專題22.4相似三角形的性質(zhì)【十大題型】

【滬科版】

【題型1利用相似三角形的性質(zhì)求角度】...........................................................2

【題型2利用相似三角形的性質(zhì)求線段長度】.......................................................4

【題型3利用相似三角形的性質(zhì)求面積1...........................................................6

【題型4利用相似三角形的性質(zhì)求周長】...........................................................8

【題型5利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明角度相等】..............................................10

【題型6利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明對應(yīng)線段成比例】........................................14

【題型7尺規(guī)作圖作相似三角形】.................................................................19

【題型8在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形】..................................................23

【題型9新定義中的相似三角形】................................................................28

【題型10相似與函數(shù)綜合探究】..................................................................37

”片產(chǎn)-笈三

【知識點1相似三角形的性質(zhì)】

①相似三角形的對應(yīng)角相等.

如圖，△A8CSZ\A&C,如有

ZA=Z/T,NB=NB',ZC=ZC.

②相似三角形的對應(yīng)邊成比例.

如圖，△△6cs△4〃c，，則有

ABBCAC

k（k為相似比）.H'

48'B'CA!C

③相似三角形的對應(yīng)邊上的中線，高線和對應(yīng)角的平分線成

比例，都等于相似比.

如圖，△ABCs/WB'C,AA/、47和AO是△ABC中8c

邊上的中線、高線和角平分線，A'M'、ATT和A'。'是

△A'5'C'中8'C邊上的中線、高線和角平分線，則有

ABBCAC.AMAHAD

-~：=-：~：=k=-：~-=-：~-=-：~-

A!B'B'CAC'A"4H'AfDf

④相似三角形周長的比等于相似比.

如圖，AABCs/^VB'C',則有

ABBCACAB+BC+AC

~B'C~A!C~A!B'+B'C+A'C

⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方.

如國，AABC/\A:BrC,則有

c-BCAH

'△ABC_2BC

A,wc—.B'C'"A'H'⑶C'A!H'

2

【題型1利用相似三角形的性質(zhì)求角度】

【例I】（2022?湖南?永州柳子中學(xué)九年級期中）已知凡若財=50。，0E=7O°,則（3/的度數(shù)為（）

A.30°B.60°C.70°D.80°

【答案】B

【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等求出射=團拉=50。，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：^ABC^^DEF,

團財=團。=50°,

團團產(chǎn)=180°一團。一回E=180°-50°-70°=60°,

故選:B.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.

【變式1?1】（2022?江蘇?常州市金壇良常初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，△ABSZkDAC,鼬=31。，0D=

117%貝幅AC。的度數(shù)是（）

A.32°B.48°C.64°D.86°

【答案】C

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到回。ACW8=31。，0BAC=0D=117°,^BCA=^ACD,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理

計算即可.

【詳解】解：而SABCIZEOAC,05=31°,0D=117°,

物OAC=M=31°,團BACM￡>=117°,^BCA=^ACD,

團團3CD=（3/CA+EMCD=2（180°-31°-117°）=64°,

故選：C.

【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2］（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格上有兩個相似三角形△ABC和△EOF,則

乙力BC+乙4cB的度數(shù)為（）

D

A

A.135uB.90°C.60QD.45u

【答案】D

【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等和三角形內(nèi)角和等于180。，即可得出.

【詳解】解：豳AB63EDF,

^BAC=^DEF,

又明。痔=90°+45°=135°,

005AC=135°,

團/ABC+/-ACB=180°-乙BAC=180°-135°=45°.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到相似三角形中的對應(yīng)關(guān)系.

【變式1-3］（2022?云南楚雄?九年級期末）如圖，點4、B、C、D四點共線,4P8C是等邊三角形，當zJPHB~/DPC

時，ZAPD的度數(shù)為（）

A.120°B.100°C.110°D.125°

【答案】A

【分析】根據(jù)4P48?4OPC得出乙A=4OPC,根據(jù)4PBe是等邊三角形得出NP8C=N8PC=6O0,根據(jù)外

角的性質(zhì)得出，力+41尸8=4。8。=60。，可推出4108+4DPC=60。，從而即可得到答案.

【詳解】vAPAB-ADPC

:.LA=Z.DPC

???/P8C是等邊三角形

LPBC=乙BPC=60°

LA+/.APB=乙PBC=60°

LAPB+Z.DPC=60°

Z.APD=LAPB4-乙PBC+乙DPC=120°

故選A.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解

題的關(guān)鍵.

【題型2利用相似三角形的性質(zhì)求線段長度】

【例2】（2022?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，在伺4BCD中,18=10,AD=6,E是4。的中點,在CD上取

一點F,使aCBF回AABE,則DF的長是（）

6.4C.5D.1.8

【答案】A

【分析】E是40的中點可求得力工根據(jù)三角形相似的性質(zhì)可得%=籬，可得CF的長即可求解.

