PAGEPAGE1專題02函數(shù)的圖象與性質(zhì)【2024年高考考綱解讀】(1)函數(shù)的概念和函數(shù)的基本性質(zhì)是B級(jí)要求，是重要題型；(2)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)都是考查熱點(diǎn)，要求都是B級(jí)；(3)冪函數(shù)是A級(jí)要求，不是熱點(diǎn)題型，但要了解冪函數(shù)的概念以及簡潔冪函數(shù)的性質(zhì)。【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】1．函數(shù)及其圖象(1)定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是確定函數(shù)的三要素，是一個(gè)整體，探討函數(shù)問題時(shí)務(wù)必需“定義域優(yōu)先”．(2)對(duì)于函數(shù)的圖象要會(huì)作圖、識(shí)圖和用圖，作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點(diǎn)法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換和對(duì)稱變換．2．函數(shù)的性質(zhì)(1)單調(diào)性：單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)．證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，規(guī)范步驟為取值、作差、變形、推斷符號(hào)和下結(jié)論．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則；(2)奇偶性：奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的定義域區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的定義域區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；(3)周期性：周期性也是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．若函數(shù)滿意f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，則其周期T＝ka(k∈Z)的肯定值．3．求函數(shù)最值(值域)常用的方法(1)單調(diào)性法：適合于已知或能推斷單調(diào)性的函數(shù)；(2)圖象法：適合于已知或易作出圖象的函數(shù)；(3)基本不等式法：特殊適合于分式結(jié)構(gòu)或兩元的函數(shù)；(4)導(dǎo)數(shù)法：適合于可求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)．4．指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的圖象和性質(zhì)，分0<a<1和a>1兩種狀況，著重關(guān)注兩函數(shù)圖象中的兩種狀況的公共性質(zhì)；(2)冪函數(shù)y＝xα的圖象和性質(zhì)，分冪指數(shù)α>0和α<0兩種狀況．5．函數(shù)圖象的應(yīng)用函數(shù)的圖象和解析式是函數(shù)關(guān)系的主要表現(xiàn)形式，它們的實(shí)質(zhì)是相同的，在解題時(shí)常常要相互轉(zhuǎn)化．在解決函數(shù)問題時(shí)，尤其是較為繁瑣的(如分類探討，求參數(shù)的取值范圍等)問題時(shí)，要留意充分發(fā)揮圖象的直觀作用.【題型示例】題型一、函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用【例1】（2024年江蘇卷）函數(shù)的定義域?yàn)開_______．【答案】[2，+∞）【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?【變式探究】【2024北京，文5】已知函數(shù)，則（A）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)（B）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)（C）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)（D）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)【答案】B【舉一反三】【2024年高考四川文數(shù)】已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，，則QUOTE=.【答案】-2【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，所以，所以，即，，所以.【舉一反三】(1)(2015·重慶卷)函數(shù)f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定義域是()A．[－3,1]B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0，,x＋3，x≤0.))若f(a)＋f(1)＝0，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－3 B．－1或3C．1 D．－3或1(1)答案：D解析：要使函數(shù)有意義，只需x2＋2x－3>0，即(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1.故函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，－3)∪(1，＋∞)．(2)答案：D解析：f(1)＝lg1＝0，所以f(a)＝0.當(dāng)a>0時(shí)，則lga＝0，a＝1；當(dāng)a≤0時(shí)，則a＋3＝0，a＝－3.所以a＝－3或1.【方法技巧】1．已知函數(shù)解析式，求解函數(shù)定義域的主要依據(jù)有：(1)分式中分母不為零；(2)偶次方根下的被開方數(shù)大于或等于零；(3)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)的真數(shù)x＞0；(4)零次冪的底數(shù)不為零；(5)正切函數(shù)y＝tanx中，x≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．假如f(x)是由幾部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的自變量的集合．依據(jù)函數(shù)求定義域時(shí)：(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，其復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]時(shí)的值域．2．函數(shù)的值域是由函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系和函數(shù)的定義域所唯一確定的，具有相同對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)假如定義域不同，函數(shù)的值域也可能不相同．函數(shù)的值域是在函數(shù)的定義域上求出的，求解函數(shù)的值域時(shí)肯定要與函數(shù)的定義域聯(lián)系起來，從函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系和定義域的整體上處理函數(shù)的值域．題型2、函數(shù)的圖象及其應(yīng)用【例2】（2024年全國III卷）函數(shù)的圖像大致為A.AB.BC.CD.D【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，解除A,B.,當(dāng)時(shí)，,解除C，故正確答案選D.