/湖南省岳陽(yáng)市岳陽(yáng)縣2024屆高三下冊(cè)4月期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若集合，則的元素個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．已知在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．設(shè)，則“”是“為奇函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．林業(yè)部門(mén)規(guī)定：樹(shù)齡500年以上的古樹(shù)為一級(jí)，樹(shù)齡300～500年之間的古樹(shù)為二級(jí)，樹(shù)齡100～299年的古樹(shù)為三級(jí)，樹(shù)齡低于100年不稱為古樹(shù)．林業(yè)工作者為研究樹(shù)木年齡，多用年輪推測(cè)法，先用樹(shù)木測(cè)量生長(zhǎng)錐在樹(shù)干上打孔，抽取一段樹(shù)干計(jì)算年輪個(gè)數(shù)，由經(jīng)驗(yàn)知樹(shù)干截面近似圓形，年輪寬度依次構(gòu)成等差數(shù)列．現(xiàn)為了評(píng)估某棵大樹(shù)的級(jí)別，特測(cè)量數(shù)據(jù)如下：樹(shù)干周長(zhǎng)為3.14米，靠近樹(shù)芯的第5個(gè)年輪寬度為0.4cm，靠近樹(shù)皮的第5個(gè)年輪寬度為0.2cm，則估計(jì)該大樹(shù)屬于（

）A．一級(jí) B．二級(jí) C．三級(jí) D．不是古樹(shù)5．如圖，在中，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AD上靠近D，A的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．6．在正三棱柱中，，，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)在上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知定義在上的函數(shù)滿足，，且當(dāng)時(shí)，，，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．大年除夕吃年夜飯是中國(guó)古老的民俗傳統(tǒng)，唐朝詩(shī)人孟浩然曾寫(xiě)下“續(xù)明催畫(huà)燭，守歲接長(zhǎng)筵”這樣的詩(shī)句．為了解某地區(qū)居民的年夜飯消費(fèi)金額，研究人員隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)100個(gè)家庭，所得金額統(tǒng)計(jì)如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．可以估計(jì)，該地區(qū)年夜飯消費(fèi)金額在家庭數(shù)量超過(guò)總數(shù)的三分之一B．若該地區(qū)有2000個(gè)家庭，可以估計(jì)年夜飯消費(fèi)金額超過(guò)2400元的有940個(gè)C．可以估計(jì)，該地區(qū)家庭年夜飯消費(fèi)金額的平均數(shù)不足2100元D．可以估計(jì)，該地區(qū)家庭年夜飯消費(fèi)金額的中位數(shù)超過(guò)2200元10．已知，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．兩圓位置關(guān)系是相交B．兩圓的公共弦所在直線方程是C．上到直線的距離為的點(diǎn)有四個(gè)D．若為上任意一點(diǎn)，則11．已知圓錐的頂點(diǎn)為S，高為1，底面圓的直徑，B為圓周上不與A重合的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．圓錐的側(cè)面積為B．面積的最大值為C．直線SB與平面SAC所成角的最大值為D．若B是的中點(diǎn)，則的最小值為12．下列說(shuō)法中，其中正確的是（

