山東省煙臺(tái)市2023?2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末學(xué)業(yè)水平診斷數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．從6名大學(xué)畢業(yè)生中任選3名去某中學(xué)支教，不同選派方法的總數(shù)為（

）A．12 B．18 C．20 D．1202．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．36 B．45 C．72 D．903．已知曲線在點(diǎn)處的切線與軸相交于點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（

）A．-2 B．-1 C．1 D．24．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B．1 C． D．25．中心極限定理在概率論中應(yīng)用廣泛.根據(jù)該定理，若隨機(jī)變量，當(dāng)充分大時(shí)，可以由服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量近似替代，且的均值?方差分別與隨機(jī)變量的均值?方差近似相等.某射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行400次射擊，且每次射擊命中目標(biāo)的概率為，則估計(jì)射擊命中次數(shù)小于336的概率約為（

）附：若，則，.A．0.9987 B．0.9773 C．0.8414 D．0.56．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．某產(chǎn)品只有一等品?二等品，現(xiàn)隨機(jī)裝箱銷(xiāo)售，每箱15件.假定任意一箱含二等品件數(shù)為的概率分別為.一顧客欲購(gòu)一箱該產(chǎn)品，開(kāi)箱隨機(jī)查看其中1件，若該件產(chǎn)品為一等品，則買(mǎi)下這箱產(chǎn)品，否則退回，則該顧客買(mǎi)下這箱產(chǎn)品的概率為（

）A． B． C． D．8．已知，且，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．a(chǎn)+b<-1二、多選題（本大題共3小題）9．某彈簧振子在振動(dòng)過(guò)程中的位移（單位：）與時(shí)間（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系為，則（

）A．時(shí)，彈簧振子的位移為B．時(shí)，彈簧振子的瞬時(shí)速度為C．時(shí)，彈簧振子的瞬時(shí)加速度為D．時(shí)，彈簧振子的瞬時(shí)速度為10．已知某兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，由樣本數(shù)據(jù)確定的樣本經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且.若剔除一個(gè)明顯偏離直線的異常點(diǎn)后，利用剩余9組數(shù)據(jù)得到修正后的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，由修正后的方程可推斷出（

）A．變量的樣本相關(guān)系數(shù)為正數(shù)B．經(jīng)驗(yàn)回歸直線恒過(guò)C．每增加1個(gè)單位，平均減少1.6個(gè)單位D．樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值為0.211．設(shè)數(shù)列滿足下列條件：，且當(dāng)時(shí)，.記項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列的個(gè)數(shù)為，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．展開(kāi)式中的系數(shù)為.13．若曲線與總存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，則的取值范圍為.14．南京大學(xué)2023年的本科生錄取通知書(shū)用科赫曲線的數(shù)學(xué)規(guī)律鼓勵(lì)新生成為獨(dú)一無(wú)二的自己，還附贈(zèng)“科赫雪花”徽章，意在有限的生命中，創(chuàng)造無(wú)限可能.科赫曲線的作法是：從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程.下圖展示的分別是1階?2階?3階?4階科赫曲線，設(shè)1階科赫曲線的周長(zhǎng)為，則階科赫曲線的周長(zhǎng)為；若階科赫曲線圍成的平面圖形的面積為，且滿足，則的最小值為四、解答題（本大題共5小題）15．某高中在高二年級(jí)舉辦創(chuàng)新作文比賽活動(dòng)，滿分100分，得分80及以上者獲獎(jiǎng).為了解學(xué)生獲獎(jiǎng)情況與選修閱讀課程之間的關(guān)系，在參賽選手中隨機(jī)選取了50名學(xué)生作為樣本，各分?jǐn)?shù)段學(xué)生人數(shù)及其選修閱讀課程情況統(tǒng)計(jì)如下：成績(jī)學(xué)生人數(shù)6102473選修讀課程人數(shù)03944(1)根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生獲獎(jiǎng)與選修閱讀課程有關(guān)聯(lián)；獲獎(jiǎng)沒(méi)有獲獎(jiǎng)合計(jì)選修閱讀課程不選閱讀課程合計(jì)(2)在上述樣本的獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，設(shè)3人中選修閱讀課程人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求過(guò)點(diǎn)且與圖象相切的直線的方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.17．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，數(shù)列滿足，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列的所有公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新的數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.18．一個(gè)不透明的袋子中裝有大小形狀完全相同的6個(gè)小球，其中3個(gè)黑球?3個(gè)白球.現(xiàn)從袋中隨機(jī)逐個(gè)抽取小球，若每次取出的是黑球，則放回袋子中，否則不放回，直至3個(gè)白球全部取出.(1)求在第2次取出的小球?yàn)楹谇虻臈l件下，第1次取出的小球?yàn)榘浊虻母怕剩?2)記抽取3次取出白球的數(shù)量為，求隨機(jī)變量的分布列；(3)記恰好在第次取出第二個(gè)白球的概率為，求.19．已知函數(shù)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)的極值點(diǎn)之和為，零點(diǎn)之和為，求證：.

