山東省濟(jì)寧市2025屆高考模擬考試（二模）數(shù)學(xué)試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知集合/={NX，-x-2>0},3={x|y=lg（x-l）},則做N）IB=（）

A.[-1,1）B.（1,2）C.（1,2]D.[-1,+?>）

2.已知l-2i是關(guān)于x的方程x2+ar+b=og,beR）的一個根，則|a+6i|=（）

A.2B.3C.5D.V29

3.已知圓錐的體積為過紅，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為?的扇形，則該圓錐

33

的底面半徑為（）

A.yB.1C.V2D.2

4.若函數(shù)/（x）=g]"在1,+8）上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<2B.a>2C.a<\D.a>\

5.已知{4}為等比數(shù)列，且〃i=l,貝I"%=2”是“%二4”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知函數(shù)/（x）=sins-Gcoss+百（①>0）在區(qū)間0,1?上有且僅有3個零點，

則實數(shù)。的取值范圍是（）

「1420、「36、「/221「4221

A.B.4,—C.4,-D.4,^—

L33）L3）L3JL3）

7.若圓/+/-26-2>-1=0關(guān)于直線x+"一2=0對稱，其中。>o,b>0,貝!]

工+與1的最小值為（）

ab

5i-

A.2B.-C.4D.2+2V5

J〔a4

8.已知尸是橢圓C：f+方=1（。>方>0）的右焦點，直線尸交C于A,B兩點,

若4FJ.8/，則橢圓C的離心率為（）

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知A,B為隨機(jī)事件，且尸（/）=0.5,P（5）=0.4,則下列結(jié)論正確的是

（）

A.若A,8互斥，則P（/u8）=0.9

1/15

B.若A,B相互獨立，則尸（痛）=0.2

C.若A,3相互獨立，則P（Nu8）=0.7

D.若尸（曲4）=0.5,則尸（面可=0.3

10.已知函數(shù)/'（x）=cosx-sin（cosx）-l,則下列結(jié)論正確的是（）

A.的圖象關(guān)于了軸對稱B.2兀是〃x）的一個周期

C./（x）在［0,可上為增函數(shù)D./（x）<-日

H.已知正方體的棱長為1，點尸在正方體的內(nèi)切球表面上運動,

且滿足8尸〃平面/C2，則下列結(jié)論正確的是（）

A.BP1B.DB.點P的軌跡長度為兀

C.線段8尸長度的最小值為彳D.而.晅的最小值為1一1

三、填空題（本大題共3小題）

⑵已知函數(shù)〃MN常）,x>l則巾。的值為------------

PF

13.已知拋物線C:/=4y的焦點為尸，尸為C上的動點，點則不“取最

小值時，直線PN的斜率為.

14.箱子中裝有4個紅球，2個黃球（除顏色外完全相同），擲一枚質(zhì)地均勻的骰

子1次，如果點數(shù)為《=1,2,3,4,5,6）,則從該箱子中一次性取出i個球.規(guī)定：依據(jù)

i個球中紅球的個數(shù)，判定甲的得分X,每一個紅球記1分；依據(jù)，個球中黃球的個

數(shù)，判定乙的得分Y,每一個黃球記2分.比如：若一次性取出了2個紅球，2個

黃球，則判定甲得分X=2,乙得分丫=4.則在1次擲骰子取球的游戲中，

p（x>y）=.

四、解答題（本大題共5小題）

15.在V4BC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

a（2-cosB）=6（1+cos/）.

⑴證明：b+c=2a；

⑵若V/8C的面積為且兒，證明VABC為等邊三角形.

4

16.如圖，在四棱錐尸-4BC。中，底面為矩形，E為尸。的中點，PA=AD,

PDLBE.

2/15

(1)證明：平面P4D_L平面/BCD；

(2)若PD=AD,直線尸3與平面尸ZX4所成角的正切值等于2,求平面4BE與平面

P8C夾角的余弦值.

22萬

17.已知雙曲線C:，-%=1(°>0,6>0)的離心率為奇，且點“(4,3)在雙曲

線C上，

(1)求C的方程；

⑵若直線/交C于P,。兩點，NP/Q的平分線與X軸垂直，求證：/的傾斜角為定

值.

18.已知函數(shù)/(x)=xe*-a,aeR.

⑴討論/(x)零點的個數(shù)；

⑵若|〃x)|>ax(lnx+l),求實數(shù)。的取值范圍.

