重慶市巴蜀中學(xué)2025屆高三二模考試

數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.“『忖”是“W<i”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用充分條件與必要條件的判斷方法，即可求解.

【詳解】因?yàn)?>卜|整理得到爐<1且x>0,即0<x<l,

又W<loT（無<1，所以是“國<1”的充分不必要條件，

故選：A.

2.過點(diǎn)P（l,0）且與拋物線有且僅有1個(gè)公共點(diǎn)的直線/的條數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)圖象可知直線X=1符合題意，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線，即可得結(jié)

果.

【詳解】如圖，直線X=1與拋物線。：r=、有且僅有1個(gè)公共點(diǎn)，符合題意，

將好=y求導(dǎo)可得y'=2x,

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(毛,片)，切線斜率上=2%,

則切線方程為y-需=2x0(%-x0),

代入點(diǎn)P(1,O)可得—君=2%(1—%),解得%=0或%=2,

可知過點(diǎn)P(LO)的切線有2條，

綜上所述：符合題意的直線有3條.

故選：D.

3.復(fù)數(shù)(l-i)(a+2i)(aeR)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在第()象限.

A.一B.二。三D.四

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為

(a+2,2—a),進(jìn)而分析求解即可.

【詳解】因?yàn)?l—i)(a+2i)=a+2+(2—a)i,

可知復(fù)數(shù)(l-i)(a+2i)(aeR)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(a+2,2—a),

令解得—2<a<2,可知點(diǎn)(a+2,2—a)可能在第一象限；

令解得。<一2,可知點(diǎn)(a+2,2—a)可能在第二象限；

令無解，可知點(diǎn)(。+2,2—a)不可能在第三象限；

令3—a<0,解得。>2,可知點(diǎn)(。+2,2—a)可能在第四象限；

綜上所述：點(diǎn)(a+2,2—a)不可能在第三象限.

故選：C.

4.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，且圓錐的底面積為4兀，則此圓錐的體積為()

A.8島B.—7TC.1671D.-7T

33

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合圓錐的結(jié)構(gòu)特征列式求廠,/,力，進(jìn)而可得體積.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為廠，母線長為/,高為心

71r2=4兀

r=2

由題意可得：<』x2兀/=2兀廠，解得<

I=4

2

h=26

h=J/2一/

所以圓錐的體積為V=1x4兀乂2百=述

33

故選：B.

9JT

5.在鈍角VA3C中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,4c,a=3,匕=7且最大角5<石，則

c的取值范圍是（）

A.（4,2710）B,（4,7）

C.（5,7）D.（5,2啊

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可得-工<cos6<0,結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.

2

712711

【詳解】由題意可知：—<B<—,則——<cosB<0,

232

,j-+c2—Z?29+02—49c2—40

由余A弦定理可r/得scosB=---------=----------=------,

lac2x3c6c

則一上<￡_±<o,解得5<c<2/，

26c

故選：D.

6.若（％+2）2+力+1）2=2,則二干也的最小值為（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】令之口=左，即入—y—1=0,將問題轉(zhuǎn)化成直線與圓有交點(diǎn)，從而得到—1〈左41,

X

即可求解.

【詳解】令尸又x+y+l=Z1l+i,令2±1=左，整理得到履—y—1=0,

XXX

|-2^+1-1|

由題可得<V2,整理得到女2一1<0,解得一14左<1,

J1+/

所以0鏟+y+工,

X

故選：B.

111

7.我們解不等式1口%>大)時(shí)，可以采用如下c方法x>：c山_7c%等價(jià)于即

x>值根據(jù)以上思路求解：函數(shù)/(%)=/,%?0,y)的最小值為()

￡1

A.0B.1D.

eeee

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意整理可得In/(x)=xlnx,xe(O,-R?)，構(gòu)建g(x)=xlnx,xe(0,+<?),

求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，即可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(x)=x*,xw(o,4w),則〃尤)>0,

兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得In/(%)=xlnx,xw(0,+oo),

構(gòu)建g(x)=xlnx,xe(0,+。)，則g,(x)=l+lnx,

令g'(x)>0,解得x〉』；令g'(x)<0,解得0<x<,；

ee

可知g(x)在卜，內(nèi)單調(diào)遞減，在(J+8)內(nèi)單調(diào)遞增,

則g(x)2g即ln/(x"—5可得"％)之e=

所以函數(shù)/(x)(0,+R)的最小值為屋!?