【詳解】解：團E是4。的中點，AD=6,

四￡=*=3,

又便△CBFaAABE,

CFBCCF6

一=一,即nn—=一

ASBA310

解得CF=1.8,

DF=DC-CF=10-1.8=8.2,

故選：A.

【點睛】本題考查了三角形相似的性質(zhì)，掌握三角形相似的性質(zhì)對應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，^ABC^DEF.相似比為1團2,若4C=1,則EF的長是

c

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件得到需=；,即可得到所=2BC=2,問題得解.

EF2

【詳解】解：豳ABCSEDEF,相似比為峰2,

段一

EF2

^EF=2BC=2.

故選：B

【點睛】本題考查了相似的性質(zhì)，熟知相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式2-2］（2022?全國?九年級專題練習(xí)）已知△48。?ZiDEF,團人的三邊長分別為直，V14,3,田DEF

的其中的兩邊長分別為1和6，則第三邊長為.

【答案】W

【分析】先求得相似比，再列式計算求得

【詳解】設(shè)國。七廠的第三邊長為工,

???△A8C?ADEF且團ABC的三邊長分別為魚，V14,3,

0OE尸的其中的兩邊長分別為1和夜，

團團。E/的第三邊長為尊

故答案為：乎

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，求出相似比是解題關(guān)鍵.

【變式2?3】（2022?吉林?長春市赫行實驗學(xué)校二模）如圖所示，圖中％=

【答案】2V2

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NC的度數(shù)，由相似三角形的判定定理可判斷出AABCsAD",再根

據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可解答.

【詳解】解：:418。中，Z.A=45°,Z.B=30°,

ZC=180°-Z.A-Z.B=180°-45°-30°=105°,

?:乙E=LB=30°,乙C=Z.F,

:?LABC~XDEF,

.:吐=”,

EFDF

即2=在，

4x

:.x—2x[2.

故答案為：2V2.

【點睛】本題涉及到三角形內(nèi)角和定理、相似三角形的判定及性質(zhì)，比較簡單.

【題型3利用相似三角形的性質(zhì)求面積】

【例3】（2022?陜西渭南?九年級階段練習(xí)）若△ABCs^DEF,△ABC與△D2F的面積比為25:36,ABC

與AOE尸的對應(yīng)邊的比是（）

A.5:6B.6:5C.25:36D.36:25

【答案】A

【分析】根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方先求出0ABC與團O的相似比即可.

【詳解】解：^△/18。-2X。￡＞尸且448。與40￡77的面積比為25:36

回它們的相似比為5：6.

故選:A.

【點睹】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解答本題的關(guān)

鍵.

【變式3-1]（2022河南新鄉(xiāng)?九年級期末）A/IBC與AAB'C'的位似比是1:2,已知△4BC的面積是3,則

△4B'C'的面積是（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】D

【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出兩個三角形的相似比，根據(jù)題意計算即可.

【詳解】解：豳48。3國40。，相似比為1：2,

加與她宣。的面積比為1：4,

物/由C的面積是3,

配WB'C的面積是12,

故選:D.

【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

【變式3?2】（2022?河北石家莊?九年級期末）把一個三角形的各邊長擴大為原來的3倍，則它的面積擴大

為原來的倍.

【答案】9

【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得出即可.

【詳解】解：團把一個三角形的各邊長擴大為原來的3倍，

團面積擴大為原來的9倍,

故答案為：9.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能正確運用相似三角形的性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵，

注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三角形的周長比等于相似比.

【變式3-3］（2022?河南?鶴壁市淇濱中學(xué)九年級期中）如圖，在R/a48c中，I3BAC=900,AB=3,BC=5,

點D是線段8c上一動點，連結(jié)4。，以4。為邊作0AOE,使（MDfSMBC,則財DE的最小面積等于.

【答案】《

【分析】根據(jù)勾股定理得到AC=4,當AD08C時，（MQK的面積最小，根據(jù)三角形的面積公式得到AO=

粵￡=當=各，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到4￡=尚由此三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

BC555

【詳解】解：（3在R/團48c中，團BAC=90。，/W=3,8c=5,

MC=4,

^ADE^ABC,

薩=絲，即絲=些

ABAC34

4

^AE=-AD

39

回當AD08c時，（MOE的面積最小，

團此時有S—8c.AC=：BC./O

?ABAC3X412

mMO=-------=—=—,

SC55

aazDE的最小面積=1x（y）2=宗

故答案為宗

【點睛】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，垂線段最短，三角形的面積公式，正確的理解題意是

解題的關(guān)鍵.

