第27頁（共27頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期末必刷常考題之平面向量及其應(yīng)用一．選擇題（共7小題）1．（2025?河南模擬）如圖，在梯形ABCD中，BC＝3，AD＝2，AD∥BC，∠B=π3，點M滿足2BM→=MC→A．3 B．4 C．9 D．122．（2025春?上饒期中）已知點A（﹣3，7），B（5，﹣2），則AB→A．（﹣8，9） B．（8，﹣9） C．（8，9） D．（﹣8，﹣9）3．（2025?陜西模擬）在圓內(nèi)接梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=2π3，BC＝2A．2213 B．213 C．2214．（2025春?漳州期中）在△ABC中，已知cosC=55A．55 B．15 C．5 D5．（2025春?東昌府區(qū)校級期中）在△ABC中，已知A（2，3），B（6，﹣4），G（4，﹣1）是中線AD上一點，且AG→=2GDA．（﹣4，2） B．（﹣4，﹣2） C．（4，﹣2） D．（4，2）6．（2025春?浙江期中）已知兩個非零向量a→，b→同時滿足|a→|=|A．π3 B．2π3 C．π67．（2025春?東昌府區(qū)校級期中）已知向量a→=（4，1），b→=（2，m），且A．2 B．12 C．-12 二．多選題（共3小題）（多選）8．（2025?湘潭模擬）記圓O是△ABC的外接圓，且AB＝6，AC＝4，18AOA．2AO→=OB→C．△ABC的面積為63 D．圓O的周長為（多選）9．（2025春?貴州期中）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法正確的是（）A．若a2-b2=B．若A=π3，aC．若(BC→|BCD．若acosA＝bcosB，則△ABC為等腰三角形（多選）10．（2025?貴陽模擬）已知向量a→=（2，1），b→=（m，﹣2），且b→A．若a→∥b→，則m＝﹣3 B．若|a→+b→|＝|aC．若c→=2a→，則m＝5 D．若三．填空題（共3小題）11．（2025?寧德三模）已知向量a→與b→的夾角為120°，|a→|=2，12．（2025春?上饒期中）若向量a→=(1，2)，b→=(-1，0)，且a→13．（2025春?道外區(qū)期中）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinB=-3bcosA，則A＝四．解答題（共2小題）14．（2025?寧德三模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．設(shè)向量m→=(3cosA，（1）求函數(shù)f（A）的最大值；（2）若f(A)=115．（2025?羅湖區(qū)校級模擬）已知銳角△ABC中，sin(（1）求tanAtanB（2）設(shè)AB邊上的高為2，求AB．

2024-2025學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期末必刷?？碱}之平面向量及其應(yīng)用參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號1234567答案ABBCCCB二．多選題（共3小題）題號8910答案BCDACBD一．選擇題（共7小題）1．（2025?河南模擬）如圖，在梯形ABCD中，BC＝3，AD＝2，AD∥BC，∠B=π3，點M滿足2BM→=MC→A．3 B．4 C．9 D．12【考點】平面向量的平行向量（共線向量）．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】A【分析】以B為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝n，根據(jù)條件寫出各點坐標(biāo)，利用MN=332【解答】解：如圖，以B為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝n，由已知得，M（1，0），A（n2，3n2），D（n2C（3，0），N（n2+5所以MN=(n2+32)2+3n216=故選：A．【點評】本題主要考查平面向量的坐標(biāo)，屬于中檔題．2．（2025春?上饒期中）已知點A（﹣3，7），B（5，﹣2），則AB→A．（﹣8，9） B．（8，﹣9） C．（8，9） D．（﹣8，﹣9）【考點】平面向量加減法的坐標(biāo)運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】B【分析】由向量的坐標(biāo)運算，即可得到結(jié)果．【解答】解：點A（﹣3，7），B（5，﹣2），則AB→故選：B．【點評】本題主要考查向量的坐標(biāo)運算法則，屬于基礎(chǔ)題．3．（2025?陜西模擬）在圓內(nèi)接梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=2π3，BC＝2A．2213 B．213 C．221【考點】解三角形．【專題】整體思想；綜合法；解三角形；運算求解．【答案】B【分析】由題意知，梯形ABCD為等腰梯形，即AD＝BC＝2，可得△ADC的外接圓的半徑即為四邊形ABCD的外接圓的半徑，由余弦定理及正弦定理可得半徑的大小【解答】解：由題意知，梯形ABCD為等腰梯形，即AD＝BC＝2，所求即△ADC的外接圓的半徑即為四邊形ABCD的外接圓的半徑，在△ACD中，∠ADC=2π3，BC＝2由余弦定理可得AC2＝AD2+CD2﹣2AD?CD?cos∠ADC＝4+1﹣2×2×1×（-12）＝可得AC=設(shè)△ACD的外接圓的半徑為R，由正弦定理可得ACsin∠ADC=2R，即解得R=21故選：B．