山西省2023-2024學年高二下學期

4月期中調研測試數(shù)學試卷

考生注意:

1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色.黑水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對

應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色黑水簽字筆在答題卡上各題的答題

區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.小米汽車首款車型小米SU7于2024年3月28日正式發(fā)布，該款車型有9種外觀顏色,

4種內(nèi)搭顏色可供選擇.若車主自由選擇車的外觀和內(nèi)搭顏色，共有()種情況

A.4B.9C.13D.36

【答案】D

【解析】第一步：選外觀顏色,有9種選擇;

第二步：選內(nèi)搭，有4種選擇;

所以共有9x4=36種情況.

故選：D.

2T的值為()

2.已知函數(shù)/=■-xlwc,則lim

Arf0Ax

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】因為/(%)=x2-xhvc,所以/''(x)=2x—Inx—1,

由導數(shù)定義可知

/(l+3Ax)-l/(1+3A%)-〃1)

lim=3lim=3/,(l)=3(2-lnl-l)=3.

Axf0AxAxf03Ax

故選：D.

3.的展開式中二項式系數(shù)最大的項為()

A.第二項B.第三項C.第四項D.第五項

【答案】C

【解析】由的展開式中,項的二項式系數(shù)為c：,

根據(jù)二項式系數(shù)的性質得，當左=3時，（CDmax=C：,即第四項的二項式系數(shù)最大.

故選：C.

r2y2ba

4.已知雙曲線?！c=1（〃>0,b>0）的漸近線方程為y=±x,則直線y=—%—7

01b2ab

交拋物線V=4x所得的弦長為（）

【答案】D

所以a=b,

/?Z7

所以y=—X—：=X—1,代入拋物線y2=4x得，％2—6x+l=0,

設直線與拋物線的交點為5（與,%），則=6,石々=1,

所以缶卻=J1+42xJa+%）2—4中1=&x，62—4=8，

故選：D.

+-x2-5x+31n^,則函數(shù)/（無）的極值點個數(shù)為（

【答案】A

【解析】函數(shù)/（另=耳三+萬/一5x+31nx,定義域為（0,+司,

/（x）=（x-1）-（%+3）,廣（力》0在（o,+8）上恒成立，

則函數(shù)/（尤）在（0,+8）上單調遞增，無極值點，極值點個數(shù)為0.

故選：A.

6.某校街舞社共8位同學，為了給高三學子加油鼓勁，編排了一組團體舞蹈，站隊時要求

站成兩排四列，且要保證每一列前面的同學身高比后面的同學矮（8名學生身高均不相同），

共有（）種站隊方法

A.2250B.2520C.2790D.3250

【答案】B

【解析】將前后2人看成一組，可看成4個不同位置，分別取出2人排在4個位置，

兩人順序確定（高在后，矮在前），所以不同的站法共有?卜或X€：卜砥=2520種.

故選：B

7.己知函數(shù)/'(xbeln光與偶函數(shù)g(x)在交點處的切線相同，則函數(shù)g(x)在

%=-1處的切線方程為()

A.ex-y+e=OB.ex+y-e=O

C.ex-y-e=0D.ex+y+e=O

【答案】D

【解析】由函數(shù)/(x)=exinx,可得;?'(x)=e'lnx+2，所以/'(1)=e且/(l)=0,

JC

因為函數(shù)/(尤)與偶函數(shù)g(x)在交點(l，g(l))處的切線相同，

所以函數(shù)/(尤)與g(x)相切于(1,0),且g'⑴=/''⑴=e,

又因為g(x)為偶函數(shù)，所以g(—l)=g⑴=0,且/(—1)=—g[l)=—e,

所以函數(shù)g(x)在x=—1處的切線方程為y—0=-e(x+l),即ex+y+e=0.

故選：D.

8.石墨烯是一種由單層碳原子構成的具有平面網(wǎng)狀結構的物質，其結構如圖所示，其中每

個六邊形的頂點是一個碳原子的所處位置.現(xiàn)令六邊形A為中心六邊形，其外圍緊鄰的每個

六邊形構成“第一圓環(huán)”，“第一圓環(huán)”外圍緊鄰的六邊形構成“第二圓環(huán)”，以此類推.則“第七

圓環(huán)”上的碳原子數(shù)為()

第一圓環(huán)HZHZH

A.42B.120C.168D.210

【答案】C

【解析】記“第〃圓環(huán)”最外層的碳原子個數(shù)為4,

依題意勾=6x2+6,02=6x2+6x3=6x2+6x(2x2-1),

%=6x2+6x5=6x2+6x(2x3-l),

由此可以歸納出an=6x2+6x(2ra-l)

“第二圓環(huán)”上的碳原子個數(shù)為%+q，“第三圓環(huán)”上的碳原子個數(shù)為%+%，

由此可得“第n圓環(huán)''上的碳原子個數(shù)為，所以“第七圓環(huán)”的碳原子個數(shù)為

%+4=90+78=168

故選：C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.己知數(shù)列｛%｝滿足a“+i-q4+1=1,4=2,下列說法正確的是（

1

A.

