專(zhuān)題1.2勾股定理的逆定理【八大題型】

【北師大版】

?題型梳理

【題型1判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】...........................................................1

【題型2圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)】..................................................3

【題型3在網(wǎng)格中判斷直角三角形】..............................................................6

【題型4勾股數(shù)的探究】.........................................................................9

【題型5利用勾股定理的逆定理證明］............................................................13

【題型6利用勾股定理的逆定理求解】............................................................16

【題型7勾股逆定理的應(yīng)用】....................................................................19

【題型8勾股定理及其逆定理的綜合】............................................................23

?舉一反三

【知識(shí)點(diǎn)勾股定理的逆定理】

如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿(mǎn)足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形就是直角三角形.

【題型1判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】

【例1】（2023春?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？计谥校┯删€(xiàn)段心力、c組成的三角形是直角三角

形的是（）

A.a=5,b=3,c=3B.a==^,c=-

354

C.a=6,b=4,c=5D.a=7,b=24,c=25

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：A、32+32=18工V,故不能組成直角三角形，故不合題意；

B、GY+GY=募*6）：故不能組成直角三角形，故不合題意；

C、42+52=41*62,故不能組成直角三角形，故不合題意；

D、72+242=625=252,故不能組成直角三角形，故不合題意：

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

【變式1-11（2023春?湖北孝感?八年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且滿(mǎn)足（a+b）（Q-b）=

c2,則這個(gè)三角形是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.不確定

【答案】B

【分析】將原式整理為。2=垓+,2,即可判斷.

【詳解】解：?；（a+b）（a-b）=<2,

_^2-^2.,

?\&2=匕2+c2,

???這個(gè)三角形是直角三角形；

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理和平方差公式，熟練掌握勾股定理逆定理、得出。2=爐+02是解題

的關(guān)鍵.

【變式"2】（2023春?八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，以△A3C的兩邊BC、AC分別向外作正方形，它們的面積分

別是Si，S2,若Si=2,52=3,4/=5,則△ABC的形狀是_______三角形.

【答案】直角

【分析】根據(jù)正方形的面積公式結(jié)合勾股定理的逆定理即可得出答案.

【詳解】解：??§=2,52=3,

：.BC2=2,AC2=3,

'：AB2=5,

.'.AC2+BC2=AB2,

是直角三角形，

故答案為：直角.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理和正方形面積的應(yīng)用，理解勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3］（2023春?廣東惠州?八年級(jí)校考期中）有四種說(shuō)法：①三個(gè)內(nèi)角之比為5:6:1；②三邊形長(zhǎng)分別

為：V2,V7,V5；③三邊之長(zhǎng)為9、40、41；④三邊之比為1.5：2：3.其中星直角三角形的有

（填序號(hào)）.

【答案】①②③

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和勾股定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???三角形三個(gè)內(nèi)角之比為5:6:1,

???三角形最大的內(nèi)角為180。x-^―=90°,

5+6+1

???該二角形為直角三角形，故①正確；

???（仞2+（同2=（⑺2,

??.該三角形為直角三角形，故②正確；

V92+402=412,

???該三角形為直角三角形，故③正確;

V1.52+22H32,

???該三角形不是直角三角形，故④錯(cuò)誤:

故答案為：①?@.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，勾股定理得逆定理，熟知三角形內(nèi)角和為180度和勾股定理的

逆定理是解題的關(guān)鍵.

【題型2圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)】

【例2】（2023春.全國(guó).八年級(jí)專(zhuān)電練習(xí)）同一平面內(nèi)有4B,C三點(diǎn)，A,8兩點(diǎn)之間的距離為5cm,點(diǎn)C到

直線(xiàn)的距離為2cm,且△71BC為直角三角形，則滿(mǎn)足上述條件的點(diǎn)C有個(gè).

