備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)專題27矩形的性質(zhì)與判定【知識點及十四大題型】

【知識點矩形的性質(zhì)與判定】

(1)定義

有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。

(2)矩形的性質(zhì)

矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等。

推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

(3)矩形的判定

有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

對角線相等的平行四邊形是矩形；

有三個角是直角的四邊形是矩形。

【題型1利用矩形的性質(zhì)求角度、線段長、面積、坐標(biāo)】

【例1】(2023?廣東江門?統(tǒng)考二模)如圖，在矩形48CD中，對角線4C與相交于點0,已知NB4C=35。,

則N80C的度數(shù)是()

70°C.75°D.80°

【答案】B

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，證出。4=。8,得出NQ4B="B。，再由三角形的外角的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解：???四邊形是矩形,

OA=OC,OB=OD,AC=BD,

OA=OB,

??.AOAB=/.ABO=35°,

???乙BOC=2x35°=70°；

故選:B

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角定理；證出。a=。8是解題關(guān)鍵.

【變式1-1］（2023?甘肅武威?統(tǒng)考三模）如圖，矩形4BCD的對角線相交于點O,過點。的直線交AD,BC于

點E,F,若48=3,BC=4,則圖中陰影部分的面積為.

【答案】6

【分析】結(jié)合矩形的性質(zhì)證明AAOE三ACOF,可得AaOE與ACOF的面積相等，從而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)

化為△BDC的面積進行求解即可.

【詳解】解：；四邊形ABCD是矩形，AB=3,

：.OA=OC,AB=CD=3,AD\\BC,

：.^AEO=&CFO,

又..ZOE=Z.COF,

在△力。E和ACOF中，

ZAE。=Z.CFO

OA=OC,

./.AOE=Z.COF

：.AAOESACOF（ASA）,

,,SAAOE=SACOF,

?陰影—S&AOE+S^BOF+S^COD—S^COF+^ABOF+^hCOD=^ABCD'

11

,?SABCD=BC?CD=-x4x3=6）

故答案為：6.

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三家形的判定與性質(zhì)，根據(jù)證明三角形全等，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為

矩形面積的一半是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2］（2023?江蘇南通?統(tǒng)考二模）如圖，矩形48CD中，點E,點尸分別在邊48,BC上，線段4F與線段

DE相交于點G,若4B=4,BC=6,4E=BF=3,則FG的長度為.

BFC

【答案】g

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識；由勾股定理可求4尸的長，通

過證明?可求F“，C”的長，通過證明△/EG?△HOG,可求4G的長，即可求解.

【詳解】解：如圖，延長4F,DC交于點H,

???AB=4,BC=6,AE=BF=3,

??.CF=3,AF=7AB2+BF2=46+9=5,

???ABWCD,

ABF~AHCF,

.AB_BF_AF

''CH-CF-FH'

4_3_5

''CH=3=FH

??.CH=4,FH=5,

???AH=10,DH=8,

?

??AB\\CDf

AEG?△HOG,

AG_AE

GH~DHf

AG_3

GH~8’

33.30

???AG=—AH=—X10=—

li1111

?c'?lGF=25—

li

故答案為：

【變式1-3]（2023?天津河?xùn)|?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形力BCD的頂點A在第一象限，B,

。分別在y軸上，。是BD的中點.若4B=0B=2b，則點C的坐標(biāo)是（）

A.(3,V3)B.(-3,-V3)C.(V3,3)D.(-V3,-3)

【答案】B

【分析】過點A作4F_Lx軸，垂足為凡由四邊形2BCD是矩形易證得AAOB是等邊三角形，進而N40F=30°,

解直角三角形得4F=04-sin乙4。尸=b，OF=OA-cos30°=3,所以4(3,b)，由矩形是中心對稱圖形

知點4,點C關(guān)于原點對稱，得點C(—3,一百).

【詳解】???四邊形4BCD是矩形

OA=OB

"：AB=OB=2^/3

：.OA=AB=OB=2V3,^AOB=60°

過點A作AFIx軸，垂足為R

貝必尸=OA-sinz.XOF=OA-sin(90°-60°)=2舊x[=g

lV3

OF=OA-cos30°=2v3x—=3

點力(3,百)

?.?點A,點C關(guān)于原點對稱，

...點C(—3,一百)，

故選：B

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形，點坐標(biāo)的含義；結(jié)合已知條件構(gòu)

建直角三角形求解相關(guān)線段是解題的關(guān)鍵.

【題型2矩形的判定定理的理解】

【例2】（2023?上海?統(tǒng)考中考真題）在四邊形2BCD中，力。||BC,4B=CD.下列說法能使四邊形2BCD為

矩形的是（）

A.AB||CDB.AD=BCC.乙4=NBD.=ZD

【答案】C

【分析】結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)及矩形的判定逐一分析即可.

