第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年江西省宜春市豐城九中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={2,3,4}，B={3,4,5}，則A∩B=(

)A.{3} B.{3,4} C.{2,3,4} D.{2,3,4,5}2.已知復(fù)數(shù)z=a2?4+(a?2)i是純虛數(shù)，則實數(shù)a=A.0 B.±2 C.2 D.?23.函數(shù)f(x)=2x?1的定義域是(

)A.(12,+∞) B.[12,+∞)4.已知函數(shù)f(x)=ln(x?1)+1,x>1f(x+1),x≤1，則f(1)的值為A.0 B.1 C.2 D.35.已知扇形的半徑為4cm，弧長為2cm，則此扇形的圓心角(正角)的弧度數(shù)是(

)A.14 B.12 C.346.已知命題p：a>b>0，命題q：2a>2b，則命題p是命題qA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知平面向量a，b是不共線的兩個向量，AB=a+2b，AC=4aA.A，B，C三點共線 B.A，B，D三點共線

C.A，C，D三點共線 D.B，C，D三點共線8.已知α，β，γ∈(0,π2),α+β+γ=π,tanγ=34，則A.3 B.5 C.9 D.25二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.a，b是兩條異面直線，A，B在直線a上，C，D在直線b上，A、B、C、D四點互不相同，則下列結(jié)論一定不成立的是(

)A.A、B、C、D四點共面 B.AC/?/BD

C.AC與BD相交 D.AC=BD10.已知平面向量a=(1,cosθ)，b=(?2,sinθ)，則(

)A.?θ∈R，a，b不垂直

B.?θ∈R，使得a，b共線

C.當(dāng)θ=π4時，|a+b|=3

D.當(dāng)θ=011.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx?π6)(ω>0)與A.函數(shù)f(x+π6)為奇函數(shù) B.θ=π3

C.直線x=π3是g(x)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.函數(shù)f(x)=x+1x?413.甲、乙兩人獨立地攻克一道難題，已知兩人能攻克的概率分別是13和25，則該題被攻克的概率為______．14.如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E是線段AB四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(2sinx,cosx)，b=(cosx,2cosx)，且函數(shù)f(x)=a?b．

(1)若f(x)=2，x∈[0,π2]，求x16.(本小題15分)

已知△ABC，其內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且1sinA=2cosB2sinC+sinB．

(1)求A；

(2)若c=3，S△ABC=317.(本小題15分)

設(shè)函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,?π<φ<0)，該函數(shù)圖像上相鄰兩個最高點間的距離為4π，且f(x)為奇函數(shù)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(2a?c)cosB=bcosC18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠BAD=π3，PB=2AB=2，PB⊥BD，CD⊥平面PBD，點N在棱PC上．

(1)求PA；

(2)若PA//平面BDN，求三棱錐N?PAD的體積；

(3)若二面角N?BD?C的大小為π4，求19.(本小題17分)

設(shè)平面內(nèi)兩個非零向量m，n的夾角為θ(θ≠π2)，定義一種新運算“?”：m?n=|m||n|tanθ．

(1)已知向量|a|=2，|b|=3，a?b=2，求a?b；

(2)設(shè)向量a=(x答案解析1.【答案】B

【解析】解：∵集合A={2,3,4}，B={3,4,5}，

∴A∩B={3,4}．

故選：B．

利用交集定義求解．

本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題．2.【答案】D

【解析】解：因為復(fù)數(shù)z=a2?4+(a?2)i是純虛數(shù)，

所以a2?4=0且a?2≠0，解得a=?2．

故選：D．

由題意可得a3.【答案】B

【解析】解：由已知條件可得2x?1≥0，解得x≥12，

所以函數(shù)f(x)=2x?1的定義域是[12,+∞)．

4.【答案】B

【解析】解：因為f(x)=ln(x?1)+1,x>1f(x+1),x≤1，

根據(jù)題意得，f(1)=f(2)=ln1+1=1，

故選：B．

5.【答案】B

【解析】解：由題意扇形的半徑為4cm，弧長為2cm，

設(shè)扇形的圓心角為α，

則由扇形的弧長公式l=αR，可得α=lR=24=12．6.【答案】A

【解析】解：若a>b>0，則2a>2b一定成立，即充分性成立；

但2a>2b時，可得a>b，但無法判斷a>b>0，即必要性不成立．7.【答案】D

【解析】解：AB=a+2b，AC=4a?4b，

則CB=AB?AC=(?3a+6b)=3CD，二者有公共點C，

故B，C，8.【答案】C

【解析】解：α，β∈(0,π2)，則tanα>0，tanβ>0，

依題意，得tanγ=?tan(α+β)=tanα+tanβtanαtanβ?1=34，

整理，得tanα+tanβ=34(tanαtanβ?1)≥2tanαtanβ(當(dāng)且僅當(dāng)tanα=tanβ時取等號)，

即(9.【答案】ABC

【解析】解：a，b是兩條異面直線，A，B在直線a上，C，D在直線b上，A、B、C、D四點互不相同，

當(dāng)AC/?/BD或AC與BD相交時，A、B、C、D四點共面，

此時直線a與b共面時，不符合題意，故A、B、C錯誤，

對于D，如圖，在正方體中，若異面直線a，b為圖中兩條直線時，

且A，D為所在棱的中點，B，C為正方體的頂點，此時AC=BD．

故選：ABC．

根據(jù)異面直線的特點結(jié)合平面性質(zhì)公理判斷各選項即可．

本題考查的知識點：空間直線的位置關(guān)系，主要考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．10.【答案】ABD

