§2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值課標(biāo)要求1.借助函數(shù)圖象,會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最值,理解實(shí)際意義.2.掌握函數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用.1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,區(qū)間I?D,如果?x1,x2∈I當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增,特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí),我們就稱它是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減,特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí),我們就稱它是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間I叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.2.函數(shù)的最值前提一般地,設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)?x∈D,都有f(x)≤M；(2)?x0∈D,使得f(x0)＝M(1)?x∈D,都有f(x)≥M；(2)?x0∈D,使得f(x0)＝M結(jié)論M是函數(shù)y＝f(x)的最大值M是函數(shù)y＝f(x)的最小值1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若函數(shù)f(x)滿足f(－3)<f(2),則f(x)在[－3,2]上單調(diào)遞增.(×)(2)若函數(shù)f(x)在(－2,3)上單調(diào)遞增,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－2,3).(×)(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)在區(qū)間[a,b]上一定有最值.(√)(4)函數(shù)y＝1x的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞,0)∪(0,＋∞).(×2.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,＋∞)上單調(diào)遞增的是()A.y＝－x＋1 B.y＝(x－1)2C.y＝|lnx| D.y＝x答案D解析y＝－x＋1在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,不符合題意；y＝(x－1)2在(0,＋∞)上不單調(diào),不符合題意；因?yàn)閥＝|lnx|＝-lnx,0<x<1,lnx,x≥1,則y＝|lnx|y＝x在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,符合題意.3.函數(shù)y＝－1x＋1在區(qū)間[1,2]上的最大值為A.－13 B.－C.－1 D.不存在答案A解析y＝－1x＋1在(－1,＋∞)上單調(diào)遞增,則y＝－1x＋1在區(qū)間[所以ymax＝－12＋14.函數(shù)f(x)是定義在[0,＋∞)上的減函數(shù),則滿足f(2x－1)>f