【答案】8

【分析】該題存在兩種情況：（1）48為斜邊，則NC=90。：（2）A8為直角邊，AC=Icrn^BC=2cm；

【詳解】⑴當(dāng)4B為斜邊時(shí)，點(diǎn)C到直線(xiàn)48的距離為2cm,即AB邊上的高為2cm,符合要求的。點(diǎn)有4

個(gè)，如圖：

（2）當(dāng)A3為直角邊時(shí)，AC=2cm或BC=2cm,符合條件的點(diǎn)有4個(gè)，如圖;

符合要求的C點(diǎn)有8個(gè)；

故答案是8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1]（2023春?八年級(jí)單元測(cè)試）在如圖所示的5x5的方格圖中，點(diǎn)4和點(diǎn)B均為圖中格點(diǎn).點(diǎn)C

也在格點(diǎn)上，滿(mǎn)足△48c為以力8為斜邊的直角三角形.這樣的點(diǎn)C有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】結(jié)合網(wǎng)格的性質(zhì)和直角三角形的判定找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可.

【詳解】解：如圖，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C共有4個(gè)，

C：C：

【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，正確進(jìn)行討論，把每種情況考慮全，是解決本題的關(guān)鍵.

【變式2-2]（2023春?全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）點(diǎn)A（2,〃?），B（2,m-5）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐

標(biāo)原點(diǎn).若△48。是直角三角形，則機(jī)的值不可能是（）

A.4B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】分NOAB=90。，ZOBA=90°,NAOB=90。三種情況考慮：當(dāng)NOAB=90。時(shí)，點(diǎn)A在x軸上，進(jìn)

而可得出m=（）：當(dāng)N0BA=9（）。時(shí)，點(diǎn)B在x軸上，進(jìn)而可得出m=5；當(dāng)/A0B=9（）。時(shí)，利用勾股定理

可得出關(guān)于m的一元二次方程，蟀之即可得出m的值.綜上，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)即可得出結(jié)論.

【詳解】

解.：分三種情況考慮（如圖所示）：

當(dāng)NOBA=90。時(shí)，m—5=0,解得：m=5；

當(dāng)NAOB=90°時(shí)，AB2=OA2+OB2,即25=4+m2+4+m2-10m+25,

解得：mi=I,m2=4.

綜上所述：m的值可以為0,5,1,4.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及勾股定理，分NOAB=90。，NOBA=90。，NAOB=90。三種情況

求出m的值是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3】（2023春?全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)4B在小正

方形的頂點(diǎn)上，在圖中畫(huà)ZL4BC（點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上），使為直角三角形，并說(shuō)明理由.（要求

【答案】ZL48C為直角三角形，理由詳見(jiàn)解析.

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理和勾股定理進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解:如圖所示.

如圖1,在d48c中，

AC=5,BC=3,

AB2=32+52=34

因?yàn)锳C?+BC2=52+32=34=AB2t

所以乙4C8=90°,

即ZL4BC為直角三角形.

如圖2,在RS4CD中，

AC2=CD2+AD2=I2+l2=2.

在KMBCE中，CB2=CE2+BE2=42+42=32.

在RCZL489中，AB2=AF2+BF2=32+52=34.

所以/1C2+CB2=AB2,

所以N/CB=90。，即為直角三角形.

【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：根據(jù)勾股定理逆定理畫(huà)直角三角形.掌握勾股定理逆定理并會(huì)運(yùn)用是關(guān)鍵.

【題型3在網(wǎng)格中判斷直角三角形】

【例3】（2023春?北京西城?八年級(jí)校考期中）如圖，在正方形畫(huà)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,△ABC的

三個(gè)頂點(diǎn)4，B,。都在格點(diǎn)上，4D是BC邊上的中線(xiàn)，那么4。的長(zhǎng)為（）

A.2.5B.3C.2V2D.V5

【答案】A

【分析】由勾股定理可得4。2=54。2=25,482=20,則4。2+/132=8。2,即△力BC是直角三角形，然后

由直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半即可解答.

【詳解】解：由勾股定理可得力。2=5,質(zhì):2=25,4辟=20,

222

：.AC+AB=BCf即△ABC是直角三角形,

?.YD是8C邊上的中線(xiàn)，

：2.5.

.AD=-2BC=

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、直角三角形斜邊上中線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)勾股定理逆定理判定△A8C

是直角三角形是基礎(chǔ)，掌握斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2023春?廣東湛江?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為I,4、B、C是小正方

形的頂點(diǎn)，則乙48。的度數(shù)為.

