高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省晉城市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1、本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.1.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人救A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)（50%），選擇性必修第三冊(cè)第六章、第七章（50%）.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若直線的傾斜角的大小為，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直線的斜率，解得.故選：D.2.隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，由兩點(diǎn)分布方差公式可得，又，所以，解得，所以，故選：A.3.已知為拋物線的焦點(diǎn)，過的直線交于，兩點(diǎn)，若弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，則（）A.8 B.10 C.12 D.16【答案】C【解析】設(shè)，則，所以，由拋物線的焦點(diǎn)弦公式可得.故選：C.4.已知隨機(jī)變量的分布列如下表：01230.120.24則（）A.1.2 B.1.04 C.1.02 D.1【答案】A【解析】由題意可得，解得或，由概率不能大于1，所以舍掉，所以，.故選：A5.從人中選擇人去，，三地調(diào)研，一個(gè)地方安排人另外兩個(gè)地方各安排人的安排方法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】滿足條件的安排方法可分兩步完成，第一步，從人中選擇人，完成該步有種方法，第二步，將所選人按要求分去，，三地調(diào)研，完成該步的方法數(shù)為，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得滿足要求的方法共有種.故選：D.6.計(jì)算：（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)橛幸饬x，所以，，，，，所以，所以，故選：C7.某次數(shù)學(xué)測(cè)試的單項(xiàng)選擇題，學(xué)生甲有把握答對(duì)其中4道題，余下4道題中，有3道有思路，1道完全沒有思路.若甲答對(duì)每道有思路的題的概率為，答對(duì)每道完全沒有思路的題的概率為，他從這8道題中任抽一題作答，答對(duì)的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)“學(xué)生甲從這8題中任選1題且作對(duì)”為事件，“選到能完整做對(duì)的4道題”為事件，“選到有思路的3道題”為事件，“選到完全沒有思路的題”為事件，則，，，，由全概率公式可得.故選：C.8.已知函數(shù)，過點(diǎn)可向曲線引3條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由可得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，由點(diǎn)在切線上代入可得，即三次方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，則，所以極值點(diǎn)為和，又極值點(diǎn)處函數(shù)值為，三次方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根的充要條件是極值點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)，所以，解得.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.數(shù)字0，1，2，3，4組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)構(gòu)成集合，則下列說法正確的是（）A.中有偶數(shù)60個(gè)B.中數(shù)字1，2相鄰的數(shù)有36個(gè)C.中2，4不相鄰的數(shù)有72個(gè)D.將中的元素從小到大排列，第55個(gè)數(shù)為31024【答案】ABD【解析】對(duì)于A：若個(gè)位數(shù)為，則有個(gè)；若個(gè)位數(shù)不為，則個(gè)位數(shù)只能是之一，只能在中間3個(gè)位置任選一個(gè)位置，剩余3個(gè)數(shù)字在剩余的三個(gè)位置上任意排列，則有個(gè).所以偶數(shù)有60個(gè)，故A正確；對(duì)于B，將看成一個(gè)整體，首位不為，則有個(gè)，所以中數(shù)字1，2相鄰的數(shù)有36個(gè)，故B正確；對(duì)于C，種共有個(gè)元素，其中相鄰有個(gè)，所以中2，4不相鄰的數(shù)有個(gè)，故C錯(cuò)誤；首位為，則有個(gè)，首位為，則有個(gè)，首位為，則有個(gè)，所以將中的元素從小到大排列，第55個(gè)數(shù)的首位為，則第個(gè)數(shù)為，第個(gè)數(shù)為，第個(gè)數(shù)為，第個(gè)數(shù)為，第個(gè)數(shù)為，第個(gè)數(shù)為，第個(gè)數(shù)為，故D正確.故選：ABD.10.設(shè)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，，，則（）A.事件，相互獨(dú)立 B.C. D.【答案】AC【解析】對(duì)于A，已知，將，，代入可得：

因?yàn)?，所以事件，相互?dú)立，A選項(xiàng)正確．

對(duì)于B，根據(jù)條件概率公式，將，代入可得：，B選項(xiàng)錯(cuò)誤．

對(duì)于C，先求，．再根據(jù)條件概率公式，將，代入可得：，C選項(xiàng)正確．

對(duì)于D，，而，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選：AC．11.已知曲線，直線，為上一點(diǎn)，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，C.對(duì)任意，，直線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過個(gè)D.當(dāng)，時(shí)，直線與有3個(gè)交點(diǎn)【答案】ABD【解析】當(dāng)時(shí)，方程可化為，所以，，當(dāng)或時(shí)，方程可化為，所以，，所以曲線是中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，，長(zhǎng)半軸為的橢圓在軸上方的部分和中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，，實(shí)半軸為的雙曲線在軸上方的部分和點(diǎn)，組成,所以曲線的圖象為：對(duì)于A，因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn)，若，則，，所以，若或，則，，故，A正確；對(duì)于B，由可得，，所以，，所以，所以，又，所以，故，B正確，對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，直線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得，所以，所以方程的根為，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，假設(shè)，則，則，矛盾，故，所以曲線，與直線，有兩個(gè)交點(diǎn)，，化簡(jiǎn)可得，所以，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，滿足條件，所以曲線，與直線，有一個(gè)交點(diǎn)，故當(dāng)，時(shí)，直線與有3個(gè)交點(diǎn)，D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)，若.則________.【答案】【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)，所以，所以.故答案為：.13.已知（，且）的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，則________.【答案】【解析】由于的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，所以和都不是常數(shù)，則，，又因?yàn)?，所以，故取．故答案為?.14.已知實(shí)數(shù)，，，滿足，，則的最大值為________.【答案】18【解析】設(shè)，．根據(jù)向量模的計(jì)算公式，可得，已知，所以；同理，因?yàn)椋裕鶕?jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，，所以．