~3

B.=—2

令加=（。4向，%“+2），"=（44”+3，&“+4）,則mlln

D.令加=（%"+1，—應“+2），〃=（%“+3，％“+4），則加，“

【答案】AD

【解析】由-anan+i-an=1,q=2,

可得。2=—3，”3=—］，%=］，%=2,故A正確，B錯誤;

所以數(shù)列｛%｝為周期數(shù)列，周期為4,

對于C,m=（%,%+2）=（6，%）=（2,-3）,

〃—（。4〃+3,。4〃+4）=（%，%）=ill

因為—LX（_3）_，X2=*W0,

236

所以根，〃不平行，故C錯誤;

對于D,m=（a4,I+1，一恁什?）=（4，一g）=（2,3）,

孔=（。4〃+31%”+4）=（。3，%）=，3，￡|，

因為根?〃=—1+1=0,所以加故D正確.

故選：AD.

10.某高中打算組織一個校園足球隊,計劃從各班挑選11個同學.下列說法正確的是（）

A.若將校足球隊的11個名額分到8個班級，每個班級至少1個名額，共有240種分配方

法

B.學校教練計劃比賽前將除指定的守門員外的其他10名隊員，進行分組訓練.若其中一組

4人,另外兩組每組3人，有2100種不同的分組方式

C.比賽人場式時工作人員會為11名隊員拍集體照，若要求拍照時A、8、C三人必須相

鄰，D、E、F、G四人均不相鄰，有259200種不同的排法

D.現(xiàn)安排A、B、C三名同學到甲、乙、丙、丁四個球隊進行集訓，若甲球隊必須有同學

去，則不同的安排方法有37種

【答案】BCD

【解析】對于選項A：將校足球隊的11個名額分到8個班級，每個班級至少1個名額，

問題等價于將11個完全相同的小球分為8組，每組至少一個小球，

由隔板法可知，不同的分配方法種數(shù)為C：0=120種，故A錯誤；

對于選項B：將除指定的守門員外的其他10名隊員，進行分組訓練，

若其中一組4人，另外兩組每組3人，

C4C3C3210x20

則不同的方法種數(shù)為10J3=---=2100種，故B正確；

A；2

對于選項C：將A、B、C三人進行捆綁，與除。、E、F、G四人以外的4人進行全排，

再將。、E、F、G四人進行插空，

所以不同的排法種數(shù)為A；A：A：=6x120x360=259200種，故C正確；

對于選項D：采用間接法：所有選法是4x4x4=64種，甲球隊沒有同學去有3x3x3=27

種，

故甲球隊必須有同學去有64-27=37種，故D正確；

故選：BCD

11.已知函數(shù)/(%)=￡—2xlnx,g(x)=eY-ln%-2,下列說法正確的是()

A.函數(shù)g(x)存在唯一極值點小,且x(,e

2,

B.令"(力=/小，則函數(shù)存在唯一零點

若g(x)+2>加恒成立，則m<2

ba(

D.若a>0,Z?〉0,則a+5-ln(〃+Z?)>gln[lH■—I

【答案】AD

【解析】A選項，函數(shù)g(x)=e*—Inx—2,定義域為(0,+8),

g'(x)=e*—Lg'(x)在(0,+8)上單調遞增,gIG-2<0,^(l)=e-l>0,

，使得g'(%o)=O,為滿足e~=',即

所以三七e

xo

當0<%<%0時，g1x)vO；當x〉/時，g'(x)>0,

g(x)在(0,%)上單調遞減，在(％,+8)上單調遞增，

所以函數(shù)g⑴存在唯一極值點》,且A選項正確；

B選項，由A選項可知，g(x)而n=g(xo)=e"—Inx。—2=」-+%—2〉0,

xo

即g(x)恒大于0,

函數(shù)/(%)=犬-2xlnx,定義域為(0,+8),/,(x)=2(%-ln.x-l),

1y_1

令［x)=x_lnx_l(x>0),則?%)=1——=----，

當0<x<l時，?x)<0,，(x)單調遞減；當x>l時，?尤)>0,1X)單調遞增；

得/⑴=0,

則/'(x)=2(x—Inx—1)20在(0,+8)上恒成立，即/(九)在(0,+8)單調遞增，

f(x)=x2-2xlnx=x(x-21nx),

7Y-?

