第04講空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．了解空間直角坐標(biāo)系，理解空間向量的坐標(biāo)表示；2．掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示；3．掌握空間向量垂直與平行的條件及其應(yīng)用；4．掌握空間向量的模夾角以及兩點(diǎn)間距離公式，能運(yùn)用公式解決問題.知識點(diǎn)1空間直角坐標(biāo)系1、空間直角坐標(biāo)系的定義：在空間選定點(diǎn)和一個單位正交基底，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较?、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：軸.軸、軸，它們都叫作坐標(biāo)軸．這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系，叫作原點(diǎn)，都叫作坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫作坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面，它們把空間分成八個部分．2、右手直角坐標(biāo)系的定義：在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，若中指指向軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．如無特別說明，我們建立的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系．知識點(diǎn)2空間向量的坐標(biāo)表示1、空間中點(diǎn)和向量的坐標(biāo)的定義：在空間直角坐標(biāo)系中為坐標(biāo)向量，對空間任意一點(diǎn)，對應(yīng)一個向量，且點(diǎn)的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使．在單位正交基底下與向量對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組，叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作．也叫點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，其中叫做點(diǎn)的橫坐標(biāo)，叫做點(diǎn)的縱坐標(biāo)，叫做點(diǎn)的豎坐標(biāo)．2、幾類特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)（1）軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3）軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（4）平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（5）平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（6）平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為3、空間中點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè)點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，則（1）與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)是（2）與點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)是（3）與點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)是（4）與點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)是（5）與點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)是（6）與點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)是（7）與點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)是【注意】對稱點(diǎn)問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰就保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個結(jié)論．知識點(diǎn)3空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若，，則：（1）；（2）；（3）；（4）2、空間向量平行和垂直：若，，則（1），，（2）3、空間向量的長度、夾角公式：若，，則（1），．（2）．【注意】（1）夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：，其中θ的范圍是（2）（3）用此公式求異面直線所成角等角度時，要注意所求角度與θ的關(guān)系（相等，互余，互補(bǔ)）。4、空間兩點(diǎn)的距離公式若，，則①即：一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)．②，或．考點(diǎn)一：空間向量與點(diǎn)坐標(biāo)的表示例1．（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，所以，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B.【變式1-1】（23-24高二上·北京·期中）已知點(diǎn)，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，又，因?yàn)?，所以，所以，解得，?故選：A【變式1-2】（22-23高二上·云南臨滄·月考）在平行六面體中，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由，得，解得，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：B.【變式1-3】（23-24高二上·青海海東·月考）（多選）如圖，在長方體中，，，，點(diǎn)E在線段AO的延長線上，且，下列向量坐標(biāo)表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，，，，，，對于A，因?yàn)?，，所以，故A不正確；對于B，因?yàn)椋?，所以，故B正確；對于C，因?yàn)?，，所以，故C正確；對于D，因?yàn)?，，所以，故D不正確.故選：BC.考點(diǎn)二：空間中點(diǎn)的對稱問題例2.（23-24高二下·四川綿陽·開學(xué)考試）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：D.【變式2-1】（23-24高二下·甘肅·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】點(diǎn)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B【變式2-2】（23-24高二上·河北石家莊·月考）點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：B【變式2-3】（23-24高二下·江蘇連云港·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：A.考點(diǎn)三：空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示例3.（23-24高二上·江西贛州·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得：.故選：D.【變式3-1】（23-24高二上·天津·期末）已知空間向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意空間向量，，則.故選：A.【變式3-2】（23-24高二上·福建福州·期中）（多選）已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因?yàn)?，則，故A正確；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤；故選：AC【變式3-3】（23-24高二上·新疆·月考）已知，，.(1)求的值；(2).【答案】(1)；(2)【解析】（1）由，可得，.，故（2），，可得，，故考點(diǎn)四：空間向量平行的坐標(biāo)表示例4.（22-23高二上·河南平頂山·月考）已知，則下列向量中與平行的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，因?yàn)椋訟不正確；對于B，因?yàn)?，所以B正確；對于C，因?yàn)椋訡不正確；對于D，因?yàn)?，所以D不正確．故選：B．【變式4-1】（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）已知向量，若三點(diǎn)共線，則（

）A． B． C．2 D．8【答案】A【解析】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以與共線，又向量，所以，所以，所以.故選：A【變式4-2】（23-24高二上·廣東中山·期中）已知向量，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，因?yàn)?，所以，解?故選：A.【變式4-3】（23-24高二上·廣東江門·期中）已知向量，，若，則（

）A． B．2 C． D．1【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所以，解得，故選：C考點(diǎn)五：空間向量垂直的坐標(biāo)表示例5.（23-24高二上·北京·期中）已知向量，則的位置關(guān)系是（

