《有理指數(shù)冪》教學設計教學設計一、復習回顧，引出新課回顧初中學過的整數(shù)指數(shù)冪的概念及其運算性質(zhì)，引出問題.問題：某市人口平均年增長率為1.25%，1990年人口數(shù)為萬，則年后人口數(shù)為多少萬？設計意圖：從情境中引出關于指數(shù)冪的概念，從而導入新課.教師引導學生回憶整數(shù)指數(shù)冪的定義并板書.學生回憶整數(shù)指數(shù)冪的概念及其運算性質(zhì)并思考、回答問題.1.整數(shù)指數(shù)冪的概念..2.口答練習.計算下列各式：，，，，，.3.整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：（1）；（2）；（3）.注：本章中，所有字母的取值范圍均默認為使式子有意義的取值范圍設計意圖：復習已學習的整數(shù)指數(shù)暴的概念及其運算性質(zhì)，為后續(xù)學習做鋪墊.提問：中，指數(shù)是否可以是分數(shù)呢？今天這節(jié)課我們就主要來探究這個問題，在此之前我們先來學習根式的概念.二、探究新課1.次方根與根式.問題1：在初中我們學過平方根、立方根的概念，它們是如何定義的？它們有何性質(zhì)？（1）如果一個數(shù)的平方等于，即，那么數(shù)稱為的平方根.（2）如果一個數(shù)的立方等于，即，那么數(shù)稱為的立方根.（3）正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根.（4）正數(shù)和負數(shù)的立方根都只有一個，零的立方根是零.問題2：以下式子：，，，，，中，±3與9，2與8，-2與-8，±2與16，3與243，-3與-243是什么關系？±3稱為9的平方根，2稱為8的立方根，-2稱為-8的立方根.類比：±2稱為16的四次方根，3稱為243的五次方根，-3稱為-243的五次方根.設計意圖：通過學生回憶，獨立思考，逐一回答，完成教學，促使學生進一步理解上述概念，并嘗試把知識遷移到四次方根和五次方根，由特殊到一般，培養(yǎng)學生歸納、概括的能力.試想：如果，你能試著說出與的關系嗎？設計意圖：安排學生討論交流“試想”并讓多名學生回答，思考并解答根式的相關問題，進一步理解根式的性質(zhì)，為導出分數(shù)指數(shù)冪做鋪墊.定義：一般地，給定大于1的正整數(shù)和實數(shù)，如果存在實數(shù)，使得，則稱為的次方根.求的次方根，稱為把開次方，也稱為開方運算.的次方根用符號表示.當有意義的時候，稱為根式，稱為根指數(shù)，稱為被開方數(shù).思考1：類比平方根、立方根，猜想：當為偶數(shù)時，一個數(shù)的次方根有多少個？當為奇數(shù)時呢？提示：為正數(shù)：為負數(shù)：零的任意正整數(shù)次方根均為零，記為.思考2：根據(jù)次方根的定義，根式具有怎樣的性質(zhì)？提示：（1）.（2）當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，例如：，，，，.2.分數(shù)指數(shù)冪.我們還可以把整數(shù)指數(shù)冪的運算法則推廣到正分數(shù)指數(shù)冪.例如，，顯然，這些運算都不能用整數(shù)指數(shù)冪的定義來解釋.但是如果規(guī)定，，則上述分數(shù)指數(shù)冪的運算就能像整數(shù)指數(shù)冪的運算那樣進行了.問題：觀察以下式子，其中，并總結出規(guī)律：①，②，③.規(guī)律：當根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以寫成以分數(shù)作為指數(shù)的形式（分數(shù)指數(shù)冪形式）.師：當時，上述規(guī)律是否成立？根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式是否也可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式呢？答案是可以的，如：，，.師：當時呢？定義：（1）一般地，如果是正整數(shù)，那么：當有意義且時，規(guī)定；當沒有意義時，稱沒有意義.（2）對于一般的正分數(shù)（為既約分數(shù)），也可作類似（1）的規(guī)定，即.注意：以后如果沒有特別說明，一般總認為分數(shù)指數(shù)中的指數(shù)都是既約分數(shù).（3）若是正分數(shù)，有意義且時，規(guī)定.（4）0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.說明：規(guī)定好分數(shù)指數(shù)冪后，根式與分數(shù)指數(shù)冪是可以互換的，分數(shù)指數(shù)冪是根式的一種新的表示方法.思考3：如何理解分數(shù)指數(shù)冪？提示：（1）與根式的關系：分數(shù)指數(shù)冪是根式的另一種表示方法，根式與分數(shù)指數(shù)冪可以相互轉化.（2）底數(shù)的取值范圍：由分數(shù)指數(shù)冪的定義知時，可能會有意義；當有意義時可借助定義將底數(shù)化為正數(shù)，再進行運算.（3）運算性質(zhì)：分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)形式上與整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)一樣.3.有理指數(shù)冪的運算性質(zhì).指出：規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪.（1）；（2）；（3）.三、例題分析1.根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化.例1（1）若有意義，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.（2）化簡得（）A.6B.C.6或D.6或或解析（1）由負分數(shù)指數(shù)冪的意義可知，，所以，即，因此的取值范圍是.（2）原式答案（1）C（2）C提醒：在根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化過程中，一定要明確字母的取值范圍，以免出錯.2.根式的化簡與運算.例2用分數(shù)指數(shù)冪表示下列各式（，）：（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）原式.（2）原式.（3）原式.（4）原式.方法總結：在具體計算時，通常會把根式轉化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)解題.鞏固練習將下列根式與分數(shù)指數(shù)冪進行互化：（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）.（2）.（3）.（4）.3.相關證明題.例3求證：如果，是大于1的自然數(shù)，那么.證明假設，即或，根據(jù)不等式的性質(zhì)與根式的性質(zhì)，得或.這都與矛盾，因此假設不成立，從而.利用例3的結論，可以證明：（1）如果，是正有理數(shù)，那么；（2）如果，是正有理數(shù)，那么，；（3）如果，，且與均為有理數(shù)，則.四、小結與作業(yè)1.小結.引導學生回顧本節(jié)課所學的知識：（1）根式的定義.（2）分數(shù)指數(shù)冪的定義.（3）有理指數(shù)冪的運算性質(zhì).2.作業(yè).教材第8頁練習A第1，2題.板書設計第1課時有理指數(shù)冪1.次方根與根式定義：一般地，給定大于1的正整數(shù)和實數(shù)，如果存在實數(shù)，使得，則稱為的次方根.求的次方根，稱為把開次方，也稱為開方運算.的次方根用符號表示.當有意義的時候，稱為根式，稱為根指數(shù)，稱為被開方數(shù).2.分數(shù)指數(shù)冪定義：（1）一般地，如果是正整數(shù)，那么：當有意義且時，規(guī)定；當沒有意義時，稱沒有意義.（2）對于一般的正分數(shù)（為既約分數(shù)），也可作類似（1）的規(guī)定，即.注意：以后如果沒有特別說明，一般總認為分數(shù)指數(shù)中的指數(shù)都是既約分數(shù).（3）若是正分數(shù)，有意義且時，規(guī)定.（4）0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.3.有理指數(shù)冪的運算法則（1）；（2）；（3）.例1例2例3小