令上(x)=x-21nx,左——=----,

JCX

當0<x<2時，左'(x)<0,%(尤)單調遞減；當x>2時，左'(x)>0,左(九)單調遞增;

則Z:(x)>Z:(2)=2-21n2>0,所以/(%)恒大于0,

故/z(x)=-—無零點，故B選項錯誤；

g(x)

C選項，若g(x)+2>〃z恒成立，則g(x)1nhi+2>加,即工+毛〉冽恒成立，

01m%0

由有一+%>2,故存在2<加<^-+不滿足題意，

12)5%

故C選項錯誤；

D選項，函數(shù)/(%)=必一2xlnx在(0,+8)單調遞增，

a>Q,b>0,則a+〃>〃，有f(a+b)>/(b),

即(a+4一-2(?+Z?)ln(?+Z?)>a2-2aIna,

得片+2ab+b2—2aln(a+Z?)—2Mn(a+Z?)>/—2aIna,

有2ab+b2-261n(a+6)〉2aln(a+6)-2alna=2alnj1+。］,

ba(b\

所以a+5—111(°+Z?)>gin[1H—I,故D選項正確.

故選：AD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知圓C：(x+2y+(y—4)2=1,則圓心C到直線/：依+y—左=0的最大距離為

【答案】5

【解析】圓C：(x+2f+(y—4『=1的圓心為C(—2,4),半徑廠=1,

z、x—1—0x—1

直線/：kx+y-k=0,即左(x—l)+y=。，令〈，解得《

U=ob=o

所以直線/過定點A(l,o),則圓心到直線的最大距離為|AC|=^(-2-1)2+42=5.

故答案為：5

13.如圖是我國古代著名數(shù)學家楊輝在《詳析九章算術》給出的一個用數(shù)排列起來的三角

形陣，請通過觀察圖象發(fā)現(xiàn)遞推規(guī)律，并計算從第三行到第十五行中，每行的第三位數(shù)字的

總和為.

負楊輝三角

0行

.1

^11行

a11

2行

121

3行

/<攵1331

4行

/->身?.14641

5行

15101051

A6行

-R1615201561

7行

172135352171

8行

^

18285670562881

【答案】559

【解析】第三行的第三位數(shù)字是C；,第四行的第三位數(shù)字是C3

第五行的第三位數(shù)字是C>L,第十五行的第三位數(shù)字是C；5,

n\+n\(n+l-m)n!+m-n!

由C：+C：T

=(、H+1)!_

則c；+c；+C+…+c；5=C+c；+C+C+…+c"i=C+c；+.+cf5-i

5J+C-「翌--59.

故答案為：559.

14.已知函數(shù)〃x)=(尤2—2ox+l)e"若函數(shù)〃無)在(—1,0)存在單調增區(qū)間，則實數(shù)。

的范圍為.

【答案】［-00，/

【解析】由題可知/'(x)=e*(x+l)(x+l—2a),財產(chǎn)(龍)〉0在(—1,0)上有解，

X+1

即x+1—2a>0有解，所以。<；—在(一1,0)內(nèi)有解，

xe(-l,0)nx+le(0,l)ng^e［0,g1,貝i］a<g.

故答案為：］一”，萬］

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

的展開式中，第三項與第二項的系數(shù)之比為21:4.

(1)求〃的值；

(2)求展開式中所有的有理項.

2

n-1n-2

|,第三項為C；x

解：(1)根據(jù)題意，第二項為C：義X7X7

C1x2”Tx314

所以京—F解得“國

，其中左=0,1,2,…,7,8.

當左=0,2,4,6,8時，展開式為有理項:

(="+1=256/；

4=5+1=16128—；

-6

T5=TM=90720X；

11

7；=7；+1=81648x-;

4=小=6561”,

即展開式中所有的有理項為256/,16128—,90720-,81648—1,656lx*.