19.將所有正整數(shù)按照如下規(guī)律形成數(shù)陣：

第1行123……789

第2行101112...979899

第3行100101102?...997998999

第4行100010011002……999799989999

⑴將數(shù)列｛3〃+1｝與數(shù)列｛2"｝的公共項按照從小到大的順序排列得到數(shù)列｛4｝,試

確定《在該數(shù)陣中的位置；

(2)將數(shù)陣中所有相鄰兩位數(shù)字(從左到右)出現(xiàn)12的所有正整數(shù)去掉并保持順序

不變，得到一個新數(shù)陣，記新數(shù)陣第〃行中正整數(shù)的個數(shù)為，.

(i)求4,b2,b3；

(ii)求.

3/15

參考答案

1.【答案】C

2

【詳解】A=[x\x-x-2>o}={x\x<-l^x>2},

B=[x\y=Ig（x-l）}={x|x>1）,

/.-1Wx42},

二隔/）c5={x[l<xV2}=（1,2].

故選C.

2.【答案】D

【詳解】將l-2i代入V+ax+6=0有：（l-2i）2+a（l-2i）+fe=0,

/、/、[Q+6—3=0[ci-—2

化簡整理有（。+6-3）-（4+2a）i=0,即，解得，

所以+6i|=yja2+b2=2『+5?=V29，

故選D.

3.【答案】B

2兀

【詳解】設(shè)母線長為/,底面l半徑為『，圓錐的高為〃，則有2口=寧/n/=3r,

又h=J/?！?^9r2—r2=2^/2r>所以憶=1='兀，。x2近r==>/=1=7.=],

333

故選B.

4.【答案】A

【詳解】/?=（g）乙"是由"（；）"與w=Y一如復(fù)合而成，

在y=（；）0中，b=:，，所以>=（；）"在R上單調(diào)遞減.

因為/?=（；）'”在[1,+8）上單調(diào)遞減，且外層函數(shù)y=（；）"在R上單調(diào)遞減，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，可知內(nèi)層函數(shù)比=/-亦在[1,+8）上單調(diào)遞增.

對于二次函數(shù)"=/-辦，其圖象開口向上，對稱軸為尤=-m=g

2x12

二次函數(shù)在對稱軸右側(cè)單調(diào)遞增，要使w=/-ax在[1,+8）上單調(diào)遞增，

則對稱軸需滿足Wwl,解得。42.

故選A.

5.【答案】C

【詳解】由題意知，{凡}為等比數(shù)列，

4/15

當(dāng)?shù)?2時，得4%=《=4,所以%=4,故充分性成立;

當(dāng)a9=4時，tzf=axa9=4,解得/=±2,

又％,%，。9同號，所以。5=2,故必要性成立.

所以“%=2”是"49=4"的充要條件.

故選C.

6.【答案】D

【詳解】對/(x)=sin@x-GcosGx+6進(jìn)行化簡：

/(x)=sin<z>x-V3COS69X+V3=2sin^

令〃尤)=0,即2sin(0尤-g)+6=0,則sin(ox-3=-YL

332

元

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，所以s-g7T=2E+4T或s-j5r=2E+\57rUeZ,解得

2H+—_.>.2左兀+271.)

x=——^或X=-------，左￡Z.

CD

CD

兀

因為0,—且①〉0,

女2兀

當(dāng)左=0時，_3_5兀，々=——；

x\-="—CD

5兀1171

2兀+2兀4兀

當(dāng)左=］時，丫_3_"兀，X4=

%3-----------------------------------------CD

①co3a)

所以實數(shù)。的取值范圍是[4]).

故選D.

7.【答案】C

【詳解】由12+)2_2ax-2y-l=0得+(y—1)2=q2+2,

5/15

所以圓心為(a,1),又圓關(guān)于直線無+力-2=0對稱,

貝!］直線%+如一2=0過圓心，即。+6=2,

二匚Di14。+114(2—6)+119

所以一+----=-+—----L—=一+——4

ababab

_1+?=1+2］3

bvtzb)2

b9aa=—

———I9

當(dāng)且僅當(dāng)Qb=；時,等號成立,

a+b=2\b=—

1I2

［、［14。+119

所以一+----=—+--4>8o-4=4,

abab

故選C.

8.【答案】A

fv24

【詳解】如圖，因為橢圓C?+}=l(a>6>0)關(guān)于原點對稱，直線y=過原

點，

所以A,3關(guān)于原點對稱，設(shè)橢圓的左焦點為耳，連接"片，BF］,

由橢圓的對稱性可得\AF\=\BF\,\BF\=\AF\,

所以四邊形NEB片為平行四邊形，

又因為/尸，2尸，所以平行四邊形/尸2片是矩形，

所以』耳，\O^\=\OF\=c,所以點B在圓/+/=,2上，

則-；=3X,解得0葭會］,代入橢圓方程二+彳=1,

x2+/=c2155J?-b

又b"-",可得：［|^^，

c9e216e2,

設(shè)e=—(0<e<l),則上式可化為文+而一"=1,

a2325(l—e)

化簡可得94—50/+25=0,即(9/—5)(/—5)=0,

因為0<e<l,所以9e2-5=0,解得e=.