【題型4利用相似三角形的性質(zhì)求周長】

【例4】（2022?湖南株洲?九年級期末）有一個直角三角形的邊長分別為3,4,5,另一個與它相似的直角

三角形的最小邊長為7,則另一個直角三角形的周長是（）

A.—B.—C.21D.28

55

【答案】D

【分析】根據(jù)題意求出三角形的周長，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比列式計算即可.

【洋解】解：設(shè)另一個直角三角形的周長為X,

13三角形的邊長分別為3,4,5,

田周長為：3+4+5=12,

回兩個三角形相似，

脛=三，

X7

解得：x=28,故D正確.

故選：D.

【點睛】本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長比等于相似比是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1]（2022?重慶實驗外國語學(xué)校八年級期末）如圖是一個邊長為1的正方形組成的網(wǎng)絡(luò)，財6。與

都是格點三角形（頂點在網(wǎng)格交點處），并且助〃。翌明出。，則財與EA/B/G的周長之比是（）

A.1：2B.1：4C.2：3D.4：9

【答案】C

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：00ABO3L4/B/C/,AB=2,4a=3,

的鉆C與0A向。的周長之比巖=:

A]B]3

故選C.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2]（2022?遼寧?阜新市第四中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知AABC—DEF,其中48=12,BC=6,

CA=9,DE=3,那么△0EF的周長是.

【答案】？

4

【分析】根據(jù)兩個三角形相似，相似三角形的周長比等于相似比，即可解出r的周長.

【詳解】因△ABCs&DEF

團相似三角形的周長比等于相似比

/48c=竺='

C^JEFDE3

國12十6+912

PI-----=—

CLDEF3

田=y

故答案為：子.

4

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：相似三角形的周長比等于相似比.

【變式4-3]（2022?遼寧鞍山?二模）已知△ABC，△ABC,且AB=24?.若△ABC的周長是18cm,那

么AA6'C'的周長是cm.

【答案】9

【分析】利用相似三角形的周長的比等于相似比求解即可.

【詳解】解：0AABC^^A'B'C.

團遣ABC的周長:△4B'C’的周長=4B:4B'=2：1,

回△4BC的周長是18cm,

團△片夕。'的周長是9cm.

故答案為:9.

【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，用到的知識點為：相似三角形周長的比等于相似比.

【題型5利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明角度相等】

【例5】(2022?北京市第一五六中學(xué)九年級期中)如圖，已知力E平分魴AC,空=空.

⑴求證：0E=0C；

(2)若A3=9,AO=5,QC=3,求3E的長.

【答案】(1)見解析

⑵BE=Z

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義可得=結(jié)合已知條件得出根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)即可得證；

(2)根據(jù)△84E?AO/IC列出比例式，代入數(shù)據(jù)計算即可求解.

(1)

證明：西E平分回

=Z.DAC.

T-JABAE

乂而

0ABAEDAC,

0ZF=Z.C；

(2)

0ABAEDAC?

vAB=9,AD=5,DC=3,

9_BE

??.g=T，

解得BE=

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1］（2022?上海?測試?編輯教研五八年級期末）如圖，在△48C中，點。、點E分別在AC、ABk,

點P是30上的一點，聯(lián)結(jié)EP并延長交于點八且乙A=^EPB=^ECB.

⑴求證:BEBA=BP-BD；

⑵若4ACB=90。，求證：CP1BD.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】(1)證明ZkPBE和A/IBD相似，即可證明.

(2)先證明A/IBCmACBE,再證明△P8C13ACBD,得到NBPC=N8C0=90。，即可證明.

(1)

證明：vZ71=Z.EPB,乙PBE=UBD,

PFE0AABD,

爬=絲

BDBA

:.BE，BA=BP-BD.

(2)

證明：VZ.A=AECB,乙ABC=MBE,

CBE,

.BC_BA

"BE~'BC"

??.BE，BA=BC2,

Xl?BF-BA=BP?BD,

:.BC2=BP-BD,

.些_竺

???Z.PBC=乙CBD,

nPBC孤CBD,

???Z.ACB=90°,

???Z.BPC=乙BCD=90°,

CP1BD.

【點睛】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出相應(yīng)的比

例式，再經(jīng)過適當?shù)淖冃问顾玫谋壤椒稀皟蛇叧杀壤見A角相等”的形式.

【變式5-2](2022?山東?東平縣江河國際實驗學(xué)校二模)如圖，點D,E分別在AABC的邊BC,AC±,連

接AD,DE.

(1)若13c=0BAD,AB=5.求BDBC的值:

(2)若點E是AC的中點，AD=>/2AE,求證：01=0C.

【答案】(1)25；(2)見解析

【分析】(1)由團C=(3BAD、回ABDWCBA可得出0ABD團團CBA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出翌=當進而

BCAB

即可得到結(jié)論；

(2)由點E是AC的中點、AD=4iAE,可得出第=笫結(jié)合(3DAE=13CAD可證出團DAE甌AD,再根據(jù)相

似三角形的性質(zhì)可證出田1WC.