13的x的取值范圍是答案1解析∵f(x)的定義域是[0,＋∞),∴2x－1≥0,即x≥1又∵f(x)是定義在[0,＋∞)上的減函數(shù),∴2x－1<13,即x則x的取值范圍為121.熟記與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的常用結(jié)論(1)若?x1,x2∈I(x1≠x2),則①f(x1)-f(x2)x1-x2>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x②f(x1)-f(x2)x1-x2<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x(2)y＝x＋1x的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞,－1]和[1,＋∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,0)和(0,1(3)在區(qū)間I上,兩個(gè)增函數(shù)的和仍是增函數(shù),兩個(gè)減函數(shù)的和仍是減函數(shù).(4)函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”.2.解題時(shí)謹(jǐn)防以下易誤點(diǎn)(1)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用不等式表示.(2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間或討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí),必須先求函數(shù)的定義域.(3)一個(gè)函數(shù)的同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“,”連接,不能用“∪”連接.(4)“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是M”與“函數(shù)在區(qū)間N上單調(diào)”是兩個(gè)不同的概念,顯然N?M.題型一確定函數(shù)的單調(diào)性命題點(diǎn)1函數(shù)單調(diào)性的判斷例1(多選)下列說(shuō)法中,正確的是()A.函數(shù)y＝e－x－1x2在(－∞,0B.若f(x),g(x)都是R上的增函數(shù),則h(x)＝f(x)＋g(x)也是R上的增函數(shù)C.函數(shù)y＝2|x＋1|的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞,－1]D.函數(shù)f(x)＝2-x2＋2x＋答案ABC解析在(－∞,0)上函數(shù)y＝e－x與y＝－1x2都單調(diào)遞減,所以y＝e－x－1x2在(－∞,0)上單調(diào)遞減兩增函數(shù)的和為增函數(shù),故B正確；作出函數(shù)y＝2|x＋1|的圖象,如圖所示,由圖象可知,函數(shù)y＝2|x＋1|的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞,－1],故C正確；由判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的方法“同增異減”可得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞,1],故D錯(cuò)誤.命題點(diǎn)2利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性例2試討論函數(shù)f(x)＝axx-1(a≠0)在(－1,1)解方法一定義法設(shè)－1<x1<x2<1,因?yàn)閒(x)＝a·x-1＋1所以f(x1)－f(x2)＝a1＋1x由于－1<x1<x2<1,所以x2－x1>0,x1－1<0,x2－1<0,故當(dāng)a>0時(shí),f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a<0時(shí),f(x1)－f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增.方法二導(dǎo)數(shù)法f'(x)＝(ax)'故當(dāng)a>0時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a<0時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增.思維升華確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法(1)定義法.(2)導(dǎo)數(shù)法.(3)圖象法.(4)性質(zhì)法.跟蹤訓(xùn)練1(1)下列函數(shù)中,滿足“對(duì)任意x1,x2∈(0,＋∞),當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2)”的是()A.f(x)＝|x| B.f(x)＝xC.f(x)＝－x2＋2x D.f(x)＝ex答案B解析對(duì)任意x1,x2∈(0,＋∞),當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2),則函數(shù)f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,f(x)＝|x|在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,故A錯(cuò)誤；f(x)＝x-13在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(0,＋∞)上不單調(diào),故C錯(cuò)誤；f(x)＝ex在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,故D錯(cuò)誤.(2)(2024·唐山模擬)函數(shù)f(x)＝log12(2x2－3x－2)的單調(diào)遞增區(qū)間為答案-解析令2x2－3x－2>0,解得x>2或x<－1則f(x)的定義域?yàn)?∞,-12∪(2,由y＝log12x在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,y＝2x2－3x－2在-∞,-12上單調(diào)遞減,在(2根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-∞題型二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題點(diǎn)1比較函數(shù)值的大小例3定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意的x1,x2∈(－∞,0](x1≠x2),有f(x1)-f(A.f(－2)<f(3)<f(4)B.f(－2)>f(3)>f(4)C.f(3)<f(4)<f(－2)D.f(4)<f(－2)<f(3)答案A解析因?yàn)閷?duì)任意的x1,x2∈(－∞,0](x1≠x2),有f(x所以f(x)在(－∞,0]上單調(diào)遞減,又f(x)為偶函數(shù),所以f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,則f(2)<f(3)<f(4),又f(－2)＝f(2),所以f(－2)<f(3)<f(4).命題點(diǎn)2求函數(shù)的最值例4函數(shù)y＝1x-1－1＋x(x≥3)的最小值為答案5解析設(shè)t＝x－1,t≥2,則y＝1x-1－1＋x＝t＋1t(t≥又函數(shù)y＝t＋1t在[2,＋∞)上單調(diào)遞增所以當(dāng)t＝2,即x＝3時(shí),函數(shù)有最小值2＋12求函數(shù)的值域(最值)的常用方法(1)配方法：主要用于和一元二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)求值域問(wèn)題.(2)單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)所給定義域來(lái)確定函數(shù)的值域.(3)數(shù)形結(jié)合法.(4)換元法：引進(jìn)一個(gè)(幾個(gè))新的量來(lái)代替原來(lái)的量，實(shí)行這種“變量代換”.(5)分離常數(shù)法：分子、分母同次的分式形式采用配湊分子的方法，把函數(shù)分離成一個(gè)常數(shù)和一個(gè)分式和的形式.典例(多選)下列函數(shù)中，值域正確的是()A.當(dāng)x∈[0，3)時(shí)，函數(shù)y＝x2－2x＋3的值域?yàn)閇2，6)B.函數(shù)y＝2x＋C.函數(shù)y＝2x－x-1的值域?yàn)镈.函數(shù)y＝x＋1＋x-1的值域?yàn)閇答案ACD解析對(duì)于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖①所示)，可得函數(shù)的值域?yàn)閇2，6).對(duì)于B，(分離常數(shù)法)y＝2x＋1x-3＝2(x-3)＋7x-3＝故函數(shù)的值域?yàn)?－∞，2)∪(2，＋∞).對(duì)于C，(換元法)設(shè)t＝x-1，則x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2t由t≥0，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖②所示)，可得函數(shù)的值域?yàn)?58對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)閇1，＋∞)，∵y＝x＋1與y＝x-1在[1，＋∞)上均單調(diào)遞增，∴y＝x＋1＋x-1∴當(dāng)x＝1時(shí)，ymin＝2，即函數(shù)的值域?yàn)閇2，＋∞).命題點(diǎn)3解函數(shù)不等式例5(2025·湖州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x,則使f(|x|)<f(－3x2＋4)成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A.(－1,0) B.(－1,＋∞)C.(－1,1) D.(1,＋∞)答案C解析函數(shù)y＝ex為增函數(shù),函數(shù)y＝e－x為減函數(shù),所以函數(shù)f(x)＝ex－e－x為增函數(shù),所以f(|x|)<f(－3x2＋4)?