3

所以橢圓。的離心率為1

3

故選A.

6/15

9.【答案】ACD

【詳解】對于A選項，若A,3互斥，根據(jù)互斥事件的概率加法公式

P(4DB)=P(A)+P(B).

己知尸(/)=0.5,尸(8)=0.4,則尸(/。3)=0.5+0.4=0.9,所以A選項正確.

對于B選項，若A,8相互獨立，則A與否也相互獨立.

因為P(耳)=1一尸(8)=1-0.4=0.6,所以尸(/月)=P(N)尸(耳)=0.5x0.6=0.3#0.2,所以B

選項錯誤.

對于C選項，若A,B相互獨立，貝|尸(48)=尸(/)尸(3)=0.5、0.4=0.2.

根據(jù)概率的加法公式尸(，口為=尸(⑷+尸(3)-P(/8),將尸(/)=0.5,P(3)=0.4,

尸(28)=0.2代入可得:

P(^uS)=0.5+0.4-0.2=0.7,所以C選項正確.

對于D選項，已知P(BM)=M^=O.5,P(A)=0.5,則尸(N3)=0.5x0.5=0.25.

P(/)

P(A)=1-P(A)=1-0.5=0.5,P(BA)=P(B)-PQB)=0.4-0.25=0.15.

根據(jù)條件概率公式尸(3|彳)=與"=譽(yù)=0.3,所以D選項正確.

P(A)0.5

故選ACD.

10.【答案】ABD

【詳解】對于A,函數(shù)/(')的定義域為K,關(guān)于原點對稱，

f(-x)=cos(-x)-sin(cos(-x))-1=cosx-sin(co&x)-1=/(x),

所以/(X)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于歹軸對稱，故A正確；

對于B,/(%+2兀)=cos(x+2K)-sin(cos(x+2兀))-1二cosx-sin(cosx)-l=f(x),

所以/(x)的一個周期是2兀，故B正確；

對于C,令，=cosx,當(dāng)XE［0,可時，，=cosx在［0,兀］上單調(diào)遞減，

且才1,1］,>=si3在［-1』上單調(diào)遞增，則y=-sinr在［-1』上單調(diào)遞減，

所以/(x)=cosx-sin(cosx)-1在［0,可上單調(diào)遞減函數(shù)，故C錯誤；

對于D,因為-IWcosxWl,令/=cosx,

則y=t-sint-\,求導(dǎo)得了=1-cos/,

由于cosZ,所以/=l-cos/>0,y=，-sin-1單調(diào)遞增.

當(dāng)，=1時，y取得最大值l-sinl-l=-sinl；

7/15

當(dāng)/=_]時，夕取得最小值-l-sin(-l)-l=sinl-2.

因為sinl>sin烏=,所以一sinl<-sin工=,即f(x\<,故D正確.

4242''2

故選ABD.

II.【答案】ACD

【詳解】以。為原點，分別以所在直線為'J/軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，

則。(0,0,0),/(1,0,0),C(O,l,O),5(1,1,0),2(0,0,1),5,(1,1,1),

40,0,1)6(0,1,1),

正方體的內(nèi)切球的球心為正方體的中心，半徑廠=g，

平面4C。的法向量為:=(-1,1,0),石=(-1,0,1),設(shè)k=(x,y,z),

ri'AC=0f-x+y=0/、

由—?，即-C，令x=l,貝!|y=l,Z=l,所以為=1,1,1.

n-ADx=Q[-x+z=Q

對于選項A,庭,因為8尸〃平面ZC。，所以所.元=0，而

BtD=-n,

所以麗?麗=0,即8尸，用。，A正確.

對于選項B,因為8尸〃平面NCR,平面NCR//平面43G，

所以點尸的軌跡是平面48G與正方體內(nèi)切球的交線，此交線為圓，記圓心為

設(shè)平面42G與正方體的中心。的距離設(shè)平面43G的法向量為應(yīng),

54=(0,-1,1),5Q-(-1,0,1),

m-BA^O-b+c=0

設(shè)施=(a,b,c),由＜可得

mSC；=0—a+c—0

令Q=l,則而。4二

73,

~6

???圓的周長T兀「半?！袋cP的軌跡長度為$，B錯誤.

