吉林省通化市三校聯考2023?2024學年高二下學期期末考試數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．若集合，，則（

）A． B． C． D．2．當時，的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．3．若函數，則（

）A．0 B． C． D．4．已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則（

）A． B．2 C．3 D．5．已知關于的一元二次不等式的解集為，則關于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．6．已知，那么“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知函數，若，則下列式子大小關系正確的是（

）A． B．C． D．8．若函數在上是單調函數，且滿足對任意，都有，則函數的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則10．已知定義域為的函數，則（

）A．函數的圖象是軸對稱圖形B．存在實數，使函數為單調函數C．對任意實數，函數都存在最小值D．對任意實數，函數都存在兩條過原點的切線11．高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過x的最大整數，則稱為高斯函數，如.若，則下列說法正確的是（

）A．當時， B．C．函數是增函數 D．函數的值域為三、填空題（本大題共3小題）12．命題“”的否定是.13．曲線在點處的切線方程為.14．已知函數，若實數，滿足，則的最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．某收費APP（手機應用程序）自上架以來，憑借簡潔的界面設計、方便的操作方式和強大的實用功能深得用戶的喜愛.該APP所在的公司統(tǒng)計了用戶一個月月租減免的費用x（單位：元）及該月對應的用戶數量y（單位：萬人），得到如下數據表格：用戶一個月月租減免的費用x（元）45678用戶數量y（萬人）22.12.52.93.2已知x與y線性相關.(1)求y關于x的經驗回歸方程（，）；(2)據此預測，當月租減免費用為14元時，該月用戶數量為多少？參考公式：對于一組具有線性相關關系的數據，其經驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.16．已知函數.(1)求函數的單調區(qū)間；(2)求函數在區(qū)間上的最大值與最小值.17．已知函數.(1)若的定義域為，求的取值范圍；(2)設，若對任意，函數在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.18．每年的3月21日是世界睡眠日，保持身體健康的重要標志之一就是有良好的睡眠，某機構調查參加體育鍛煉對睡眠的影響，從轄區(qū)內同一年齡層次的人員中，常參加體育鍛煉和不常參加體育鍛煉的人中，各抽取了200人，通過問詢的方式得到他們在一周內的睡眠時間（單位：小時），并繪制出如下頻率分布直方圖.

(1)求a的值；(2)根據頻率分布直方圖，求常參加體育鍛煉人員一周內的平均睡眠時間（同一組的數據用該組區(qū)間的中點值代替）；(3)若每周的睡眠時間不少于44小時的列為“睡眠足”，每周的睡眠時間在44小時以下的列為“睡眠不足”，請根據已知條件完成下列列聯表，并判斷是否有99.9%的把握認為“睡眠足”與“常參加體育鍛煉”有關.睡眠足睡眠不足總計常參加體育鍛煉人員不常參加體育鍛煉人員總計附：，其中.0.150.10.050.0250.010.0012.0722.7063.8415.0246.63510.82819．若函數滿足：對于任意正數m，n，都有，且，則稱函數為“速增函數”．(1)試判斷函數與是否為“速增函數”；(2)若函數為“速增函數”，求a的取值范圍．