【詳解】解：(1)00C=0BAD,0B=0B,

0AABD?ACBA

勝=N

BCAB

（3AB=5

團BD?BC=AB2=25.

（2）回點E是AC的中點，

0AC=2AE.

0AD=V2AE.

櫻=紅絲=烏

AC2AE2

AE_/IE__1__V2

AD-y/2AE-V2-2*'

喘畸，

又liDAE=［aCAD（公共角）.，

回［SDAE變CAD,

001=0C.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出等枳式：（2）

由邊與邊之間的關(guān)系找出兩邊對應(yīng)成比例，結(jié)合夾角相等證明三角形相似

【變式5-3］（2022?湖北恩施?二模）如圖，在0A8C中，。、E、產(chǎn)分別是邊AC,AB,BC上的點，DE\\BC,

DFWAB.

⑴求證：^B^EDF.

⑵若b=%C,求2&的值.

3SMED

【答案】（1）證明見解析

【分析】(1)證明四邊形BEDr為平行四邊形，從而得到乙8=4瓦)廣；

(2)證明△CFCS^AED,利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方求解.

(1)

證明：vDE“BC,DE//AB,

二四邊形BE8?是平行四邊形，

:.LB=Z.EDF.

(2)

解：???CF=-BC,

3

ABF=^BC.

?.?四邊形8E?！菏瞧叫兴倪呅危?/p>

:.ED=BF=^BC.

vDE"BC,DF//AB,

:*Z.C=Z.ADE,乙CDF=Z.A,

:.△DFCAEDt

..."=(竺『=亦=工

S&AED〈ED,\2J4

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是將相似三角

形的面積之比轉(zhuǎn)化為相似比的平方.

【題型6利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明對應(yīng)線段成比例】

【例6】(2022?全國?九年級課時練習(xí))如圖，已知△4DE的頂點七在△ABC的邊8c上，OE與4B相交于

點尸，Z.FEA=Z.B,Z.DAF=Z.EAC.

BE

(1)若人F=8r=4,求AE；

僅）求證:冷容

【答案】（1）見詳解

⑵見詳解

【分析】（1）根據(jù)4〃e4=N8,Z,BAE=Z.EAF,證明△從4E?然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例

得到力F=AF-AB,即可得到結(jié)論;

（2）首先由/0AF=4C4E,得至此。力E=4&4尸，然后進一步證明ADAE~AGW,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊

成比例和對應(yīng)角相等得到能=生4=”,然后根據(jù)兩角對?應(yīng)相等證明AD/1F?AME,得到普=與，然

BCACECAC

后根據(jù)線段之間的轉(zhuǎn)化即可證明出蕓=啜

DECD

(1)

解：閉乙產(chǎn)E4=N8,Z-BAE=/-EAF,

0ABAE^△EAF,

^AE2=AF-AB,

^AF=BF=4,

^AE2=4(4+4)=32,

囹AE=4V2；

(2)

證明：^DAF=ACAE,^LFAE=Z-FAE,

團NDAE=Z.CAF,

^Z-FEA=乙B,

DAE^△CAB,

^DAF=乙EAC,

0ADAF^△CAE?

噬暇

冷=絲.

BCDE

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定方法.相

似三角形性質(zhì)：相似三角形對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等.相似三角形的判定方法：①兩組角對應(yīng)相等的兩

個三角形相似；②兩組邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似；③三組邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相

似.

【變式6-1]（2022?江蘇?九年級專題練習(xí)）已知矩形人的一條邊人0=8,將矩形4BCO折疊，使得頂

點B落在CO邊上的。點處.如圖，已知折痕與邊8c交于點O,連接AP、OP.OA.

⑴求證:警=笫

（2）若。尸與鬼的比為1：2,求邊A8的長.

【答案】（1）見解析；（2）10

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到〃P0=乙8=90。，根據(jù)相似三角形的判定定理證明40CP?/PZM,

進而解答即可；

（2）根據(jù)相似三角形的相似比得出PC=再利用勾股定理求解.

【詳解】證明：（1）由折疊的性質(zhì)可知，LAPO=LB=90°,

:.，APD+乙。PC=90°,又（POC+Z-OPC=90°,

/.Z.APD=Z.POC,乂NO=ZC=90。，

AAOCP?APDA,

CC_OP

??而=而；

（2）?；”與PA的比為1：2,

PC=-AD

2=4,

設(shè)?18=%,則=AP=X9DP=x-4,

222

在/?￡△/P0中，AP=AD+PDf即/=8?+（%—4）2,

解得，x=10,即AB=10.

【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握折疊是一

種軸對稱，折疊前后的圖形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等.