【詳解】A：AB||CD,AD||BC,AB=CD

：.ABC。為平行四邊形而非矩形

故A不符合題意

B：AD=BC,AD||BC,AB=CD

ABC。為平行四邊形而非矩形

故B不符合題意

C：-.?AD||BC

：.N4+NB=180°

???Z.A-乙B

Z.A=Z.B=90°

???AB=CD

J.AB//CD

.??四邊形2BCD為矩形

故C符合題意

D：???AD||BC

■■■"+NB=180°

Z.A=Z.D

：.ND+NB=180°

???4BCD不是平行四邊形也不是矩形

故D不符合題意

故選：C.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)及矩形的判定等知識，熟練掌握以上知識并

靈活運用是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1](2023?山東青島?統(tǒng)考三模)如圖，AABC和△；!”1都是等邊三角形，AE.FD分另U是BC、AC邊

上的中線，連接并延長交4F于G,連接CG.

BEC

⑴求證：AADG=ACDE-,

(2)求證：四邊形4ECG是矩形.

【答案】(1)詳見解析

(2)詳見解析

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到4B=BC=4C=4F=CF,推出四邊形48CF是平行四邊形，得

至必FIIBC,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到4G=CE,根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)定理以及等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：???△ABC和△江/都是等邊三角形，

AB=BC=AC=AF=CF,

???四邊形4BC尸是平行四邊形，

.-.AFWBC,

Z.AGD=Z.CED,/.GAD=Z.ECD,

■.AE,FD分另！]是BC、4C邊上的中線，

AGAF,CE-BC,

22

AG=CE,

'.^ADG=△COE(ASA)；

(2)-AG=CE,AGWCE,

???四邊形/ECG是平行四邊形，

???△4BC是等邊三角形，4E是BC邊上的中線，

???AE1BC,

???Z-AEC=90°,

???四邊形4ECG是矩形.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì),

熟練掌握特殊四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2](2023?北京?統(tǒng)考中考真題)如圖，在回A8CD中，點E,尸分別在BC,2D上，BE=DF,AC=EF.

(1)求證：四邊形4ECF是矩形；

(2)AE=BE,AB=2,tanzXCB=求BC的長.

【答案】(1)見解析

(2)3A/2

【分析】(1)利用平行四邊形的性質(zhì)求出4尸=EC,證明四邊形4EC尸是平行四邊形，然后根據(jù)對角線相等

的平行四邊形是矩形得出結(jié)論；

(2)證明AaBE是等腰直角三角形，可得4E=BE=&,然后再解直角三角形求出EC即可.

【詳解】(1)證明：???四邊形ZBCD是平行四邊形，

：.AD=BC,ADWBC,

,:BE=DF,

：.AF=EC,

：.四邊形4ECF是平行四邊形，

VXC=EF,

平行四邊形4ECF是矩形；

(2)解：由(1)知四邊形4ECF是矩形，

/.AEC=/.AEB=90°,

"：AE=BE,AB=2,

是等腰直角三角形，

：.AE=BE=—AB=V2,

2

XVtanzXCB=—=

EC2

?V21

??一)

EC2

：.EC=2V2,

：.BC=BE+EC=/+2V2=3叵

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形，熟練掌握相關(guān)判定定

理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3](2023?湖南岳陽?模擬預(yù)測)如圖所示，△ABC中，。是BC中點，過點4作BC的平行線交CE的延

長線于F,且4F=BD,連接BF.請從以下三個條件：①力B=HC；②FB=4D；③E是力。的中點，選擇一

個合適作為已知條件，使四邊形4FBD為矩形.

(1)你添加的條件是;(填序號)

(2)添加條件后，請證明四邊形4F8D為矩形.

【答案】⑴①

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)已知可得四邊形2FBD是平行四邊形，添加條件能證明四邊形是矩形即可求解；

(2)先證明四邊形AFBD是平行四邊形，①根據(jù)三線合一得出4D1BD,能證明四邊形是矩形；②只能證明

四邊形為平行四邊形；③證明△力FE三ADCE,可得力F=DC,進而根據(jù)已知得出BD=4F,不能證明四邊

形是矩形.

【詳解】(1)解：添加的條件是①

故答案為：①.

(2)證明：'：AF\\BC,AF=BD,

四邊形2FBD是平行四邊形，

?AB=AC；

中，。是中點，

：.AD1BD

.,?四邊形是矩形；

②添加FB=4D；四邊形4FBD是平行四邊形，不能證明四邊形4FBD是矩形；

③E是2。的中點

：.AE=DE,

'：AF\\BC,

J./.FAE=Z.DCE,

又N4EF=乙DEC,

：.AAFE三△DCE（AAS）,

：.DC=AF,

又BD=CD,

：.BD=AF,

二③不能證明四邊形4FBD是矩形.

【點睛】本題考查了矩形的判定，熟練掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【題型3根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度】

【例3】（2023?河北承德?統(tǒng)考二模）如圖，在回48CD中，對角線AC、BD相交于點O,且。4=OD.^OAD=55°,

則NOAB的度數(shù)為（）

A.35°B.40°C.45°D.50°

【答案】A

【分析】根據(jù)矩形的判定得到四邊形4BCD是矩形，由矩形的性質(zhì)求出ACMB,代入NOAB=-N04D求

出即可.

【詳解】解：???四邊形4BCD是平行四邊形，

OA=OC,OB=OD,

VOA=OD,

：.AC=BD,

.,?四邊形ABC。是矩形，

."DAB=90°,

'：LOAD=55。，

：.LOAB=Z.DAB-AOAD=35°

故選：A.