故選：D.

8.已知向量。，瓦G+B都是單位向量，且向量"滿足向量1-e,B-3的夾角為三，則，的

最大值為（）

A.2B.eC.75D.3

【答案】A

【解析】

一27rrULI1ULUrULMU11UU1U

【分析】根據(jù)模長關(guān)系可得G力=7,設(shè)看=OAb=OB是=OC,a+b=OD，分類討論

點(diǎn)O,C與直線AB的位置關(guān)系，結(jié)合圓的性質(zhì)即可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知：同=/=忖+囚=1,

因?yàn)榭?,=（為+1）=a~+b2+2a-b,

11一一1

即l=l+l+2a?Z?，貝為=-耳，

一r展B1一「r-2兀

可得85。,。=時(shí)間=—],且君力6[0,兀],所以，力=彳，

[ULI1ULU[ULMU11UUU

設(shè)a=OA,b=OB,c=OC,a+b=OD>

1iUUrrLILL1ruu

則a-Z?=BA5a-c=CA,b—c=CB，

由題意可知：ZACB=|,ZAOB=ZADB=^-,\AD\=\OD\=\BD\=1,

若O,C位于直線AB兩側(cè)，且NACB+NAOB=TI,可知A,3,C,O四點(diǎn)共圓，

且圓心為。，半徑R=l,其中點(diǎn)C優(yōu)弧A3上，不包括點(diǎn)A3,

則的最大值即為圓的直徑2R=2；

若O,C位于直線A3同側(cè)，且NACB+NAD3=TI,可知A,3,C,。四點(diǎn)共圓,

且圓心為。，半徑H=l，其中點(diǎn)C優(yōu)弧A3上，不包括點(diǎn)A3,此時(shí)10cl=1；

綜上所述：|c|的最大值為2

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分，在每個(gè)給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分

分，有選錯(cuò)的得。分)

9.若函數(shù)y=/(x)的圖象經(jīng)過平移后可以得到函數(shù)y=g(無)的圖象，則稱函數(shù)7(%)與

g(x)是“全等函數(shù)”.下列各組函數(shù)中,八%)與g(九)是“全等函數(shù)”的是()

A./(九)=sinx+Gcosx,g(尤)=42sinx-^2cosx

B.f(x)=ex,g(x)=2-ex

C.f(x)=Inx,g(%)=In(2x)

D./(x)=ln|x|,^(x)=ln(|x|+l)

【答案】ABC

【解析】

【分析】對(duì)于ABC：根據(jù)圖象變換分析判斷即可；對(duì)于D：根據(jù)函數(shù)定義域分析判斷.

兀(x)=2sin(x~~

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由題意可得:〃x)=2sinx+力

77T

將函數(shù)y=/(￡)的圖象向右平移逐個(gè)單位,

可得y=2sinf+yj=2sinfx71

g(x),故A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B：/(x)=ex,g(x)=2-ex=eln2-e"=ex+ln2,

將函數(shù)y=/(x)的圖象向左平移ln2個(gè)單位，可得丁=產(chǎn)瓜2,故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：/(%)=lux,g(%)=In(2x)=lux+ln2,

將函數(shù)y=/(x)的圖象向上平移ln2個(gè)單位，可得g(x)=lnx+ln2,故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?(x)=InW的定義域?yàn)?—8,0)5。,+8),而g(x)=ln(|x|+l)的定

義域?yàn)?-8,+8)，

所以無論怎么平移兩函數(shù)，圖象都不可能重合，故D錯(cuò)誤；

故選：ABC

10.已知。力為正實(shí)數(shù)，ab+a+2b=14,則下列說法正確的是()