【變式6-2］（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在ZL4BC中，AB=AC,。是邊BC的延長線上一點，E是

邊AC上一點，且=m

【答案】見解析

【分析】由AB=4C可知4結(jié)合乙EEC=ND,判定△BCO?△084即可得證.

【詳解】證明：,.?48=4C,

:./.ABC=Z-ACB,

^LABD=乙ECB,

vZ.EBC=乙D,

???△BCDDBA,

CEBC

:?—=--?

ZBBD

【點睛】本題考查三角形的相似性質(zhì)和判定，等相關(guān)知識點，牢記知識點是解題關(guān)鍵.

【變式6-3］（2022?湖南益陽?九年級期末）如圖，在財BC中，3BAC=90°,AZ）是8C邊上的高，E是8。

邊上的一個動點（不與8,。重合），EF^AB,EGEL4C,垂足分別為尸，G.

⑴求證：泊禽

（2）FO與。G是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由；

【答案】（1）見解析

（2）廣。與QG垂直，證明見解析

【分析】（1）由比例線段可知，我們需要證明△力DC?△EGC,由兩個角對應(yīng)相等即可證得.

（1）由矩形的判定定理可知，四邊形AFEG為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定可得到△/口）?

△CGD,從而不難得到結(jié)論.

⑴

在陰。C和團七GC中，

00ADC=0EGC,0C=0C,

^BADC^IEGC.

串=絲.

ADCD

（2）

FD與OG垂直.

證明如下：

在四邊形4~EG中，

釀陰G=0AF￡=0AGE=9O0,

回四邊形AFEG為矩形.

^AF=EG.

段=紋

ADCD

監(jiān)=三.

ADCD

乂或ABC為直角三角形，AD^BC,

00M/9=0C=9O°-0DAC,

00AFD00CGD.

團團4。尸=團CQG.

團團CQG+a4QG=90°,

^DF+^ADG=90°.即團尸QG=90°.

0FD0DG.

【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，①如果兩個三角形的兩組對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形

相似;②如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似.

【題型7尺規(guī)作圖作相似三角形】

【例7】（2022?山東煙臺?八年級期末）尺規(guī)作圖：如圖，已知且48＞力C.（只保留作圖痕跡，

不要求寫出作法）

⑴在48邊上求作點D,使。3=DC；

（2）在AC邊上求作點E,使^ADEACB.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

【分析】（1）根據(jù)題意作出8c垂直平分線交AB于點。，即可求解;

（2）作44DE=乙4cB即可求解.

（1）

如圖所示，作出8C垂直平分線交A8于點D,0點即為所求：

如圖所示，作乙AOE=乙4cB交4C于點￡,點E即為所求.

0Z/1=Z.A,Z.ACB=Z.ADE,

0AADEACB.

【點睛:］本題考查了作垂直平分線，作一個角等于已知先，掌握垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)以

及基本作圖是解題的關(guān)鍵.

【變式7?1】（2022?山東濟寧?二模）如圖,在中，48力。=90。,8。平分乙48c.

（1）求作△（：如.使點七在上，且AC“七.?△。方。；（要求：尺現(xiàn)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

⑵在（1）的條件下，若8/1=g,乙4BC=60。，求CE長.

【答案】⑴見解析

（2）CE的長為手

【分析】（1）根據(jù)作一個角等于已知角進行作圖即可；

（2）先求出回求30。,HABD=SCBD=30o,再求出CD與3c的長,再由△CDE-△C8D列出比例式第=芻

CDCB

再求解即可

⑴

作圖如下:

Q)

團ZB4C=90°,4ABC=60°,

00C=3O°,

(3BO平分々ABC.

00/ifi￡>=(aC^D=3Oo,

團在心A4BC中，BA=V3,團030°,

財C=aAB=3,BC=2AB=2V3,

回在心A4B。中，BA=V3,0ABD=3O%

y/3

團AD=?夕=1,

J

團CD=2,

[HACDECBD,

曜喑

解得：C氏詈.

【點睛】本題考杳了相似三角形的性質(zhì)及判定及直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角

形的性質(zhì).

【變式7-2］（2022?陜西寶雞?一模）如圖，在等腰射4c中，A8=4C,點。是AC邊上一定點.請用尺規(guī)

作圖法在3C上求作一點P,使得aABCWJPCQ.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析

【分析】由0AB函PC。和人8=4C,可以推導(dǎo)出回PC。為等腰三角形，即可知點P在線段C。的中垂線上.

【詳解】解：^AB（XPCD,

的=竺，

PCPD'

釀PCD是以P為頂點的等腰三角形，及P在線段CO的中垂線上，

如圖，點尸即為所求.

【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用、尺規(guī)作圖，通過相似找到線段關(guān)系，準確畫出圖像是解題的關(guān)鍵.

