沈陽市回民中學(xué)2024級高一下學(xué)期4月月考

皿「、、九

數(shù)學(xué)

出題人：高一數(shù)學(xué)組審題人：高一數(shù)學(xué)組

試卷滿分：150分時間：120分鐘

一、單選題：共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.若0為第二象限角，則下列各式恒小于零的是

A.sina+cosaB.tana+sinaC.cos?-tanaD.sinc-tane

【答案】B

【解析】

【分析】畫出第二象限角的三角函數(shù)線，利用三角函數(shù)線判斷出sine+tane<0,由此判斷出正確選項.

【詳解】如圖，作出sin(z,costz,tanc的三角函數(shù)線，AOPM~AOTA,且：

MP>0,AT<0,MP<-AT.MP+AT<0,即sina+tana<0.故選B.

【點睛】本小題主要考查第二象限角的正弦、余弦和正切的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.函數(shù)y=tan[?-x]的定義域為()

A.sx|x^kn----,k&Z>B.<x\x^2k7r-—,keZ>

[4J14J

C.xW左乃+?,左ez1D.xW2左〃+左￡Z,

【答案】A

【解析】

【分析】利用正切函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.

兀兀Z、

【詳解】由---xwmyrT——(meZ)=>x^—(meZ),因為zncZ,所以一冽wZ,

42v7

即xw左乃---,keZ,

4

故選：A

―>L..兀JTSjT

3.已知〃=sin—,Z?=sin—,c=sin一,則。，瓦c的大小關(guān)系是（

576

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

【答案】C

【解析】

STT71

【分析】首先轉(zhuǎn)化。=$足一二sin—,再利用y=sinX的單調(diào)性判斷大小.

66

57r7171717171

【詳解】=sin——=sin—,?.?0<—<—<—<—,

c667652

1.1y=sinx在單調(diào)遞增，

冗冗冗

sin—<sin—<sin—,即b<c<〃.

765

故選：C

a

4.若a為第一象限角，則上是（）

2

A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角

【答案】D

【解析】

【分析】

a

寫出第一象限角a,得到一的范圍，再討論上的取值即可.

2

【詳解】因為。為第一象限角，

7T

所以2左；<2左"+—,左wZ,

2

arr

所以左》<一<女——,keZ,

24

0（IT

當(dāng)左=。時，0<—<一,屬于第一象限角，排除B；

24

a57r

當(dāng)左=1時，-<—,屬于第三象限角，排除AC；

24

a

所以一是第一或第三象限角

2

故選：D

5.已知sin[w?—aJ=〃，貝Usin[a+7〃)=()

A.aB.-a

C.±aD.不確定

【答案】B

【解析】

【分析】用誘導(dǎo)公式求解即可.

57

【詳解】因為一萬一。+a+—?=2?,

66

故選：B

【解析】

【分析】利用奇偶性和/（兀）的正負(fù)，排除錯誤選項，得到正確選項.

【詳解】/（%）的定義域是R,

(-%)3+sin(-x)―尤3-sinx

因為/(-%)==一/⑺，所以“X）是奇函數(shù)，排除CD,

e-x+e-Me-x+.e

3.

m7t

因為〃兀)=兀+s——>0,排除B,

en+e”

故選：A.

7.已知函數(shù)/(x)=3sin(0x+。)。>0,|。|<|的部分圖象如圖所示，A6兩點之間的距離為10,且

/(2)=0,若將函數(shù)/(%)的圖象向右平移?/>0)個單位長度后所得函數(shù)圖象關(guān)于V軸對稱，則/的最小

值為

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圖象求出A,s和(P,即可求函數(shù)/(無)的解析式；再通過平移變換函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱,

求解f的關(guān)系式.

【詳解】解：由題設(shè)圖象知，|人目=10,

周期^7=J102_62=8,解得：7=16,

_TC

...3二V-7

71

可得/(%)=3sin(一x+(p),

8

,：f(2)=0,

兀

sin(—x2+(p)=0,

8

n7i

---<(p<—,

2---2

71

(D=---

4

TC71

故得/(x)=3sin(一X---),

84

將函數(shù)/(X)的圖象向右平移fG>0)的單位,

_.TC/\TCTCTCTC

可得：y=3sin[-\x—t)---]=3sm(—X---1---

8V74884

由函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱,

=(+左乃(左eZ)

整理得：7=6+8人,

?.">0,

...當(dāng)％=-1時，」的最小值為2.

故選:2.

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵.要求熟練

掌握函數(shù)圖象之間的變化關(guān)系.

TT

8.已知函數(shù)/(x)=Asin((yx+e)(A>0,<y>0,\(p\<—),滿足了0且對于任意的xeR都

，若/(%)在上單調(diào)，則口的最大值為()

A.5B.7C.9D.11

【答案】C

【解析】

【分析】

由函數(shù)的對稱性可得g't/=g+&?(K?Z)、-^+j=左亞(&?Z),兩式相減進(jìn)一步化簡可得

，根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性得139-92=2,代入周期計算公式可得

w=2左+1,(左？N)

293612

左砂(左N),取左=5、4驗證函數(shù)八％)的單調(diào)性即可.