|x|<－3x2＋4,即3|x|2＋|x|－4<0,(|x|－1)(3|x|＋4)<0,得0≤|x|<1,解得－1<x<1,所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為(－1,1).命題點(diǎn)4求參數(shù)的值(范圍)例6(2024·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝-x2-2ax-a,x<0,eA.(－∞,0] B.[－1,0]C.[－1,1] D.[0,＋∞)答案B解析因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增,且x≥0時(shí),f(x)＝ex＋ln(x＋1)單調(diào)遞增,則需滿足-解得－1≤a≤0,即a的取值范圍是[－1,0].思維升華(1)比較函數(shù)值的大小時(shí),先轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.(2)求解函數(shù)不等式時(shí),由條件脫去“f”,轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系,應(yīng)注意函數(shù)的定義域.(3)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍).根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降,再結(jié)合圖象求解.對(duì)于分段函數(shù),要注意銜接點(diǎn)的取值.跟蹤訓(xùn)練2(1)若函數(shù)f(x)＝x＋a-3x-1在(a,＋∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)答案[1,2)解析f(x)＝x＋a-3x∵f(x)在(a,＋∞)上單調(diào)遞增,∴a-2<0,a≥1?1(2)(多選)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1,x2(x1≠x2),滿足x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1),下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)f(x)是減函數(shù)B.f(－5)<f(0)<f(1)C.f(0)＝0D.不等式f(2x－1)<f(3－x)的解集為-答案BD解析由x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1),得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0,因此f(x)是增函數(shù),A錯(cuò)誤；由－5<0<1,得f(－5)<f(0)<f(1),B正確；不一定有f(0)＝0,如f(x)＝2x在R上為增函數(shù),f(0)＝1,C錯(cuò)誤；由f(2x－1)<f(3－x),得2x－1<3－x,解得x<43,D課時(shí)精練[分值：90分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分,共30分)1.下列函數(shù)中,在(0,＋∞)上單調(diào)遞減的是()A.y＝x B.y＝－1C.y＝12x＋1 D.y答案C解析y＝x＝x12,因?yàn)?2>0,所以y＝x在(0,＋∞因?yàn)閥＝1x在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,所以y＝－1x在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,故因?yàn)?<12<1,所以y＝12x＋1在(0,＋∞)因?yàn)?>1,所以y＝log2x在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,故D錯(cuò)誤.2.已知f(x)＝2x＋x,則“f(x1)＝f(x2)”是“x1＝x2”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝2x,y＝x在R上為增函數(shù),則函數(shù)f(x)＝2x＋x在R上為增函數(shù),則“f(x1)＝f(x2)”可以推出“x1＝x2”,“x1＝x2”也可推出“f(x1)＝f(x2)”,故“f(x1)＝f(x2)”是“x1＝x2”的充要條件.3.函數(shù)f(x)＝|x|(x－1)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.(－∞,0) B.0,C.12,1 D.(1,＋答案B解析f(x)＝x作出圖象,如圖所示,可以得到函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是0,14.已知函數(shù)f(x)＝2xx-1,則f(x)在區(qū)間[2,6]A.125 B.3 C.4 D.答案C解析∵f(x)＝2xx-1＝2＋2x-1在[2∴f(x)max＝f(2)＝4.5.已知函數(shù)f(x)＝(a-2)x-1,x≤1,logax,x>1滿足對(duì)任意x1≠xA.(1,2) B.(2,3)C.(2,3] D.(2,＋∞)答案C解析函數(shù)f(x)＝(a-2)x由對(duì)任意x1≠x2,都有f(x得函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù),于是a-2>0,a>1,a-3≤所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,3].6.已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意x1,x2且x1≠x2,都有f(x1)-f(x2A.y＝f(x)＋x是增函數(shù)B.y＝f(x)＋x是減函數(shù)C.y＝f(x)是增函數(shù)D.y＝f(x)是減函數(shù)答案A解析不妨令x1<x2,∴x1－x2<0,∵f(x1)-f(x2)x1-x2>－1?f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)?f(x1令g(x)＝f(x)＋x,∴g(x1)<g(x2),又x1<x2,∴g(x)＝f(x)＋x是增函數(shù).二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分,共12分)7.已知函數(shù)f(x)＝2x-12x＋A.f(－x)＝f(x)B.函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－1,1]C.?x1,x2∈R,且x1≠x2,有f(D.?x∈R,“a≥1”是“f(a2)≥f(sinx)”的充分不必要條件答案CD解析f(－x)＝2-x-12-x＋1＝由f(x)＝2x-12x＋1＝1－22x＋1,因?yàn)?2x＋由f(x)＝2x-12x＋1＝1－22x＋1,對(duì)于?x1,x則f(x2)－f(x1)＝1－22x2＋因?yàn)閤1<x2,所以2x2>2x1又因?yàn)?2x1＋1)(2x2＋所以f(x2)－f(x1)>0,所以函數(shù)f(x)在其定義域R上為增函數(shù),所以?x1,x2∈R且x1≠x2,有f(x2)-f充分性：當(dāng)a≥1時(shí),因?yàn)椋?≤sinx≤1,由f(x)為增函數(shù),所以f(a2)≥f(sinx),故充分性成立；必要性：由f(x)為增函數(shù),當(dāng)f(a2)≥f(sinx)恒成立時(shí),因?yàn)椋?≤sinx≤1,所以a2≥1,解得a≥1或a≤－1,故必要性不成立,綜上可知“a≥1”是“f(a2)≥f(sinx)”的充分不必要條件,故D正確.8.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意a,b∈R,都有f(a)f(b)＝f(a＋b),f(0)≠0且當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1,則()A.?x∈R,都有f(x)＝－1B.當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1C.f(x)是減函數(shù)D.若f(3)＝12,則不等式f(2t2－5t)>1答案BCD解析令a＝0,b＝1,則f(0)f(1)＝f(1),易知0<f(1)<1,所以f(0)＝1.當(dāng)x<0時(shí),－x>0,所以0<f(－x)<1,又f(x)f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝1,所以f(x)＝1f(-x),即f(x)>1,設(shè)x1<x2,且x1,x2∈R,則f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)f(x2)－f(x2)＝f(x2)[f(x1－x2)－1],又x1<x2,所以x1－x2<0,所以f(x1－x2)>1,又當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1,當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1,f(0)＝1,所以f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)是減函數(shù),C正確；因?yàn)閒(3)＝1所以f(12)＝f(6)f(6)＝[f(3)]4＝1所以f(2t2－5t)>1即f(2t2－5t)>f(12),又f(x)是減函數(shù),所以2t2－5t<12,解得－32<t<4所以不等式f(2t2－5t)>f(12)的解集為-32,4三、填空題(每小題5分,共10分)9.函數(shù)f(x)＝4x-32x答案-解析f(x)＝4x-32x由2x＋3≠0,得x≠－3當(dāng)x∈-∞,-32時(shí),yf(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈-32,＋∞時(shí),f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-∞10.柯西(Cauchy,1789—1857)是著名的法國(guó)數(shù)學(xué)家.我們把函數(shù)方程f(x＋y)＝f(x)＋f(y)稱為柯西方程,滿足該方程的函數(shù)f(x)稱為“加性函數(shù)”.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)在R上單調(diào)遞減的加性函數(shù).