A.a+b<21B.的最小值為-1

b+1

C.a+4b的最小值為12D.」一+—J—的最小值為：

a+2b+12

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)題意，化簡得到(。+2)3+1)=16,令x=a+2,y=Z2+l,得到

a+b=x+—-3,結(jié)合函數(shù)〃x)=x+3單調(diào)性，可判定A正確；由6+1=*-,得

xxa+2

n-6—4-/7—12

到￡0=a_絲士，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得判定B正確;化簡a+4人=X+4y—6,

b+116

利用基本不等式，可得判定C不正確；由(a+2)3+l)=16,得到

-^+—>2.1—-----,可判定D正確.

a+28+1、a+2b+1

【詳解】由區(qū)?+a+2/?=14,可得(a+2)S+l)=16,

對(duì)于A中，令x=a+2,y=Z?+1,則〃=%—21=y-1且孫=16,

可得2<x<16,則a+/?=x+y-3="XH----3,

x

因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=x+3在(2,4］上單調(diào)遞減，在［4,16)上單調(diào)遞增，

可得/(%)</(16)=17,所以a+Z?=x+y-3<14,所以A正確；

對(duì)于B中，由(a+2)(Z?+1)=16,可得6+1=------

tz+2

??ci—6a+2a,—4a—12(a—2)~—16

則----=(a—6)x-------=----------------=---------------，

b+1161616

Z7—6

當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)，——取得最小值-1,所以B正確；

b+1

對(duì)于C中，由a+41=(x-2)+4(y-l)=x+4y-6。2“-4y-6=10，

當(dāng)且僅當(dāng)x=4y時(shí)，即x=8,y=2時(shí)，即a=6,Z?=l時(shí)，等號(hào)成立，所以C不正確;

對(duì)于D中，由(a+2)3+1)=16,

可得^—+,22?11]_

a+2b+1tz+2/?+12

當(dāng)且僅當(dāng)工=時(shí)，即a=2,6=3時(shí)，等號(hào)成立,

a+2/7+1

所以」一+二一的最小值為所以D正確.

a+2b+12

故選：ABD.

11.數(shù)的進(jìn)制是人們利用符號(hào)來計(jì)數(shù)的方法.我們?cè)谌粘Ｉ钪辛?xí)慣于采用十進(jìn)制計(jì)數(shù)與運(yùn)

算，但是在其它領(lǐng)域中，其它進(jìn)制計(jì)數(shù)方式也應(yīng)用廣泛，例如計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)時(shí)，采用的就

是二進(jìn)制方法.二進(jìn)制數(shù)是用0和1表示的數(shù)，它的基數(shù)為2,進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，借位

規(guī)則是“借一當(dāng)二”.若干進(jìn)制數(shù)〃=/*2/+qx+&x2仆2+…+%x2】+以x2°,其

中q=l,qe{0,1},則n對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)為（44出…。J（keN）.以下說法正確的是（）

A.十進(jìn)制數(shù)2025用二進(jìn)制表示為（1111101001）2

B.滿足,,%,出，…，&中有且只有3個(gè)1的所有二進(jìn)制數(shù)（44的…%%對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的

和為1275

C.將〃對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)中1的個(gè)數(shù)記為S（〃），則S（2〃+l）=S（16〃+4）

D.將〃對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)中0的個(gè)數(shù)記為T（"）,令/5）=2w），貝|

/（22025）+/（22025+1）+/（22025+2）+...+/（22026-1）=32025

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)十進(jìn)制與二進(jìn)制的轉(zhuǎn)化方法即可判斷A,利用組合分析出所有情況即可判斷B；

分別計(jì)算等式左右兩側(cè)即可判斷；利用二項(xiàng)展開式公式即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A：

2025=1024+512+256+128+64+32+8+1=1X210+1X29+1X28+1X27+1X26+1X25

4321

+0X2+1X2+0X2+0X2+1=(11111101001)2,故A錯(cuò)誤；

651

對(duì)于B：n=a0x2+o1x2+---+a5x2+a6x2°,其中4=1,9,％中有且只有2

個(gè)1,有C：=15種可能；

所以所有二進(jìn)制數(shù)4…4入對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的和中，26出現(xiàn)C；=15次，

