/上海市2024-2025學(xué)年高二下冊階段練習(xí)一（3月月考）數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）1.若事件、互斥，則______．【正確答案】0【分析】由互斥事件的概念即可求解；【詳解】因?yàn)槭录⒒コ?，所以，?2.已知為正整數(shù)．若，則______．【正確答案】【分析】利用排列數(shù)和組合數(shù)公式求解【詳解】由得,則,故3.已知，若雙曲線的右焦點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，則______．【正確答案】4【分析】先求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)求的值.【詳解】對雙曲線：焦點(diǎn)在軸上，且，，所以，所以，所以雙曲線的焦點(diǎn)為：，.所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.由.故44.將一斜邊長為2的等腰直角三角形以其一直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體的側(cè)面積為______．【正確答案】【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解即可.【詳解】因?yàn)閷⒁恍边呴L為2的等腰直角三角形以其一直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體為圓錐，且圓錐的底面半徑為：，圓錐的母線長為.所以圓錐的側(cè)面積為.故5.已知，空間向量，，．若，，共面，則______．【正確答案】3【分析】設(shè)，列出方程，可求的值.【詳解】因?yàn)?，，共面，所以，存在，使得，即，解?故.故36.的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為___________.【正確答案】7【詳解】試題分析：，令，則，所以常數(shù)項(xiàng)為.考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，考查二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)，通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力7.某同學(xué)做最后兩道選擇題，已知每道題均有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)答案正確，該學(xué)生隨意填寫兩個(gè)答案，則選對一題的概率是_______．【正確答案】##0.375【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理求出填寫兩道選擇題的情況數(shù)，由分類加法計(jì)數(shù)原理求出選對一題的情況數(shù)，再根據(jù)古典概型求概率即可．【詳解】填寫兩道選擇題，每道選擇題4個(gè)選項(xiàng)，則共有種情況，其中，選對一道的有2種情況，第一道選對第二道選錯(cuò)，有種情況，第一道選錯(cuò)第二道選對，有種情況，選對一道共有種情況，故選對一題的概率為：，故．8.若橢圓的長軸長、焦距、短軸長成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是________.【正確答案】##0.8【分析】依題意得到關(guān)于的齊次方程，求解即得離心率.【詳解】依題意，成等差數(shù)列，則有，，化簡并兩邊平方可得，，因，代入整理得，，解得.故答案為.9.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)為，過的直線與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn).若為等邊三角形，則的邊長為____________【正確答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的定義求解即可.【詳解】解：如圖，設(shè)的邊長為，，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，由雙曲線的方程知，所以由雙曲線的定義得，即，解得，.所以的邊長為.故答案.10.某停車場有一整排11個(gè)空車位．甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求每輛車左右兩側(cè)都有空車位且甲車在乙、丙兩車之間，則共有______種不同的停放方式．【正確答案】70【分析】利用插空排列的方法求解.【詳解】8個(gè)空位排法有1種，出現(xiàn)了7個(gè)空，從中選3個(gè)，把三輛車排好的方法有：種.其中甲車在乙、丙兩車之間的概率為.所以滿足條件排法種數(shù)為：種.故7011.長方體為不計(jì)容器壁厚度的密封容器，里面盛有體積為的水（未盛滿容器），已知，，．若將該密封容器任意擺放均不能使水面呈三角形，則的取值范圍是______．【正確答案】【分析】分別計(jì)算水量較少和水量較多時(shí)，水面呈三角形時(shí)的水的體積，然后可得答案.【詳解】如圖：水量較少，水面恰好為長方體的截面時(shí)，；水量較多，水面恰好為長方體的截面時(shí)，.因?yàn)樵撁芊馊萜魅我鈹[放均不能使水面呈三角形，所以的取值范圍是.故12.已知，從橢圓：外一點(diǎn)向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則直線稱為點(diǎn)關(guān)于橢圓的極線，其方程為．