）A．垂直 B．平行 C．異面 D．不確定【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄?，所以，所以，故選：A.【變式5-1】（23-24高二下·廣西桂林·開學(xué)考試）下列四對向量中，垂直的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】對A，因?yàn)?，故兩向量不垂直，故A錯誤；對B，因?yàn)椋蕛上蛄看怪?，故B正確；對C，因?yàn)椋蕛上蛄坎淮怪?，故C錯誤；對D，因?yàn)?，故兩向量不垂直，故D錯誤；故選：B.【變式5-2】（23-24高二下·江蘇泰州·期末）已知，，且，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，且，所以，解?故選：D【變式5-3】（23-24高二上·山東青島·期末）已知向量，，且與互相垂直，則實(shí)數(shù)等于（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】C【解析】，，由與互相垂直，有，解得或．故選：C．考點(diǎn)六：空間向量夾角的坐標(biāo)表示例6.（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知，，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】向量，，由，得，解得，，因此，而，則，所以向量與的夾角為.故選：D【變式6-1】（23-24高二上·安徽·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，，故，，，．故選：A【變式6-2】（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知、，且與夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椤?，且與夾角為鈍角，則且與不反向，若，則，解得，若與反向，設(shè)，則，解得，綜上可得的取值范圍是.故選：D【變式6-3】（23-24高二上·廣東珠海·月考）已知向量，，，若向量與所成角為銳角，則實(shí)數(shù)的范圍是.【答案】【解析】由向量，，可得，因?yàn)?，可得，解得，所以，所以與，又因?yàn)橄蛄颗c所成角為銳角，所以，解得，若向量與共線，則，解得，所以實(shí)數(shù)的范圍是.故答案為：.考點(diǎn)七：空間向量模長的坐標(biāo)表示例7.（22-23高二上·云南臨滄·月考）已知向量，則（

）A．5 B．12 C．13 D．17【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄?，則.故選：C.【變式7-1】（23-24高二上·四川南充·期末）已知向量，則．【答案】/【解析】由題意可得，所以.故答案為：.【變式7-2】（23-24高二上·廣東惠州·月考）在空間直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為C，則=（

）A． B． C．3 D．【答案】C【解析】因點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為，，則，故.故選：C.【變式7-3】（23-24高二上·江西·月考）已知，，若點(diǎn)共線，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)共線，所以與共線，所以，解得，，故，，.故選：C.考點(diǎn)八：投影向量的坐標(biāo)表示例8.（23-24高三下·上海浦東新·月考）空間向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】與方向相同的單位向量為，由，，則，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A.【變式8-1】（23-24高二上·云南昭通·期末）已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若起點(diǎn)為原點(diǎn)，則終點(diǎn)為，該點(diǎn)在平面上投影坐標(biāo)為，所以向量在平面上的投影向量是.故選：D【變式8-2】（23-24高二下·河北邢臺·月考）已知點(diǎn)，向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，則，且，所以，則向量在向量上的投影向量為.故選：C【變式8-3】（22-23高二上·云南臨滄·月考）已知點(diǎn)，則向量在向量上的投影向量的模為.【答案】/【解析】點(diǎn)，故，所以，所以向量在向量上的投影向量的模.一、單選題1．（23-24高二上·廣東揭陽·月考）在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，設(shè)，故，故，解得，故.故選：B2．（23-24高二下·重慶·期中）空間直角坐標(biāo)系中，已知，則點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對稱性可得:關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的豎坐標(biāo)和縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)相反，即所求的坐標(biāo)為.故選：B3．（23-24高二上·河北石家莊·期中）已知向量，則（

）A． B． C．4 D．10【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄浚?，故選：D4．（23-24高二上·河南·月考）已知空間三點(diǎn)，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴結(jié)合向量夾角范圍易知：與的夾角為．故選：C.5．（23-24高二上·重慶九龍坡·期末）已知向量，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，∴，，∴在上的投影向量為，故選：C.6．（23-24高二上·河南開封·期中）設(shè)，，，，且，，則（

）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以，解得，所以，又因?yàn)?，且，所以，所以，所以，所以，故選：D.二、多選題7．（23-24高二上·河南南陽·期末）已知空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，則下列各點(diǎn)在平面內(nèi)的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】，不共線，設(shè)為平面內(nèi)一點(diǎn)，則，，由于無解，所以不在平面內(nèi).，由，解得，所以在平面內(nèi).，由，解得，所以在平面內(nèi).，由于，所以在平面內(nèi).故選：BCD8．（23-24高二上·青海西寧·期中）向量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因?yàn)?，所以，由題意可得，所以，則．故選：BC三、填空題9．（23-24高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·月考）已知，則．【答案】【解析】因?yàn)?，所?故答案為：.10．（23-24高二上·山東聊城·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.【答案】【解析】由題意知，在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，又，所以，解得，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.故答案為：.11．（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知，且共面，則．【答案】/0.8【解析】由題意知，共面，則存在實(shí)數(shù)