【答案】45。

【分析】根據(jù)勾股定理得到48,BC,4c的長(zhǎng)度，再判斷A/IBC是等腰直角三角形，進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，連接AC,

由題意，AC=V22+I2=V5,BC=V22+l2=V5,AB=Vl2+32=V10,

/.ZC=BC,AB2=AC2-l-BC2,

???448C是等腰直角三角形，R^ACB=90°,

：.Z.ABC=Z.CAB=45°.

故答案為:45°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，判斷出△ABC是等腰直角三

角形是解決本題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2023春?廣東惠州?八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.

⑴求四邊形力的面積與周長(zhǎng)；

（2）求證：乙BCD=90。.

【答案】（1）周長(zhǎng)為：8或+2回；面積為：32

⑵見(jiàn)解析

【分析】（1）借助正方形的小格，根據(jù)勾股定理分別計(jì)算四邊形的各邊的長(zhǎng)，從而求得四邊形的周長(zhǎng);

（2）在△48C中，根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判定.

【詳解】（1）解：根據(jù)勾股定理可知48=3y/2,BC=底,CD=734,AD=5^2,

.?.匹邊形力BCD的周長(zhǎng)為3企+5V24-734+734=8>/2+2回；

面積為：8x8--x3x3--x5x5--x5x3--x3x5=32.

2222

（2）證明：連接BD,

vBC=V34,CD=V34,DB=V68,

BC2+CD2=BD2.

是直角三角形，即4BCO=90。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的運(yùn)用以及勾股定理逆定理的之用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3]（2023春?八年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示的是2x5的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)4B,P都在網(wǎng)格點(diǎn)上，則

^APB=.

【答案】135。

【分析】根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理可得△PC8是等腰直用三角形，可得匕BPC=45。，即可求解.

【詳解】解：延長(zhǎng)AP至C,連接BC,

CP=CB=V22+I2=V5,

BP=V32+l2=VTo,

二?（花）2+（V5）2=（V10）2,即CP?+CB2=BP?,

.?.△PCB是等腰直角三角形，

Z.BPC=45°,

：.LAPB=180°-45°=135°,

故答案為:135°.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是得到APC8是等腰直角三角形.

【題型4勾股數(shù)的探究】

【例4】（2023春?安徽阜陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬早在17世紀(jì)就研究過(guò)形如/+y2=?2的方

程，顯然，這個(gè)方程有無(wú)數(shù)組解.我們把滿(mǎn)足該方程的正整數(shù)的解（％y,z）叫做勾股數(shù).如（3,4,5）就是一組

勾股數(shù).

（1）請(qǐng)你再寫(xiě)出兩組勾股數(shù)：（）,（）；

（2）在研究直角三角形的勾股數(shù)時(shí)，古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指;II：如果九表示大于1的整數(shù)，》二2九，y=

n2-l,z=n2+l,那么，以％,y,z為三邊的三角形為直角三角形（即乃y,z為勾股數(shù)），請(qǐng)你加以證

明.

【答案】（1）5,12,13；7,24,25

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)％2+y2=z2,即可得出5,12,13、7,24,25是勾股數(shù)：

（2）根據(jù)勾股定理的逆定理，可得答案.

【詳解】（1）V52+122=169,132=169,

A52+122=132,

???5,12,13是勾股數(shù)；

V72+242=625,25Z=625,

A72+24?=25?,

???7,24,25是勾股數(shù);

故答案為：5,12,13；7,24,25：

（2）證明：*/x=2n,y=n2-1,

二/+y2

=（2n）2+（n2-I）2

=4n2+n4-2n2+1

=+2n2+1

=（n24-l）2

=z2,

即x,y,z為勾股數(shù).

，以乜y,z為三邊的三角形為直角三角形.

【點(diǎn)睛】此題考查勾股逆定理的證明，勾股數(shù)的規(guī)律探究，掌握勾股逆定理的證明，根據(jù)勾股定理得出勾股

數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1]（2023春?四川達(dá)州?八年級(jí)校考期中）以下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，其中是勾股數(shù)的是（）

A.V3,V4,x/5B.6,8,10C.1,V2,V3D.2,3,4

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義進(jìn)行分析，從而得到答案.