由向量的數(shù)量積公式，可得，即，因?yàn)?，所以，這表明與同向．所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，．又因?yàn)?，所以，即，結(jié)合，可得，那么，．

化簡(jiǎn)將，代入，可得．設(shè)，，則原式可化為．由，根據(jù)，可得．令，．

當(dāng)且時(shí)，，與矛盾，此情況不存在．當(dāng)且時(shí)，，其最大值為．當(dāng)且時(shí)，，其最大值為．當(dāng)且時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值．綜上，的最大值為18．

故答案為：18．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在一個(gè)不透明的箱子里有8個(gè)大小相同的小球，其中5個(gè)黑球，3個(gè)紅球.從中不放回地依次摸出3個(gè)小球.（1）求前兩次摸出的球均為黑球的概率；（2）記表示摸出的小球中紅球的數(shù)量，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望.解：（1）由題意，前兩次摸出的球均為黑球的概率；（2）由題意，可取，則，，，，所以的分布列為.16.如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，，，.（1）求與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）以為原點(diǎn)，以分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，，所以，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)與平面所成角為，則與平面所成角的正弦值為.（2）設(shè)平面的法向量，則，令，則，，，，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.“科學(xué)技術(shù)是第一生產(chǎn)力”.科技進(jìn)步能夠更好地推動(dòng)高質(zhì)量發(fā)展，如人工智能中的DeepSeek.某公司部門有員工100名，公司擬開展DeepSeek培訓(xùn)，分三輪進(jìn)行，每位員工一輪至三輪培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”的概率分別為，，，每輪相互獨(dú)立，有兩輪及兩輪以上獲得“優(yōu)秀”的員工才能應(yīng)用DeepSeek.（1）估計(jì)部門員工經(jīng)過培訓(xùn)能應(yīng)用DeepSeek的人數(shù)（去尾法精確到個(gè)位）；（2）已知開展DeepSeek培訓(xùn)前，員工每人每年為公司創(chuàng)造利潤(rùn)6萬元；開展DeepSeek培訓(xùn)后，能應(yīng)用DeepSeek的員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤(rùn)10萬元.DeepSeek培訓(xùn)平均每人每年成本為1萬元.根據(jù)公司發(fā)展需要，計(jì)劃先將部門的部分員工隨機(jī)調(diào)至公司其他部門，然后對(duì)其余員工開展DeepSeek培訓(xùn).要保證培訓(xùn)后部門的年利潤(rùn)不低于員工調(diào)整前的年利潤(rùn)，部門最多可以調(diào)多少人到其他部門？解：（1）由題意每個(gè)員工“優(yōu)秀”的概率，則估計(jì)部門員工經(jīng)過培訓(xùn)能應(yīng)用DeepSeek的人數(shù)為個(gè)，按去尾法取整，有人；（2）設(shè)調(diào)出人，調(diào)整前的利潤(rùn)為（萬元），調(diào)整后的利潤(rùn)為，要保證培訓(xùn)后部門的年利潤(rùn)不低于員工調(diào)整前的年利潤(rùn)，則，解得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以最大值為，即部門最多可以調(diào)人到其他部門.18.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：解：（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，因，所以恒成立，即在為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，令，所以當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增函數(shù)，綜上，當(dāng)時(shí)，在為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)；時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù).（2）當(dāng)時(shí)，，，，則，令，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，因?yàn)榇嬖诹泓c(diǎn)，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）由（2）可得，當(dāng)時(shí)，，令，則，所以，即，兩邊同時(shí)取指數(shù)可得，又上式中，所以.19.若數(shù)列滿足：，且（，且），則稱該數(shù)列為“非線性遞增數(shù)列”.（1）設(shè)數(shù)列為“非線性遞增數(shù)列”，且.（i）求，；（ii）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由；（2）若數(shù)列為“非線性遞增數(shù)列”，且滿足，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）（i）已知，則，，.根據(jù)“非線性遞增數(shù)列”的定義，可得：；；.（ii）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)：已知，又因?yàn)?，所?這表明數(shù)列是以為首項(xiàng)（假設(shè)），為公差的等差數(shù)列.根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，則.令，則，將代入，可得（為奇數(shù)）.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)：已知，又因?yàn)?，所?這表明數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，對(duì)于數(shù)列，則.令，則，將代入，可得（為偶數(shù)）.所以.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)：.其中是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)；是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為項(xiàng).根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到：..所以.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)：為偶數(shù)，則.因?yàn)闉榕紨?shù)，所以，..所以.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，已知，變形得到，設(shè).對(duì)于二次函數(shù)，圖象開口向下，對(duì)稱軸為.因?yàn)榍覟槠鏀?shù)，，則，當(dāng)（即）時(shí)，取得最大值，所以.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由可得，設(shè).因?yàn)榍覟榕紨?shù)，，函數(shù)中，隨著的增大，減小，所以單調(diào)遞減.那么當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以.綜合兩種情況，