2024-2025學年北京市豐臺區(qū)高一下學期期中考試數學試題一、單選題：本大題共10小題，共50分。1.在復平面內，復數z=1—3i對應的點位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.0A+AB—0C=()3.用斜二測畫法畫水平放置的正方形，若該正方形的邊長為2，則其直觀圖的面積是()A.1B.C.2D.5.已知a=2Cos246o—1，bC.4D.7.已知某長方體的長、寬、高分別為2、2、1，且該長方體的所有頂點都在球0的球面上，則球0的表面積為()C.9πD.36π8.在△ABC中，a=2bcosC，則△ABC的形狀一定為()A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形9.如圖，為了測量兩山頂M、N間的距離，飛機沿水平方向在A、B兩點進行測量，A、B、M、N在同一個鉛垂平面內.在A點測得M、N的俯角分別為75o和30o，在B點測得M、N的俯角分別為45o和60o，則MN為())的取值范圍是()二、填空題：本大題共5小題，共25分。11.已知=(1,k)，=(2,4)，//，則k=．12.已知復數為純虛數，則a=．13.在△ABC中②若△ABC有兩個，則a的一個值可以為．14.如圖，一個直三棱柱容器中盛有水，側棱AA1=3.若側面AA1B1B水平放置時，水面恰好過AC,BC,A1C1,B1C1的三等分點(靠近C和C1)，此時容器中的水形成的幾何體為(填“棱柱”或“棱臺”).當底面ABC水平放置時，水面高為．給出下列四個結論：③若λ=2,μ=4，則△AOC面積是△AOB面積的4倍；④若，λ+μ=2，設點C到OA所在直線的距離為d，則d的取值范圍其中所有正確結論的序號是．三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.已知α、β都是銳角(1)求tan2α的值；(1)求k的值；18.在△ABC中(1)求b的值；(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求△ABC的面積．條件條件注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．19.在△ABC中，sin2A=sinA，a=1．(1)求A；(2)求△ABC周長的取值范圍．20.已知函數．(1)求fx的單調遞減區(qū)間；(2)若fx≤1在區(qū)間m,0上恒成立，求m的最小值；若求的值．21.設n為正整數，集合A={αIα=(t1,t2,…,tn),ti∈{—1,0},i=1,2,…,n}.對于集合A中的任意元素β=(x1,x2,x3,…,xn)和Y=(y1,y2,y3,…,yn)，記M(β,Y)=(x1+y1+x1y1)+(x2+y2+x2y2)+…+(xn+yn+xnyn)．(2)當n=8時，若α=(0,0,0,0,0,0,0,0)，M(α,β)+M(α,Y)=—8，求M(β,Y)的最大值；(3)給定不小于2的n，設B是集合A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素β和Y，都有M求集合B中元素個數的最大值．3.B6.B7.C9.C13.1；(只需滿足1<a<2即可)因為且α為銳角，所以所以所以因為為銳角，所以所以18.(1)由余弦定理a2=b2+又所以所以b=2．(2)選擇條件①：由正弦定理得又因為在△ABC中，C=π—(A+B)，所以sinC=sin[π—(A+B)]=sin(A+B)，所以△ABC的面積選擇條件②：由正弦定理得因為在△ABC中所以所以.又因為在△ABC中，C=π—(A+B)，所以sinC=sin[π—(A+B)]=sin(A+B)，所以△ABC的面積19.(1)因為sin2A=sinA，所以2sinAcosA=sinA.(2)由正弦定理可得所以所以因為所以，因為B∈(0,所以所以.即△ABC周長的取值范圍為2,3．20.(1)fx令得所以f(x)的單調遞減區(qū)間為(2)因fx≤1在區(qū)間m,0上恒成立，則在區(qū)間m,0上恒成立，因為x∈m,0，則結合正弦函數圖象可得得因為所以因為所以=2sin2．(2)設β=(x1,x2,x3,…,x8)，Y=(y1,y2,y3,…,y8)，其中xi∈{—1,0},yi∈{—1,0}(i=1,2,…,8)．當xi=yi=0時，xi+yi+xiyi=0．所以xi+yi+xiyi的值為0或—1.其中p,q為不大于8的非負整數，且p+q=8．所以M(β,Y)的最大值為—4．(3)記min{a,b}表示a,b中的最小值，由(2)知xi+yi+xiyi的值為0或—1，則M(β,Y)=(x1+y1+x1y1)+(x2+y2+x2y2)+…+(xn+yn+xnyn)=min{x1,y1}+min{x2,y2}+…+min{xn,yn}．因為min{xi,yi}≥—1(i=1,2,…,n)所以xi+yi+xiyi=—1(i=1,2,…,n)．設A1={(t1,t2,…,tn)It1=0,ti∈{—1,0},i=2,3,4,…,n}，A2={(t1,t2,…,tn)It1=—1,t2=0,ti∈{—1,0},i……An={(t1,t2,…,tn)It1=t2=…=tn—1=—1,tn=0}，An+1={(t1,t2,…,tn)It1=t2=…=tn=—1}，則A1∪A2∪A3∪…∪An∪An+1=A，且A1,A2,A3,…,An,An+1兩兩交集為。．設αs=(s1,s2,…,sn)，αw=(w1,w2,…,wn)，αs≠αw．當αs,αw∈A1時，則M(αs,αw)=min{s1,w1}+min{s2,……所以Ak(k=1,2,3,…,