【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，能根據(jù)矩形的性質(zhì)求出ND4B的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵.

【變式3-1](2023?吉林?吉林省第二實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測)概念提出

若四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰二角形，則這條對角線叫做這個四邊形的“巧分線”，這個四邊

形叫“巧妙四邊形，，，若一個四邊形有兩條巧分線，則稱為“絕妙四邊形，，.

(1)下列四邊形一定是巧妙四邊形的是;(填序號)

①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形.

(2)初步應(yīng)用

在絕妙四邊形ABC。中，AC垂直平分8。，若NBAO=80。，求/BCD的度數(shù).

(3)深入研究

在巧妙四邊形ABC。中，AB=AD^CD,ZA=90°,AC是四邊形ABC。的巧分線，請直接寫出NBC。的度

數(shù).

【答案】(1)③④

(2)80°或140°

(3)45。或90°或135°

【分析】(1)由平行四邊形，矩形，菱形，正方形的性質(zhì)可求解；

(2)由線段垂直平分線的性質(zhì)可得BC=CD,AC±BD,由等腰三角形的性質(zhì)可得N2AC=NZMC,

ZBCA=ZDCA,即可求NBC。的度數(shù)；

(3)分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和“絕妙四邊形的定義可求解.

【詳解】(1)解：???菱形的四條邊相等，

???連接對角線能得到兩個等腰三角形，

菱形是巧妙四邊形；

正方形是特殊的菱形，所以正方形也是巧妙四邊形；

故答案是：③④；

(2)解：???AC垂直平分5。，

：.AB=ADfBC=CD,ACLBD,

：.ZBAC=ZDAC,ZBCA=ZDCA,

???ZBAD=80°,

：.ZBAC=ZDAC=40.

'：AC=ADf

：.ZACD=70°=ZBCA,

.'.ZBC￡>=140°,

如圖，??,四邊形ABC。是絕妙四邊形,

〈AC垂直平分8。，

*：AB=ADfBC=CD,

：.AB=AD=BC=CD,

???四邊形ABC。是菱形，

???ZBCD=ZBAD=80°,

綜上所述，N3CD=140。或80。；

(3)解：:AC是四邊形ABCO的巧分線，

???ABC是等腰三角形，

①當(dāng)AC=5C時，如圖，過C作CHJ_A5于H,過C作CGJ_A。，交A。的延長線于G,

ZHAD=ZAHC=ZG=90°,

???四邊形AHCG是矩形，

ii

AH=CG=2-AB=2-CD,

：.ZCDG=30°,

???ZAZ)C=150°,

：.ZDAC=ZDCA=15°,

?/ZDAB=90°,

：,/CAB=/B=75。,且NAC3=30。,

???ZBCD=30°+15°=45°；

J△ACO是等邊三角形,

ZCAD=ZACD=60°,

：.ZBAD=90°,

：.N3AC=30。，

^AB=AC9

：.ZACB=75°,

ZBCD=75°+60°=135°；

③當(dāng)。時，如圖

"：AB=AD=CD=BC,

.,?四邊形ABC。是菱形，且/84￡>=90°,

四邊形ABCD是正方形，

ZBCD=9Q°,

綜上所述：ZBCD的度數(shù)是45?；?35?；?0°.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等邊

三角形的性質(zhì)，理解新定義并運用是本題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2023?河南新鄉(xiāng)?統(tǒng)考一模）如圖，在RtAdBC中，ZC=90°,AC=2,NB=30。，點。、E分

別在邊BC、AB上，BD=2,DEUC,將ABOE繞點B旋轉(zhuǎn)，點。、E旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點分別是D'、E',當(dāng)4

D'、三點共線時，NEBE，的度數(shù)為.

【答案】30?；?0。

【分析】分兩種情況討論，由矩形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：如圖，當(dāng)點0'在線段上時，

V/.ACD=90°,/.ABC=30°,AC=2,

???AB=4,BC=7AB2-AC2=V42-22=2百,

?.,將ABDE繞點B旋轉(zhuǎn)至△BD'E',

D'B=DB=2,ABD'E'=90°,

AD'=y/AB2-D'B2=V42-22=2百，

AD'=BC,

又AC=BD'=2,

.??四邊形4CBD是平行四邊形，

???4ACB=90°,

四邊形是矩形，

乙D'BD=90°,

???/.ABC=30°,

???4EBD，=4D'BD-/.ABC=90°-30°=60°,

???AE'BD'=乙EBD=30°,

???乙EBE'=AE'BD'+力BE=30°+60°=90°；

如圖：當(dāng)點D'在線段4E'的延長線上時，

■：/.ACD=90°,/.ABC=30°,

???^BAC=90°-30°=60°,

?.,將ABDE繞點B旋轉(zhuǎn)至△,

D'B=DB=2,乙BDE=90°,^E'BD'=乙EBD=30°

???AC=2,

AC=BD',

在RtANBC與RtA中，

(AC=BD'

yAB=BA

Rt△ABCmRt△BAD'(HL),

ABAC=乙ABD'=60°,

.-.乙EBE'=Z.ABD'-Z.E'BD'=60°-30°=30°,點E'在8C上,

綜上，NEBE，的度數(shù)為30?；?0。，

故答案為：30。或90。.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股

定理等知識，利用分類討論解決問題是本題的關(guān)鍵.