【點評】本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．4．（2025春?漳州期中）在△ABC中，已知cosC=55A．55 B．15 C．5 D【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；解三角形．【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】C【分析】利用向量點積公式求得|CA|?|CB|，利用同角三角函數(shù)關(guān)系求得sinC，然后利用三角形面積公式計算．【解答】解：在△ABC中，已知cosC=又CA→所以|CA解得|CA|?|CB|＝5，又因為0＜C＜π，所以sinC=所以S△故選：C．【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，重點考查了同角三角函數(shù)關(guān)系及三角形面積公式，屬中檔題．5．（2025春?東昌府區(qū)校級期中）在△ABC中，已知A（2，3），B（6，﹣4），G（4，﹣1）是中線AD上一點，且AG→=2GDA．（﹣4，2） B．（﹣4，﹣2） C．（4，﹣2） D．（4，2）【考點】平面向量的坐標(biāo)運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】C【分析】結(jié)合重心坐標(biāo)公式，即可求解．【解答】解：G（4，﹣1）是中線AD上一點，且AG→則G為三角形ABC的中心，設(shè)C（x，y），A（2，3），B（6，﹣4），G（4，﹣1）則2+6+x3=4故選：C．【點評】本題主要考查向量的坐標(biāo)運算法則，屬于基礎(chǔ)題．6．（2025春?浙江期中）已知兩個非零向量a→，b→同時滿足|a→|=|A．π3 B．2π3 C．π6【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；數(shù)量積表示兩個平面向量的夾角．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】C【分析】利用兩向量模長之間的關(guān)系計算可得a→【解答】解：根據(jù)題意，兩個非零向量a→，b→同時滿足同時平方可得|a變形可得a→則（a→-b→）2=a→2+b→2﹣2a→?b→=3所以cos?又?a→，即向量a→與a→-故選：C．【點評】本題考查向量數(shù)量積的運算，涉及向量夾角的計算，屬于基礎(chǔ)題．7．（2025春?東昌府區(qū)校級期中）已知向量a→=（4，1），b→=（2，m），且A．2 B．12 C．-12 【考點】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量平行的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：向量a→=（4，1），b→=（則a→a→則4（1+m）＝6，解得m=1故選：B．【點評】本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）8．（2025?湘潭模擬）記圓O是△ABC的外接圓，且AB＝6，AC＝4，18AOA．2AO→=OB→C．△ABC的面積為63 D．圓O的周長為【考點】平面向量的綜合題．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】BCD【分析】對于A，由O是△ABC的外接圓和O符合2AO→=OB→+OC→，可知O，A在BC的中垂線上，推出矛盾即可判斷；對于B，由數(shù)量積定義計算即可；對于C，對等式18AO→=8AB→+3【解答】解：對于A，因為圓O是△ABC的外接圓，所以O(shè)是△ABC的外心，即點O在BC的中垂線上，若O符合2AO→=OB→故AB＝AC，由題設(shè)知AB≠AC，故A錯誤；對于B，因為O是△ABC的外心，所以O(shè)在AB的中垂線上，所以AO→?AB→對于C，對等式18AO→=8可得18AO所以18×解得AC→?AB→=12所以△ABC的面積為12AB×對于D，由余弦定理可得cosA=解得BC=2由正弦定理，BCsinA所以圓O的半徑為2213，其周長為421故選：BCD．【點評】本題考查平面向量與解三角形的綜合應(yīng)用，屬中檔題．（多選）9．（2025春?貴州期中）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法正確的是（）A．若a2-b2=B．若A=π3，aC．若(BC→|BCD．若acosA＝bcosB，則△ABC為等腰三角形【考點】解三角形．【專題】整體思想；綜合法；解三角形；運算求解．