25,2?！?2],2°均出現(xiàn)C：=5次，

所以對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的和為C；(25+24+…+”+2°)+或X26=1275,故B正確；

對(duì)于C：n=a。x2'+qx2*?+a,x2*2+?,-+x21+a*x2°,

k

則S(n)—):ci-,2n+1-a。x2"+】+4x2"+a?x2k4-,??+以_(x2?+%x21+1,

i=0

故s(2〃+i)=Za+i=s(〃)+i,

i=0

Mk+3k+2542

16n+4=a0x2+aix2+a2x2+---+^_^2+akx2+2,

k

故S(16〃+4)=26+1=S(〃)+l,故S(2〃+l)=S(16〃+4),故C正確；

i=0

202620262025225

對(duì)于D:22°25,22025+],22025+工…，2_1共2-2=2°個(gè)數(shù)中所有的數(shù)轉(zhuǎn)換為

二進(jìn)制后，

總位數(shù)都為2026,且最高位都為1；而除最高位之外的剩余2025位中，每一位都是0或者

1;

設(shè)其中的數(shù)無，轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制后有左個(gè)0(04左〈2025),/(%)=2"；

在這22025個(gè)數(shù)中，轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制后有左個(gè)。的數(shù)共有C；025個(gè)，

故

2025

f(22025^2025)...f2026C^=5

02°25)+/f+2++(2-1)=J025(1+2產(chǎn)=3^^

k=0

,故D正確，

故選：BCD.

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

(兀)5

12.已知tan[&+/J=e,貝i]cos2?=.

【答案】—

29

【解析】

【分析】以a+：為整體，利用誘導(dǎo)公式可得cos2a=sin2]a+W),再根據(jù)倍角公式結(jié)

合齊次式問題運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)閠an［a+：］=g

,c兀、兀

由cos2a=cos2a-\?一——

L14j2J

=sin21a+；］=2sin［a+；］cos［a+；］

2sina+—cosa+—2tan

:I4)I4)_I4)

sin2［tz+：］+cos2］a+：］tan2^c)!'+^+l

o5

_2_20

豆MF

故答案為：—.

29

13.若一組數(shù)據(jù)6,1,7,5,5,27,11,21,3機(jī)(mwR)的第75百分位數(shù)為12,則這組數(shù)據(jù)的

第40百分位數(shù)為____.

【答案】5.5

【解析】

【分析】分析可知第75百分位數(shù)為第8位數(shù)，結(jié)合數(shù)據(jù)可知%=12或3切=12,代入檢驗(yàn)

即可，進(jìn)而可得第40百分位數(shù).

【詳解】因?yàn)?0x0.75=7.5,可知第75百分位數(shù)為第8位數(shù)，

若數(shù)據(jù)第75百分位數(shù)為12,結(jié)合數(shù)據(jù)特值可知m=12或3m=12,

若m=12,數(shù)據(jù)按升序排列可得1,5,5,6,7,11,12,21,27,36,

則第75百分位數(shù)為21,不合題意；

若3m=12,即加=4,數(shù)據(jù)按升序排列可得1,4,5,5,6,7,11,12,21,27,

則第75百分位數(shù)為12,符合題意；

綜上所述：加=4,此時(shí)數(shù)據(jù)1,4,5,5,6,7,11,12,21,27,

又因?yàn)?0義0.4=4,所以這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為互5.5.

2

故答案為：5.5.

14.已知函數(shù)y(x)=＜；若函數(shù)y=/(4(x))所有零點(diǎn)的乘積為1，則實(shí)數(shù)a

inx\,x〉u

的取值范圍是.