對于選項c,BO=R,點P在球面上，畋=AW=，閭一U=$

線段成長度的最小值為即一系/號=*C選項正確.

8/15

對于選項D,設(shè)麗與西夾角為。，(-1,0,1),\BC\=41.

jo當(dāng),cj-go],尸(xj),。/。,造

在平面直角坐標(biāo)系中,

2[26

—cos3/v=—+—sin6>,

666

[分].V3

sin1-----，

3

所以瓦?西的最小值為1-D選項正確.

3

【詳解】由題意有/[￡|=43+1=2+1=3,所以

=/⑶=Tog?(3+l)=-log24=-2.

13.【答案】匕止

2

【詳解】由題意得/(04)，設(shè)點尸(x/),則/=4y,由拋物線的定義有

______________M=5+1『=]

\PF\=y+\,E=J(x-l)2+(y+l)2,所以_(x_iy+(y+])2[±[2+]

x-1x-1二4卜-1)|4|(1)4

又

y+i犬+1(X-1)2+2|X-1|+51"高+2

4

由H+上+2""卜昌+2=2方+2,

|尤-1|V|x-l|

當(dāng)且僅當(dāng)忖-1=向，即x=l-百時，等號成立,

9/15

2'卷］23-V5

所以<

2

所以

當(dāng)x=l-石時，x］（l『3-石,得點尸「一行,

，一4一4一2I2）

所以“+11-V5.

2不6二=

14.【答案】1

【詳解】設(shè)擲骰子得到的點數(shù)，的概率為尸（。，則尸（。=：,，=1,2,…,6,

6

當(dāng)7=1時，1=1的概率為若X>Y,則需取出的1個球是紅球的概率為

6

「1,

尸（工>坤=1）=寸="

121

所以4（x>y）=p（i）p（x>y『=i）=kXw=g,

當(dāng)i=2時，i=2的概率為若X>Y,則需取出的2個球都是紅球的概率為

6

「2）

P（X>F|z=2）=^=?）

121

所以鳥（x>y）=p（2）尸（X>琲=2）=不）=話，

當(dāng)i=3時，i=3的概率為：，若X>Y,則需取出的3個球都是紅球的概率為

6

尸（工川=3）爺￡所以6（x>y）=p（3）/（x>印=3）=C，

5

當(dāng)i=4時，7=4的概率為，，若X>Y,則有兩種可能的情況：第一種情況為取出

0

的4個球都是紅球有C：種，

第二種情況為取出的4個球種有3個紅球，1個黃球，有C：C；種，所以概率為

「（》>坤=4）=生產(chǎn)=g

10/15

i3i

所以乙（》＞/）=網(wǎng)4）網(wǎng)》＞井=4）=/5=5

當(dāng)i=5時，，=5的概率為J,若X＞Y,則需取出全部4個紅球，1個黃球，

6

r4rliiii

所以p（x＞沖=5）=q^=:，所以月（x＞y）=p（5）尸（X＞琲=5）=￡丁

303lo

當(dāng)，=6時，x=y不滿足題意，

所以綜上打》:^卜^^+,+上+工+工=口.

'791530101830

15.【答案】（1）證明見解析；

⑵證明見解析.

【詳解】（1）由正弦定理得sinZ（2-cos3）=sin8（l+cos/）,

即2sin/-sin/cos5=sinB+sinBcosZ,

所以2sin4=sin5+sin^4cosB+cosAsinB,

所以2sin4=sin8+sin（4+5）,

所以2sin4=sin5+sinC,由正弦定理得2〃=b+c.

（2）因為Lesin/=be,所以sin，=Y^,

242

因為2“=6+c,所以A為銳角，所以/3.

由余弦定理得a1=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be，

又。=管，代人化簡得6=c,

所^以a=b=c,

所以V/8C為等邊三角形.

16.【答案】（1）證明見解析；

⑵也

19

【詳解】（1）設(shè)尸為尸。的中點，連接4尸,￡尸，

因為￡為尸C的中點，所以EF"CD,EF=gcD,

又ABI/CD,AB=CD,所以EF〃4B,EF=^4B,

2

所以4尸與BE必相交.

因為尸N=4D,所以4F_LPD,

又PD工BE,且4EIBE=E,/￡,BEu平面/成尸，

所以PD_L平面/BEF,又因為/2u平面/BEF,所以尸。_L48,

又ADLAB,PDc4D=D,尸4Du平面尸40,所以48_L平面尸N。，

又A8u平面43CD,所以平面尸平面'4BCD.