答案f(x)＝－x(答案不唯一)解析設(shè)f(x)＝－x,在R上單調(diào)遞減.f(x＋y)＝－x－y,f(x)＝－x,f(y)＝－y,滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y).所以函數(shù)f(x)＝－x是在R上單調(diào)遞減的加性函數(shù).四、解答題(共27分)11.(13分)已知函數(shù)f(x)＝x＋1x(1)用定義證明函數(shù)f(x)在(1,＋∞)上單調(diào)遞增；(7分)(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,6]上的最大值和最小值.(6分)(1)證明任取x1,x2∈(1,＋∞)且x1<x2,則f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1－x2－1x2＝x1－x2＋x2-x1x因?yàn)閤1,x2∈(1,＋∞)且x1<x2,可得x1－x2<0,x1x2>1,0<1x1則1－1x1所以f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)1-1x即f(x1)<f(x2),所以函數(shù)f(x)在(1,＋∞)上單調(diào)遞增.(2)解由(1)知函數(shù)f(x)在[3,6]上單調(diào)遞增,所以f(x)max＝f(6)＝376,f(x)min＝f(3)所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,6]上的最大值為376,最小值為12.(14分)已知定義在(0,＋∞)上的函數(shù)f(x),滿足f(mn)＝f(m)＋f(n)(m,n>0),且當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0.(1)求證：f

mn＝f(m)－f(n)；(5(2)若f(2)＝1,解不等式f(x＋2)－f(2x)>2.(9分)(1)證明f(m)＝f

mn·n＝f

mn＋f即f

mn＝f(m)－f(n(2)解任取x1,x2∈(0,＋∞),且x1<x2,則x2x由(1)得f(x2)－f(x1)＝f

x2即f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,∵f(2)＝1,∴2＝f(2)＋f(2)＝f(4),f(x＋2)－f(2x)>2?f(x＋2)>f(2x)＋f(4)?f(x＋2)>f(8x),又f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,∴x＋2>8x,