參考答案1．【答案】C【分析】根據(jù)組合公式即可得到答案.【詳解】由題意得不同選派方法的總數(shù)為.故選C.2．【答案】C【分析】先由求得公差d，再由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且，所以，解得，所以，故選C.3．【答案】A【分析】先求出切線方程，再將點(diǎn)代入求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以在點(diǎn)處的切線方程為，又因?yàn)榍芯€與軸相交于點(diǎn)，所以，解得，故選A.4．【答案】D【分析】由求出的通項(xiàng)公式，然后由等比數(shù)列確定的值，從而可得結(jié)論．【詳解】時(shí)，，又，數(shù)列等比數(shù)列，∴，即，解得．故選D．5．【答案】B【分析】首先根據(jù)二項(xiàng)分布算出，進(jìn)一步結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)即可求解.【詳解】射擊命中次數(shù)服從二項(xiàng)分布，均值，方差，所以，.故選B.6．【答案】D【分析】由題設(shè)可得在上恒成立，分離參數(shù)后利用基本不等式可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故在上恒成立，即在上恒成立，即，即，設(shè)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.故選D.7．【答案】C【分析】結(jié)合全概率公式、對(duì)立事件概率公式即可求解.【詳解】由全概率公式可知，抽到二等品的概率為，故所求概率為.故選C.8．【答案】A【分析】由題意可得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得其在上的單調(diào)性，分類(lèi)討論可得結(jié)論.【詳解】由題意可得，可得，因?yàn)椋?，所以，令，求?dǎo)得，可得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，當(dāng)時(shí)，有，可得，當(dāng)時(shí)，有恒成立，所以，綜上所述：.故選A.【方法總結(jié)】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)利用單調(diào)性判斷自變量的大小.9．【答案】ABD【分析】對(duì)于A，將代入即可判斷；對(duì)于B，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出，將代入即可判斷；對(duì)于C，設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，將代入即可判斷；對(duì)于D，將代入即可判斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，彈簧振子的位移為，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，彈簧振子的瞬時(shí)速度為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，彈簧振子的瞬時(shí)加速度為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，彈簧振子的瞬時(shí)速度為，故D正確.故選ABD.10．【答案】BCD【分析】利用已知求得樣本中心點(diǎn)，進(jìn)而可求得剔除異常點(diǎn)后，新數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，據(jù)此可求回歸方程，依據(jù)選項(xiàng)條件計(jì)算可判斷選項(xiàng)的正誤.【詳解】將代入可得，剔除異常點(diǎn)后，新的平均值為，，代入，可得，解得，所以修正后的回歸直線方程為，對(duì)于A：因?yàn)榈南禂?shù)為，故相關(guān)系數(shù)也應(yīng)為負(fù)數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：恒過(guò)，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)榈南禂?shù)為，所以每增加1個(gè)單位，平均減少，故C正確；對(duì)于D：令，可得，所以殘差的絕對(duì)值，故D正確.故選BCD.11．【答案】AC【分析】根據(jù)排列組合的性質(zhì)可得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而判斷ABC各選項(xiàng)，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】由已知當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列的項(xiàng)中不能連續(xù)出現(xiàn)，且當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，出現(xiàn)的次數(shù)不得大于，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，出現(xiàn)的次數(shù)不得大于，且當(dāng)出現(xiàn)的次數(shù)為時(shí)數(shù)列的第一項(xiàng)為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)有個(gè)時(shí)，則有個(gè)，此時(shí)數(shù)列共有種情況，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)有個(gè)時(shí)，則有個(gè)，此時(shí)數(shù)列共有種情況，所以，所以，A正確；，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，，此時(shí)，又組合數(shù)（），且，可知，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，，同理，所以C正確；D選項(xiàng)：由，即，所以，化簡(jiǎn)可得，，由已知，設(shè)，則，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，D錯(cuò)誤；故選AC.12．【答案】-80【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，所以的系數(shù)為.13．【答案】【分析】通過(guò)分析可知，方程有解，從而構(gòu)造函數(shù)求得的值域即可求解.【詳解】若曲線與總存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，則上的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在曲線上，所以方程有解，令，則方程有解，即方程有解，令，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)趨于0時(shí)，趨于負(fù)無(wú)窮，當(dāng)趨于正無(wú)窮時(shí)，趨于0，所以的值域?yàn)椋C上所述，的取值范圍為.故答案為：.14．