【詳解】解：A、百2+/2=7,而2=5,7*5,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、62+82=100,102=100,且100:100,故此選項(xiàng)正確；

C、12+A/22=3,V32=3,3=3,V2,遮不是整數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、22+32=13,42=16,1306,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故答案為：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股定理的逆定理和勾股數(shù)的定義，滿(mǎn)足小+匕2=。2.

【變式4-2]（2023春?全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫做“整

數(shù)直角三角形”，這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”老師給出了下表（其中〃?，〃為正整數(shù)，且：

in23344???

n11212??.

a22+l232+l232+2242+1242+22?..

b4612816???

c22—1232-1232—2242-l242—22...

（1）探究a,h,c與〃之間的關(guān)系并用含的代數(shù)式表示：a=,b=,c=

⑵以h,c為邊長(zhǎng)的三角形是存一定為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴W+2mn,m2—n2

⑵以4,江c為邊長(zhǎng)的三角形一定為直角三角形，理由見(jiàn)解析

【分析】（I）根據(jù)給出的數(shù)據(jù)總結(jié)即可；

（2）分別計(jì)算出小、墳、c2,根據(jù)勾股定理逆定理進(jìn)行判斷.

【詳解】（I）解：觀(guān)察可得〃=n?2+力2,_2mn,c=m2—n2,

2222

故答案為：m+nt2mntm-n；

（2）以a,b,。為邊長(zhǎng)的三角形一定為直角三角形，理由如下：

a2=（m2+n2）2=zn44-2m2n2+n4,

ft24-c2=zn4-2m2n2+n4+4zn2n2=m4+2m2n2+n4,

Ad2=b2+c2,

，以小b,c?為邊長(zhǎng)的三角形一定為直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理的逆定理，熟練掌握：如果三角形的三邊長(zhǎng)Q,b,C滿(mǎn)足小+川二。2,

那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3](2023春?重慶北陪?八年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谥?勾股定理是?個(gè)基本的幾何定理，早在我國(guó)

西漢時(shí)期算書(shū)《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五''的記載.如果一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的直

角三角形叫“整數(shù)直角三角形”；這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”，如:3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,

15,17；9,40,41等等都是勾股數(shù).

(I)小李在研究勾股數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)，某些整數(shù)直角三角形的斜邊能寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)的平方和，有一條直角邊能寫(xiě)

成這兩個(gè)整數(shù)的平方差.如3,4,5中，5=22+億3=22-監(jiān)5,12,13中，13=32+22,5=32-22；請(qǐng)

證明：〃?，”為正整數(shù)，且〃?>〃，若有一個(gè)直角三角形斜邊長(zhǎng)為評(píng)+/,有一條直角長(zhǎng)為小2-/,則該直角

三角形一定為“整數(shù)直角三角形”；

(2)有一個(gè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為夕￡二7和V150-30b,斜邊長(zhǎng)4反，且。和力均為正整數(shù)，用

含b的代數(shù)式表示m并求出。和〃的值；

(3)若0=4/2+歷2,。2=改2+歷2,其中，田、。2、歷、歷均為正整數(shù).證明：存在一個(gè)整數(shù)直角三角形，其

斜邊長(zhǎng)為C/?C2.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)a=絲產(chǎn)，1=31,力=4；(3)見(jiàn)解析

【分析】⑴根據(jù)勾股定理:利用(mW)2-(/-〃2)2,解得另一條直角邊長(zhǎng)為2m〃,因?yàn)椤?，〃為正

整數(shù)，所以2〃?〃也為正整數(shù)，即可得證；

(2)首先根據(jù)勾股定理求出Q關(guān)于匕的代數(shù)式，再根據(jù)被開(kāi)方數(shù)需大于等于0,即可求得a、b的范圍，且Q、

b均為正整數(shù)，將〃的可能值：1,2,3,4分別代入，即可求得符合條件的正整數(shù)a、b；

(3)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)。2=m=2時(shí)，C/?<?2=5X5=25,而252=15?+20Z,故存在.