【答案】［,g］u［l,+8)

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)“力的零點(diǎn)可得/(x)=：,再結(jié)合指、對(duì)數(shù)性質(zhì)分析可知方程|ln=：

有根，方程2、+1=!無根，結(jié)合圖象即可得結(jié)果.

a

【詳解】當(dāng)xKO時(shí),可得〃力=2'+1?1,2］；

當(dāng)龍＞0時(shí)，可得/(力=加刀］20,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立，

即函數(shù)/(九)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)1,

若函數(shù)y=/(4(x))有零點(diǎn)，則4(力=1，

顯然awO,可得/(x)=：,

假設(shè)方程|lnx|=：,x〉0有根，可知方程|lnx|=1,x＞0有兩個(gè)不相等根，

設(shè)為玉，X2，且。＜玉

則=加可，可得In玉+ln%2=ln玉%2=0，即再赴二1，

假設(shè)方程2工+1=±%＜0有根，可知方程2*+l=Lx＜0有且僅有1個(gè)根，設(shè)為退＜0,

aa

結(jié)合題意可知：方程|lnx|=±x〉0有根，方程2'+1=±工＜0無根，

aa

即■與y=/（x）,xW0無交點(diǎn)，與y=/（x）,x＞0有2個(gè)交點(diǎn)，

o|~~X

結(jié)合圖象可知：0＜工41或,＞2,解得a21或0＜。＜!，

aa2

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[O,/]D[L+X）.

故答案為：]°,5]D[I,+CO）.

四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.如圖所示，在空間幾何體ABCDPQ中，四邊形ABCD為正方形，平面尸CD，平面

ABCD,QA±AB,PD//QA,PD=DC=2QA.

（1）證明：平面ABCD.

（2）求平面P3c與平面P5Q所成銳二面角的大小.

【答案】（1）證明見詳解

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可得PDJ_CD,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)分析證明；

（2）建系標(biāo)點(diǎn)，分別求平面尸6c與平面P5Q的法向量，利用空間向量求面面夾角.

【小問1詳解】

由四邊形A3CD為正方形知CD，且24,A3,則QALCD,

因?yàn)槭?gt;〃QA，則PDLCD,

又因?yàn)槠矫鍼CD,平面ABCD,平面PC。。平面ABCD=CD,?Du平面PCD,

所以平面ABCD.

【小問2詳解】

由（1）知尸￡），平面ABCD且。A，。。，故ZHDCDP互相垂直；

以。為原點(diǎn)，DA,DC,。尸所在直線分別為％yz軸建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)QA=1，則PD=DC=2,可得5（2,20）,C（0,2,0）,尸（0,0,2）,Q（2,0,1）,

故麗=（2,2,-2）,定=（0,2,-2）,電=（2,0,—1）,

m?PB=2%+2M—22I=0

設(shè)平面P3Q的法向量是前=（%,%,zj,貝卜

m?PQ=2再一4二0

取玉=1,則必=1，4=2,可得玩二

n-PB-2X+ly-2z=0

設(shè)平面尸3C的法向量是為=（%2，%，22），貝卜222

n-PC=2y2-2Z2=0

取%=1，則X2=°，Z2=1，可得為=（0,1』）；

記平面PBC與平面PBQ所成銳二面角為，e[0,^J,

則cos0=|cos玩，萬|=禺=/=,，可知*今

7T

故平面PBC與平面PBQ所成銳二面角的大小為一.

6

InY

16.已知函數(shù)/（%）=不（4>0）的圖象在x=l處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面

積為！.

（1）求a值；

⑵記〃尤）的極大值點(diǎn)為%,證明：=

【答案】（1）a=l

（2）證明見詳解

【解析】

【分析】（1）利用函數(shù)求導(dǎo)得切線方程，求出切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，結(jié)合面積公式運(yùn)算即可;

（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理可知g（x）=4-Inx+1在定義域（0,+"）內(nèi)有且僅

X

有1個(gè)零點(diǎn)后，進(jìn)而可得/（X）的單調(diào)性和極值點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)代換分析證明.

【小問1詳解】

ai1

—Inx+1

因?yàn)閍>0,可知/（%）的定義域?yàn)椋?,+℃）,且=x________

(X+Q)

可得/（i）=o,r（i）=￡,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為（l,0）,切線斜率為左=g,則切線方程為y=￡（x-1）,

令％=0,可得y=——?

Q+1

則切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為[xlx—解得a=l.