【答案】AC【分析】A選項，由余弦定理得到cosA=32，求出A=π6；B選項，由余弦定理和基本不等式求出bc≤16，進而求出面積的最大值；C選項，由向量數(shù)量積運算法則化簡得到cosA＝cosC，故A＝C，C正確；D選項，由二倍角公式和正弦定理得到sin2A＝sin2B，故A＝【解答】解：A選項，a2由余弦定理可得，cosA=又A∈（0，π），故A=π6B選項，A=π3故16+bc＝b2+c2≥2bc，解得bc≤16，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝4時，等號成立，故S△ABC=C選項，若(BC→|即BC→?CA所以|CA所以cosA＝cosC，即A＝C，即△ABC為等腰三角形，C正確；D選項，若acosA＝bcosB，由正弦定理可得，sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A+2B＝π，所以A＝B或A+B=π2故選：AC．【點評】本題主要考查了正弦定了，余弦定理，基本不等式，二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）10．（2025?貴陽模擬）已知向量a→=（2，1），b→=（m，﹣2），且b→A．若a→∥b→，則m＝﹣3 B．若|a→+b→|＝|aC．若c→=2a→，則m＝5 D．若【考點】平面向量的投影向量；平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】BD【分析】由向量平行的坐標(biāo)運算計算可判斷A；由向量模的計算可得a→?b→=0，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運算計算可判斷B；由投影向量計算可得a【解答】解：對于A，因為a→=（2，1），b→=（m，﹣2），且a→∥b對于B，因為|a→+b→|＝|a因為a→=（2，1），b→=（m，﹣2），所以a→?b對于C，因為b→在a→方向的投影向量為c→，c因為|a→|=5，所以a→?b→=10，所以2m﹣2對于D，因為b→在a→方向的投影向量為c→，且c因為|a→|=5，所以故選：BD．【點評】本題考查平面向量的坐標(biāo)運算和投影向量的求解，屬于中檔題．三．填空題（共3小題）11．（2025?寧德三模）已知向量a→與b→的夾角為120°，|a→|=2，【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；平面向量的概念與平面向量的模．【專題】計算題；整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】1．【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積和模長的運算即可得出結(jié)果．【解答】解：已知向量a→與b→的夾角為∵|a∴|=4+4|b整理得|b→|故答案為：1．【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，屬于中檔題．12．（2025春?上饒期中）若向量a→=(1，2)，b→=(-1，0)，且a→【考點】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】5．【分析】根據(jù)條件，利用向量的坐標(biāo)運算及垂直的坐標(biāo)表示，即可求解．【解答】解：由題意可知，a→又a→所以a→?(a→故答案為：5．【點評】本題主要考查向量的坐標(biāo)運算及垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．13．（2025春?道外區(qū)期中）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinB=-3bcosA，則A＝【考點】三角形中的幾何計算．【專題】整體思想；綜合法；解三角形；運算求解．【答案】2π【分析】利用正弦定理邊化角，計算可得tanA=-3【解答】解：因為asinB=由正弦定理可得sinAsinB=又sinB＞0，可得tanA=又因為A∈（0，π），所以A=故答案為：2π【點評】本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共2小題）14．（2025?寧德三模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．設(shè)向量m→=(3cosA，（1）求函數(shù)f（A）的最大值；（2）若f(A)=1【考點】解三角形．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運算求解．【答案】（1）3；（2）34【分析】（1）由數(shù)量積的定義、二倍角的正弦公式化簡和輔助角公式f（A），再由三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；（2）先求出A，由兩角和的余弦公式求出sinBsinC=14【解答】解：（1）因為m→=(3所以f=3又因為A∈[π所以sin(2所以f（A）的最大值為3；（2）由（1）知若f(因為A∈[π因為cosA=所以sinBsinC=因為a=由正弦定理知asinA所以sinB=b2，sinC所以S△ABC=12bcsinA=1【點評】本題考查數(shù)量積的運算性質(zhì)的應(yīng)用及輔助角公式的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．15．（2025?羅湖區(qū)校級模擬）已知銳角△ABC中，sin(（1）求tanAtanB（2）設(shè)AB邊上的高為2，求AB．【考點】解三角形．【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；解三角形；運算求解．