【變式7?3】（2022?江蘇省錫山高級中學(xué)實驗學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，在四邊形A8CO中，助二四.

⑴請用無刻度的直尺和圓規(guī)按要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：

①過點。作4B的平行線交8c于點八

②?為AB邊上的一點，且團D4P0（aP8C,請找出所有滿足條件的點；

⑵在（1）的條件下，若AO=2,BC=3,AB=6,則AP=.

【答案】⑴見解析；

（2）3+6或3-R

【分析】（1）延KA。，作囹以"-財，則此時OFII/W;先作0c的垂直平分線，過點。作A3的垂線交A3

于點M,以。為頂點，CD為角的一條邊，作（3Z）CO=AOM,交CD的垂直平分線于一點0,以。為圓心，以

0C為半徑作圓，與的交點即為所求作的點P；

（2）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊相等，列出關(guān)于AP的關(guān)系式，求解即可.

⑴

如圖所示：

。產(chǎn)即為所求作的平行線;

如圖所示,

符合條件的點。共有兩個；

(2)

^DAP^PBC,

造=絲，

PBBC

SAP=x,MBP=6-x,

囁嗎

即x(6—x)=6,

—x2+6x-6=0,

解得：=3+V3,%2=3-V5，

即4P=3+百或3-V3.

【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，三角形相似的性質(zhì)，熟練掌握尺規(guī)作一個角等于已知角，線段的垂直

平分線，是解決本題的關(guān)鍵.

【題型8在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形】

【例8】(2022?安徽合肥?二模)如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，4、8、C、。四點均在正方形網(wǎng)

格的格點上，線段A8、C。相交于點O.

⑴請在網(wǎng)格圖中畫出兩條線段（不添加另外的字母），構(gòu)成一對相似三角形，并用“團〃符號寫出這對相似三

角形:

⑵線段八。的長為.

【答案】（1）見解析，&AOC八BOD

⑵苧

【分析】（1）如圖，連接8D,AC即可，可得△8。。?△8。。.

（2）利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

（1）

如圖，連接4C，BD,

由格點圖可得8DMC,

0AAOC?匕BOD,

(2)

0AAOCBOD>

0D5=V12+I2=V2,4C=V32+32=3VL48=V22+22=2企，

）箸=3

加。二3。8,

如。=加="22=逆.

故答案為：斗

【點睹】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計，三角形的三邊關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是

靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

【變式8-1］（2022河南南陽九年級期末）（1）如圖，0A8C的三個頂點都在方格紙的格點上.在方格紙

內(nèi)畫△HB'C',使△AB'C'?△4?。，相似比為2:1,且頂點都在格點上.

（2）AAB'C'的面積是.

C

【答案】（1）答案見解析；（2）12

【分析】（1）根據(jù)相似比為2:1先確定對應(yīng)點的位置，再連接即可得到答案；

（2）先求出根據(jù)aABC的面積，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到△AB'C'的面積.

【詳解】（1）如圖，△4夕C'為所求作圖形；（答案不唯一）

（2）由題意得，ShABC=1x3x2=3

?:RA'B'CJXABC,相似比為2:1

.SATB'C'_f

S&ABC1

^^A'B'C'=12

故答案為：12.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理，涉及作圖，熟練掌握知識是解題關(guān)鍵.

【變式8-2］（2022?浙江溫州?九年級專題練習(xí)）請在如圖所示的網(wǎng)格中，運用無刻度直尺作圖（保留作圖

痕跡）

⑴在圖1中畫出線段48的中垂線

(2)如圖2,在線段48上找出點C,使/C:CB=1:2.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)取格點E,F,作直線￡尸即可；

(2)將點4沿網(wǎng)格向下移動2個小格到點M,將點B沿網(wǎng)格向上移動4個小格到點N,連接MN交于點C,

則點C即為所求.

(1)

如圖所示，利用網(wǎng)格線確定中點，然后使二者垂直即可；

將點A沿網(wǎng)格向下移動2個小格到點M,將點8沿網(wǎng)格向上移動4個小格到點N,連接MN交力8于點C,

：?AM-.BN=1:2,

???△ACMfBCN,

?,%-A-M=_AC_1,

BNBC2

???點C即為所求，如圖所示:

N

/

A/

/B

M

【點睛】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖，相似三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問

題.

【變式8-3](2022?浙江溫州?九年級期中)如圖，在8x8的方格中，aABC的三個頂點都在小方格的頂點

上，按要求畫一個三角形，使它的頂點在方格的頂點上.

圖2

⑴請在圖1中畫一個三角形，使它與^ABC相似，旦相似比為2：1

⑵請在圖2中畫一個三角形，使它與AABC相似，且面積比為2：1

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】(1)已知△A4C的三邊長分別為A6=&2+為=2企,AC=V12+22=V5,BC=3,則△力HG

的三邊長分別為4/1=4或，A1G=2正,B1G=6,在圖中畫出"iBiQ即可;

(2)已知“8。的三邊長分別為A8=，22+22=2vLAC=V12+22=V5,BC=3,則282c2的三邊

長分別為42%=4,力2。2=/同，B2C2=3V2,在圖中畫出△AZB2c2即可.

