第22講拋物線的簡單幾何性質(zhì)模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．依據(jù)拋物線的方程、圖形研究拋物線的幾何性質(zhì)；2．能解決與拋物線的簡單幾何性質(zhì)相關(guān)的簡單問題；3．能綜合利用拋物線的幾何性質(zhì)解決相關(guān)的綜合問題.知識(shí)點(diǎn)1拋物線的幾何性質(zhì)1、拋物線的幾何性質(zhì)（1）范圍：由方程可知，對于拋物線上的點(diǎn)，，，拋物線在軸的右側(cè)，開口方向與軸的正方向相同；當(dāng)?shù)闹翟龃髸r(shí)，的值也增大，這說明，拋物線向右上方和右下方無限延伸．（2）對稱性：以代，方程不變，所以拋物線關(guān)于軸對稱．我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．（3）頂點(diǎn)：拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)．在方程中，當(dāng)時(shí)，，因此拋物線的頂點(diǎn)就是原點(diǎn)．（4）離心率：拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用表示．由拋物線的定義可知，．2、四種標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)的拋物線的性質(zhì)比較標(biāo)準(zhǔn)方程圖形范圍對稱軸焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程頂點(diǎn)坐標(biāo)離心率通徑知識(shí)點(diǎn)2焦半徑公式1、焦半徑的定義設(shè)拋物線上一點(diǎn)，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則線段叫做拋物線的焦半徑，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線段，由拋物線的定義可知，．2、用坐標(biāo)表示焦半徑公式（1）拋物線，．（2）拋物線，．（3）拋物線，．（4）拋物線，．【注意】．3、焦半徑公式的應(yīng)用：利用焦半徑公式，我們可以把拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，解題時(shí)方便快捷．一般來說，涉及到過焦點(diǎn)的直線與拋物線的交點(diǎn)問題，利用此公式解決較為簡單．知識(shí)點(diǎn)3直線與拋物線的位置關(guān)系1、直線與拋物線的位置關(guān)系有三種情況：相交（有兩個(gè)公共點(diǎn)或一個(gè)公共點(diǎn)）；相切（有一個(gè)公共點(diǎn)）；相離（沒有公共點(diǎn)）．2、以拋物線與直線的位置關(guān)系為例：（1）直線的斜率不存在，設(shè)直線方程為，若，直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；若，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)既是原點(diǎn)又是切點(diǎn)；若，直線與拋物線沒有交點(diǎn).（2）直線的斜率存在.設(shè)直線，拋物線，直線與拋物線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于方程組，的解的個(gè)數(shù)，即二次方程（或）解的個(gè)數(shù)．①若，則當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相切，有個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相離，無公共點(diǎn)．②若，則直線與拋物線相交，有一個(gè)公共點(diǎn)．3、直線與拋物線相交弦長問題設(shè)為拋物線的弦，，，弦AB的中點(diǎn)為．（1）弦長公式：（為直線的斜率，且）．（2）中點(diǎn)弦斜率：,推導(dǎo)：由題意，知，①②由①-②，得，故，即.（3）中點(diǎn)弦直線方程：直線的方程為．知識(shí)點(diǎn)4拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)1、焦點(diǎn)弦的定義：過拋物線的焦點(diǎn)的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的焦點(diǎn)弦．2、焦點(diǎn)弦長：如圖，是拋物線過焦點(diǎn)的一條弦，設(shè)，，的中點(diǎn)，過點(diǎn)，，分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為點(diǎn)，，，根據(jù)拋物線的定義有，，故.又因?yàn)槭翘菪蔚闹形痪€，所以，從而有下列結(jié)論；（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切.（2）(焦點(diǎn)弦長與中點(diǎn)關(guān)系)（3）.（4）若直線的傾斜角為，則.（5），兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積均為定值，即，.（6）為定值.考點(diǎn)一：由拋物線方程研究幾何性質(zhì)例1．（22-23高二上·江蘇蘇州·期末）拋物線上一點(diǎn)到其對稱軸的距離為（

）A．4 B．2 C． D．1【變式1-1】（23-24高二上·山東·月考）已知拋物線的焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，且到的距離與到的對稱軸的距離之差為2，則（

）A． B．1 C．2或4 D．4或36【變式1-2】（23-24高二上·浙江溫州·期中）已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，則這個(gè)等邊三角形的邊長為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（23-24高二下·廣東湛江·開學(xué)考試）已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，該拋物線上位于第一象限的點(diǎn)A到其準(zhǔn)線的距離為4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二：由幾何性質(zhì)求拋物線的方程例2.（23-24高三上·山東青島·開學(xué)考試）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，在上，，則的方程為（