【變式3-3］（2023?福建廈門?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，AC是O。的直徑，點、B,。在。。上，AD=BC.

（1）在第上求作一點E,使得乙4ED=NCDE；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

⑵在（1）的條件下，連接OE,CE,AE,若NEC4=2NG4B,求NC4B的大小.

【答案】（1）見解析

(2)NG4B=30°

【分析】（1）由乙Z.AED=/.CDE,可知只需利用尺規(guī)作圖作"DE=41CD即可；

（2）由題意可證ACZM三△ABC（HL）,進而證得四邊形4BCD是矩形，利用矩形的性質(zhì)，圓周角定理及平行

線的性質(zhì)可證乙4CD=乙DCE=Z.CAB,Z.AED=/.ACD=乙CDE,Z.AED=Z.CAE,Z.DCE=^DAE,即可證

得ZJL4E=/.CAE=Z.CAB,再根據(jù)4。4B=90°即可求解.

【詳解】（1）解：以點C為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧交C4,CD于X,Y,以同樣長為半徑畫弧交QC于M,

再以M為圓心，XY為半徑畫弧交MZ于N,連接DN所在直線，交O。于E,可知=

又=AD,

J.^AED="CD,

/.AED=/.CDE,

如圖所示，即為所求；

(2)如圖，連接DE,CE,AE,

AC是直徑，

：.Z.ADC=/.ABC=90°,

又；AD=BC,

：.△CDA三△ABC(HL),

ACD=AB,

四邊形4BC0是矩形,則4B||CD,乙DAB=90°

：./.CAB=Z.ACD,

'：AECA=2/.CAB=^ACD+乙DCE

J.^ACD=NDCE=乙CAB,

由(1)知乙4E。=/.ACD=Z.CDE,

：.ACIIDE,則乙4ED=NC4E,

又,：ETE=ETE,

：.Z.DCE=/.DAE,

：.^DAE=/.CAE=/.CAB,

?；4DAB=90°,

：./.DAE+/.CAE+Z.CAB=90°,

貝此C4B=30°.

【點睛】本題屬于幾何綜合，考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定及性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，平行線的判

定及性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解決問題的關(guān)鍵.

【題型4根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求面積】

【例4】(2023?山東威海?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平行四邊形2BCD中，4。=3,CD=2.連接AC,過點

B作BE〃AC,交。C的延長線于點E,連接AE,交BC于點尺若N4FC=2ND,則四邊形A8EC的面積為

()

A.V5B.2V5C.6D.2V13

【答案】B

【分析】先證明四邊形ABEC為矩形，再求出AC,即可求出四邊形A2EC的面積.

【詳解】解：???四邊形A8C。是平行四邊形，

：.AB//CD,AB=CD=2,BC=AD=3,ZD=ZABC,

'：BE//AC,

四邊形A2EC為平行四邊形，

VZ^FC=2m

."AFC=2AABC,

'：ZAFC=ZABF+ZBAF,

：.ZABF=ZBAF,

：.AF=BF,

：.2AF=2BF,

即BC=AE,

平行四邊形ABEC是矩形，

ZBAC=90°,

：.AC=y/BC2-AB2=V32-22=V5,

矩形A2EC的面積為2B-aC=2V5.

故選：B

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟知相關(guān)定理，證明四邊形

ABEC為矩形是解題關(guān)鍵.

【變式4-1]（2023?廣西梧州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RdABC中，點。，E,F分別是邊AB,AC,3C的

中點，AC=8,BC=6,則四邊形CEDF的面積是（）

A.6B.12C.24D.48

【答案】B

【分析】利用三角形的中位線定理，先證明四邊形DECF是矩形，再利用矩形的面積公式進行計算即可.

【詳解】解：?.?點。，E,廠分別是邊AB,AC,BC的中點，AC=8,BC=6,

DE//BC,DE=^BC=3,DF//AC,DF=^AC=4,

四邊形DECF是平行四邊形，

???ZC=90°,

四邊形DECF是矩形，

S矩形DECF=3x4=12.

故選：B.

【點睛】本題考查的是三角形的中位線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，掌握利用三角形的中位線證明四邊形是

平行四邊形是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2X2023?河北滄州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點。是正六邊形ZBCDEF對角線OF上的一點，且SMOC=8,

則正六邊形4BCDEF的面積為（）

A.18B.24C.30D.隨著點。的變化而變化

【答案】B

【分析】根據(jù)正六邊形力BCDEF性質(zhì)，得到如下的結(jié)論：各邊相等，各個角相等，從而得至IUABC三ADEF、

/-BAC=30。、ZCAF=90°,即四邊形4CDF是矩形，且面積為16,過點2作8G1AC于點G,計算SA^C=

:AC?BG=?4F=；X8=2,最后根據(jù)圖形確定正六邊形4BC0EF的面積即可.