【詳解】(1)證明：*.*(nr+n2)2-(nr-n2)2

=(nr+n2+in2-n2)?(nr+n2-〃尸+/)

=2評(píng)?2川

=(2mn)2,

(2mn)2+(nr-n2)2=(評(píng)+&2,

t?tn,〃為正整數(shù)，且〃?>〃，

???2〃z〃，源?￡源+〃2均為正整數(shù),

???該直角三角形一定為“整數(shù)直角三角形”；

(2)由勾股定理得:

la-7+(150?30b)=16x15,

.97+30b

??G—,

7

由題意可知：7。?7>0,150-30??>0,

0V0V5,

??Z和〃均為正整數(shù)，

??"的可能值為：1,2,3,4,

當(dāng)》=1時(shí)，。=亨二子，不是正整數(shù)，故〃=1不符合題意；

當(dāng)》=2時(shí)，。=當(dāng)竺=手，不是正整數(shù)，故人=2不符合題意；

當(dāng)b=3時(shí)，。=手二手，不是正整數(shù)，故〃=3不符合題意；

當(dāng)3=4時(shí)，。=竺?紀(jì)=券=31,是正整數(shù)，此時(shí)，7a-7二,150-30b=癡,

222

V(V210)+(同)=240,(4V15)=240,

.-.(V2l0)2+(V30)2=(4715)2,

??2=4符合題意,

97+30萬(wàn).

a=---,。=31,。=4；

(3)證明：觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)々/=句=1,〃2=岳=2時(shí)，々?。2=5*5=25,

152+202=225+400=625,252=625,

:.152+202=252.

???存在一個(gè)整數(shù)直角三角形，其斜邊長(zhǎng)為C/?C2.

【點(diǎn)睛】本題FI考查勾股定理，難度一般，也是中考的?？贾R(shí)點(diǎn)，熟練掌握勾股定理的應(yīng)用以及二次根式

的相關(guān)性質(zhì)是順利解答此題的關(guān)鍵.

【題型5利用勾股定理的逆定理證明】

【例5】(2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè))如圖，己知CO_L48,垂足為。，BD=1,CD=2,AD=4.求證:

/-ACB=90°.

ADB

【答案】見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)勾股定理得出8。2,AC2,進(jìn)而利用勾股定理的逆定理解答即可.

【詳解】證明：\'CDLAB,垂足為。，BD=1,CD=2,AD=4,

:?BC?=BD2+CD2=l2+22=5,AC2=AD2+CD2=42+22=20,

???4B=AD+BD=4+1=5,

：,AB2=25=AC2+BC2=20+5,

:.△48。是直角三角形，

J.LACB=90。.

【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理與其逆定理的區(qū)別是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1](2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè))在4/8C的三邊分別是a、b>c,且a=n2-1,b=2n,c=n2+1,

判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論.

【答案】直角二角形，理由見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可.

【詳解】解：???a=n2—l,b=27i,c=n2+l

Aa2=(n2—I)2=n4—2n2+1,

b2=(2n)2=4n2,

c2=(n2+I)2=n4+2n2+1,

AG2+b2=c2,

故AABC是直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式，會(huì)利用勾股定理的逆定理判定三角形是否為直角三

角形是解答的關(guān)鍵.

【變式5-2](2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，以A/IBC的每一條邊為邊作三個(gè)正方形.已知這三個(gè)正方形

構(gòu)戌的圖形中，綠色部分的面積與藍(lán)色部分的面積相等，則△力BC是直角三角形嗎？請(qǐng)證明你的判斷.

【答案】是直角三角形，證明見(jiàn)解析

【分析】設(shè)坐標(biāo)綠色部分的面積和為。，右邊綠色部分的面積為從藍(lán)色部分的面積和為c，坐標(biāo)空白部分的

面積為〃，右邊空白部分的面積為e,

【詳解】設(shè)坐標(biāo)綠色部分的面積和為。，右邊綠色部分的面積為/?,藍(lán)色部分的面積和為c,坐標(biāo)空白部分的

面枳為d,右邊空白部分的面積為e,然后根據(jù)綠色部分的面枳與藍(lán)色部分的面枳相等列式得到(a+d)+

(b+e)=c+d+e,然后由a+d=AC?,b+e=BC?求解即可..