）A．命題：“，”的否定是“，”B．化簡(jiǎn)的結(jié)果為C．D．在三棱錐中，，，點(diǎn)D是側(cè)棱的中點(diǎn)，且，則三棱錐的外接球的體積為．三、填空題（本大題共4小題）13．已知展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為128，則展開(kāi)式中的系數(shù)為．14．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為．15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)A在C的左支上，交C的右支于點(diǎn)B，，，則C的焦距為，的面積為．16．經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與橢圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A垂直于AB的直線與C交于點(diǎn)D，直線DB與y軸相交于點(diǎn)E，若，則C的離心率為．四、解答題（本大題共6小題）17．已知首項(xiàng)為3的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.19．近年來(lái)，一種全新的營(yíng)銷模式開(kāi)始興起——短視頻營(yíng)銷．短視頻營(yíng)銷以短視頻平臺(tái)為載體，通過(guò)有限時(shí)長(zhǎng)，構(gòu)建一個(gè)相對(duì)完整的場(chǎng)景感染用戶，與用戶產(chǎn)生吸引、了解、共鳴、互動(dòng)、需求的心理旅程．企業(yè)通過(guò)短視頻作為營(yíng)銷渠道，打通新的流量入口，挖掘受眾群體，獲得新的營(yíng)銷空間．某企業(yè)準(zhǔn)備在三八婦女節(jié)當(dāng)天通過(guò)“抖音”和“快手”兩個(gè)短視頻平臺(tái)進(jìn)行直播帶貨．(1)已知小李3月7日選擇平臺(tái)“抖音”、“快手”購(gòu)物的概率分別為0.6，0.4，且小李如果第一天選“抖音”平臺(tái)，那么第二天選擇“抖音”平臺(tái)的概率為0.6；如果第一天選擇“快手”平臺(tái)，那么第二天選擇“抖音”平臺(tái)的概率為0.7．求3月8日小李選擇“抖音”平臺(tái)購(gòu)物的概率；(2)三八婦女節(jié)這天，“抖音”平臺(tái)直播間進(jìn)行秒殺搶購(gòu)活動(dòng)，小李一家三人能下單成功的概率分別為，，0.5，三人是否搶購(gòu)成功互不影響．若X為三人下單成功的總?cè)藬?shù)，且，求p的值及X的分布列．20．為了推進(jìn)產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)，加強(qiáng)自主創(chuàng)新，發(fā)展高端制造?智能制造，把我國(guó)制造業(yè)和實(shí)體經(jīng)濟(jì)搞上去，推動(dòng)我國(guó)經(jīng)濟(jì)由量大轉(zhuǎn)向質(zhì)強(qiáng)，許多企業(yè)致力于提升信息化管理水平.一些中小型工廠的規(guī)模不大，在選擇管理軟件時(shí)都要進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì).某一小型工廠自己沒(méi)有管理軟件的高級(jí)技術(shù)員，欲購(gòu)買(mǎi)管理軟件服務(wù)公司的管理軟件，并讓其提供服務(wù)，某一管理軟件服務(wù)公司有如下兩種收費(fèi)方案.方案一：管理軟件服務(wù)公司每月收取工廠4800元，對(duì)于提供的軟件服務(wù)，每次另外收費(fèi)200元；方案二：管理軟件服務(wù)公司每月收取工廠7600元，若每月提供的軟件服務(wù)不超過(guò)15次，不另外收費(fèi)，若超過(guò)15次，超過(guò)部分的軟件服務(wù)每次另外收費(fèi)500元.（1）設(shè)管理軟件服務(wù)公司月收費(fèi)為y元，每月提供的軟件服務(wù)的次數(shù)為x，試寫(xiě)出兩種方案中y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）該工廠對(duì)該管理軟件服務(wù)公司為另一個(gè)工廠過(guò)去20個(gè)月提供的軟件服務(wù)的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖，該工廠要調(diào)查服務(wù)質(zhì)量，現(xiàn)從服務(wù)次數(shù)為13次和14次的月份中任選3個(gè)月求這3個(gè)月，恰好是1個(gè)13次服務(wù)?2個(gè)14次服務(wù)的概率；（3）依據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，把頻率視為概率從節(jié)約成本的角度考慮該工廠選擇哪種方案更合適，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)上的點(diǎn)滿足直線、的斜率之積為．(1)求的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)且不與軸垂直的直線與交于、兩點(diǎn)，記直線、交于點(diǎn)．探究：點(diǎn)是否在定直線上，若是，求出該定直線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．已知函數(shù)（）.（1）若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，求的取值范圍.

答案1．【正確答案】C【詳解】由題意得，，故，即共有4個(gè)元素，故選：C．2．【正確答案】B【詳解】若，則或，由于在三角形中，所以或，故或，當(dāng)時(shí)，則，但時(shí)，關(guān)系不確定；反過(guò)來(lái)，若，則必有，．故“”是“”的必要不充分條件，故選：B3．【正確答案】A【詳解】若為奇函數(shù)，則，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，“”是“為奇函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A．4．【正確答案】C【詳解】設(shè)樹(shù)干的截面圓的半徑為，樹(shù)干周長(zhǎng)，，從內(nèi)向外數(shù)：，，，∴年，所以為三級(jí).故選:C5．【正確答案】C【詳解】，則①；，則②；①②兩式相加，，即，故選：C.6．【正確答案】B【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，為等邊三角形，所以，因?yàn)?，，，平面，所以平面，所以以為球心，為半徑的球面與平面的交線為以為圓心的圓，由，可得交線即以為圓心，為半徑的圓弧，設(shè)該圓弧與，分別相交于點(diǎn)M，N，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋运?，故交線長(zhǎng).故選：B.7．【正確答案】D【詳解】由題意得，，令，解得．，，函數(shù)在上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則，，解得．故選：D．8．【正確答案】B【詳解】由題知，定義在上的函數(shù)滿足，，且當(dāng)時(shí)，，，所以，即，又，所以為上的奇函數(shù)，設(shè)，，所以為上的增函數(shù)，因?yàn)椋?，因?yàn)闉樯系呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，，所以，所以，故選：B．9．【正確答案】ABD【詳解】由題意得，年夜飯消費(fèi)金額在的頻率為，故A正確；若該地區(qū)有2000個(gè)家庭，可以估計(jì)年夜飯超過(guò)2400元的家庭個(gè)數(shù)為，故B正確；平均數(shù)為（元），故C錯(cuò)誤；中位數(shù)為（元），故D正確．故選：ABD．10．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于A，由，即，其圓心為，半徑為，，即，其圓心為，半徑為，則兩圓的圓心距為，則，即兩圓相交，故A正確；對(duì)于B，聯(lián)立兩圓的方程，化簡(jiǎn)得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由到直線的距離為，且，所以上到直線的距離為的點(diǎn)有四個(gè)，故C正確；對(duì)于D，依題意得的幾何意義為到上點(diǎn)的距離的平方的最大值，所以結(jié)合選項(xiàng)A得，故D正確．故選：ACD．11．【正確答案】AC【詳解】圓錐的底面圓的半徑，圓錐的母線長(zhǎng)為，則圓錐的側(cè)面積為，故A正確；如圖，平面為圓錐的軸截面，為底面圓心，則，，，，，設(shè)，則，故B不正確；根據(jù)圓錐的結(jié)構(gòu)特征可知，點(diǎn)在平面上的投影在上，又為定值，則當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，直線SB與平面SAC所成角的最大，所以當(dāng)B是弧AC的中點(diǎn)時(shí)，直線SB與平面SAC所成角的最大，由知，此時(shí)B到平面SAC距離為，又因?yàn)楦邽?，所以直線SB與平面SAC所成角的最大值為，故C正確；當(dāng)B是弧AC的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)為等腰三角形，為等腰直角三角形，將、沿AB展開(kāi)至同一個(gè)平面，得到如圖所示的平面圖形，取AB的中點(diǎn)D，連接SC、SD，則，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)S，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤．故選：AC．12．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于A：命題：“”的否定是“”，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：如圖所示，