244

【詳解】解：如圖???正六邊形4BC0EF,

：.AB=BC=CD=DE=EF,

：.Z.ABC=乙BCD=乙CDE=乙DEF=Z.EFA=乙FAB=120°,

AB=FE

'：\z.ABC=乙FED,

BC=DE

△ABC=ADEFf

??^^ABC=S^DEF'

：.Z-BAC=乙BCA=乙EDF=乙EFD=30°,

：.Z.CAF=Z.AFD=乙FDC=Z.DCA=90°,

???四邊形4CDF是矩形，

：.AC\\DF,

:‘SRAOC=5s矩形/CDb

hAOC=8,

'S矩形QCOF=AC.ZF=16,

過點5作BG14c于點G,

：.BG=-AB=-AF,

22

ill

??SXABC=一4c,BG=-AC-AF=一X16=4,

△H幾244

.?S^ABC~S^DE產(chǎn)=4，

?.S正六邊形ABCDEF=S矩形4CDF+SMBC+SADEF=16+4+4=24.

故選B.

【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識

點，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3］（2023?黑龍江哈爾濱??？级＃┮阎匦蜛BCD,點E在4D邊上，DE<AE,連接BE,點G在BC

邊上，連接EG,BE平分Z71EG,若8G=5GC,DE=2CG,BE=2V10,則AABE的面積是.

BGC

【答案】4V6

【分析】過點E作EH1BC于H,設(shè)CG=x,貝UDE=2%,BG=5x,證明NAEB=乙EBG,得至UBG=EG=5比，

再求出HG=GC=1,貝i」BG=5,BH=4,由勾股定理可求EH的長，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點E作EHLBC于H,

設(shè)CG=%,貝UDE=2x,BG=5x,

???BE平分N2EG,

???Z-AEB=乙BEG,

???ADWBC,

???Z-AEB=Z.EBG,

BG=EG=5%,

???EH1BC,4O==90°,

???四邊形DCHE是矩形，

DE=CH=2x,

???HG—x,BH=4x,

EH2=BE2-BH2,EH2=EG2-HG2,

???40-16x2=25x2—x2,

.??%=1（負(fù)值舍去），

BG=5,BH=4,HG=1=GC,DE=2,

??.BC=6,EH=y/BE2-BH2=V40-16=2限

??.AE=4,

???SXABE=2X2V6x4=4V6,

故答案為：4\/6.

【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理求出CG的長是解題的關(guān)鍵.

【題型5根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長】

【例5】（2023?陜西西安?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？既＃┤鐖D，菱形4BCD的對角線相交于點0,過點。作

DEWAC,S.DE=\AC,連接CE、OE,連接4E,交。。于點F.若AB=2,乙4BC=60。，則4E的長為（）

A.V3B.V5C.V7D.2V2

【答案】C

【分析】先證明出四邊形。CED是矩形，再證明出AABC為等邊三角形，從而得到4C=4B=2,OA=^AC=

1,由勾股定理計算出CE=。。=B，最后再利用勾股定理計算即可.

【詳解】解：???四邊形2BCQ是菱形，AB=2,

：.OC=-AC,AC1BD,AD=AB=BC=2,

2

???DE=-AC,

2

???DE—OC,

???DEWAC.

???四邊形OCED是平行四邊形，

AC1BD,

???四邊形OCED是矩形，

???乙ABC=60°,

??.△4BC為等邊三角形，

AC=AB=2,OA=-AC=1,

2

CE=OD=^AD2-AO2=V22-l2=V3,

AE=VCF2+AC2=J（V3）2+22—V7,

故選：C.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上

知識點并靈活應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.

【變式5-1］（2023?浙江杭州?統(tǒng)考一模）如圖，在RtzMBC中,乙4=90。,P為邊BC上一動點，PElAB^E,

。尸14。于尸，動點P從點B出發(fā)，沿著BC勻速向終點C運動，則線段EF的值大小變化情況是（）

A.一直增大B.一直減小C.先減小后增大D.先增大后減少

【答案】C

【分析】連接4P,先判斷出四邊形4FPE是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等可得EF=AP,再根據(jù)垂線段最短

可得4P1BC時，線段EF的值最小，即可判斷出動點P從點8出發(fā)，沿著BC勻速向終點C運動，線段EF的

值大小變化情況.

【詳解】如圖，連接4P.

：乙4=90。，PE1AB,PF1AC

.?.四邊形力FPE是矩形，

：.EF=AP,

由垂線段最短可得時，4P最短，則線段EF的值最小，

二動點P從點8出發(fā)，沿著BC勻速向終點C運動，則線段EF的值大小變化情況是先減小后增大.

故選：C.

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理，判斷出4P1BC時，線段EF的值最

小是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2X2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在Rt△力BC中，乙4cB=90°,CA=CB,

D、E分另Ij在AC、BC上,CE=AD,連接DE,CG1DE于點F,交AB于點G,FE=1,FG=3,貝!MC=

【答案】3V5

【分析】過點。作OTI/O交ZB于點7,連接￡T,連接CT交。E于點M,通過推導(dǎo)角度可知CT=CG,且四邊

形DTEC為矩形，設(shè)CF為％,表示出OF,證明?△OFC,再根據(jù)相似的性質(zhì)可求出工，根據(jù)勾股定理

得出CE,CD,進而可得結(jié)果.

