高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省濟(jì)南市2023屆高三下學(xué)期3月一模數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋虼?，?fù)數(shù)的虛部為.故選：A.2.已知集合，，若，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，解得，故，因?yàn)?，所?故選：A3.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)積為，，公比，則取最大值時(shí)n的值為（）A.3 B.6 C.4或5 D.6或7【答案】C【解析】，故，因?yàn)?，所以?時(shí)，取得最大值.故選：C4.用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截得的圓臺(tái)上底面半徑為1，下底面半徑為2，且該圓臺(tái)側(cè)面積為，則原圓錐的母線長(zhǎng)為（）A.2 B. C.4 D.【答案】D【解析】設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，因?yàn)樵搱A臺(tái)側(cè)面積為，則由圓臺(tái)側(cè)面積公式可得，所以，設(shè)截去的圓錐的母線長(zhǎng)為，由三角形相似可得，則，解得，所以原圓錐的母線長(zhǎng)，故選：.5.從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)構(gòu)成三角形，則所得三角形是直角三角形的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以點(diǎn)為例，以點(diǎn)為其中一個(gè)頂點(diǎn)的三角形有，共10個(gè)，其中直角三角形為，共6個(gè)，故所得三角形是直角三角形的概率為.故選：C6.已知正三角形邊長(zhǎng)為2，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】正三角形的高為，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的知識(shí)可知，直觀圖的面積為.故選：B7.自然數(shù)的位數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.607 B.608 C.609 D.610【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，即的位?shù)為.故選:C8.函數(shù)（且）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，即，因?yàn)榍遥瑒t，令，令，則，，令，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知平面向量，則（）A. B.C.在上的投影向量的模為 D.與的夾角為鈍角【答案】AC【解析】A：由題意可得，故A正確；B：因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；C：在上的投影向量的模為，故C正確；D：與的夾角的余弦為，所以?shī)A角不是鈍角，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱的中點(diǎn)，則（）A.直線為異面直線 B.C.直線與平面所成角的正切值為 D.過(guò)點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為9【答案】BC【解析】對(duì)于A，連接，由題意可知，因?yàn)?，所以，所以共面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接，由題意可知，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，連接，由正方體的性質(zhì)可知平面，所以即為直線與平面所成的角，則，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，連接，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得，且，所以平面即為過(guò)點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面，該四邊形為梯形，其上底，下底為，高為，所以截面面積為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：BC11.在平面直角坐標(biāo)系中，由直線上任一點(diǎn)P向橢圓作切線，切點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)A在x軸的上方，則（

）A.恒為銳角 B.當(dāng)垂直于x軸時(shí)，直線的斜率為C.的最小值為4 D.存在點(diǎn)P，使得【答案】ABD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)切線方程為聯(lián)立得：，∵直線與橢圓相切，故則，∴切線PA的方程為，同理切線PB的方程為，而P點(diǎn)在上，故，又滿足該方程組，故，顯然過(guò)定點(diǎn)，即橢圓左焦點(diǎn).以為直徑的圓半徑最大無(wú)限接近，但該圓與一直相離，即始終為銳角，A正確；對(duì)于B項(xiàng)，由A得，軸時(shí)，，易得，，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，由B知軸時(shí)，，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，取中點(diǎn)，若，則，即為等腰三角形，，化簡(jiǎn)得，由A知：，整理得：，顯然存在P滿足題意，故D正確；故選：ABD.12.已知函數(shù)，記的最小值為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.D.若數(shù)列滿足，則【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，，故，由基本不等式可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，A正確；B選項(xiàng)，由柯西不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，依次類(lèi)推，可得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)，，則在上恒成立，故上單調(diào)遞減，所以，故在上恒成立，，C正確；D選項(xiàng)，，，故，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．【答案】160【解析】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令，可得，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：160.14.