【變式探究】【2024課標(biāo)1，文8】函數(shù)的部分圖像大致為A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意知，函數(shù)為奇函數(shù)，故解除B；當(dāng)時(shí)，，故解除D；當(dāng)時(shí)，，故解除A．故選C．【舉一反三】【2024課標(biāo)3，文7】函數(shù)的部分圖像大致為（） AB D．CD【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，故解除A,C；當(dāng)時(shí)，，故解除B,滿意條件的只有D,故選D.【變式探究】【2024高考新課標(biāo)1卷】函數(shù)在的圖像大致為（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】函數(shù)f(x)=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對(duì)稱，因?yàn)?，所以解除A、B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，有一零點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)．故選D。【感悟提升】(1)依據(jù)函數(shù)的解析式推斷函數(shù)的圖象，要從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等方面入手，結(jié)合給出的函數(shù)圖象進(jìn)行全面分析，有時(shí)也可結(jié)合特殊的函數(shù)值進(jìn)行協(xié)助推斷，這是解決函數(shù)圖象推斷類試題的基本方法．(2)探討函數(shù)時(shí)，留意結(jié)合圖象，在解方程和不等式等問題時(shí)，借助圖象能起到非常快捷的作用．【舉一反三】(1)(2015·四川卷)函數(shù)y＝eq\f(x3,3x－1)的圖象大致是()(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，在區(qū)間[a，b]上可找到n(n≥2)個(gè)不同的數(shù)x1，x2，…，xn，使得eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx2,x2)＝…＝eq\f(fxn,xn)，則n的取值范圍是()A.{3,4} B．{2,3,4}C．{3,4,5} D．{2,3}(2)答案：B解析：eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx1－0,x1－0)表示(x1，f(x1))與原點(diǎn)連線的斜率；eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx2,x2)＝…＝eq\f(fxn,xn)表示(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，…，(xn，f(xn))與原點(diǎn)連線的斜率相等，而(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，…，(xn，f(xn))在曲線圖象上，故只需考慮經(jīng)過原點(diǎn)的直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有幾種狀況．如圖所示，數(shù)形結(jié)合可得，有2,3,4三種狀況，故選B.【方法技巧】1．關(guān)于推斷函數(shù)圖象的解題思路(1)確定定義域；(2)與解析式結(jié)合探討單調(diào)性、奇偶性；(3)視察特殊值．2．關(guān)于函數(shù)圖象應(yīng)用的解題思路主要有以下兩點(diǎn)(1)方程f(x)＝g(x)解的個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))解集為函數(shù)y＝f(x)位于y＝g(x)圖象上方(下方)的那部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．題型三、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3、（2024年全國卷Ⅱ）若在是減函數(shù)，則的最大值是A.B.C.D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以由得，因此，從而的最大值為?！咀兪教骄俊俊?024天津，文6】已知奇函數(shù)在上是增函數(shù).若，則的大小關(guān)系為（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由題意：，且：，據(jù)此：，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性有：，即，本題選擇C選項(xiàng).【變式探究】【2024年高考北京文數(shù)】設(shè)函數(shù)QUOTE.=1\*GB3①若，則的最大值為______________；=2\*GB3②若無最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】，.【感悟提升】(1)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是高考的必考內(nèi)容之一，重點(diǎn)考查圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用，同時(shí)考查分類探討、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法及其運(yùn)算實(shí)力．(2)比較數(shù)式大小問題，往往利用函數(shù)圖象或者函數(shù)的單調(diào)性．【舉一反三】(2015·全國卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))為偶函數(shù)，則a＝________.答案：1解析：∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－xln(－x＋eq\r(a＋x2))－xln(x＋eq\r(a＋x2))＝0恒成立，∴xlna＝0恒成立，∴l(xiāng)na＝0，即a＝1.【變式探究】(1)已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝eq\f(1,2)(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若?x∈R，f(x－1)≤f(x)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,6)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),6)，\f(\r(6),6)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))【命題意圖】(1)本題主要考查函數(shù)的解析式、奇偶性和求函數(shù)的值，意在考查考生的轉(zhuǎn)化思想和方程思想．求解此題的關(guān)鍵是用“－x”代替“x”，得出f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.(2)本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)、分段函數(shù)以及函數(shù)的最值與恒成立問題，意在考查考生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，綜合運(yùn)用所學(xué)學(xué)問分析問題、解決問題的實(shí)力．【答案】(1)C(2)B【解析】(1)用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化簡得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故選C.(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x，0≤x≤a2，,－a2，a2<x≤2a2，,x－3a2，x>2a2，))又f(x)為奇函數(shù)，可得f(x)的圖象如圖所示，由圖象可得，當(dāng)x≤2a2時(shí)，f(x)max＝a2，當(dāng)x>2a2時(shí)，令x－3a2＝a2，得x＝4a2，又?x∈