，、112〃+1

16.己知數(shù)列｛?！埃凉M足--------=------,且q=L

aa

°na〃+inn+l

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

2

（2）若數(shù)列也｝滿足a=一，記數(shù)列也｝的前〃項和為北，求證：7；,<4.

an

解：（1）由題可得cin+i—an=2〃+1,則%—〃及_]=2（〃—1）+1,...,%—。1=2+1,nN2,

將這〃項相加，可得

/、n（n+l）/、2

Q〃+]—1=2（〃+〃—1++1）+〃=>=2x-Fn+1—\ji+1j,

所以勺=〃2,經(jīng)檢驗q=1成立，所以4=〃2.

（2）由題可得，b,,=M，當"=1時，4=2,

n

2211]

又因為當〃之2時，—<^八=2x--——,

nn^n-1）\n-lnJ

~丁c/111111c//

所以7；=2+21--+---+---+???+--――=2+21――<4.

I22334n-lnJ<nj

17.已知焦點在x軸上的橢圓E的右焦點為F,右頂點為A,上頂點為B,坐標原點為0.0,

F,A三點滿足OR=—04,且B為橢圓E與圓。：/+2=5的一個切點.

3

（1）求橢圓E的方程；

（2）設/為過產(chǎn)的直線，/與圓。交于P,Q兩點，求|PQ『的取值范圍.

22

解：(1)設E：=+與=1(a>b>0),

a1b1

因為B為上頂點且為與圓0：必+丁=5的切點，所以/=5,

________2___9

令0=\/片-/,因為。歹=§。4，所以C=§。，

22

所以6=9,即E：土+匕=1.

95

（2）因為c=2,所以一（2,0）,

1°當/斜率存在時，設/：y=k(x-2),

12H

所以。到/的距離d=

Jl+k2

[(1+左2)+4

“16

則間「=4(5-=4+—；——

-F+1一+1

所以|PQ「?4,20],

2。當/斜率不存在時，d=2,忸?！?4,

綜上，u0『的取值范圍為[4,20].

18.已知函數(shù)/'(x)=eX—x"(%>0)的兩個零點為七,馬，且占<%2.

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若石+&2二-恒成立，求實數(shù)人的取值范圍.

e-2

解：(1)由3―x0=0得1=%"，兩邊同時取對數(shù)整理得：,

ax

設g(x)=@±則g'(尤)=1?”，當xe(0,e)時,g<x)>0,g(x)單調遞增,

XX

當xe(e,+8)時，g'(x)<0,g(x)單調遞減，當x.0時g(x)，當了一+8時

InV

g(x)f0,函數(shù)g(x)=—的圖象如下圖所示：

X

所以，e(0,g(e)),即所以ae

cia\e)

1Inx1lnxi\iM

(2)由一=——L,_=——^9得，々―玉=〃(ln%2Tn%J=41n上，

axxax2玉

、112八15一/八i口「6zlnr

設一=%>1,則有"一I)國=aln%,即%=----,%=--a-t-]-n-t

玉t—1t—1

…壓得x，

/\t—11

設咐=評而.:"則。叱

(e-2)(rlnz)

設=lT+lnf+(e-2)(ln/)2,則〃(/■)=―-,

設加⑺=lT+2(e—2)lnf,則加⑺=_1+么上Z,

當/'e(L2e-4),加(7)>0,加⑺單調遞增，當/'?26-4,+8),加⑺<0,加⑺單調

遞減，

且加⑴=0,m(e)=e-3<0,所以存在唯一的/()?2e—4,e),使得加&)=0,

當/G(1/O),m(/)>0,力⑺單調遞增，當/?/(),+“)，m(r)<0,力⑺單調遞減，

且h⑴=0,/i(e)=0,所以<p(x)在(l,e)單調遞增，在(e,+“)單調遞減，

所以叫心=碓)=士，所以所以人的取值范圍是占什,

19.定義：對一個棱錐的各個頂點染色，若每一條棱的兩個端點均不同色，則稱之為“多彩棱

錐”.若用y(丁24)種顏色給某X(X23)棱錐染色，出現(xiàn)“多彩棱錐”的數(shù)量記作N(x,y).

(1)當x=4,y=6時，試求N(4,6)值；

(2)當x=5,y=6時，試求N(5,6)的值；

(3)結合前兩問的解題思路，對任意的正整數(shù)x(X>3)y(y>4),請寫出N(蒼y)

的運算公式，并證明.

解：(1)題目等同于“用六種不同的顏色給一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色,

并使同一條棱的兩個端點異色”，

A8

設頂點為S,底面4點為A,B,C,D.

首先對頂點S進行涂色，共有6種選擇；

第二步，對A點進行涂色，共有5種涂色方法；

第三步，需要對3