/貴州省貴陽市觀山湖區(qū)第一高級中學2024?2025學年高一下學期第三次月考（5月）數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，則的非空子集個數(shù)為（

）A．7 B．8 C．15 D．162．已知，則的值為（

）A． B． C． D．3．已知表示不同的直線，表示不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，且，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則4．已知是兩個單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（

）A．30° B．60° C．90° D．120°5．在中，，其面積為，則等于A． B． C． D．6．已知在中，為所在平面內的動點，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，PA=A.1 B.2 C.2 D.38．如圖所示，在四邊形中，，，，將四邊形沿對角線BD折成四面體，使平面平面，則下列結論正確的是（）A．B．C．與平面所成的角為D．四面體的體積為二、多選題9．歐拉公式（為虛數(shù)單位，）是由數(shù)學家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關聯(lián)，被譽為“數(shù)學中的天橋”．依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是（

）A．的虛部為1 B．C． D．的共軛復數(shù)為10．如圖，正方體的棱長為1，E為的中點，下列判斷正確的是（

）

A．平面B．直線與直線是異面直線C．在直線上存在點F，使平面D．直線與平面所成角是11．如圖是函數(shù)的部分圖象，則（

）A．的最小正周期為B．是函數(shù)的一條對稱軸C．將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，得到的函數(shù)為奇函數(shù)D．若函數(shù)在上有且僅有兩個零點，則三、填空題12．在中國古代數(shù)學著作《九章算術》中，鱉臑是指四個面都是直角三角形的四面體.如圖，在直角中，AD為斜邊BC上的高，，，現(xiàn)將沿AD翻折成，使得四面體AB＇CD為一個鱉臑，則該鱉臑外接球的表面積為.13．已知，則.14．如圖所示，在直三棱柱中，，，，點是線段上的一動點，則線段的最小值為．四、解答題15．如圖，在中，，，，點D，E滿足，，AC邊上的中線BM與DE交于點O.設，.（1）用向量，表示，；（2）求.16．如圖，在四棱錐中，，，，底面，是上一點．（1）求證：平面平面；（2）若是的中點，求平面與平面的夾角的正弦值．17．在銳角中，角的對邊分別為，，，已知且.（1）求角A的大??；（2）求的取值范圍.18．如圖，在正方體中，為的中點．

（1）求證：平面；（2）連接交于點，求三棱錐的體積；（3）已知點為中點，點為平面內的一個動點，若平面，求長度的最小值．19．已知函數(shù)．(1)若不等式的解集為R，求m的取值范圍；(2)解關于x的不等式；(3)若不等式對一切恒成立，求m的取值范圍．

答案1．【正確答案】A【分析】先依次求出集合和，再由子集公式結合非空子集定義即可得解.【詳解】因為，又，所以，所以的元素個數(shù)為3，其非空子集有個.故選A.2．【正確答案】A【詳解】因為，所以．故選A．3．【正確答案】D【詳解】對于A：若且，則或與相交，故A錯誤；對于B：若，則或，又，當，則與平行或相交或異面，當，則與平行或異面，故B錯誤；對于C：若，，則或，又，所以或與相交（不垂直）或，故C錯誤；對于D：若，則或，又，所以，故D正確.故選D4．【正確答案】B【詳解】因為向量在向量上的投影向量為，是兩個單位向量，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，又，所以向量與向量的夾角為，即.故選B.5．【正確答案】B【詳解】由題意可得：，解得：，由余弦定理：，結合正弦定理結合分式的性質，則：.本題選擇B選項.6．【正確答案】B【詳解】依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設，，則，，可得，其中，，因為，則，可得，所以的最小值為.故選B.7．【正確答案】D四棱錐的底面是邊長為4的正方形，且PA=PB=4,PC=PD=22,如圖，設AB,CD的中點分別為E,F,則PE⊥AB,PF⊥CD,連接EF.∵EF⊥CD,PF⊥CD,EF∩PF=F,EF?平面PEF,PF?平面PEF,∴CD⊥平面PEF.又CD?平面ABCD,∴平面PEF⊥平面ABCD,且平面PEF∩平面ABCD=EF.過點8．【正確答案】B【詳解】對于A，因為，，所以，若，因為，，平面，平面，所以平面，可得，這與矛盾，故A錯誤；對于B，因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，，所以，得，又因為，平面，所以平面，又因為平面，所以，所以，故B正確；對于C，平面，所以就是與平面所成的角，因為，所以與平面所成的角為，故C錯誤；對于D，四面體的體積為，故D錯誤.故選B.9．【正確答案】AD【詳解】對于A，，其虛部為1，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，則，故C錯誤；對于D，，故的共軛復數(shù)為，故D正確.故選AD.10．【正確答案】AC【詳解】對A，正方體中，平面，平面，平面，故A選項正確；