（2）設(shè)O,G分別為40,3C的中點，因為尸/=/。=尸。，所以尸。，40,

又平面尸4D_L平面48cD,平面PADc平面48co=40,尸Ou平面尸4D,

11/15

所以PO_L平面48C。，因為CM,OGu平面/BCD,

所以尸O,O4PO,OG,又CUJ.OG,

所以，以O(shè)為坐標(biāo)原點，$0A,0G,（^$所在直線分別為X軸，了軸，Z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系.

由（1）知48_L平面尸4D,所以24P3即為直線P3與平面尸4D所成的角,

所以tanZ.APB=----=2,設(shè)AP=2,貝!]AB=4，

AP

所以A(l,0,0),5(1,4,0),C(-l,4,0),￡>(-1,0,0),P(0,0,73).

因為尸D_L平面ABEF,所以平面/BE的法向量為五=歷=（-.

設(shè)平面P5C的法向量為〃=(x,y,z),

又就=(-2,0,0),PB=(1,4,-73),

?。?(0,忘4),

所以平面ABE與平面P3C夾角的余弦值為

4732歷

|cos(m,ri)\=尸t

\m\\n\2xV1919

17.【答案】⑴[-1=1

⑵證明見解析，直線/的傾斜角為定值I

f￡V73

【詳解】（1）由題意有「一°-2又點2（4,3）在雙曲線C上，所以

c2=a2+b2

169?

/卞=底

解得/=4N=3,所以雙曲線C的方程為［-1=1；

（2）由已知得直線/的斜率存在，設(shè)其方程為了=6+6,設(shè)尸（占,凹）,。仁/2）

y=kx+b

所以I-2=（3-4左2）--8肪X-4〃-12=0,

143

所以A=（-8祐）2-4（3-4町（-462_4=48（Z?2-4k2+1>（,

8kb4從+12

由韋達(dá)定理有:…=E5=-^r，

12/15

又因為N尸/。的平分線與x軸垂直，所以如,+如0=0,

即以|+上|=0，所以(乂-3)(超-4)+(%-3)(占-4)=0,即

X]一4%-4

2kxix[+{b—3—4左)(石+/)-8(b-3)=0,

所以-2kAb+i^+(b-?>-Aky-8(Z>-3)=0,

3-4左2I>3-442'>

即一24(左+1)修+4左-3)=0,所以左=-1或6=3-4左，

當(dāng)b=3-4左時，直線/的方程為了=履+3-4左=左。-4)+3,即直線/過點/(4,3),不

符合題意，

所以上=-1,設(shè)傾斜角為cz(0Vtz<兀)，即左=tana=-l,a=—,

4

18.【答案】(1)答案見解析;

(i-n

(2)-80.

【詳解】(1)〃x)=0時，a=xe”,

令g(x)=xeA,貝I]g]無)=(x+l)eT,

所以，x<-l時，g'(x)<0,gQ)在(-叫-1)上單調(diào)遞減，

x>-l時，g'(x)>0,g(x)在(-l,+oo)上單調(diào)遞增，

又x<0時，g(x)<0,x-—co時，g(x)fO,x=-l時，g(x)min=g(-l)=-1,

Xf+8時，g(x)T+CO,

所以，①當(dāng)時，/(X)無零點，

e

②。=-'或時，“X)有1個零點，

e

③當(dāng)一！<。<0時，/(x)有2個零點.

e

(2)當(dāng)時，由x〉0得/(x)〉0,

所以，l/(x)l>ar(lnx+l)等價于xe'-q〉ax(lnx+l)對X￡(0,+s)恒成立.

即ex>a[Inx+,+l)對x￡(0,+8)恒成立，

13/15

1X—1

令/z(x)=lnxH---i-l,x>0,貝!j〃'(x)=——,

xx

當(dāng)XG(O,1),/Zf(x)<o,當(dāng)X￡(1,+8),“(X)>O,

???力(X)在(0,D內(nèi)單調(diào)遞減，在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

二.h(x)>h(l)=2,又e>>0

/.e">a(lnx+4+l)對x￡(0,+co)恒成立

所以，時成立，

當(dāng)〃時，Qx(lnx+l)<0,顯然成立.

當(dāng)a>0,xe!,+oo)時，

|f(x)|>ax(ln%+1)等價于xex-a>ax(lnx+1)或XQX-a<-ax(\nx+1),

ex1,、e"1

即一〉lnx+—+1或一<-lnx+——1

axax

PXie

對于一<-lnx+——1,取x=l,得—<0,與Q>0矛盾，故不成立，

axa

1「、

對于《>lnx+』+l,即1對L+8恒成立，

a*aex*J

11111

AInxHH1r-i\mi[—y—Inx—1

t(x)=-----—,xe-,+00't'()=—