2（2+14

【小問2詳解】

i,,

1nY——lnx+1

由⑴可得：/@六x________,x>0,

(%+l)2

因?yàn)閥=』,y=-lnx在定義域(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，

可知g(x)=L-lnx+l在定義域(0,+“)內(nèi)單調(diào)遞減，

且g(e)=L>0,g(e2)=4—l<0,

ee

可知g(x)在定義域(0,+8)內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)/e(e,e?),

當(dāng)0<x<x()時(shí)，g(尤)>0,即/>'(%)>()；

當(dāng)X〉/時(shí)，g(x)<0,即/'(x)<0；

可知”可在(0,%)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，+”)內(nèi)單調(diào)遞減，

所以/(%)的極大值點(diǎn)為％,

又因?yàn)間(x())=上一lnXo+l=°,可得Xolnx。=%+1,

xlnx_x+1

所以//(%)=000=1

x0+1x0+1

17.甲、乙、丙三位同學(xué)組隊(duì)參加一個(gè)闖關(guān)活動(dòng).每次只能派1個(gè)人參加闖關(guān)活動(dòng)，每次闖關(guān)

用時(shí)1分鐘，如有必要?jiǎng)t派下一個(gè)人繼續(xù)參加闖關(guān)活動(dòng)，直至三人中有兩人闖關(guān)成功就視為

團(tuán)隊(duì)“挑戰(zhàn)勝利”，否則視為“挑戰(zhàn)失敗”.在已經(jīng)確定“挑戰(zhàn)勝利”或“挑戰(zhàn)失敗”時(shí)，活動(dòng)

立刻結(jié)束.已知甲、乙、丙各自能闖關(guān)成功的概率分別為工2,2，且假定每人能否闖關(guān)成

433

功的事件是相互獨(dú)立的.

(1)若改變?nèi)齻€(gè)人先后參加闖關(guān)的順序，團(tuán)隊(duì)“挑戰(zhàn)勝利”的概率是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)說

明理由.

(2)為了使活動(dòng)平均用時(shí)最少，三位同學(xué)應(yīng)該以怎樣先后順序參加闖關(guān)活動(dòng)，并說明理

由.

【答案】(1)不會(huì)變化，理由見解析

(2)應(yīng)該以甲、乙、丙或乙、甲、丙順序闖關(guān)，理由見解析

【解析】

【分析】(1)直接求出各種闖關(guān)的順序，團(tuán)隊(duì)“挑戰(zhàn)勝利”的概率，即可求解；

(2)根據(jù)條件，直接求出每種闖關(guān)的順序所花的時(shí)間的均值，即可求解.

【小問1詳解】

不會(huì)發(fā)生變化，理由如下,

記事件A：甲闖關(guān)成功，事件5：乙闖關(guān)成功，事件C：丙闖關(guān)成功，事件E：團(tuán)隊(duì)“挑

戰(zhàn)勝利”，

因?yàn)榧住⒁?、丙各自能闖關(guān)成功的概率分別為!」,工，且每人能否闖關(guān)成功的事件是相互

433

獨(dú)立的，

若闖關(guān)的順序?yàn)榧?、乙、?

則

P”(…。+的=/網(wǎng))+9)+”)=v+對(duì)><|+5|\*

若闖關(guān)的順序?yàn)橐?、甲、丙，則

1121213213

P(E)=P[BA+BAC+BAC)=—X—H——X—X——1-—X—X—=——

4334334336

即有闖關(guān)的順序?yàn)榧?、乙、丙和闖關(guān)的順序?yàn)橐?、甲、丙時(shí),團(tuán)隊(duì)“挑戰(zhàn)勝利”的概率一樣,

若闖關(guān)的順序?yàn)楸⒓?、乙，則

2111123113

P(E)=P(CA+CAB+CAB)=—X——1--X—X—H——X—X—

3434334336

同理有闖關(guān)的順序?yàn)榧?、丙、乙和闖關(guān)的順序?yàn)楸?、甲、乙時(shí)，團(tuán)隊(duì)“挑戰(zhàn)勝利”的概率一

樣,

若闖關(guān)的順序?yàn)楸?、乙、甲，則

2111122113

P(E)=P(CB+CBA+CBA)=—x—+—X—X——I——X—X—=

3333433436

同理有闖關(guān)的順序?yàn)橐?、丙、甲和闖關(guān)的順序?yàn)楸?、乙、甲時(shí)，團(tuán)隊(duì)“挑戰(zhàn)勝利”的概率一

樣,

所以改變?nèi)齻€(gè)人先后參加闖關(guān)的順序，團(tuán)隊(duì)“挑戰(zhàn)勝利”的概率不會(huì)發(fā)生變化.