【答案】【分析】記第階科赫曲線為，其三角形邊長(zhǎng)為，邊數(shù)，周長(zhǎng)為，面積為，由題意可得，邊數(shù)，可求，進(jìn)而可得，累加可得，計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】記第階科赫曲線為，其三角形邊長(zhǎng)為，邊數(shù)，周長(zhǎng)為，面積為，若第階科赫曲線中的三角形的周長(zhǎng)為，則，邊數(shù)，第階科赫曲線中的三角形的，邊數(shù)，所以第階科赫曲線中的三角形的邊長(zhǎng)，邊數(shù)，所以第階科赫曲線中的三角形的周長(zhǎng)；由圖形可知是每條邊上生成一個(gè)小三角形（去掉底邊），則，所以，，，左右兩邊分別相加得，又，因?yàn)閿?shù)列是公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，又，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以的最小值為.故答案為：①；②.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過(guò)找到圖形之間的關(guān)系，得到等比數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)公式常用的方法：（1）由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）兩邊取到數(shù)，構(gòu)造新數(shù)列法.15．【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析；能(2)分布列見(jiàn)解析；數(shù)學(xué)期望為【分析】（1）由題意可得列聯(lián)表，計(jì)算的值，并與臨界值表比較，可得結(jié)論；（2）確定變量的取值，求得每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式即可求得期望.【詳解】（1）根據(jù)已知條件可得獲獎(jiǎng)沒(méi)有獲獎(jiǎng)合計(jì)選修閱讀課程81220不選閱讀課程22830合計(jì)104050零假設(shè)：創(chuàng)新作文比賽獲獎(jiǎng)與選修閱讀課程無(wú)關(guān)聯(lián)；根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計(jì)算可得：，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為創(chuàng)新作文比賽獲獎(jiǎng)與選修閱讀課程有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)的概率不大于.（2）由題意可知的可能取值為，則，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：123.16．【答案】(1)或.(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)得，設(shè)切點(diǎn)，寫(xiě)出切線方程，代入，即可得到答案；（2）求導(dǎo)，分討論即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以.設(shè)切點(diǎn)為，則，所以，切線方程為，將代入得，解得或，故過(guò)的切線方程為或.（2）.當(dāng)時(shí)，，恒有，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.17．【答案】(1)(2)(3)證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】（1）首先求得，由累加法即可求解；（2）不妨設(shè)，分，兩種情況討論即可求解；（3）當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立，當(dāng)時(shí)，通過(guò)放縮法以及裂項(xiàng)相消法即可得證.【詳解】（1）由題意可知，即，故，由，可得，所以數(shù)列的公差，所以，由，疊加可得，整理可得，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以；（2）不妨設(shè)，即，可得，當(dāng)時(shí)，，不合題意，當(dāng)時(shí)，，所以在數(shù)列中均存在公共項(xiàng)，又因?yàn)?，所?（3）當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上所述，.18．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析(3)【分析】（1）分別求出，結(jié)合條件概率公式即可求解；（2）的所有可能取值為，算出對(duì)應(yīng)的概率即可得分布列；（3）由題意得，化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】（1）記事件“第2次取出的小球?yàn)楹谇颉保录暗?次取出的小球?yàn)榘浊颉?，則，，所以；（2）由題意，的所有可能取值為，則，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為0123（3）由題意可知，前次取了一個(gè)白球，第次取了第二個(gè)白球，則：，所以.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題第3小問(wèn)解決的關(guān)鍵在于，根據(jù)題意得到，從而得解.19．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由已知當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)，與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，求導(dǎo)判斷的單調(diào)性與值域，數(shù)形結(jié)合可得參數(shù)范圍；（2）設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，且，由（1）可知函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性與值域即可得知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)從小到大依次為為，，，再由函數(shù)性質(zhì)可知，結(jié)合基本不等式可得，所以若證，可證，即證，構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性可知，再根據(jù)的單調(diào)性可得證.【詳解】（1）由已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，又函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，即在上有兩個(gè)解，即方程有兩個(gè)解，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)，與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，又，令，解得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值為，作出函數(shù)，與的圖象如圖所示，所以，解得.

（2）由（1）得有兩個(gè)解，