng)點在線段上時，求線段與的數(shù)量關(guān)系；類比探究：（2）如圖2，當(dāng)點在線段的延長線上時，線段與是否存在（1）中的數(shù)量關(guān)系？如果存在，寫出與的數(shù)量關(guān)系并說明理由，如果不存在，請說明理由；拓展探究：（3）若，，請直接寫出的值．3．在中，，，繞點C順時針旋轉(zhuǎn)角度α（）得到．(1)如圖1，若，連接交于點E，若，求的長；(2)如圖2，若，平分交于點F，連接，過點C作，在射線上取點G使得，連接，請用等式表示線段、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)如圖3，若，點P是線段上一動點，將繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，M為的中點，當(dāng)取得最小值時，請直接寫出的面積．4．課堂上，劉老師與學(xué)生進(jìn)行如下習(xí)題訓(xùn)練，讓學(xué)生從中體會由于點的移動導(dǎo)致幾何形的變化，進(jìn)而引發(fā)幾何結(jié)論千變?nèi)f化的魅力，來吧，體驗吧．已知，中，，，，為上一動點，連接，作，且使．(1)當(dāng)點D運(yùn)動到時，如圖（一），求的長；(2)如圖（二），當(dāng)為中點時，求的長；(3)如圖（三），為中點，為中點，①判斷與的位置關(guān)系，并證明；②當(dāng)從點運(yùn)動到點時，直接寫出點經(jīng)過的路徑長．5．三角形的相似為線段之間的關(guān)系提供了更多的變化，也讓數(shù)學(xué)變得更加精彩．請完成以下探究：(1)如圖1，和均為直角三角形，，與相交于點，線段之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？(2)如圖2，和均為等腰三角形，，且，則線段之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？(3)如圖3，四邊形中，為對角線上一點，且，請?zhí)骄克倪呅嗡臈l邊長與兩條對角線之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．6．已知在中，，，為直線上一動點，連接．(1)如圖1，若為線段上的一點且滿足，若，求線段的長；(2)如圖2，若為線段上的一點，過點作∥交的延長線于點，過點作于點，延長交于點，連接，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明其結(jié)論；(3)如圖3，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，請直接寫出的最小值．7．如圖，在中，，繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到與交于點D．(1)如圖1，當(dāng)時，過點B作，垂足為E，連接．①求證：；②求的值；(2)如圖2，當(dāng)時，過點D作，交于點N，交的延長線于點M，求的值．方向二四邊形綜合8．綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們結(jié)合“全等與相似”開展數(shù)學(xué)活動．【初步探究】（1）如圖1，在正方形中，點E，F(xiàn)分別在線段，上，且，則與的位置關(guān)系是________，數(shù)量關(guān)系是________；【知識遷移】（2）如圖2，在矩形中，，點E，F(xiàn)分別為直線，上的動點，且，連接，．探究與存在的數(shù)量關(guān)系并說明理由；【深入研究】（3）如圖3在（2）的條件下，若點E，F(xiàn)分別在邊，的延長線上，的延長線與交于點H．點G為上的點，且，請用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．9．如圖，四邊形和均為正方形，將繞點旋轉(zhuǎn)；(1)如圖①，連接，判斷直線的位置關(guān)系并說明理由；(2)如圖②，連接，若，探索并證明線段的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，若正方形、邊長分別為，繞點旋轉(zhuǎn)一周，直線與相交于點，直接寫線段的最小值及點運(yùn)動軌跡的長度．10．如圖，在中，點是斜邊上的動點（點與點不重合），連接，以為直角邊在的右側(cè)構(gòu)造，，連接，．