在平面直角坐標(biāo)系中，圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圓為，則的方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】圓，即，其圓心，又的圓心，根據(jù)題意可得直線為線段的垂直平分線，又，線段的中點(diǎn)，則直線的方程為，即.故答案為：.15.已知函數(shù)在上的值域?yàn)?，則的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，在上的值域?yàn)?，，解得：，即的取值范圍?故答案為：.16.機(jī)器學(xué)習(xí)是人工智能和計(jì)算機(jī)科學(xué)的分支，專(zhuān)注于使用數(shù)據(jù)和算法來(lái)模仿人類(lèi)學(xué)習(xí)的方式．在研究時(shí)需要估算不同樣本之間的相似性，通常采用的方法是計(jì)算樣本間的“距離”，閔氏距離是常見(jiàn)的一種距離形式．兩點(diǎn)的閔氏距離為，其中為非零常數(shù)．如果點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在直線上，則的最小值為_(kāi)____________．【答案】【解析】設(shè)，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；即；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述：的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）中內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，求A的內(nèi)角平分線的長(zhǎng)．解：（1）因?yàn)樗裕?解得，,所以單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，所以，所以，故，由題意知，，所以，即，所以．18.如圖，四棱錐中，是等邊三角形，，．（1）證明：；（2）若，，求點(diǎn)A到平面的距離．（1）證明：如圖，連接，交于點(diǎn)O，連接，由，可得，所以，又，所以，所以，即O為中點(diǎn)，在等腰中，可得，在等腰中，，又，平面，所以平面，又平面，所以．（2）解：由（1）可得，，又，所以，由于為正三棱錐，點(diǎn)P在底面的垂足一定在上，設(shè)垂足為M，根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)可得，如圖，過(guò)點(diǎn)作的平行線，以的平行線所在直線為軸，以所在直線為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系．可得，又，（或）設(shè)平面的法向量，可得不妨令，可得，所以，故所以點(diǎn)A到平面的距離為．19.已知數(shù)列滿足．（1）若數(shù)列滿足，證明：是常數(shù)數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．（1）證明：因?yàn)椋?，所以是常?shù)數(shù)列．（2）解：由（1），，所以．因?yàn)椋?，所以?0.為了切實(shí)加強(qiáng)學(xué)校體育工作，促進(jìn)學(xué)生積極參加體育鍛煉，養(yǎng)成良好的鍛煉習(xí)慣，某高中學(xué)校計(jì)劃優(yōu)化課程，增加學(xué)生體育鍛煉時(shí)間，提高體質(zhì)健康水平，某體質(zhì)監(jiān)測(cè)中心抽取了該較10名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)試，得到如下表格：序號(hào)i12345678910成績(jī)（分）38414451545658647480記這10名學(xué)生體質(zhì)測(cè)試成績(jī)的平均分與方差分別為，，經(jīng)計(jì)算，．（1）求；（2）規(guī)定體質(zhì)測(cè)試成績(jī)低于50分為不合格，從這10名學(xué)生中任取3名，記體質(zhì)測(cè)試成績(jī)不合格的人數(shù)為X，求X的分布列；（3）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，高中生體質(zhì)測(cè)試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，用，的值分別作為，的近似值，若監(jiān)測(cè)中心計(jì)劃從全市抽查100名高中生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)試，記這100名高中生的體質(zhì)測(cè)試成績(jī)恰好落在區(qū)間的人數(shù)為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望．附：若，則，，．解：（1）．（2）因?yàn)轶w質(zhì)測(cè)試不合格的學(xué)生有3名，所以X的可能取值為0，1，2，3．因?yàn)椋訶的分布列為X0123P（3）因?yàn)?，所以．因?yàn)椋詫W(xué)生的體質(zhì)測(cè)試成績(jī)恰好落在區(qū)間得概率約為0.9545，故，所以．21.已知拋物線（p為常數(shù)，）．（1）若直線與H只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k；（2）貝塞爾曲線是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線．法國(guó)數(shù)學(xué)象卡斯特利奧對(duì)貝塞爾曲線進(jìn)行了圖形化應(yīng)用的測(cè)試，提出了DeCasteljau算法：已知三個(gè)定點(diǎn)，根據(jù)對(duì)應(yīng)的比例，使用遞推畫(huà)法，可以畫(huà)出拋物線．反之，已知拋物線上三點(diǎn)的切線，也有相應(yīng)成比例的結(jié)論．如圖，A，B，C是H上不同的三點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，證明：．（1）解：將代入，化簡(jiǎn)得（*），方程（*）的判別式，化簡(jiǎn)得，即．（2）證明：設(shè)，設(shè)拋物線在點(diǎn)處切線方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，，，，解得，故切線方程為，，，即，同理可求得拋物線上過(guò)點(diǎn)B，C的切線方程分別為：，，由過(guò)的切線方程兩兩聯(lián)立，可以求得交點(diǎn)D，E，F(xiàn)的橫坐標(biāo)分別為：，，，注意到結(jié)論中線段長(zhǎng)度的比例可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的橫坐標(biāo)的比例，得，命題得證．22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．（2）若在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（3）若的最小值為1，求a．解：（1），，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程，即．（2）因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，所以，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)