(1)

如圖2所?。篫iA242c2即為所求.

圖2

【點睛】此題主要考查了相似變換，正確得出相似三角形的邊長是解題關(guān)鍵.

【題型9新定義中的相似三角形】

【例9】（2022?陜西渭南?九年級期末）四邊形的一條對角線把這個四邊形分成兩個三角形，如果這兩個三

角形相似（不全等），我們就把這條對角線稱為這個四邊形的“理想對角線

（1）如圖1,在四邊形力BCD中，乙ABC=70°,AB=AD,ADIIBC,當4力DC=145。時.求證：對角線BD是

四邊形的“理想對角線〃：

⑵如圖2,四邊形ABCD中，平分乙8c0,BC=3,CD=2,對角線AC是四邊形/WC0的“理想對角線〃,

求AC的長.

【答案】（1）證明見解析；

（2）V6

【分析】（1）利用兩角對應(yīng)相等證明△48。SADBC,可得結(jié)論；

（2）利用“理想對角線〃的定義可得與△D4C相似，先找到對應(yīng)角（分兩種情況）,再利用相似三角

形的性質(zhì)即可求解.

（1）

證明：如圖1中，

團A,=AD,

如=LADB,

^ADIIBC,￡.ABC=70°,

^Z-ADB=Z.DBC,

^/.ABD=乙DBC=-^ABC=35°,

2

^AD||BC,/.ADC=145°,

回4C=180°-/.ADC=180°-145°=35°,

團/ABD=乙DBC=Z.ADB=乙。=35°,

0AABDDBC,

回對角線8D是四邊形力BCD的〃理想對角線〃.

解：如圖2中，

^CA^6^BCD,

□z.PC/4=Z./1CD,

團對角線AC是四邊形2188的“理想對角線〃，

團Zk/IBC與△0力。相似，

①若iA5c=2。4C,則AABCb△。力。，

吟=能^AC2=BC-DC,

WC=3,CD=2,

比4（/2=KC-DC=3X2=6,

解得：i4cl=V6,AC2=—V6（不合題意，舍去）

②若"4c=Z.DAC,

^AC=AC,LBCA=￡.ACD,

團△力8c三△04C,與四邊形的“理想對角線〃的定義矛盾,

團4BAC與4ZMC不相等，即第二種情況不存在.

綜上所述，4c的長為n.

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的"理想對角線〃的定義，等邊對等角，平行線的性質(zhì)，

角平分線的性質(zhì)等知識.解題的關(guān)鍵是靈活運用相似三角形的判定和性質(zhì).

【變式9-1］（2022?福建?廈門市第五中學(xué)八年級期中）定義：若一個三角形最長邊是最短邊的2倍，我們

把這樣的三角形叫做“和諧三角形在中，點尸在邊AC上，。是邊8c上的一點，AB=BD,點A,

。關(guān)于直線/對稱，且直線/經(jīng)過點F.

（1）如圖1，求作點F；（用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）如圖2,0A8C是“和諧三角形〃，三邊長BC,AC,48分別a,b,c,且滿足下列兩個條件：/2b,和

〃2+4/=441：+〃-b-1.

①求小〃之間的等量關(guān)系：

②若4后是財3。的中線.求證：（MCE是“和諧三角形

AA

【答案】（1）見解析（2）①a斗+1②見解析

【分析】（1）作4。的垂直平分線，交AC于尸點即可；

（2）①根據(jù)題意得到〃=2c,聯(lián)立a2+4c2=4ac+a-b-1即可求解;

②證明國48以兆CZM,得到等=；,故可求解.

CA2

【詳解】（1）如圖，點尸為所求；

（2）①畫48c是"和諧三角形”

0?=2c

又。2+4。2=4。。+。-b-1.

聯(lián)立化簡得到+1:

②以E點是BD中點

=\AB

22

由①得到

又加3￡=團。朋

^BABE^CBA

AB_BE_/IE_1

SC~AB~CA~2

故（L4CE是“和諧三角形

【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知垂直平分線的做法.

【變式9-2］（2022?江蘇常州?九年級期末）如果經(jīng)過一個三角形某個頂點的直線將這個三角形分成兩部分,

其中一部分與原三角形相似，那么稱這條直線被原三角形截得的線段為這個三角形的“形似線段〃.

圖1圖3

⑴在0ABC中,04=30.

①如圖1,若魴=100。，請過頂點C畫出0A8C的“形似線段〃CM,并標注必要度數(shù)；

②如圖2,若貼=90。，BC=1,則的"形似線段"的長是.

