uooc線性代數(shù)期末考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.二階行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\)的值為（）A.-2B.2C.10D.-102.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)，則\(A\)的逆矩陣是（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&0\end{pmatrix}\)3.向量組\(\vec{a}=(1,2),\vec=(2,4)\)的關(guān)系是（）A.線性無關(guān)B.線性相關(guān)C.相等D.不確定4.\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件是（）A.\(|A|=0\)B.\(|A|\neq0\)C.\(A\)的秩小于\(n\)D.\(A\)為零矩陣5.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=O\)，則（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(|A|=0\)或\(|B|=0\)C.\(A+B=O\)D.\(A-B=O\)6.矩陣\(A\)的秩\(r(A)\)與它的行向量組的秩關(guān)系是（）A.\(r(A)\)大于行向量組的秩B.\(r(A)\)小于行向量組的秩C.\(r(A)\)等于行向量組的秩D.不確定7.齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充要條件是（）A.\(r(A)=n\)B.\(r(A)\ltn\)C.\(r(A)\gtn\)D.\(A\)為方陣8.設(shè)\(\lambda\)是方陣\(A\)的特征值，則\(\lambda\)滿足（）A.\(|A-\lambdaE|=0\)B.\(|A+\lambdaE|=0\)C.\(A\vec{x}=\lambda\vec{x}\)D.\(A\vec{x}=-\lambda\vec{x}\)9.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A=B\)B.\(|A|=|B|\)C.\(A\)與\(B\)有不同的特征值D.\(A\)與\(B\)秩不相等10.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\)的矩陣是（）A.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于行列式性質(zhì)正確的有（）A.行列式某行元素加上另一行對(duì)應(yīng)元素的\(k\)倍，行列式值不變B.行列式交換兩行，行列式值變號(hào)C.行列式某行元素全為\(0\)，則行列式值為\(0\)D.行列式主對(duì)角線元素全為\(0\)，則行列式值為\(0\)2.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，下列等式成立的有（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^T=B^TA^T\)C.\(|AB|=|A||B|\)D.\((kA)^-1=\frac{1}{k}A^-1\)（\(k\neq0\)）3.向量組\(\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\cdots,\vec{\alpha}_m\)線性相關(guān)的充分條件有（）A.向量組中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示B.\(m\gtn\)（向量的維數(shù)為\(n\)）C.向量組中含有零向量D.向量組的秩小于\(m\)4.關(guān)于矩陣的秩，下列說法正確的有（）A.矩陣\(A\)的秩等于它的行階梯形矩陣非零行的行數(shù)B.若\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，則\(r(A)\leq\min\{m,n\}\)C.初等變換不改變矩陣的秩D.\(r(A+B)\leqr(A)+r(B)\)5.齊次線性方程組\(Ax=0\)的解的性質(zhì)有（）A.若\(\vec{\xi}_1,\vec{\xi}_2\)是解，則\(\vec{\xi}_1+\vec{\xi}_2\)也是解B.若\(\vec{\xi}\)是解，\(k\)為任意常數(shù)，則\(k\vec{\xi}\)也是解C.若\(\vec{\xi}_1,\vec{\xi}_2\)是解，則\(\vec{\xi}_1-\vec{\xi}_2\)也是解D.方程組的解空間的維數(shù)為\(n-r(A)\)（\(n\)為未知數(shù)個(gè)數(shù)）6.設(shè)\(\lambda\)是方陣\(A\)的特征值，\(\vec{x}\)是對(duì)應(yīng)的特征向量，則（）A.\(A\vec{x}=\lambda\vec{x}\)B.\((A-\lambdaE)\vec{x}=\vec{0}\)C.\(\lambda\)滿足特征方程\(|A-\lambdaE|=0\)D.不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)7.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征多項(xiàng)式B.\(A\)與\(B\)有相同的特征值C.\(A\)與\(B\)有相同的秩D.\(A\)與\(B\)有相同的行列式8.