【解析】解：∵a=(1,cosθ)，b=(?2,sinθ)，

∴a?b=?2+sinθcosθ，又sinθcosθ=12sin2θ∈[?12,12]，

∴a?b=[?52,?32]≠0，即?θ∈R，a，b不垂直，故A正確；

若a，b共線，則sinθ+2cosθ=0，即tanθ=?2，則?θ∈R，使得a，b共線，故B正確；

當(dāng)θ=π4時，a+b=(?1,2)，|a+11.【答案】BD

【解析】解：因為f(x)=sin(ωx?π6)(ω>0)與g(x)=cos(4x+θ)(|θ|<π2)的圖象的對稱中心完全相同，

所以ω=4，f(x)=sin(4x?π6)，其中一個對稱中心為(π24,0)，

則cos(4×π24+θ)=0，

所以π6+θ=π2+kπ，k∈Z，

因為|θ|<π2，

所以θ=π3，g(x)=cos(4x+π3)，12.【答案】2

【解析】【分析】本題考查函數(shù)的零點，方程根的個數(shù)，屬于中檔題．

令f(x)=x+1x?4=0等價于求函數(shù)y=【解答】解：令f(x)=x+1x?4=0，則1x=4?x，

等價于在同一坐標(biāo)中作出y=1x與所以y=1x與y=4?x交點有故答案為：2．13.【答案】35【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)甲、乙兩人能攻克該難題分別為事件A、B，

則P(A)=13，P(B)=25，

則該題沒有被攻克，即甲乙都沒有攻克，其概率P(A?B?)=P(A?)P(B?)=(1?13)(1?214.【答案】2【解析】【分析】本題考查二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．

過點C作CF⊥DE于F，連結(jié)C1F，說明∠C1FC就是二面角C?DE?C1【解答】

解：過點C作CF⊥DE于F，連結(jié)C1F，

因為ABCD?A1B1C1D1是長方體，故C??1C⊥平面CDE，

因為DE?平面CDE，所以DE⊥C1C，

又CF∩C1C=C，CF,CC1?平面CC1F，

所以DE⊥平面C1CF，

又C1F?15.【答案】x=π4；

[0,π【解析】(1)a=(2sinx,cosx)，b=(cosx,2cosx)，

則f(x)=a?b=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π4)+1，

由f(x)=2，得2sin(2x+π4)+1=2，則sin(2x+π4)=22，

∵x∈[0,π2]，∴2x+π4∈[π4,5π4]，則2x+π4=3π416.【答案】A=2π3；

AD=【解析】(1)由題意可得2sinC+sinB=2sinAcosB，

所以2sinBcosA+2cosBsinA+sinB=2sinAcosB，

可得2sinBcosA+sinB=0，且B∈(0,π)，則sinB≠0，

可得cosA=?12，且A∈(0,π)，

所以A=2π3；

(2)如圖：

因為c=3，A=2π3，

由S△ABC=12bcsinA=332，所以12×3×b×32=332，解得b=2，

在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2?2bccosA=4+9?2×2×3×(?12)=19，則a=19，

又D為BC邊上的中點，所以BD=192，17.【答案】f(x)=2sin12x【解析】(1)由函數(shù)圖像上相鄰兩個最高點間的距離為4π，可得2πω=4π，解得ω=12，

所以f(x)=2cos(12x+φ)，

又因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(0)=2cosφ=0，即φ=kπ+π2，又?π<φ<0，所以φ=?π2，

所以f(x)=2sin12x；

(2)因為(2a?c)cosB=bcosC，

由正弦定理得(2sinA?sinC)cosB=sinBcosC，

所以2sinAcosB?sinCcosB=sinBcosC，

所以2sinAcosB=sin(B+C)=sinA≠0，

所以cosB=12，B=π3，則A+C=2π3，

由(1)知f(x)=2sin12x，

所以f2(A)+f218.【答案】證明見解析．

36．

2【解析】(1)證明：因為CD⊥平面PBD，CD?平面ABCD，所以平面PBD⊥平面ABCD，

又因為PB⊥BD，PB?平面PBD，平面PBD∩平面ABCD=BD，所以PB⊥平面ABCD，

又因為AB?平面ABCD，所以PB⊥AB，所以三角形PAB為直角三角形，

所以PA2=PB2+AB2=5，即PA=5．

(2)連接AC與BD交于點O，連接NO，

因為P/?/平面BDN，PA?平面PAC，平面PAC∩平面BDN=NO，

所以PA//NO，可知N為PC的中點，而CD⊥平面PBD，BD?平面PBD，因此CD⊥BD，

在三角形BCD中，CD=AB=1，∠BCD=∠BAD=π3，∠BDC=π2，

所以BD=3，AD=BC=2，∠ADC=2π3，

所以VN?PAD=12VC?PAD=12VP?ACD=12×13×PB×12×DA×DC×sin∠ADC

=12×13×2×12×2×1×32=36．

(3)根據(jù)題意知PB⊥平面ABCD，過點N作PB的平行線交BC于點H，

所以NH⊥平面ABCD，再作HK⊥BD(K為垂足)，

由于DB?平面ABCD，因此NH⊥DB，而NH∩KH=H，NH，KH?平面NHK，

因此BD⊥平面NHK，而NK?平面NHK，因此BD⊥NK，

所以∠NHK為二面角N?BD?C的平面角，∠NKH=π4，

根據(jù)第