【答案】（1）2；（2）36-6【分析】（1）由已知結(jié)合和差角公式進行化簡，然后結(jié)合同角基本關(guān)系即可求解；（2）結(jié)合同角基本關(guān)系及兩角和的正切公式可求tanA，tanB，然后結(jié)合銳角三角函數(shù)定義即可求解．【解答】解：（1）∵sin(A+∴sinAcosB+cosAsinB=35，sinAcosB﹣sincosAsinB=15，sinAcos∴tanA＝2tanB，即tanAtanB（2）∵π2則cos（A+B）=-45，tan（A+B即tanA解得tanB=2+62（舍負(fù)），tanA＝AB上的高為CD＝2，則AB＝AD+DB=CDtanA+CD【點評】本題主要考查了和差角公式，同角基本關(guān)系在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點卡片1．平面向量的概念與平面向量的模【知識點的認(rèn)識】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）．在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個標(biāo)量．向量的幾何表示用有向線段表示向量，有向線段的長度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向．即用表示有向線段的起點、終點的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小寫字母a→、b→，…表示．有向向量的長度為模，表示為|AB→|、|向量的模AB→的大小，也就是AB→的長度（或稱模），記作|AB零向量長度為零的向量叫做零向量，記作0→，零向量的長度為0單位向量長度為一個單位長度的向量叫做單位向量AB→（與AB→共線的單位向量是相等向量長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．2．平面向量的平行向量（共線向量）【知識點的認(rèn)識】相等向量的定義：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量．共線向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量．規(guī)定：零向量與任一向量平行．注意：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等．表示共線向量的有向線段不一定在同一直線上，向量可以平移．【解題方法點撥】平行向量與相等向量的關(guān)系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向線段表示平行向量時，向量所在的直線重合或平行；（2）平行向量要求兩個向量均為非零向量，規(guī)定：零向量與任一向量平行．相等向量則沒有這個限制，零向量與零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一組平行向量移動到同一直線上．因此，平行向量也叫做共線向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命題方向】了解向量的實際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、相等向量、單位向量等概念，理解向量的幾何表示．命題形式只要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，有時候會與向量的坐標(biāo)運算等其它知識結(jié)合考察．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，圖中與AE→解：平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，所以圖中與AE→平行的向量有EB→，DF→，F(xiàn)C3．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【知識點的認(rèn)識】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)a→，b→都是非零向量，e→是與b→方向相同的單位向量，a→（1）a→?e→=（2）a→⊥b→（3）當(dāng)a→，b→方向相同時，a→?b→=|a→||b→|；當(dāng)a→特別地：a→?a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→?b→|≤|2、平面向量數(shù)量積的運算律（1）交換律：a→（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λa→）?b→=λ（a→?（3）分配律：（a→?b→）?