【詳解】解：過點。作交于點T,連接ET,連接CT交。E于點M,

:.乙ADT=90°,

'：Z-ACB=90°,CA=CB,

：.^A=(B=45°,BC上AC,

^DTA=90°-Z.A=90°-45°=45°=

：.DA=DT,

9：CE=AD,

：.DT=CE,

U：DTLAC,BCLAC,

：.DT\\CE,

V^ACB=90°,

???四邊形COTE是矩形，

ACT=DE,

設(shè)MCG=af

VCG1DE,

J./-CFD=乙CFE=90°,

：./.CDE=90°-乙DCF=90°-(90°-乙BCG)=a,

:.乙DCT=Z-CDE=a,

■:乙CTG=+乙ACT=45。+a,

Z-CGT=Z-B+Z-BCG=45°+a,

??乙CTG=乙CGT,

：.CT=CG,

：.DE=CG,

設(shè)CF=%,

\9FE=1,FG=3,

:?DE=CG=x+3,

DF=DE—EF=%+3—l=%+2,

■:乙ECF=a=4CDF,乙CFE=(DFC=90°,

△CFEfDFC,

BPCF2=EF-DF,

CFDF

.'.x2=1x(x+2),

解得：%i=2,x2=-1(舍去)，

=2,DF=2+2=4,

ACE=VCF2+EF2=V22+l2=V5,

CD=yjDF2+CF2=V42+22=2V5,

：.AC=CD+AD=CD+CE=2^5+V5=3瓜

故答案為：3瓜

【點睛】本題考查三角形與四邊形綜合知識，考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，相似三

角形的性質(zhì)和判定，勾股定理。選擇適當(dāng)?shù)妮o助線將AD=CE這一條件聯(lián)系起來是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3］（2023?河南周口?校聯(lián)考三模）如圖，在矩形2BCD中，AB=4,4D=6,點E為AC上靠近點A

的三等分點，點尸是矩形內(nèi)一動點，且SAFCO=*S矩形ABCD，連接EF，當(dāng)EF最小時，DF的長為.

BC

【答案】詈

【分析】由條件中的面積關(guān)系可得點尸至北。的距離為：4。，即為2,過點尸作MNL力D于點N,交BC于M,

則點尸的運動軌跡是線段MN,如圖，過E作EF1MN于點凡此時E尸的值最小，然后根據(jù)相似三角形的

判定和性質(zhì)結(jié)合已知條件求出FN=%再利用勾股定理求解即可.

【詳解】：SAFCD=[S矩形ABCD，設(shè)點尸到CD的距離為小

11

：.-CD-h=-CD-AD,

26

：.h=1AD=2,即點/至IJCD的距離為:4D,即為2,

過點尸作MN14D于點N,交BC于則點尸的運動軌跡是線段MN,

四邊形4BMN,MNDC都是矩形，

CM=DN=2,AN=4,MN=AB=4,

如圖，過E作EFlMN于點R此時EF的值最小，

設(shè)MN,4C交于點G,

：四邊形2BCD是矩形，

：.AD||BC,

：.△CMGFANG,

,CG_CM_MG_1

jAG-AN一GN-2’

ii

ACG=-AG,MG=-GN.

22

：.CG^-AC,

3

:點E為AC上靠近點A的三等分點，

：.AE=〃C,

3

：.AE=EG=GC,

?：EFJ.MN,AN上MN,

：.EF||AN,

△GEF~&GAN,

?.?-G-F=—GE——1,

GNGA2

i

：.FN=-GN,

2

14

：.FN=MG=FG=-MN=

33

則在直角三角形DFN中，根據(jù)勾股定理可得。尸=卜+(J=第.

故答案為：手.

【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)以及垂線段最短等知識，正確

理解題意、得出EF最小值時的位置是解題的關(guān)鍵.

【題型6根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求最值】

【例6】（2023?四川德陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，團ABC。的面積為12,AC=BD6,AC與BD交于點O.分

別過點C,。作BD,4C的平行線相交于點F點G是CD的中點，點尸是四邊形。CFD邊上的動點，貝UPG的

最小值是（）

【答案】A

【分析】先證明OC=。。，四邊形OCFD是菱形，如圖，連接OF,GP,而點G是CD的中點，可得G為菱形對

角線的交點，OFLCD,當(dāng)GP1CF時，GP最小，再利用等面積法求解最小值即可.

【詳解】解：V0XBCD,AC=BD=6,

.?.回4BCD是矩形,

：.0C=OD,

'JOCWF,DOWCF,

.??四邊形。CF。是菱形，

如圖，連接。尸，GP,而點G是CD的中點,

；.G為菱形對角線的交點，OF1CD,

.?.當(dāng)GP1CF時，GP最小，

?.?團4BCD即矩形4BCD的面積為12,AC=BD=6,

1

/.0C=0D=3,S4oco=-x12=3,

?菱形OCFD=2S&OCD=6,

工SXCGF=6=I'

由菱形的性質(zhì)可得：CF=3,

11

：.-x3xGP=-,

22

：.GP=1,即GP的最小值為1.

故選A

【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，菱形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的含義，理

解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.

【變式6-1］（2023?四川雅安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在△A8C中，ZC=90°,AC=BC=6.尸為邊4B上一動

點，作PD1BC于點。，PElAC^-^E,貝UDE的最小值為

A

【答案】3立

【分析】連接CP,利用勾股定理列式求出2B,判斷出四邊形CDPE是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等可得0E=

CP,再根據(jù)垂線段最短可得CP14B時，線段DE的值最小，然后根據(jù)直角三角形的面積公式列出方程求解

即可.

