第二章數(shù)列

1.｛an｝是首項(xiàng)al=l,公差為d=3的等差數(shù)列，如昊an=2005,則序號(hào)n等于（）.

A.667B.668C.669D.670

2.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝中,首項(xiàng)al=3,前三項(xiàng)和為21,則a3+a4+a5=

）.

A.33B.72C.84D.189

3.如果al,a2,…，a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差d#0,則（）.

A.ala8>a4a5B.ala8<a4a5C.al+a8<a4+a5D.ala8=a4a5

4.已知方程（x2—2x+n】）（x2—2x+n）=0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則

|01一葭等于（）.

A.1B.C.D.

5.等比數(shù)列｛an｝中,a2=9,a5=243,則｛an｝的前4項(xiàng)和為（).

A.81B.120C.168D.192

6.若數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)al>0,a2003+a2004>0,a2003?a2004<0,則使前

n項(xiàng)和Sn>0成立的最大自然數(shù)n是（).

A.4005B.4006C.4007D.4008

7.已知等差數(shù)列｛an｝的公差為2,若al,a3,a4成等比數(shù)列,則a2=().

A.—4B.—6C.D.-10

8.設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，若,則).

A.1B.-1C.2D.

9.已知數(shù)列-1,al,a2,一4成等差數(shù)列，-1,bl,b2,b3,一4成等比數(shù)列，則的值

是().

A.B.—C.—或D.

10.在等差數(shù)列｛an｝中，anWO,an—1—+an+1=0(nN2),若S2n—1=38,則n=

().

A.38B.20C.10D.9

二、填空題

11.設(shè)f(x)=,利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可求得f(—5)+f(—4)

H---Ff(0)H---l~f(5)+f(6)的值為.

12.己知等比數(shù)列｛an｝中，

(1)若a3?a4?a5=8,則a2?a3?a4?a5?a6=.

(2)若al+a2=324,a3+a4=36,則a5+a6=

(3)若S4=2,S8=6,則al7+al8+al9+a20=.

13.在和之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為.

14.在等差數(shù)列｛an｝中，3(a3+a5)+2(a7+al0+al3)=24,則此數(shù)列前13項(xiàng)之和為.

15.在等差數(shù)列｛an｝中，a5=3,a6=—2,則a4+a5H-FalO=.

16.設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n23),其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一

點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)=；當(dāng)n>4時(shí)，f(n)=.

三、解答題

17.(1)已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=3n2—2n,求證數(shù)列｛an｝成等差數(shù)列.

(2)已知成等差數(shù)列，求證也成等差數(shù)列.

18.設(shè)｛an｝是公比為q(的等比數(shù)列,且al,a3,a2成等差數(shù)列.

(1)求。的值；

(2)設(shè)｛bn｝是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)n22時(shí)，比較Sn與

bn的大小，并說(shuō)明理由.

19.數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和記為Sn,已知al=l,an+l=Sn(n=l,2,3…).

求證：數(shù)列｛｝是等比數(shù)列.

20.已知數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為a且公比不等于1的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，al,2a7,3a4

成等差數(shù)列,求證：12列,S6,S12—S6成等比數(shù)列.

第二章數(shù)列

參考答案

一、選擇題

1.C

解析：由題設(shè)，代入通項(xiàng)公式an=al+(n—l)d,即2005=l+3(n—1),An=699.

2.C

解析：本題考查等比數(shù)列的相關(guān)概念，與其有關(guān)計(jì)算能力.

設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q(c>0),由題意得al+a2+a3=21,

即al(l+q+q2)=21,又al=3,l+q+q2=7.

解得q=2或q=-3(不合題意，舍去)，

.*.a3+a4+a5=alq2(l+q+q2)=3X22X7=84.

3.B.

解析：由al+a8=a4+a5,，排除C.

又al?a8=al(al+7d)=al2+7ald,

，a4?a5=(al+3d)(al+4d)=al2+7ald+12d2>al?a8.

4.C

解析：

解法1:設(shè)al=,a2=+d,a3=+2d,a4=+3d,而方程x2—2x+n=0中兩根之

和為2,x2-2x+n=0中兩根之和也為2,

.\al+a2+a3+a4=l+6d=4,

?,.d=,al=,a4=是一個(gè)方程的兩個(gè)根，al=,a3=是另一個(gè)方程的兩個(gè)根.

,分別為m或n,

Im—nI=,故選C.

解法2：設(shè)方程的四個(gè)根為xl,x2,x3,x4,且xl+x2=x3+x4=2,xl?x2=m,x3-x4=

n.

由等差數(shù)列的性質(zhì)：若(+s=p+q,則a(+as=ap+aq,若設(shè)xl為第一項(xiàng)，x2必為第四項(xiàng),

則x2=,于是可得等差數(shù)列為，，，，

??m=n=

/.Im—nI=.