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX\)（\(A\)為實(shí)對(duì)稱矩陣）正定的充要條件有（）A.\(A\)的特征值全大于\(0\)B.\(A\)的順序主子式全大于\(0\)C.對(duì)任意非零向量\(X\)，\(f(X)\gt0\)D.\(A\)合同于單位矩陣9.以下屬于線性代數(shù)研究對(duì)象的有（）A.行列式B.矩陣C.向量D.線性方程組10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(E\)為\(n\)階單位矩陣，下列說法正確的有（）A.若\(A^2=A\)，則\(A\)的特征值為\(0\)或\(1\)B.若\(A\)可逆，則\(A\)的特征值都不為\(0\)C.若\(A\)與\(E\)相似，則\(A=E\)D.若\(A\)是正交矩陣，則\(A^TA=E\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)，\(B\)為方陣，且\(AB=BA\)，則\((AB)^n=A^nB^n\)。（）2.向量組中向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)時(shí)，向量組一定線性相關(guān)。（）3.矩陣的初等行變換和初等列變換都不改變矩陣的秩。（）4.齊次線性方程組\(Ax=0\)只有零解，則\(A\)的列向量組線性無關(guān)。（）5.若\(\lambda\)是方陣\(A\)的特征值，則\(\lambda^2\)是\(A^2\)的特征值。（）6.相似矩陣一定合同。（）7.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2-x_2^2\)是正定二次型。（）8.若矩陣\(A\)的秩為\(r\)，則\(A\)的所有\(zhòng)(r+1\)階子式都為\(0\)。（）9.單位矩陣是正交矩陣。（）10.若\(A\)為\(n\)階方陣，\(r(A)=n-1\)，則\(r(A^)=1\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述行列式的計(jì)算方法。-答案：二階、三階行列式可用對(duì)角線法則。高階行列式可利用性質(zhì)化為上（下）三角行列式計(jì)算；也可按行（列）展開降階計(jì)算。2.說明矩陣可逆的判定方法。-答案：\(n\)階方陣\(A\)可逆\(\Leftrightarrow|A|\neq0\)；\(\Leftrightarrowr(A)=n\)；\(\LeftrightarrowA\)可通過初等變換化為單位矩陣；\(\Leftrightarrow\)齊次線性方程組\(Ax=0\)只有零解。3.簡(jiǎn)述向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。-答案：對(duì)于向量組\(\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\cdots,\vec{\alpha}_m\)，若存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)，使\(k_1\vec{\alpha}_1+k_2\vec{\alpha}_2+\cdots+k_m\vec{\alpha}_m=\vec{0}\)，則線性相關(guān)；否則線性無關(guān)。4.簡(jiǎn)述實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)。-答案：實(shí)對(duì)稱矩陣特征值為實(shí)數(shù)；不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交；實(shí)對(duì)稱矩陣必可相似對(duì)角化，即存在正交矩陣\(P\)，使得\(P^TAP\)為對(duì)角矩陣。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論線性代數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。-答案：在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中用于圖像的變換處理；在經(jīng)濟(jì)學(xué)里分析投入產(chǎn)出模型；在密碼學(xué)中用于加密解密算法設(shè)計(jì)等，通過矩陣運(yùn)算等實(shí)現(xiàn)各種功能。2.探討矩陣初等變換的作用。-答案：可用于求矩陣的秩，將矩陣化為行階梯形確定秩；求可逆矩陣的逆矩陣，通過初等行變換\((A|E)\)得到\((E|A^{-1})\)；還能求解線性方程組，將增廣矩陣變換判斷解的情況并求解。3.談?wù)勌卣髦岛吞卣飨蛄吭诠こ填I(lǐng)域的意義。-答案：在振動(dòng)分析中，特征值決定振動(dòng)頻率，特征向量表示振動(dòng)方向；在結(jié)構(gòu)力學(xué)里分析結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性；在數(shù)據(jù)處理的主成分分析中用于提取關(guān)鍵信息等，幫助分析系統(tǒng)特性。4.討論二次型正定的實(shí)際意義。-答案：在優(yōu)化問題中，正定二次型對(duì)應(yīng)的函數(shù)有唯一最小值，可用于求最優(yōu)解；在物理中，如彈性力學(xué)能量函數(shù)正定保證系統(tǒng)穩(wěn)定；在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，協(xié)方差矩陣正定保證數(shù)據(jù)分布合理等。