第六章：操作臂動力學6.2動力學分析的基本方法——拉格朗日法拉格朗日法的基礎是系統(tǒng)能量對系統(tǒng)變量及時間的微分。拉格朗日函數(shù)：

K

是系統(tǒng)動能，P

是系統(tǒng)勢能。拉格朗日法針對直線運動和旋轉運動，分別有：

其中Fi是產生線運動的所有外力之和；Ti是產生轉動的所有外力矩之和，xi和θi是系統(tǒng)變量。

6.1機器人動力學的概念為使機器人連桿加速，驅動器必須有足夠大的力和力矩來驅動機器人連桿和關節(jié)，以使它們能以期望的加速度和速度運動，最終達到期望的位置。動力學分析用來計算關節(jié)力矩與慣量、位置、速度和加速度等的關系，并以這些方程為依據(jù)，結合機器人的外部載荷，確定驅動器所需提供的力矩如果已知各關節(jié)的力矩，希望求解機器人各關節(jié)的運動狀態(tài)（位置、速度、加速度），稱之為機器人的正向動力學。已知機器人各關節(jié)的期望運動軌跡，希望求出各關節(jié)所需的驅動力矩，則稱為機器人的逆向動力學。6.2動力學分析的基本方法——拉格朗日法采用拉格朗日法求解系統(tǒng)的動力學方程的一般步驟：選擇合適的系統(tǒng)變量；推導系統(tǒng)的能量方程（系統(tǒng)的動能和勢能）；建立拉格朗日函數(shù)；對拉格朗日函數(shù)求導。

6.2動力學分析的基本方法——拉格朗日法例6.1：分別用牛頓力學法和拉格朗日法推導圖9中單自由度系統(tǒng)的動力學方程（忽略輪子的質量和轉動慣量）。

6.2動力學分析的基本方法——拉格朗日法例6.1：1）牛頓力學法：根據(jù)小車在x方向的受力分析，其力學的平衡方程為：所以系統(tǒng)的動力學方程為：6.2動力學分析的基本方法——拉格朗日法例6.1：1）拉格朗日法：首先計算小車的動能和勢能：所以有：所以：6.2動力學分析的基本方法——拉格朗日法例6.2：用拉格朗日法推導圖中兩自由度系統(tǒng)的動力學方程（忽略輪子的質量和轉動慣量）6.2動力學分析的基本方法——拉格朗日法例6.2：對于一個兩自由度系統(tǒng)，需要兩個系統(tǒng)變量才能完備的描述系統(tǒng)的運動。取小車相對于其平衡位置的位移x和擺的角度θ為系統(tǒng)變量。1）首先計算系統(tǒng)的動能，包括車的動能K1和擺的動能K2。注意到擺的速度是小車的速度與擺相對于車的速度之和：6.2動力學分析的基本方法——拉格朗日法例6.2：于是有：2）計算系統(tǒng)的的勢能，包括彈簧的彈性勢能P1和擺的位勢能P2，以θ=0°處為零勢能線，有：6.2動力學分析的基本方法——拉格朗日法例6.2：3）拉格朗日函數(shù)為：

所以，對于變量x：6.2動力學分析的基本方法——拉格朗日法例6.2：對于變量θ：將兩個運動方程寫成矩陣的形式為：6.3單連桿機械人動力學分析以最簡單的單連桿機器人為例，推導其動力學方程。如圖所示，連桿的長度l，為勻質桿，其質量為m，關節(jié)的驅動力矩為T，θ為關節(jié)角，以順時針為負，逆時針為正（圖中姿態(tài)下θ>0）。6.3單連桿機械人動力學分析1）求連桿的動能：2）求連桿的勢能：

以全局參考系0的x軸為零勢能線，連桿的勢能為：6.4二連桿機械人動力學分析平面二連桿機械手臂如圖所示，連桿1長度l1，連桿2長度l2，均為勻質桿，其質量分別為m1和m2，轉動慣量分別是I1和I2，關節(jié)1、2的驅動力矩分別為T1和T2，忽略關節(jié)摩擦的影響。坐標系0為全局參考坐標系，固定在基座上，坐標系1、坐標系2為關節(jié)坐標系，分別固結在連桿1和連桿2上并隨它們一起運動。θ1和θ2為關節(jié)角，以順時針為負，逆時針為正（圖中姿態(tài)下θ1>0，θ2＜0）。6.4二連桿機械人動力學分析1）求總的動能：6.4二連桿機械人動力學分析2）求總的勢能：

以全局參考系0的x軸為零勢能線，系統(tǒng)總勢能為：3）求拉格朗日函數(shù)：6.4二連桿機械人動力學分析4）基于拉格朗日函數(shù)列寫動力學方程：6.4二連桿機械人動力學分析4）基于拉格朗日函數(shù)列寫動力學方程：6.4二連桿機械人動力學分析寫成矩陣的形式為：6.6單連桿機器人ADAMS/Simulink動力學仿真分析

期望單連桿機器人關節(jié)在2s內由0°轉動45°，初始和終止的角速度均為0。采用三次多項式軌跡規(guī)劃方法，可以得到期望的關節(jié)轉角、角速度和角加速度函數(shù)為：要求計算實現(xiàn)該軌跡所需的關節(jié)轉矩。該問題是已知機器人關節(jié)的運動軌跡，反求關節(jié)所需的驅動力矩，是機器人的逆向動力學問題。6.5機器人動力學方程的一般形式

式中：慣量矩陣科氏力離心力矩陣重力矩陣6.6單連桿機器人ADAMS/Simulink動力學仿真分析

創(chuàng)建系統(tǒng)變量和輸入對象

6.6單連桿機器人ADAMS/Simulink動力學仿真分析

修正關節(jié)轉矩變量表達式關節(jié)的轉矩與連桿繞旋轉軸的轉動慣量有關，連桿是三維實體，其繞過質心的三個軸線的轉動慣量可由下式計算：

6.6單連桿機器人ADAMS/Simulink動力學仿真分析

修正關節(jié)轉矩變量表達式根據(jù)平行移軸定理，我們就可以計算出連桿繞關節(jié)軸線的轉動慣量：

1.7777*(VARVAL(ddTHETA1_r)/180*PI)+1/2*5.19635*9.80*1*COS(VARVAL(THETA1_r)/180*PI)6.6單連桿機器人ADAMS/Simulink動力學仿真分析

關節(jié)角度、角速度和角加速度曲線關節(jié)轉矩曲線6.6單連桿機器人ADAMS/Simulink動力學仿真分析

期望角度軌跡與實際角度軌跡對比6.7基于遞歸牛頓—歐拉法的動力學方程

遞歸的牛頓—歐拉法（RecursiveNewton-EulerMethod）是一種高效的動力學計算方法，尤其適用于串聯(lián)多剛體系統(tǒng)，牛頓方程和用于轉動情況的歐拉方程一起，描述了機器人驅動力矩、負載