???綠色部分的面積與藍(lán)色部分的面積相等

；?a+b=c

；?a+b+d+e=c+d+e

，(a+d)+(b+e)=c+d+e

*.*G+d=AC2,b+e=BC2

；?c+d+e=AB2

：,AC2+BC2=AB2

???AHOC是直角二角形.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的逆定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理.

【變式5-3](2023春?江蘇鹽城?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，在△46C中，AB=7,AC=25,是中線(xiàn)，點(diǎn)E

在/ID的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且力。=EO=12.

(1)求證：△CDEWABDA；

(2)證明：CELAEx

⑶求△48C的面積.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

⑶84

【分析】(1)根據(jù)SAS證明△COE三即可；

(2)結(jié)論：AACE是直角三角形；首先根據(jù)△CDEWABZM,推出CE=A8=7,最后根據(jù)勾股定理的逆定

理即可證明；

（3）由全等三角形的性質(zhì)得出S-BC=SMCE，所以計(jì)算△ACE的面積，即可得出△ABC的面積.

【詳解】（1）證明：）4。是邊8C上的中線(xiàn),

???B。=CD,

在A(yíng)8/Z4和△CDE中，

（AD=BD

4AD8=乙EDC，

（BD=CD

：.LCDE=^BDA（SAS）,

（2）結(jié)論：△力CE是直角三角形；

理由：由（1）知：ACDE三ABDA,

；.CE=AB=7,

VAD=ED=12,

'.AE—24,

'：AE2+CE2=242+72=625,AC2=252=625,

：.AE2+CE2=AC2,

：,LE=90°,

??M/KE是直角三角形；

（3）V△CDE三△BZM,

?"S^CDE+^^ADC=SAADC+^^BDA?

?8c=S—cE，

VS^ACE=-AE-CE=：x24x7=84,

22

，SA48c=84.

【點(diǎn)睛】此題是三角形的綜合題，考查三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理的運(yùn)用，三角形的面積

計(jì)算方法，掌握三角形全等的判定方法與勾股定理逆定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【題型6利用勾股定理的逆定理求解】

【例6】（2023春?山西呂梁?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△/18C中，48=5,BC=4,AC=3,將三角形紙

片沿4D折疊，使點(diǎn)C落在力8邊上的點(diǎn)E處，則ABDE的周長(zhǎng)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】利用勾股定理的逆定理判斷出乙C二90。，利用翻折不變性可得==推出8E=2,即可解

決問(wèn)題.

【詳解】解：在△48C中，*：AB=5,BC=4,AC=3,

222

：.AB=BC+ACf

???AABC是直角三角形，且/C=90。，

由翻折的性質(zhì)可知：AZ?二月C=3,CD=DE,

：.BE=2,

/.△8DE的周長(zhǎng)=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=4+2=6,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型.

［變式6-11（2023春?湖北襄陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在448C中，點(diǎn)D在4B上"8=AC,BC=5,80=3,

CD=4.求AC的長(zhǎng).

【答案】AC=^-

6

【分析】由勾股定理的逆定理判定乙BDC=90。，再在RtaADC中利用勾股定理列方程即可解答.

【詳解】解：V5C=5,BD=3,CD=4,

：.BD2+CD2=32+42=25=BC2.

:,乙BDC=90°.

：.LADC=180°-Z.BDC=90°.

：,AD2+CD2=AC2.

設(shè)71c=X.

*：AB=AC,BD=3,

.*,AD=x—3.

A(X-3)2+42=X2.

解得x=6

?25

?"ACry

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握定理，靈活運(yùn)用.

【變式6-2](2023春.河南開(kāi)封.八年級(jí)統(tǒng)考期末)已知△ABC的三邊分別為a、b、c,且滿(mǎn)足(a+2b-ll)2+

|2a-b-2|=10c-25-c2,請(qǐng)你判斷△力BC的形狀，并求出其周長(zhǎng)與面積.