（2）如圖3,在QEF中，DE=4,EF=6,DF=8,若EG是OEr的“形似線段〃，求EG的長.

【答案】（1）①見解析：②年或?qū)W

(2)3

【分析】（1）①使，BCM=30唧可，②利用一:角形相似求解，分論討論，當"8。=30。時，"CDB=60°

時，結(jié)合勾股定理求解；

（2）進行分類討論，若ADEGs&DFE,若XFEG—FDE,結(jié)合DE=4,EF=6,OF=8進行求解.

（1）

①如圖所示，

圖1

②分論討論如下：

當"8。=30。時,如下圖:

A

02

DC=-BC=-,

22

???LA=30°,

zc=60°,

???BD=yjBC2-DC2=—,

2

當/CDB=60。時，如下圖:

圖2

設(shè)8。=%,則DC=2x,

(2x)2=/+i,

解得：%

二DC=等，

貝IjE/WC的"形似線段"的長是?或容

故答案為：當或竽.

(2)

解：①若△DEGyME,

???DE=4,EF=6,DF=8,

:.EG=3.

②若△PEGFDE,

DG

則竺=竺.

DEDF

???DE=4,EF=6,DF=8,

：?EG=3.

綜上，EG=3.

【點睛】本題考查了三角形相似的判定及性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形相似的判定及性質(zhì)，

及利用分論討論的思想進行求解.

【變式9-3]（2022?安徽合肥?二模）定義：如果一個三角形中有一個角是另一個角的2倍，那么我們稱這

樣的三角形為倍角三角形.根據(jù)上述定義可知倍角三角形中有一個角是另一個角的2倍，所以我們就可以

通過作出其中的2倍角的角平分線，得出一對相似三角形，再利用我們學(xué)過的相似三角形的性質(zhì)解決相關(guān)

問題.請通過這種方法解答下列問題：

⑴如圖1,0ABC中，人。是角平分線，且=求證：財8。是倍角三角形;

（2）如圖2,已知是倍角三角形，且乙4=2乙C,AB=8,BC=10,求4c的長；

⑶如圖3,己知財3c中，Z.A=AB=8,BC=10,求AC的長.

【答案】（1）見解析

（2）AC=4.5

⑶疣=3

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定可證MB詼C84,進而由相似三角形的性質(zhì)可得回氏4D=ZC,角平分

線的性質(zhì)可得同B4C=2I3孫。，等量代換即可求證結(jié)論；

（2）作S/WC的角平分線A。，根據(jù)角平分線的性質(zhì)易得鼬AC=2（38AD=2團CAO,進而可證EA加曜1C8A,根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得4"=3。?弘,進而可得BD、CD,由等角對等邊可得AD=CQ=3.6,根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)可得*=籌，代入數(shù)據(jù)即可求解；

ACAB

（3）過點A作團8AC的三等分角,AO,AE,分別交8。于點D,E,根據(jù)三等分線的性質(zhì)可知:484c=3484。=

3ND4E=3NC4E,進而可證△4BD?,由相似三角形的性質(zhì)可得：AB2=BD-BC,進而可得3。、

CD,根據(jù)外角的性質(zhì)和等最代換可得/8{￡=48必=2”,進而由等角對等邊可得BE=/18=8,進而可

得44DE?△C7M,由相似三角形的性質(zhì)可得：4。2=。￡,。。，代入數(shù)據(jù)求得：AD=24,由相似三角形

的性質(zhì)可得第=黑，代入數(shù)據(jù)即可求解.

(1)

^AB2=BD-BC,

造=絲，

BCAB

00^=0B,

豳6AD=0C,

MD是刻8c的角平分線，

WAC=2^BAD,

005AC=20C,

團財BC是倍角三角形：

(2)

如圖2,作0ABe的角平分線人。，則用B4C=2團B4O=2(3C4。,

回[36AC=2[aC,

WfAD=^C,

回回8=0B,

配L4BQ00C8A,

^AB2=BD?BC,

MD=6.4,

0CD=BC-BD=10-6.4=3.6,

圓3CA/)=(2C,

M/)=CQ=3.6,

團AC=4.5

A

圖2

⑶

如圖3,過點A作團B4c的三等分角，AD,4E分別交8c于點Q,E,

貝lj/84c=3/-BAD=3/.DAE=34G4E,

^z.BAC=3zC,

0ZF/1D=zC,

團4B=乙B,

0AABD—△CBA,

0/41?2=BD-DC,

(3BD=6.4,

(3CD=BC-BD=10-6.4=3.6,

^Z-BAE=乙BEA=2zC>

OFF=AB=8,

團CE=2,DE=1.6,

回乙CAE=Z.C?

團AE=CE=2,

^Z.DAE=