1/53.1.4空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算例1如圖，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A（1）求的長；（2）求cos〈，〉的值；（3）求證：A1B⊥C1M。（1）解：如圖建立坐標(biāo)系，依題意得B（0，1，0），N（1，0，1），∴｜｜==。（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），?！郼os〈，〉==。（3）證明：∵C1（0，0，2），M（，，2），∴=（－1，1，－2），=（，，0），∴·=0，∴A1B⊥C1M。例2如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)。（1）證明AD⊥D1F（2）求AE與D1F（3）證明面AED⊥面A1D1F。解：取D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系，取正方體棱長為2，則A（2，0，0）、A1（2，0，2）、D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）（1）∵·=（2，0，0）·（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F（2）∵·=（0，2，1）·（0，1，－2）=0，∴AE⊥D1F，即AE與D1F成（3）∵·=（2，2，1）·（0，1，－2）=0，∴DE⊥D1F∵AE⊥D1F，∴D1F⊥面AE∵D1F面A1D1F，∴面AED⊥面A1D1點(diǎn)評(píng)：①通過建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)用三維坐標(biāo)表示，向量用坐標(biāo)表示，進(jìn)行向量的運(yùn)算，輕而易舉地解決立體幾何問題，不需要添加輔助線，一個(gè)需要經(jīng)過嚴(yán)密推理論證的問題就這樣被簡單機(jī)械的運(yùn)算代替了。②本題是高考題，標(biāo)準(zhǔn)答案的解法較為復(fù)雜，而運(yùn)用代數(shù)向量求解則輕而易舉，充分顯示出代數(shù)化方法研究幾何圖形的優(yōu)越性，這應(yīng)作為立體幾何復(fù)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)去掌握通過坐標(biāo)法計(jì)算數(shù)量積去證垂直，求夾角、距離，是高考的重點(diǎn)。例3如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底邊長為a，側(cè)棱長為a。建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，（1）寫出A，B，A1，B1的坐標(biāo)；（2）求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角分析：（1）所謂“建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系”，一般應(yīng)使盡量多的點(diǎn)在數(shù)軸上或便于計(jì)算，（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量與直線所成的角，然后再求之解：（1）建系如圖，則A（0，0，0）B（0，a,0）A1（0，0，a)，C1（-a，)(2)解法一：在所建的坐標(biāo)系中，取A1B1的中點(diǎn)M，于是M（0，），連結(jié)AM，MC1則有，，∴，，所以，MC1⊥平面ABB1A因此，AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1 ，，,而|由cos<>=, <>=30°解法二： ，平面ABB1A1的一個(gè)法向量∴AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角的正弦為：=∴AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°例4棱長為2的正方體A1B1C1D1-ABCD中，E、F分別是C1C和D1A1的中點(diǎn)，（1）求EF長度；（2）求<>；（3）求點(diǎn)A到分析：一般來說，與長方體的棱或棱上的點(diǎn)有關(guān)的問題，建立空間直角坐標(biāo)系比較方便，適當(dāng)建立坐標(biāo)系后，正確地寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量然后進(jìn)行運(yùn)算即可得解解：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），B（2，2，0），E（0，2，1），F(xiàn)（1，0，2）由此可得：=（0，2，0），=（1，-2，1）=（1，0，-2），||=2，||=，=-4，=1-2=-1，所以（1）=

（2）cos<>==-，所以<>=-arccos(3)在上的射影的數(shù)量cos<>== A到EF的距離=點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)到直線的距離的向量求法，就是先求出該點(diǎn)與直線上某點(diǎn)連線在直線上的射影，再用勾股定理求對(duì)應(yīng)的距離。例5平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中點(diǎn)，（1）求證平面AGC⊥平面BGC；（2）求GB與平面AGC所成角正弦值；（3）求二面角B—AC—G的大小。解：如圖，以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F(xiàn)（a，0，0）（1）證明：，，設(shè)平面AGC的法向量為，設(shè)平面BGC的法向量為，∴即∴平面AGC⊥平面BGC；（2）由⑴知平面AGC的法向量為，∴（3）因是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，平面ABCD的法向量，得∴二面角B—AC—G的大小為求平面法向量的另一種方法：由A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F(xiàn)（a，0，0）設(shè)平面AGC的方程為：則∴平面AGC的法向