【答案】△48C是直角三角形，它的周長(zhǎng)是12,面積是6

【分析】首先把原等式變形為(a+2b-11)2+|2a-b-2|+(c-5)2=0,利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，建立三元

一次方程組，求得。、氏c的數(shù)值，利用勾股定理的逆定理判定三角形的形狀，進(jìn)一步求得周長(zhǎng)和面積即可.

【詳解】解:由題意得(a+2b-ll)2+|2a-l-2|+c2-10c+25=0,

???(a+2b—11)2+|2a—b—2|+(c—5)2=0,

(a+2b-11=0

A2a-Z?-2=0,

(c-5=0

??G-3>b—4,c—5?

22

*.*G2+h=c,

???A4夙:是直角三角形，它的周長(zhǎng)是3+4+5=12,

面積是：x3x4=6.

【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解三元一次方程組，勾股定理逆定理以及三角形的周長(zhǎng)

和面積的計(jì)算方法；注意解題的思路與方法的靈活性.

【變式6-3](2023春?陜西榆林?八年級(jí)校考期末)已知在△4C8中，AC=12,8C=5,AB=13,點(diǎn)E為邊4c

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，則FE+EB的最小值是.

C

E

AB

【答案】詈

【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理可得乙4Q7=90。，再作點(diǎn)8關(guān)于A(yíng)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)反，連接B'E,8'F,4然后

根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短、垂線(xiàn)段最短可得當(dāng)夕尸J.48時(shí)，線(xiàn)段FE+EB的值最小，最小值為最后利用

三角形的面積公式即可得.

【詳解】解：???在△力CB中，AC=12,BC=5,AB=13,

:.AC2+BC2=AB2,

???△48。是直角三角形，且乙4c8=90。，

如圖，作點(diǎn)8關(guān)于4c的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)",連接夕￡?FM夕，

B'C=BC=5,BB'=2BC=10,B'E=BE,

???FE+EB=FE+B'E,

由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知，當(dāng)點(diǎn)B',E,r共線(xiàn)時(shí)，F(xiàn)E+eE最小，最小值為夕產(chǎn)，

由垂線(xiàn)段最短可知,當(dāng)BNlAB時(shí),B午的值最小,

又SMW=押."尸=2?，

.---X13/?^=-x12x10,

22

解得夕尸=詈，

即FE+EB的最小值為詈，

故答案為：詈.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短、垂線(xiàn)段最短、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌

握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵.

【題型7勾股逆定理的應(yīng)用】

【例7】（2023春?廣東廣州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在筆直的公路48旁有一座山，從山另一邊的C處到公

路上的?？空続的距離為AC=15km,與公路上另一停靠站B的距離為8c=20km,?？空玖?、B之間的距離

為AB=25km,為方便運(yùn)輸貨物現(xiàn)要從公路力B上的。處開(kāi)鑿隧道修通一條公路到C處，且CD1AB.

⑴請(qǐng)判斷△ABC的形狀？

（2）求修建的公路的長(zhǎng).

【答案】（1）直角三角形

⑵12km

【分析】（I）根據(jù)勾股定理的逆定理，由"2+BC2=AB2得到是直角三角形.

（2）利用△ABC的面積公式可得，CD-AB=AC-BC,從而求出CZ）的長(zhǎng).

【詳解】（1）解：△力BC是直角三角形.

理由：，?,AC=15km,BC=20km,AB=25km,

???152+202=252,

AC2+BC2=AB2,

：.乙4cB=90。，

.??△48。是直角三角形.

（2）解：vCDLAB,

44

：.CD=若=登=12(km).

答：修建的公路CD的長(zhǎng)是12km.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理的應(yīng)用，以及三角形的面積公式等知識(shí)，熟練掌握勾股定理

及其逆定理是解題的關(guān)鍵.

【變式7-1]（2023春?廣西南寧?八年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）森林火災(zāi)是一種常見(jiàn)的自然災(zāi)害,

危害很大.隨著中國(guó)科技、經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，開(kāi)始應(yīng)用飛機(jī)泗水的方式撲滅火源.如圖，△ABC區(qū)域內(nèi)是一

片森林，有一臺(tái)救火飛機(jī)沿東西方向48,由點(diǎn)4飛向點(diǎn)B,已知點(diǎn)C為其中一個(gè)著火點(diǎn)，且點(diǎn)C與點(diǎn)48的

距離分別為600m和800m,又力8=1000m,飛機(jī)中心周?chē)?00m以?xún)?nèi)可以受到灑水影響.