【小問2詳解】

由(1)知，若按甲、乙、丙或乙、甲、丙順序闖關(guān)，

用X1表示所花的時(shí)間，顯然Xi可能取值為2,3,

11327

又產(chǎn)(％=2)=尸+=—x—H——X—=——

434312

>.31125

P（Xl=3）=P（AB+AB|=—X—H——X—=—，

,434312

由（1）知X］的分布列為

X23

75

P

1212

7529

則E（Xj=—x2+二><3==，

1"121212

若按丙、甲、乙或甲、丙、乙順序闖關(guān)，用乂2表示所花的時(shí)間，顯然X2可能取值為2,3,

/___、19315

又P（X,=2）=PAC+AC=-x-+-x-=—,

、,、7434312

32117

P（X,=3）=PAC+AC=-x-+-x-=—,

'''7434312

由（1）知X2的分布列為

X]23

57

P

1212

5731

則后區(qū)）=—x2+—x3=—，

'27121212

若按丙、乙、甲或乙、丙、甲順序闖關(guān)，用X3表示所花的時(shí)間，顯然X3可能取值為2,3,

/___、12214

又尸（X，=2）=尸5C+BC=—x—+—x—=—,

\3"\）33339

/——X77115

p（Y=3）=P（BC+BC）=-x-+-x-=-,

v37,733339

由（1）知X3的分布列為

X323

45

P

99

4523

則￡（Xj=—x2+—x3=—,

l3/999

顯然有￡（Xj<E（X3）〈石（X?）,所以三位同學(xué)應(yīng)該以甲、乙、丙或乙、甲、丙順序闖關(guān).

2

18.已知直線/：、=履+，（左>0/<0）與橢圓C:\+y2=1（?！?）交于A3兩點(diǎn)（A在

a

下方，3在上方），線段A3的中點(diǎn)為E，直線0E的斜率為-（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

3k

（1）求橢圓。的方程；

（2）若射線OE與橢圓C,直線x=3分別交于G,。兩點(diǎn)，且|0。|,|。6|,|。目成等比數(shù)

列.

（i）求點(diǎn)M（O,D到直線/的距離的最大值；

（ii）當(dāng)直線BG與x軸垂直時(shí)，求AABG的外接圓方程.

2

【答案】（1）—+y2=l

3-

⑵⑴行；（ii）（x-1）2+/=|

【解析】

22

【分析】（1）設(shè)得到駕+才=1,與+必=1,兩式相減，結(jié)合斜率

aa

公式，化簡得到eE*AB=-3,求得6=3,進(jìn)而得到橢圓的方程；

a

（2）（i）設(shè)4（和%）,B（X2,%）,聯(lián)立方程組，得到玉+々=一一，貝Uy+%=-??—>

3kt13kc

得到XE=--y—，再由OE的方程為y=--x，聯(lián)立方程組求得加=/-7——，X。=3,

女I133I1

根據(jù)1JOG|,\OE\成等比數(shù)列，得到xl=xD-xE,列出方程求得k=—t,得到直線/恒

過定點(diǎn)N（1,O）,結(jié)合/，肱V,得到點(diǎn)”（0,1）到直線/的距離的最大值；

?3kI、m3k1、

（ii）由（i）得G（/2=，一~/2）和5（/2:，/,,），將其代入直線方程，

yJ3k2+lyj3k2+ly/3k2+l也甘+1

求得左=1,求得直線/的方程為y=x-i,設(shè)AASG的外接圓的圓心為3,0）,求得d=L,

2

得出圓的半徑，進(jìn)而求得外接圓的方程.