如圖，現(xiàn)有兩個(gè)橢圓、，中心都是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸都是坐標(biāo)軸，離心率分別為、，在內(nèi)，橢圓上的任意一點(diǎn)關(guān)于橢圓的極線為．若到的距離為定值1，則的最大值為______．【正確答案】##0.125【分析】根據(jù)定義寫出極線的方程，由距離公式列出一個(gè)方程，再結(jié)合點(diǎn)在橢圓上找到，的關(guān)系再進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)橢圓:，（），則.設(shè)橢圓:，（），則.設(shè)，由題意可得方程為：，因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離恒為1，所以.又因?yàn)闉闄E圓上的點(diǎn)，所以，所以，，所以，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，為.故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于把表示成函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的值域求解.二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13～14題每題4分，第15～16題每題5分）13.已知事件表示“3粒種子全部發(fā)芽”，事件表示“3粒種子都不發(fā)芽”，則和（）A.是對立事件 B.不是互斥事件C.互斥但不是對立事件 D.是不可能事件【正確答案】C【分析】利用互斥事件和對立事件的定義求解即可.【詳解】事件表示“3粒種子全部發(fā)芽”，事件表示“3粒種子都不發(fā)芽”，所以事件和事件不會同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，因?yàn)?粒種子可能只發(fā)芽1粒，所以事件和事件可以都不發(fā)生，則和不是對立事件.故選：C14.如圖，四面體中，，，、分別為、的中點(diǎn)．若異面直線與所成角的大小為，則的長為（）A. B. C. D.或【正確答案】D【分析】利用異面直線的夾角定義和余弦定理求解.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，在中，，且，在中，，且，因?yàn)楫惷嬷本€與所成角的大小為，所以直線的夾角為，則或，所以在中，當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，，得，當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，，得，故選：D.15.今天是星期五，小玲在參加數(shù)學(xué)考試，那么再過天后是星期（）A二 B.三 C.四 D.五【正確答案】A【分析】結(jié)合二項(xiàng)式定理求除以7的余數(shù)即可.【詳解】因?yàn)椋钥梢詫懗?，的形?所以除以7所得的余數(shù)為4.故天后為星期二.故選：A16.設(shè)函數(shù)的圖象由方程確定．對于函數(shù)，給出下列命題：①對于任意的且，恒有成立；②對于任意的，恒有成立；③在函數(shù)的圖像上可以找到一點(diǎn)，使得到原點(diǎn)的距離小于．則其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【正確答案】B【分析】分類討論去絕對值可得函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象以及橢圓和雙曲線的性質(zhì)可得答案.【詳解】當(dāng)，時(shí)，方程可化為，是橢圓的一部分；當(dāng)，時(shí)，方程可化為，是雙曲線的一部分；當(dāng)，時(shí)，方程可化為，無解；當(dāng)，時(shí)，方程可化為，是雙曲線一部分.所以函數(shù)的圖象的圖象如下：由圖可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，故①錯(cuò)誤；因?yàn)殡p曲線和的漸近線均為，所以fx>?2由橢圓、雙曲線的性質(zhì)可知，函數(shù)圖象上，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最近，為，故③錯(cuò)誤.所以只有②正確.故選：B關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分類討論去絕對值，作出方程所確定的圖象，利用圖象求解是解題關(guān)鍵.三、解答題（本大題共5題，滿分78分）17.已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求線段的垂直平分線的方程；（2）設(shè)．動點(diǎn)滿足，記的軌跡為曲線．若曲線與圓：外切，求的值．【正確答案】（1）（2）【分析】(1)設(shè)的中點(diǎn)為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算直線的斜率，即可得直線的斜率，由點(diǎn)斜式即可得直線的方程；（2）設(shè)，由得曲線的方程，最后由曲線和圓外切即可求解.【小問1詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式有，則，，設(shè)直線的斜率，則，所以，所以線段的垂直平分線的方程為.【小問2詳解】設(shè)，則由已知有，由有：，所以圓，圓心，圓，圓心，因?yàn)閳A和圓外切，所以，解得，因?yàn)?，所?18.設(shè)．已知．（1）當(dāng)時(shí)，求的展開式中項(xiàng)的系數(shù)；（2）若，求，，，…，中的最大值．