⑴求△ABC的面機(jī)

(2)著火點(diǎn)C能否受到灑水影響？為什么？

【答案】⑴24UUU0m2

(2)受影響

【分析】(I)利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再利用面積公式計(jì)算即可；

(2)過(guò)點(diǎn)C作CO1力8于。，利用三角形面積得出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出海港C是否受臺(tái)風(fēng)影響.

【詳解】(1)解：*：AC=600m,BC=800m,AB=1000m,

：.AC2+BC2=AB2,

???AABC是直角三角形，

2

**?^￡.ABC=1x/ICxFC=24000Cm；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD14B于D,

^S^ARC=IAC-BC=^CDAB,

.?.600x800=1000CD,

CD=480,

???飛機(jī)中心周?chē)?00m以?xún)?nèi)可以受到灑水影響，

著火點(diǎn)C受灑水影響.

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾

股定理解答.

【變式7-2](2023春.廣西桂林?八年級(jí)統(tǒng)考期中)一根12米的電線(xiàn)桿A3,用鐵絲AC、AO固定，現(xiàn)已知用

去鐵絲AC=I5米，AO=13米，又測(cè)得地面上8、C兩點(diǎn)之間距離是9米，B、。兩點(diǎn)之間距離是5米，則

電線(xiàn)桿和地面是否垂直，為什么？

【答案】電線(xiàn)桿和地面垂直，理由見(jiàn)解析

【分析】由勾股定理的逆定理判斷是直角三角形，△ABC是直角三角形，即可解答.

【詳解】解：電線(xiàn)桿和地面垂直，理由如下：

連接BD

在A(yíng)ABD中,???BD2+AB2=52+\2:=\69=\32=AD2,

???△ABD是直角三角形，且NABD=90。，

在么ABC中，???BC2+AB2=92+122=225=152=AC2,

???△ABC是直角三角形，且NABC=90。，

???電線(xiàn)桿和地面垂直.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

【變式7-3]（2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）海面上有兩個(gè)疑似漂浮目標(biāo).4艦艇以12海里/時(shí)的速度離開(kāi)港口

O,向北偏西50。方向航行：同時(shí)，8艦艇在同地以16海里/時(shí)的速度向北偏東一定角度的航向行駛，如圖所

示，離開(kāi)港口5小時(shí)后兩船相距100海里，則4艦艇的航行方向是

【答案】北偏東40。

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△408是直角三角形，求出N80D的度數(shù)即可.

【詳解】由題意得，04=12x5=60（海里），08=16x5=80（海里），

又=又0海里,

V602+802=1002,

即。82+0/2=4g2

?"＜。8=90。，

'：LDOA=50°,

:?乙BOD=40°,

則B艦艇的航行方向是北偏東40。，

故答案為：北偏東40。.

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理的應(yīng)用和方位角的知識(shí)，根據(jù)題意判斷出△408是直角三角形是解

決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【題型8勾股定理及其逆定理的綜合】

【例8】（2023春?全國(guó)?八年級(jí)期末）如圖，在A(yíng)/IBC中，。是△力8C內(nèi)一點(diǎn)，連接40、BD,且A0_LBD.已

知=4,BD=3,AC=13,BC=12.則圖中陰影部分的面積為.

A

C

【答案】24

【分析】先根據(jù)勾股定理求出力乩然后根據(jù)勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形，根據(jù)陰影部分的面

積S等于S.48C一SA/18D，即可.

【詳解】??N0_L80,

：.AB2=AD2+8。2,

*：AD=4,BD=3,

,*.AB=5,

*：AC=13,BC=12,

：.AC2=169,BC2=144,AB2=25,

：,AC2=BC2+AB2,

?入ABC是直角三角形，

設(shè)陰影部分的面積5,

:，S=ShABC-S^ABD=ABxBC—ADxBD,

???S=24,

???設(shè)陰影部分的面積為:24.

故答案為