）A． B． C． D．【變式2-1】（23-24高二上·云南昭通·期末）若拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于3，則（

）A． B． C． D．【變式2-2】（23-24高二上·全國·專題練習(xí)）邊長為1的等邊，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸，以O(shè)為頂點(diǎn)且過的拋物線方程是（

）A． B． C． D．【變式2-3】（23-24高二上·河南駐馬店·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，若點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且是周長為12的正三角形.則拋物線的方程為.考點(diǎn)三：直線與拋物線的位置關(guān)系例3.（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）直線與拋物線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)【變式3-1】（23-24高二下·江西·月考）直線與拋物線：的圖象相切，則的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．【變式3-2】（23-24高二下·上?！ぴ驴迹┮阎獟佄锞€方程，過點(diǎn)的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線有（

）條A．0 B．1 C．2 D．3【變式3-3】（23-24高二上·北京西城·月考）“”是“直線與拋物線有唯一公共點(diǎn)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既非充分也非必要條件考點(diǎn)四：直線與拋物線焦點(diǎn)及弦長例4.（23-24高二下·湖南邵陽·期中）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線與交于M，N兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【變式4-1】（23-24高二下·湖南·月考）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【變式4-2】（23-24高二上·四川綿陽·期末）過拋物線焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)M到軸距離為，則（

）A． B． C． D．【變式4-3】（23-24高二下·吉林長春·月考）已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，與相交于兩點(diǎn)，且．若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，直線的斜率為．考點(diǎn)五：拋物線的中點(diǎn)弦問題例5.（23-24高二上·山東棗莊·月考）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則為（

）A． B．2 C．或2 D．以上都不是【變式5-1】（23-24高二上·河北邯鄲·期中）直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則O到直線的距離為（

）A． B． C． D．【變式5-2】（23-24高二下·四川成都·開學(xué)考試）已知拋物線，過點(diǎn)作一條直線l與拋物線交于兩點(diǎn)，恰使得點(diǎn)平分，則直線的方程為.【變式5-3】（23-24高二上·重慶·月考）已知點(diǎn)P到的距離與它到x軸的距離的差為4，P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)若直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的斜率.考點(diǎn)六：拋物線的綜合應(yīng)用例6.（23-24高二上·山東濰坊·期末）如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在其準(zhǔn)線上，，直線MF的傾斜角為，且與C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求C的方程；(2)求的面積.【變式6-1】（23-24高二上·山東青島·期末）已知點(diǎn)，，中恰有兩個(gè)點(diǎn)在拋物線上．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)若點(diǎn)，在上，且，證明：直線過定點(diǎn)．【變式6-2】（23-24高二上·貴州安順·期末）已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)恒滿足：點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與（1）中的曲線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．【變式6-3】（23-24高二上·山西太原·期末）已知點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且.(1)求拋物線的方程；(2)已知點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，求證：.1．（23-24高二下·江蘇南京·期末）已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為（

）A． B．5 C．6 D．2．（23-24高三上·湖北·期末）拋物線的方程為，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，則的值為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·安徽蕪湖·月考）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則（

）A．6 B．8 C．10 D．124．（23-24高二下·安徽·月考）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F且與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，若，則直線l傾斜角的正弦值為（

）A． B． C．2 D．35．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線，拋物線，l與有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．1條、2條或3條6．（23-24高三下·安徽·月考）已知拋物線，過C的焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為W，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題7．（23-24高二上·河北邢臺(tái)·月考）關(guān)于拋物線，下列說法正確的是（

）A．拋物線沒有離心率B．拋物線的離心率為1C．若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線與拋物線相切D．拋物線一定有一條對稱軸，一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)8．（23-24高三上·重慶·月考）設(shè)拋物線C:的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為.點(diǎn)A，B是拋物線C上不同的兩點(diǎn)，且，則（

）A． B．以線段為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切C．線段的長為定值 D．線段的中點(diǎn)E到準(zhǔn)線的距離為定值三、填空題9．（23-24高二上·浙江金華·月考）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，的中垂線分別交l與x軸于D，E兩點(diǎn)（D，E在的兩側(cè)）.若四邊形為菱形，則10．（23-24高二上·安徽合肥·月考）已知拋物線的弦斜率為1，則弦中點(diǎn)的軌跡方程.11．（23-24高二上·遼寧·期末）已知點(diǎn)和拋物