5.B

解析：?.?a2=9,a5=243,=q3==27,

Q—3,QIQ—9,al—3,

??.S4===120.

6.B

解析：

解法1:由a2003+a2004>0,a2003?a2004<0,知a2003和a2004兩項(xiàng)中有一正數(shù)

一負(fù)數(shù)，又al>0,則公差為負(fù)數(shù)，否則各項(xiàng)總為正數(shù)，故a2003>a2004,即a2003>0,a2

004<0.

AS4006==>0,

AS4007=?(al+a4007)=?2a2004<0,

故4006為Sn>0的最大自然數(shù).選B.

解法2:由al>0,a2003+a2004>0,a2003?a2004<0,同解法1的分析得a2003>0.a2004<0,

???S2003為Sn中的最大值.

???Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，如草圖所示，

???2003到對(duì)稱軸的距離比2004到對(duì)稱軸的距離小，

???在對(duì)稱軸的右側(cè).

根據(jù)已知條件與圖象的對(duì)稱性可得4006在圖象中右側(cè)零點(diǎn)B的左側(cè)，4007,4008都在其

右側(cè)，Sn>0的最大自然數(shù)是40。6.

7.B

解析：:｛an｝是等差數(shù)列，.?.a3=al+4,a4=al+6,

又由al,a3,a4成等比數(shù)列，

A(al+4)2=al(al+6),解得al=-8,

???a2=-8+2=-6.

8.A

解析：*.*===*=1,???選A.

9.A

解析：設(shè)d和q分別為公差和公比，則一4=—l+3d且一4=(—l)q4,

d=—1,q2=2,

???_?

10.c

解析：｛an｝為等差數(shù)列，=an—1+an+l,/.=2an,

又anWO,.?.an=2,｛an｝為常數(shù)數(shù)列，

而an=,即2n—l==19,

/.n=10.

二、填空題

11..

解析：?「f(x)=,

Af(1—x)===,

Af(x)+f(1—x)=+===.

設(shè)S=f(—5)+f(—4)+3+f(0)-H??+f(5)+f(6),

則S=f(6)+f(5)+-+f(0)+-+f(-4)+f(-5),

：.2S=[f(6)+f(-5)]+[f(5)+f(-4)]4——F[f(-5)+f(6)]=6,

AS=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=3.

12.(1)32；(2)4；(3)32.

解析：(1)由a3?a5=,得a4=2,

/.a2?a3?a4?a5,a6==32.

(2),

/.a5+a6=(al+a2)q4=4.

(3),

/.al7+al8+al9+a20=S4q16=32.

13.216.

解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)與計(jì)算，由插入三個(gè)數(shù)后成等比數(shù)列，因而中間數(shù)必與

同號(hào)，由等比中項(xiàng)的中間數(shù)為=6,插入的三個(gè)數(shù)之積為XX6=216.

14.26.

解析：Va3+a5=2a4,a7+al3=2a10,

.,-6(a4+al0)=24,a4+a10=4,

AS13====26.

15.—49.

解析：Vd=a6—a5=—5,

?\國(guó)+&+???+句0

_7(<74+00)

2

_7(“5—d+%+5")

一2

=73+2d)

=-49.

16.5,(n+1)(n-2).

解析：同一平面內(nèi)兩條直線若不平行則一定相交，故每增加一條直線一定與前面已有的每條

直線都相交,Af(k)=f(k-l)+(k-l).

由￡3)=2,

f(4)=f(3)+3=2+3=5f

f(5)=f(4)+4=2+3+4=9,

f(n)=f(n—l)+(n—l)f

相加得f(n)=2+3+4+…+(n—1)=(n+1)(n—2).

三、解答題

17.分析：判定給定數(shù)列是否為等差數(shù)列關(guān)鍵看是否滿足從第2項(xiàng)開(kāi)始每項(xiàng)與其前一項(xiàng)差為

常數(shù).

證明：(l)n=l時(shí)，al=Sl=3—2=1,

當(dāng)n22時(shí)，an=Sn—Sn—l=3n2—2n—[3(n—1)2—2(n—1)]=6n—5,

n=l時(shí),亦滿足,an=6n—5(n￡N*).

首項(xiàng)al=l,an—an—l=6n—5—[6(n—1)—5]=6(6數(shù))(n￡N*),

???數(shù)列｛an｝成等差數(shù)列且al=1,公差為6.

(2)?/成等差數(shù)列,

.，?=+化簡(jiǎn)得2ac=b(a+c).

+=====2?,

???,,也成等差數(shù)列.

18.解：(1)由題設(shè)2a3=al+a2,即2alq2=al+alq,

Val^O,2q2—q—1=0,

q=1或一.

(