【小問1詳解】

解：設(shè)A（X1,yt）,B（X2,y2）,則xE='產(chǎn),%=%

22

由點(diǎn)AB在橢圓上，可得3+才=1,餐+$=1,

aa

兩式相減，可得（"1+"），1"2+（%+%）（%—%）=o,

a

即（M+%）（%-%）=丹,（%-%）=絲,X-%=k0E-k=-—1

AB3,可得4=3,

（玉+々）（玉一九2）XE（X1-X2）XEX1~X2〃2

所以橢圓C的方程為—+y-=l.

3-

【小問2詳解】

y=kx+t

2整理得（3k2+1）%2+6ktx+3/—3=0,

解：（i）聯(lián)立方程組X21

—+V=1

I3,

設(shè)A（X],/）,BlX],%）,可得玉+x,=2>則/+%=k（X[+x,）+/=-,

3K+1~~3K+1

x；+x_3kt

因?yàn)辄c(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，所以4=2

23^+1

若射線OE與橢圓C,直線x=3分別交于G,。兩點(diǎn),

可得加〉0且射線OE的方程為y=--x,（x>0）,

3k

1

y=一短X3kR

聯(lián)立方程組《,,解得加=7十=，x?=3,

x22,y/3k-+l

—+y=1

[3J

因?yàn)閨OD|,|OG|,|OE|成等比數(shù)列，知|OG「=|OD|OE|,可得曉=%.，

3k2o/3kt9k之9kt

故（//）=3?（-2,1），可得一；一解得k=-t,

V3^+l3k+1342+13k2+1

所以直線I的方程為y=k（x-l）,所以直線/恒過定點(diǎn)N（l,0）,

當(dāng)直線UAGV時(shí)，可得左=1,點(diǎn)加（。,1）到直線/的距離的最大值為盤叭=|肱V|=J1

13k1、

（ii）由（i）得一一,）,

N3k2+1,342+1

一?3kI、

當(dāng)直線BG與x軸垂直時(shí)，可得3（/、-，］,，

＜3E+1,3左2+1

將其代入直線y=Mx—1）,整理得342—1=屋歷石，

貝|13左2—1＞0且6/—7r+1=0，解得左2=!（舍去）或左2=1，

6

3131

因?yàn)樽螅?,所以k=1,此時(shí)3（5?）,G（5，—萬）關(guān)于1軸對(duì)稱，

此時(shí)直線/的方程為＞=X-1,此時(shí)

由于AABG外接圓的圓心在無軸上，可設(shè)AABG的外接圓的圓心為（d,0）,

3o11

可得/0+1=3——）2+-,解得d=—,

242

所以AABG的外接圓的半徑為^1/+二正,

2

所以AABG的外接圓的方程為（尤-：）2+/=。.

24

19.存在meN*，對(duì)任意的MGN*，當(dāng)〃＞根時(shí)，正項(xiàng)數(shù)列｛4｝都滿足

^n-m^n-m+1..................1,^n+1,^n+m-1,^n+m—""f則稱｛4｝滿足P（M性質(zhì).例如:

/\2x4

當(dāng)m=4時(shí)，2"-4-2n-3-2n-2-2^-2n+l2"+2-2n+3=28"=（2n）,則等比數(shù)列

｛2'｝滿足P（4）性質(zhì)；當(dāng)根=1時(shí)，（71—1）5+1）片/，則數(shù)列｛力不滿足p⑴

性質(zhì).已知數(shù)列｛4｝同時(shí)滿足P（2）,P（3）性質(zhì).

（1）證明:數(shù)列｛q｝為等比數(shù)列；

k,n=a,

(2)已知%=1,。2=3,若數(shù)列｛%｝滿足:bn=<,其中

bn_1+2k,ak<n<aM

左eN*.設(shè)Sn為數(shù)列,“}的前〃項(xiàng)和，記Tn=b}+b2+b.+...+b2Sn.

①求7；的表達(dá)式(用含〃的式子表示)；

8z—19

②試判斷X與京的大小關(guān)系，并說明理由.

1i67；-(3z+l")(8z-1I、)-1I40

【答案】(1)證明見解析；

,八c(8〃—1)X9"+1;②t________8/-1________9