【詳解】解：如圖，連接CP,

WC=90°,AC=BC=6,

：.AB=y/AC2+BC2=V62+62=6近,

于點。，PEIAC于點E,Z.ACB=90°,

二四邊形CDPE是矩形，

：.DE=CP,

由垂線段最短可得CP148時，線段CP的值最小，此時線段OE的值最小,

此時，SAABC=|AC-BC=\AB-CP,

代入數(shù)據(jù)：jx6x6=|x6V2xCP,

CP=3A/2,

...DE的最小值為3VL

故答案為：3夜.

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理，判斷出CP14B時，線段DE的值最

小是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2］（2023?陜西西安?高新一中校考模擬預(yù)測）如圖，四邊形力BCD中，ABWCD,4ABC=90°,AB=5,

BC=4,CD=3,點P為直線BC左側(cè)平面上一點，ABCP的面積為2,則|P4-PC|的最大值為.

【答案】5

【分析】過點P作PH1BC于H.過點P作直線2IIBC,作點C關(guān)于直線/的對稱點C',連接4C'交直線/于P',

此時IP四-P￡'|的值最大，即IP'A-P'CI的值最大，最大值為線段力c，的長.

【詳解】解：如圖，過點P作PH1BC于H.

■■--BC-PH=2,BC=4,

2

PH=1,

過點P作直線ZIIBC,作點C關(guān)于直線/的對稱點C',連接4。交直線/于P,此時IP'4-P'CI的值最大，即

|P%-P工1的值最大，最大值為線段4C'的長，

過點C'作C'K148于K.

???Z.CKB=乙KBC=A.BCC=90°,

二四邊形CBKC'是矩形，

???CC=BK=2,BC=KC=4,

AB=5,

■.AK=AB-BK=S-2=3,

AC=>JAK2+KC'2=V32+42=5,

??.|PY—PCI的最大值為5.

故答案為：5.

【點睛】本題考查軸對稱-最短問題，涉及到的知識點三角形的面積，直角梯形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利

用軸對稱解決最值問題.

【變式6-3](2023?廣東汕尾?統(tǒng)考二模)如圖，在矩形4BCD中，AB=2,BC=4,E是4D上一點，連接BE,

作點A關(guān)于直線BE的軸對稱點F.

(1)如圖1,當(dāng)NEBF=30。時，求4E的長；

(2)當(dāng)48CF的面積等于3時，求4E的長；

(3)如圖2,射線CF交線段2D于G,求4G的最大值.

【答案】(1)竽

⑵蜉

(3)4-2V3

【分析】(1)利用對稱可各到三角形全等，再利用全等三角形的性質(zhì)和30。的正切值即可算出2E的長；

(2)過點尸作FM1AD于點M,FN1BC于點N,通過△BCF的面積等于3求出FN的長，進而求出FM的長,

再通過銳角三角函數(shù)的定義求出EF的長即4E的長；

(3)點A關(guān)于直線BE的軸對稱為點尸，點廠在以點2為圓心4B長為半徑的圓弧上，當(dāng)射線CF與圓弧只有一

個交點時，即與圓弧相切時，CF的延長線交CF于點G,此時G與E重合，止匕時4G的值最大，求出4G即可.

【詳解】(1):點4與點F關(guān)于直線BE對稱，

AB=BF,AE=EF.

在小ABE^^FBE中

AE=EF

AB=BF

、BE=BE

??.△ABE=AFBE(SSS)f

???AABE=Z.FBE=30°,

???四邊形/BCD是矩形，

：.^A=90°,

??.AE=AB-tan30°=—；

3

(2)解:如圖所示，過F作CD的平行線，交AD,BC分別于M,N,則四邊形4BNM是矩形,

:.乙4MN=4BNM=90°,MN=AB=2,

???△8CF的面積為3,

-BC-FN=3,

2

??.FN=

2

31

MF=MN-FN=AB-FN=2--=-.

22

在RtZkBNF中，^FNB=90°,BF=2,NF=|,

BN=VBF2-FN2=J22-(I,=

■:乙EFB=^A=90°,

???Z-MEF+/-MFE=乙BFN+zMFE,

AZ.MEF=乙BFN,

sinZ.MEF=sin乙BFN,

.MF_BN

??=9

EFBF

.廠廠MFBF2^7

?.hr=-----=—,

BN7

（3）解：；BF=BA,

點尸的軌跡是以點2為圓心，以BF（長度為2）為半徑的的圓弧上運動

，以點B為圓心，以BA為半徑畫圓，過C作圓8的切線，交線段4。于G,此時4G取得最大值

'：AD||BC,

：.^DGC=乙BCF,

：.tanzDGC=tanzSCF,即絲=吆,

.BC-CD.

???CrrG=---------=4,

BF

在Rt△GCD中，DG=yjGC2-CD2=2V3,

J.AG=4-2同

.MG的最大值為4-2百.