對B，由圖可知直線與直線都在平面中，故B選項錯誤；對C，連接，，取的中點，連接，又為的中點，則，正方體中，，且，平面，得平面，則平面，故C選項正確；對D，連接交于點，連接，由平面，有平面，則即為直線與平面所成的角，，，則，故D選項錯誤.故選：AC.11．【正確答案】AD【詳解】由圖象可知，，，所以，即的最小正周期為，故A正確；，此時，又在圖象上，，解得，，，，，當是函數(shù)的一條對稱軸時，此時不符合題意，故B錯誤；將的圖象向右平移個單位后得到的圖象對應的解析式為：不為奇函數(shù)，故C錯誤；令，解得，當時，，不合題意時，；時，；時，；又因為函數(shù)在上有且僅有兩個零點，解得，故D正確.故選AD.12．【正確答案】【詳解】由題可知，，都是直角三角形，只需平面即可，所以鱉臑外接球的球心在過中點且垂直于平面的直線上，而在直角三角形中，的中點到點的距離都相等，所以的中點是外接球的球心，所以，所以該鱉臑外接球的表面積為．13．【正確答案】/0.28【詳解】由，得，則.14．【正確答案】【詳解】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉到平面，

設點的新位置為，連接，則有，如圖，

當三點共線時，則即為的最小值，在三角形中，，，由余弦定理得，所以，即，在中，，，由勾股定理可得且.

同理可求，因為，所以為等邊三角形，所以，所以在中，，，由余弦定理得.15．【正確答案】（1）,（2）【詳解】（1）因為為邊上的中線，，因為，，所以，，所以.（2）由，得，，又，所以向量與得夾角為，由圖形可知的大小等于向量與的夾角，，，，所以，又因為，所以.16．【正確答案】（1）見詳解；（2）.【詳解】（1）在四棱錐中，，，則，，在中，，則，即，于是，由平面，平面，得，又平面，則平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，平面，而平面，則，又，因此是二面角的平面角，在中，，則，由是的中點，得，于是，所以平面與平面的夾角的正弦值為.17．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）∵，∴，，，∵，∴，又，∴，，；（2）根據(jù)正弦定理，，則，，所以的取值范圍為.18．【正確答案】（1）見詳解（2）（3）【詳解】（1）如圖，連接交于，連接．因為為正方體，底面為正方形，對角線交于點，所以為的中點，又因為為的中點，所以在中，是的中位線，所以，又平面平面，所以平面．

（2）由（1）知，平面，點為中點，則點到平面的距離等于點到平面的距離，所以三棱錐的體積等于三棱錐的體積．正方體的棱長是1，是的中點，所以，則的面積，所以三棱錐的體積．

（3）連接，因為和平行且相等，故四邊形為平行四邊形，所以．又面面，故面．又由（1）知，面，而面，故面面．因此滿足題意的點軌跡為線段．要求最小值，即求到最小值．在中，，故為等腰三角形，求最小值即求底邊上的高，求得．

19．【正確答案】(1)；(2)答案見解析；(3).【分析】（1）對二次項系數(shù)進行分類討論，結合二次函數(shù)的判別式即可容易求得結果；（2），對，與分類討論，可分別求得其解集（3），通過分離常數(shù)與利用