平面向量數(shù)量積的運算平面向量數(shù)量積運算的一般定理為①（a→±b→）2=a→2±2a→?b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解題方法點撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則：①“mn＝nm”類比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“c→≠0，④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“|a→?b→|＝|a→|⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（a→?b⑥“acbc=ab”類比得到a→?c解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“a→即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，即③錯誤；∵|a→?b→|≠|(zhì)a→|∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“|a→?b→|＝|a→|即④錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（a→?b即⑤錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴acbc=ab即⑥錯誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“a→?b→=b→?a→”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b→）?c→=a→?c→+b→?c→”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，a→?c→=b→?c→?a→=c→”；|a→?b→|≠|(zhì)a→|【命題方向】本知識點應(yīng)該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個?？键c，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握．4．平面向量的投影向量【知識點的認(rèn)識】投影向量是指一個向量在另一個向量上的投影．投影向量可以用來求兩個向量之間的夾角，也可以用來求一個向量在另一個向量上的分解．設(shè)a→，b→是兩個非零向量，AB=a→，CD=b→，考慮如下的變換：過AB的起點A和終點B分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，稱上述變換為向量a→向向量b→向量a→在向量b→上的投影向量是【解題方法點撥】投影，是一個動作．投影向量，是一個向量．我們把|a→|cosθ叫作向量（1）向量a→在向量b→上的投影向量為|a→|e→cosθ（其中e→為與b（2）注意：a→在b→方向上的投影向量與b→在a→方向上的投影向量不同，b→【命題方向】（1）向量分解：將一個向量分解成與另一個向量垂直和平行的兩個部分．（2）向量夾角計算：通過求兩個向量之間的夾角，則可以判斷它們之間的關(guān)系（如垂直、平行或成銳角或成鈍角）．（3）空間幾何問題：求點到平面的距離．5．平面向量的坐標(biāo)運算【知識點的認(rèn)識】平面向量除了可以用有向線段表示外，還可以用坐標(biāo)表示，一般表示為a→=（x，y），意思為以原點為起點，以（x，y）為終點的向量，它的模為d=x2+y2．若b→=（m，n），則a→+b→=（x+m，y+n），則a→-b→=（x﹣m，y﹣【解題方法點撥】例：已知平面向量a→，b→滿足：a→=(-1，2)，b→⊥a→，且|b→|=2解：根據(jù)題意，設(shè)b→=（x，若b→⊥a→，有b→?a→=0若|b→|=25，x2+y2＝聯(lián)立①②，可得-x解可得x=4y=2則b→=（4，2）或（﹣4，﹣故答案為（4，2）或（﹣4，﹣2）．這個題就是考察了向量的坐標(biāo)運算，具體的可以先設(shè)b→=（x，y），根據(jù)題意，由b→⊥a→，可得﹣x+2y＝0，①，由|b→|=25，可得x2+y2＝20，【命題方向】這是一個很重要的考點，也是一個比較容易的考點，大家在學(xué)習(xí)的時候關(guān)鍵是掌握公式的應(yīng)用，常用的解法一般就是上面例題中的先設(shè)未知數(shù)，再求未知數(shù)．6．平面向量加減法的坐標(biāo)運算【知識點的認(rèn)識】﹣向量加法：如果a→=(a1，﹣向量減法：如果a→=(a1，【解題方法點撥】﹣坐標(biāo)運算：直接對向量的坐標(biāo)分量進行加減操作，得出結(jié)果．﹣實際應(yīng)用：用于解決如點的移動、向量差等問題．【命題方向】﹣向量運算的實際應(yīng)用：考查向量加減法在實際問題中的應(yīng)用，如幾何問題中的位置計算．﹣坐標(biāo)運算技巧：如何高效進行向量的坐標(biāo)運算．向量a→，b→滿足a解：由a→+b→=（﹣1，5），a得2b→=（﹣1，5）﹣（5，﹣3）＝（﹣6，所以b→=12（﹣6，2）＝（﹣7．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算【知識點的認(rèn)識】1、向量的夾角概念：對于兩個非零向量a→，b→如果以O(shè)為起點，作OA→=a→，OB→=b→，那么射線OA，OB的夾角θ叫做向量2、向量的數(shù)量積概念及其運算：（1）定義：如果兩個非零向量a→，b→的夾角為θ，那么我們把|a→||b→|cosθ叫做a即：a→?b→=|a→||b→|cosθ．規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為注意：①a→?b→②符號“?”在數(shù)量積運算中既不能省略也不能用“×”代替；③在運用數(shù)量積公式解題時，一定要注意向量夾角的取值范圍是：0≤θ≤π．