【點睛】本題屬于四邊形和圓的綜合應(yīng)用，考查了對稱的基本性質(zhì)，勾股定理和解直角三角形等知識，熟練

掌握對稱的基本性質(zhì)，勾股定理的綜合應(yīng)用以及學(xué)會結(jié)合圖形綜合分析是解題的關(guān)鍵.

【題型7與矩形有關(guān)的新定義問題】

【例7】（2023?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰

直角四邊形.如圖，在矩形4BCD中，AB=6,BC=9,P是對角線AC上一點，且AP：PC=2：3,過點尸

作直線分別交邊A。，8C于點E,凡使四邊形是等腰直角四邊形，則AE的長是

【答案】2或3.6

【分析】根據(jù)題意，分三種情況：①當(dāng)時；②當(dāng)AE=AB=6；③當(dāng)E/UBC時進行討論求解即可.

【詳解】解：；四邊形A2CO是矩形，

：.AD//BC,ZABC=ZBAC=9Q°,

：.AE：CF=AP：PC=2：3,

①當(dāng)時，如圖①，四邊形ABFP是等腰直角四邊形,

CF=BC-BF=9-6=3,

由AE：CF=2：3得:AE=2；

②當(dāng)AE=A8=6,如圖②，由AE：CF=2：3得，CF=9=BC,

此時點廠與2重合，故不符合題意；

③當(dāng)時，如圖③，則四邊形ABEP為矩形，

J.EF//AB,NBFP=9Q°,AE=BF,

：.PFzAB=CFtBC=CPtCA=3:5,

解得：PF=3.6,CF=5.4,

：.AE=BF=BC-CF=9-5.4=3.6,即BF=PF,

故四邊形ABFP是等腰直角四邊形,

綜上，當(dāng)AE為2或3.6時，四邊形ABFP是等腰直角四邊形.

故答案為：2或36

【點睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例，理解題意，利用分類討論及數(shù)形結(jié)合思想求解

是解答的關(guān)鍵.

【變式7-1］（2023?廣西南寧?廣西大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考一模）我們給出如下定義：在平面內(nèi)，點到圖形的距

離是指這個點到圖形上所有點的距離的最小值.在平面內(nèi)有一個矩形4BCD,aB=4,4D=2,中心為。，在

矩形外有一點P，OP=3,當(dāng)矩形繞著點。旋轉(zhuǎn)時，則點尸到矩形的距離d的取值范圍為.

D

【答案】3-有WdW2

【分析】根據(jù)題意分別求出當(dāng)OP過4B的中點E時，此時點P與矩形力BCO上所有點的連線中，d=PE；當(dāng)。P

過頂點A時，此時點尸與矩形力BCD上所有點的連線中，d=PA；當(dāng)OP過頂點4D邊中點尸時，此時點尸與

矩形力BCD上所有點的連線中，d=PF,即可求解.

【詳解】解：如圖，當(dāng)0P過的中點E時，此時點P與矩形上所有點的連線中，d=PE,OE=^AD=1,

：.d=PE=OP-OE=2；

如圖，當(dāng)OP過頂點A時，此時點P與矩形,BCD上所有點的連線中，d=PA,

矩形=4,4。=2,中心為O,

：.BC=AD=2,NB=90。，

：.AC=7AB2+BC2=2V5,

OA=-AC=V5,

2

d==OP-04=3-倔

如圖，當(dāng)。P過頂點AD邊中點尸時，此時點P與矩形力BCD上所有點的連線中，d=PF,OF=^AB=2,

P

O

B'------'c

：,d=PF=OP-OF=1；

綜上所述，點尸到矩形的距離d的取值范圍為3-遮WdW2.

故答案為：3—遍WdW2

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題意得出臨界點時點”的值是解題的關(guān)鍵.

【變式7-2](2023?陜西西安?高新一中校考模擬預(yù)測)如圖①，在矩形ABCD中，點尸是矩形邊上一動點，

將線段BF繞點/順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使得BF與矩形的邊交于點E(含端點)，連接BE,把△BEF定義

為“轉(zhuǎn)角三角形”.

圖①圖②圖③

(1)由“轉(zhuǎn)角三角形”的定義可知，矩形48CD的任意一個“轉(zhuǎn)角△BEF”一定是一個—三角形；

(2)如圖②，在矩形力BCD中，AB=2,BC=3,當(dāng)點/與點C重合時，畫出這個“轉(zhuǎn)角△BEF",并求出點E

的坐標(biāo)；

(3)如圖③，在矩形力BCD中，AB=2,BC=3,當(dāng)“轉(zhuǎn)角△BEF”面積最大時，求點尸的坐標(biāo).

【答案】⑴等腰

(2)作圖見解析，點E的坐標(biāo)為(3-逐,2)

⑶點尸的坐標(biāo)為(3,0)或(3,1)或6,2).

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及轉(zhuǎn)角三角形的定義進行判斷作答即可；

(2)如圖②，以尸”為圓心，BF”長為半徑畫弧，交4D于點E,連接BE,EF”即可，由題意知CE=OC=3,

CD=2,由勾股定理得OE=VCF2-CD2=遮，則4E=3-遍，進而可得E點坐標(biāo)；

(3)由題意知，分當(dāng)F在4B、OC、CD、4D上，四種情況進行求解：①當(dāng)F