【正確答案】（1）（2）5【分析】（1）由中項(xiàng)得系數(shù)和的系數(shù)即可求解；（2）由通項(xiàng)公式得到求解即可；【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，中項(xiàng)得系數(shù)為，的系數(shù)為，所以的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為；【小問2詳解】由，，，又，所以，解得：，假設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，即，即，可得：，即第3項(xiàng)系數(shù)最大，也即最大；19.已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍(lán)球共6個(gè)．若從中隨機(jī)抽取一球，得到紅球或黃球的概率是，得到黃球或藍(lán)球的概率是．（1）求盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個(gè)數(shù)；（2）將這6個(gè)紅球、黃球、藍(lán)球按照“紅、黃、藍(lán)”的順序依次編號為1，2，3，4，5，6．現(xiàn)在從盒中有放回的隨機(jī)抽取兩次，每次抽取一球．將第一、二次取出的小球的編號分別記為，．①寫出一個(gè)等可能的樣本空間；②設(shè)置游戲規(guī)則如下：若取出的兩個(gè)球中有黃球或編號之和不小于9則甲勝，否則乙勝．試從甲或乙獲勝的概率角度，判斷這個(gè)游戲是否公平．【正確答案】（1）盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個(gè)數(shù)分別為：2,1,3.（2）①答案見解析；②不公平【分析】（1）根據(jù)古典概型的計(jì)算公式求盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個(gè)數(shù).（2）①根據(jù)題意，列出樣本空間即可；②結(jié)合古典概型，分別求出甲乙獲勝的概率，即可作出判斷.【小問1詳解】設(shè)盒中紅球個(gè)，黃球個(gè)，則籃球（）個(gè)，由題意.所以盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個(gè)數(shù)分別為：2,1,3.【小問2詳解】①因?yàn)槭怯蟹呕氐碾S機(jī)抽取兩次，每次抽取一球，所以樣本空間為：，其中包含個(gè)樣本點(diǎn)，并且每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相同.②因?yàn)榧t球的編號為1,2，黃球的編號為3，籃球的編號為4,5,6.根據(jù)規(guī)則，甲獲勝的樣本點(diǎn)有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19個(gè)樣本點(diǎn)，所以甲獲勝的概率為，從而乙獲勝的概率為.因?yàn)?，所以這個(gè)游戲不公平.20.已知，，等軸雙曲線：的左、右頂點(diǎn)分別為、，左、右焦點(diǎn)分別為、，且．點(diǎn)為雙曲線的左支上異于點(diǎn)的一個(gè)動點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)，直線交雙曲線的右支于點(diǎn)．試判斷直線與直線的交點(diǎn)是否在一條定直線上？若是，請求出該直線的方程；若不是，請說明理由．【正確答案】（1）（2）或（3）直線與直線交點(diǎn)在一條定直線上上.【分析】（1）根據(jù)等軸雙曲線的概念，結(jié)合，可求的值，得雙曲線的方程.（2）先判斷點(diǎn)在圓上，列方程，解方程組可得點(diǎn)坐標(biāo).（3）設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，消去，利用韋達(dá)定理表示出，，再表示出直線與，探索兩直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是不是定值即可.【小問1詳解】由題意.所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】因?yàn)?，所以在以為圓心，以為半徑的圓上.由或.所以或.【小問3詳解】如圖：因?yàn)榕c不重合，所以直線的斜率不為0，故可設(shè)直線的方程為，，.因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的左支上，故.聯(lián)立得.當(dāng)時(shí)，顯然直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，故，當(dāng)時(shí)，.故，，則，故.易得，，則，所以直線的方程為，，所以直線的方程為：，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足：，顯然，由題意得：，，則，則.故點(diǎn)在定直線上.21.已知拋物線：和圓：，拋物線的焦點(diǎn)為．（1）求的圓心到拋物線的準(zhǔn)線的距離；（2）設(shè)點(diǎn)在拋物線上，且滿足，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，求四邊形的面積的取值范圍；（3）如圖，若直線與拋物線和圓依次交于、、、四點(diǎn)，證明：“”的充要條件是“直線的方程為”．【正確答案】（1）4（2）（3）證明見解析【分析】（1）分別求出圓心和準(zhǔn)線方程即可求解.（2）根據(jù)條件可表示出四邊形的面積，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得解.（3）從充分性和必要性兩個(gè)方面進(jìn)行證明即可.