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2/2《利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性》教學(xué)設(shè)計(jì)一教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題導(dǎo)入判斷下列方程是否有實(shí)根,有幾個(gè)實(shí)根?(1);(2).問題:對(duì)于第(1)個(gè)方程,大家都習(xí)慣性地用代數(shù)的方法去解決,對(duì)于第(2)個(gè)方程,我們不會(huì)解怎么辦?你是如何思考的?有什么想法?設(shè)計(jì)意圖:復(fù)習(xí)方程的根,為引出函數(shù)零點(diǎn)的概念做準(zhǔn)備.二、新知探究教師出示函數(shù)的圖象(如下圖),讓學(xué)生觀察圖象,用屏幕顯示表格(如下表),讓學(xué)生求出的實(shí)數(shù)根,并觀察函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),得到方程的實(shí)數(shù)根與對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,函數(shù)的零點(diǎn):使得的數(shù)稱為方程的解,也稱為函數(shù)的零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的定義和剛才的探究過程,你認(rèn)為方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)究竟是什么關(guān)系?對(duì)于函數(shù)有零點(diǎn),從“數(shù)”的角度理解,就是方程有實(shí)根;從“形”的角度理解,就是圖象與x軸有交點(diǎn)從剛才的探究過程中我們知道,方程有實(shí)根和對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)也是等價(jià)的關(guān)系所以函數(shù)零點(diǎn)實(shí)際上是方程有實(shí)根和對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)的一個(gè)統(tǒng)一體,如下圖所示.觀察二次函數(shù)的圖象,我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn).計(jì)算與的乘積,發(fā)現(xiàn)這個(gè)乘積的特點(diǎn)是小于零.在區(qū)間(0,4)上同樣如此,可以發(fā)現(xiàn),因此可得以下結(jié)論:零點(diǎn)存在定理:若函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)的曲線,并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值一正一負(fù),即,則在開區(qū)間內(nèi),函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn),即在區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的方程至少有一個(gè)解.思考與交流:(1)定理中,函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象是連續(xù)曲線,這里為什么是閉區(qū)間,能否改成開區(qū)間?(2)定理中,,則在區(qū)間內(nèi),函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn);如果,是不是函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)一定沒有零點(diǎn)?(3)定理中,滿足給出的條件,則在開區(qū)間內(nèi),函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn),你能否再給定理加上一個(gè)條件,讓函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)學(xué)生深入思考與交流,得出結(jié)論.教師引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖思考.(1)如圖.(2)如圖.(3)加上條件“在內(nèi)單調(diào)”.學(xué)以致用:觀察下面的四個(gè)函數(shù)圖象,指出在區(qū)間-∞,0內(nèi),方程哪個(gè)有解,并說明理由.設(shè)計(jì)意圖:由特殊函數(shù)歸納抽象出一般的定理,體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法通過思考與交流,讓學(xué)生加深對(duì)定理的理解和認(rèn)識(shí),避免在應(yīng)用中出現(xiàn)錯(cuò)誤.三、例題講解例1方程在區(qū)間內(nèi)有沒有解?為什么?活動(dòng):學(xué)生回想判斷函數(shù)零點(diǎn)的方法:解方程法和定理法由于本題中方程無法解,故用定理法,判斷是否成立.解:設(shè)函數(shù),在區(qū)間上有.又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是一條連續(xù)曲線,所以由零點(diǎn)存在定理可知方程在區(qū)間內(nèi)有解,即在區(qū)間內(nèi)有解,故方程在區(qū)間內(nèi)有解.點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的概念及其判斷方法.當(dāng)無法解方程時(shí),通常用定理法判斷函數(shù)零點(diǎn)的存在性.設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決這類問題的方法,判斷一個(gè)方程在一個(gè)給定的區(qū)間上是否有解,先看這個(gè)方程能不能解,如果可以解,解出方程便可知道方程解的個(gè)數(shù);如果不能解,考慮用零點(diǎn)存在定理判定.例2判定方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且一個(gè)根大于5,另一個(gè)根小于2.分析:轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn).解:設(shè)函數(shù),顯然有,.畫出函數(shù)的圖象(如圖),觀察得,.在區(qū)間[1,2]和[5,6]內(nèi)分別應(yīng)用零點(diǎn)存在定理,可知在區(qū)間(1,2)和(5,6)內(nèi),這個(gè)一元二次方程各有一個(gè)實(shí)數(shù)根(如圖).所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且一個(gè)根大于5,另一個(gè)根小于2.設(shè)計(jì)意圖:討論方程的解的個(gè)數(shù)問題是函數(shù)零點(diǎn)的重要應(yīng)用.由于函數(shù)與方程的特殊關(guān)系,所以這個(gè)問題常用的方法是:(1)解方程;(2)畫與方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象;(3)利用及函數(shù)的單調(diào)性同時(shí),這些方法之間是相互聯(lián)系的.四、課堂小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個(gè)方面進(jìn)行歸納總結(jié):(1)零點(diǎn)的概念.(2)零點(diǎn)存在的判斷方法.(3)利用函數(shù)的單調(diào)性證明零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(4)函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用.(5)數(shù)學(xué)思想:轉(zhuǎn)化思想數(shù)形結(jié)合思想.五、布置作業(yè)教材第130頁練習(xí)第2,3題.板書設(shè)計(jì)1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性問題導(dǎo)入二、新知探究1.函數(shù)的零點(diǎn)的定義使得的數(shù)稱為方程的解,也稱為函數(shù)的零點(diǎn)2.零點(diǎn)存在定理若函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)的曲線,并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值一正一負(fù),即,則在開區(qū)間內(nèi),函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn),即在區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的方程至少有一個(gè)解例題講解例1例2四、課堂小結(jié)五、布置作業(yè)教學(xué)研討本案例從初中學(xué)生學(xué)習(xí)的方程出發(fā),讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過程.在課堂上采用問題式教學(xué),引導(dǎo)學(xué)
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