由，，則，得，由是的中點(diǎn)，，所以△為等邊三角形且，又，所以，得，又，平面，所以平面.設(shè)球心為且在過(guò)△中心垂直于面的垂線上，點(diǎn)到底面的距離為，由正弦定理得的外接圓半徑，球的半徑，所以三棱錐的外接球的體積為，故D正確.故選：BCD.13．【正確答案】945【詳解】令，則，解得，故展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故展開(kāi)式中的系數(shù)為．故14．【正確答案】240【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，則常數(shù)項(xiàng)為.故24015．【正確答案】【詳解】取AB的中點(diǎn)M，則，，，，是等腰三角形，，設(shè)，由雙曲線的定義得，，，在中，，，．在中，，解得，則雙曲線C的焦距為；，的面積為；故①，②.16．【正確答案】/【詳解】解：設(shè)直線BD的方程為，，則，由，得，顯然存在，使得，故由韋達(dá)定理得，因?yàn)?，則，即，則，因?yàn)?，所以，即，即，化?jiǎn)得，所以，故答案為.17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）由題意得，，即，故，即，又，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知，，即．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，故．18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，∴，兩式相減得.∴，又，，解得，∴，則的通項(xiàng)公式為；（2）∵，∴，，19．【正確答案】(1)0.64(2)0.4；分布列見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)“第一天選擇‘抖音’平臺(tái)”，“第一天選擇‘快手’平臺(tái)”，“第二天選擇‘抖音’平臺(tái)”，則，則．（2）由題意得，X的取值為0，1，2，3，且，，，，所以，解得．

故X的分布列為X0123P0.060.340.440.1620．【正確答案】（1）方案一：y=200x+4800，x∈N，方案二：；（2）；（3）從節(jié)約成本的角度考慮，該工廠選擇方案一更合適，理由見(jiàn)解析.【詳解】解：（1）由題意知，方案一：中管理軟件服務(wù)公司的月收費(fèi)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=200x+4800，x∈N，方案二：當(dāng)，時(shí)，，所以管理軟件服務(wù)公司的月收費(fèi)y與x的函數(shù)關(guān)系為：y=（2）記選擇的3個(gè)月恰好是1個(gè)13次服務(wù)?2個(gè)14次服務(wù)為事件A，則P(A)==.（3）對(duì)于方案一，設(shè)管理軟件服務(wù)公司的月收費(fèi)為ξ元，由條形統(tǒng)計(jì)圖得ξ的取值為7400，7600，7800，8000，8200，P(ξ=7400)=0.1，P(ξ=7600)=0.4，P(ξ=7800)=0.1，P(ξ=8000)=0.2，P(ξ=8200)=0.2，∴ξ的分布列為：ξ74007600780080008200P0.10.40.10.20.2E(ξ)=7400×0.1+7600×0.4+7800×0.1+8000×0.2+8200×0.2=7800.對(duì)于方案二，設(shè)管理軟件服務(wù)公式的月收費(fèi)為η元，由條形統(tǒng)計(jì)圖得η的可能取值為7600，8100，8600，P(η=7600)=0.6，P(η=8100)=0.2，P(η=8600)=0.2，∴η的分布列為：η760081008600P0.60.20.2E(η)=7600×0.6+8100×0.2+8600×0.2=7900.∵E(ξ)<E(η)，∴從節(jié)約成本的角度考慮，該工廠選擇方案一更合適.21．【正確答案】(1)(2)點(diǎn)在定直線上【詳解】（1）解：設(shè)，則，且，所以，，則，故①，又②，

聯(lián)立①②，解得，，故