特例感知（1）如圖1，當(dāng)時，與之間的位置關(guān)系是__________，數(shù)量關(guān)系是__________；（2）如圖2，當(dāng)時，猜想與之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想；拓展應(yīng)用（3）在（1）的條件下，點與點關(guān)于對稱，連接，，，如圖3．已知，四邊形的面積為18．①求的長；②當(dāng)時，請直接寫出的長度．11．綜合與探究如圖1，在邊長為12的正方形中，是正方形內(nèi)一點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，．(1)求證：．(2)若點是的中點，連接，且．①如圖2，當(dāng)A、、三點共線時，連接，求線段的長；②連接，在運(yùn)動的過程中，當(dāng)最小時，直接寫出四邊形的面積．12．綜合與實踐(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，諸葛小組將正方形紙片沿過點的直線折疊，使點落在正方形內(nèi)部的點處，折痕為，再將紙片沿過點的直線折疊，使與重合，折痕為，請寫出圖中的一個角；(2)【拓展探究】如圖2，孔明小組繼續(xù)將正方形紙片沿繼續(xù)折疊，點的對應(yīng)點恰好落在折痕上的點處，連接交于點．①________度；②若，求線段的長；(3)【遷移應(yīng)用】如圖3，在矩形中，點，分別在邊，上，將矩形沿，折疊，點落在點處，點落在點處，點，，恰好在同一直線上，若點為的三等分點，，，請直接寫出線段的長．13．綜合與探究在數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題展開探究．如圖1，在矩形中，，，點，分別是邊上的點，連接，將矩形沿折疊，點的對應(yīng)點為．【初步探究】（1）如圖2，若點與點重合，點恰好落在邊上，求證：四邊形是正方形．【深入探究】（2）如圖3，若點是的中點，改變點的位置，延長交于點，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖4，若點是的中點，改變點的位置，在折疊的過程中，若以為頂點的三角形是等腰三角形，直接寫出線段的長．14．【感知】如圖①，在等邊中，點D是邊上一動點，連接，將繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，則__________；【探究】如圖②，在正方形中，對角線相交于點O，點E是對角線上一動點，且，連接，將繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，判斷C，D，F(xiàn)三點的位置關(guān)系.（現(xiàn)給出部分證明過程，請完成余下過程）證明：點C，點D，點F三點共線.理由：四邊形是正方形，，，.在中，，.請結(jié)合上述內(nèi)容，完成余下證明過程…【應(yīng)用】如圖③，在矩形中，，，點E是對角線上一動點，連結(jié)，以為邊在的右邊作直角，，，連接，若，則__________.15．綜合與實踐在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們發(fā)現(xiàn)除了已經(jīng)學(xué)過的四邊形外，還有很多比較特殊的四邊形．請結(jié)合已有經(jīng)驗，對下列特殊四邊形進(jìn)行研究．定義：如果四邊形的一條對角線把該四邊形分割成兩個等腰三角形，且這條對角線是這兩個等腰三角形的腰，那么我們稱這個四邊形為雙等腰四邊形．

(1)【初步探究】如圖1，在四邊形中，，連接，點E是的中點，連接，．試判斷在四邊形是否是雙等腰四邊形：_________．（填“是”或“不是”）(2)【問題解決】在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．(3)【拓展應(yīng)用】如圖2，點E是矩形內(nèi)一點，點F是邊上一點，四邊形是雙等腰四邊形，且．延長交于點G，連接．若，，，求的長．16．如圖1、圖2，P是矩形所在平面內(nèi)任意一點，連接、、、．(1)如圖1，，點P、A、C三點共線，，求．(2)如圖2，求、、、四者關(guān)系．(3)應(yīng)用新知：如圖3，在中，，，D是內(nèi)一點，且，，求的最小值．17．【問題背景】如圖①，在四邊形中，，，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小吳同學(xué)探究此問題的思路是：將繞點D，逆時針旋轉(zhuǎn)到處，點B，C分別落在點A，E處（如圖②），易證點C，A，E在同一條直線上，并且是等腰直角三角形，所以，從而得出結(jié)論：．【簡單應(yīng)用】（1）在圖①中，若