參考答案1．【答案】B【分析】由題知，對集合M，N進行轉化，根據補集的概念求出，結合交集的運算求出.【詳解】由題意知，，所以.故選B.2．【答案】C【分析】根據題意，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，則，當且僅當時，即時，等號成立，故的最小值為2．故選C．3．【答案】A【分析】求導，再令即可得解.【詳解】，所以.故選A.4．【答案】B【分析】由函數為奇函數，有，代入函數解析式求值即可．【詳解】是定義在上的奇函數，當時，，則．故選B．5．【答案】A【分析】利用一元二次不等式和一元二次方程的對應關系求出參數，再解另一個不等式即可.【詳解】由題設知方程有兩根2和3，故由韋達定理得則，所以，解得．故選A．6．【答案】B【分析】利用指數函數、對數函數的單調性得出條件和結論得等價命題，再利用充要條件的判斷方法判斷即得.【詳解】因為在R上單調遞增，在上單調遞減,故等價于,等價于，顯然由可推得，而由推不出，故“”是“”的必要不充分條件.故選B.7．【答案】A【分析】求導得到函數單調性，結合得到，由函數單調性得到，故，從而得到，得到答案.【詳解】在上恒成立，故在上單調遞增，因為，故，所以，故，所以，當時，，故，，則，故，綜上，.故選A.8．【答案】B【分析】設，根據，列出關于的方程，進而求得的值，得到的解析式，再用零點存在定理判斷即可.【詳解】因為函數在上是單調函數，，設，所以，所以，因為與在上單調遞增，所以有唯一解，解得，所以，又，，故的零點所在的區(qū)間為.故選B.9．【答案】BCD【分析】通過舉反例可知A錯誤；利用不等式性質可知BCD正確.【詳解】對于A：當時，，故A錯誤；對于B：，，又，，故B正確；對于C：，，又，，故C正確；對于D：，，，故D正確.故選BCD.10．【答案】ACD【分析】對于A，利用函數奇偶性定義易得；對于B，將函數求導，就參數分類討論函數的單調性情況即得；對于C，取，將函數化成，就參數分類討論函數的單調性，即可推得函數的最值情況；對于D，設切點，寫出切線方程，由切線過原點，得到關于切點的方程，考查方程的根的個數即得.【詳解】對于A：的定義域為，由，可得是偶函數，圖象關于軸對稱，故A正確；對于B：①當時，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，故此時函數不單調；②當時，當時，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，故不可能為單調函數，故B錯誤；對于C：因為設，則，當時，當時，，所以必存在最小值，故C正確；對于D：設切點，則，所以在點處的切線方程為：，因為切線過原點，故得，設，則得，因為，則或（舍去），即，即必然存在兩個非零實數解，故對任意實數，函數存在兩條過原點的切線，故D正確.故選ACD.11．【答案】AD【分析】對于A，直接由高斯函數定義來驗證即可；對于B，注意到，使得，即可運算判斷；對于C，由B選項分析即可判斷；對于D，由B選項可得的周期，故只需討論在上的值域即可.【詳解】對于A，當時，，故A正確；對于B，因為，使得，此時，從而，故B選項錯誤；對于C，由B可知對于，有，故C選項錯誤；對于D，由B選項分析可知，函數是以1為周期的周期函數，故只需討論在上的值域即可，當時，，即函數的值域為，故D正確.故選AD.【關鍵點撥】對于A選項的判斷比較常規(guī)，本題的關鍵是注意到，使得，從而即可判斷BCD三個選項.12．【答案】【分析】根據給定條件，利用全稱量詞命題的否定是存在量詞命題寫出結論即可.【詳解】命題“”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題“”的否定是：“”.13．【答案】【分析】利用導數的幾何意義，求出和，即可寫出切線方程.【詳解】由，求導得則，則所求切線方程為，即.14．【答案】【分析】首先設得到是奇函數且在上單調遞增，從而轉化為，即可得到，再利用基本不等式求解最大值即可.【詳解】設，則，所以，是奇函數，又，在上單調遞增，所以在上單調遞增.因為，所以，即，所以，所以，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以的最大值為.15．【答案】(1)(2)5.10萬人【分析】（1）分別求出，的值，再由公式可計算得，繼而易得，從而得出答案；（2）代入（1）得到的回歸方程即可得出結論.【詳解】（1）由，，有，，故y關于x的經驗回歸方程為；（2）由（1）知經驗回歸方程為，當時，，所以預測該月的用戶數量為5.10萬人16．【答案】(1)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；(2)的最大值為，最小值為【分析】（1）分別令,，解不等式可得答案；（2）求出取得極小值，可得答案.【詳解】（1）定義域為，且，令，令，函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；（2）由（1）可知，當時，取得最小值，，所以為最大值，在區(qū)間上的最大值為，最小值為.17．【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意轉化為在上恒成立問題，結合二次函數的圖象，需使即得；（2）先判斷函數在區(qū)間上的單調性，得對任意恒成立，即對任意恒成立，則需使，就參數的取值分類討論函數的最小值即得的范圍.【詳解】（1）由函數的定義域為，可得在上恒成立，結合二次函數的圖象可知，需使，解得，即的取值范圍為；（2）設，則在定義域內是單調遞增函數，因為，,故對任意，函數在區(qū)間上單調遞增，故，，依題意，對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則需使，因為函數圖象的對稱軸為，①當，即時，在上單調遞增，故由，解得，不合題意，舍去；②當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，故，解得，因為，故.綜上，的取值范圍是.18．【答案】(1)(2)(3)列聯表見詳解，有99.9%的把握認為“睡眠足”與“常參加體育鍛煉”有關【分析】（1）利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為1求出a值作答.（2）利用頻率分布直方圖估計平均數作答.（3）結合給定的頻率分布直方圖列出列聯表，再計算的觀測值，并與臨界值比對作答.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，，解得，所以.（2）由頻率分布直方圖可得，所以常參加體育鍛煉人員一周內的平均睡眠時間.（3）常參加體育鍛煉人員“睡眠足”的人數為：，則“睡眠不足”的人數為50；不常參加體育鍛煉人員“睡眠足”的人數為：，則“睡眠不足”的人數為90，列聯表如下：睡眠足睡眠不足總計常參加體育鍛煉人員15050200不常參加體育鍛煉人員11090200總計260140400所以，所以有99.9%的把握認為“睡眠足”與“常參加體育鍛煉”有關.19．【答案】(1)是“速增函數”，不是“速增函數”(2)【分析】（1）根據“速增函數”的定義，利用作差法可判斷函數；根據“速增函數”的定義，通過舉反例可判斷函數.（2）先根據“速增函數”的定義將問題轉化為不等式恒成立問題；再利用指數運算法則和指數函數的單調性即可求解.【詳解】（1）對于函數，當時，有；因為，所以，故根據“速增函數”的定義，可得是“速增函數”.對于函數，當時，有，故根據“速增函數”的定義，可得不是“速