（2）投影：b→在a→上的投影是一個數(shù)量|b→|cos（3）坐標(biāo)計算公式：若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），則a→?b→=x3、向量的夾角公式：4、向量的模長：5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：a→與b→的數(shù)量積a→?b→等于a→的長度|a→|與b8．平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示【知識點的認(rèn)識】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示：設(shè)a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），則b→∥a→（a→≠0→）?x19．?dāng)?shù)量積表示兩個平面向量的夾角【知識點的認(rèn)識】我們知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共線的，那么，當(dāng)兩條向量a→與b→不平行時，那么它們就會有一個夾角θ，并且還有這樣的公式：cosθ【解題方法點撥】例：復(fù)數(shù)z=3+i與它的共軛復(fù)數(shù)z對應(yīng)的兩個向量的夾角為60°解：zz=3+i3∴復(fù)數(shù)z=3+i與它的共軛復(fù)數(shù)z對應(yīng)的兩個向量的夾角為故答案為：60°．點評：這是個向量與復(fù)數(shù)相結(jié)合的題，本題其實可以換成是用向量（3，1）與向量（3，﹣1）的夾角．【命題方向】這是向量里面非常重要的一個公式，也是一個?？键c，出題方式一般喜歡與其他的考點結(jié)合起來，比方說復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等，希望大家認(rèn)真掌握．10．平面向量的綜合題【知識點的認(rèn)識】1、向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）．在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個標(biāo)量．2、相關(guān)概念（1）向量的模：AB→的大小，也就是AB→的長度（或稱模），記作|AB（2）零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作0→，零向量的長度為0（3）單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量AB→（與AB→共線的單位向量是（4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．3、向量的加減運算求幾個向量和的運算叫向量的加法運算，其運算法則有二：（1）三角形法則：設(shè)a→與b→不共線，在平面上任取一點A（如圖1），依次作AB→=a，BC→=b，則向量叫做a特征：首尾相接的幾個有向線段相加，其和向量等于從首向量的起點指向末向量的終點．（2）平行四邊形法則：如圖2所示，ABCD為平行四邊形，由于AD→=BC→，根據(jù)三角形法則得AB→+AD特征：有共同起點的兩個向量相加，其和向量等于以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的對角線．（首尾相接，結(jié)果為首尾）（3）向量的加法性質(zhì)①a→+0→=0→②a→③（a→+b→）向量的減法運算．求兩個向量差的運算叫向量的減法運算．法則：以將向量a與向量b的負(fù)向量的和定義為a→與b→的差，即a→設(shè)a→=OA→，b特征；有共同起點的兩個向量a→、b→，其差a→-b→仍然是一個向量，叫做a→與b11．三角形中的幾何計算【知識點的認(rèn)識】1、幾何中的長度計算：（1）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理可以求解：①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角．②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角（從而進一步求出其他的邊和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判斷三角形的形狀；③實現(xiàn)邊角之間的轉(zhuǎn)化．包括：a、已知三邊，求三個角；b、已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角．2、與面積有關(guān)的問題：（1）三角形常用面積公式①S=12a?ha（ha表示邊②S=12absinC=12acsinB=③S=12r（a+b+c）（（2）面積問題的解法：①公式法：三角形、平行四邊形、矩形等特殊圖形，可用相應(yīng)面積公式解決．②割補法：若是求一般多邊形的面積，可采用作輔助線的辦法，通過分割或補形把不是三角形的幾何圖形分割成不重疊的幾個三角形，再由三角形的面積公式求解．【解題方法點撥】幾何計算最值問題：（1）常見的求函數(shù)值域的求法：①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；②逆求法（反求法）：通過反解，用y來表示x，再由x的取值范圍