TT7T

【詳解】由于/(x)=/則/(%)關(guān)于X=§對稱，即X=§是函數(shù)/(X)的一條對稱軸,

Asin(^w+j)=W=g+kj)(kJZ),①

=Asin(-^+j)=0?^-+j=粒(42?Z),②

①-②得當(dāng)=(左-k?)p+gk「k2tZ,

令人=匕一左2，左eZ,則半=3+々，vv=2k+1,（左？Z）,

\k?N,/（x）=Asin（ox+9）的最小正周期T=至=；；1^7（左？N），

w2K+1X'

5〃2乃

???在

/(x)36,V上單調(diào)'?嘿咤

\丁=0-?2,解得左N工(kN),

2k+\62v'

當(dāng)k=5時，co=ll,則②式為-[p句=kj),;=?p+Z/(左2?Z),

Asin：11%--

又lelwg,\j=-弓■，左2=2此時/(%)=

粉6

鬻普時CY?建9P41P

當(dāng)xi

P6

不符合題意舍去;

當(dāng)％=4時，co=9,則②式為-?|pt/=%p,j=孑■+左亞（左2?Z）,

又..?當(dāng)履=一1時，夕=鼻，止匕時/（x）=Asin；*x+],

翳卷時，9嗎?船當(dāng)

當(dāng)xi,/（%）單調(diào)遞增;

7[

當(dāng)女2=-2時，＜p----此時/(x)=Asin

2

當(dāng)，讖晉時'9嗔?鬻，？,4）單調(diào)遞減.

①的最大值為9.

故選：C

【點睛】解決三角函數(shù)中已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)。范圍時，首先要有已知的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)

/（x）=Asin（0x+。）單調(diào)區(qū)間的子集的意識，然后明確正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間長度不會超過半個周期

（正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間長度不會超過一個周期）這一事實最終準(zhǔn)確求得參數(shù)范圍，數(shù)形結(jié)合能給解題帶來

比較清晰地思路.

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分.若只有2個正確選項，每選對一個得3分;

若只有3個正確選項，每選對一個得2分.

9.要得到函數(shù)y=sin12x+/1的圖象，只要將函數(shù)y=sinx圖象上所有的點（）

17T

A,橫坐標(biāo)縮短到原來的：（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移一個單位

B.橫坐標(biāo)縮短到原來的;（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移四個單位

-6

C.向左平移一71個單位，再將所得圖象每一點的橫坐標(biāo)縮短到原來的1:（縱坐標(biāo)不變）

32

D.向左平移百個單位，再將所得圖象每一點的橫坐標(biāo)縮短到原來的;（縱坐標(biāo)不變）

6~

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)周期變換和平移變換的原則即可得解.

【詳解】要得到函數(shù)＞=sin[2x+的圖象，只要將函數(shù)y=sinx圖象上所有的點橫坐標(biāo)縮短到原來的

17T

4（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移二個單位；

或者向左平移△個單位，再將所得圖象每一點的橫坐標(biāo)縮短到原來的;（縱坐標(biāo)不變）.

32

故選：BC.

10.下列計算或化簡結(jié)果正確的是（）

2tanacosa八

A.----------------=2

sina

jcow0

B.若sin6cos0--,則tan0--------=2

2sin。

12sinx1

C右tanx=—,則-----------=I

2cosx-sinx

cosasma

D.若a為第一象限角，則/.2+/2=2

Vl-sinavl-cosa

【答案】ABD

【解析】

ein（y

【分析】對于A、B選項：將tana=-------代入化簡求值即可，驗證是否正確；

cosa

9cinVI

對于c選項：將-----------分子分母同除以cos%,再將tanx=一代入化簡，驗證是否正確;

cosx-sinx2

cosasina

對于D選項：先判斷sinacosa的正負(fù)，然后化簡，驗證是否正確；

Vl-sinaA/1-COSa

八sina

/------reqry

【詳解】對于A選項：2tancrcos?_os?-故A選項正確；

—C—z

sinasina

ICCS。cinf)CCS6I

對于B選項：???sinecos6二上，.?.tane+3±=吧以+沙上=——-——=2,故B選項正確;

2singcos。sin。sin8cos6

,l

?2sinJC2tanx2xo

對于C選項：tanx=—,則；=-==2,故C選項不正確；

2cosx-sinx1-tanx】_工

~2

對于D選項：Qa為第一象限角，.,.sina>0,cosa>0,

costzsinacosasinacosasina.

.二一/H—/-----r+；-----3+砧=2,故D選項正確;

Vl-sin2aA/1-COS2acostz|sina

故選：ABD

11.函數(shù)/(九)=85%+|85%|,xeR是()

A.最小正周期是萬

B.區(qū)間［0,1］上的減函數(shù)

圖象關(guān)于點（左乃，。）（左eZ）對稱

D.周期函數(shù)且圖象有無數(shù)條對稱軸

【答案】BD

【解析】

【分析】

根據(jù)絕對值的意義先求出分段函數(shù)的解析式，作出函數(shù)圖象，利用函數(shù)性質(zhì)與圖象關(guān)系分別對函數(shù)的周期、

單調(diào)區(qū)間、對稱中心和對稱軸進(jìn)行判斷求解.

2cosx(2k7i-2左下+?)

【詳解】/（%）=

0(2左乃x-2左乃+

則對應(yīng)的圖象如圖:

A中由圖象知函數(shù)的最小正周期為2?，故A錯誤,

TT

B中函數(shù)在［0,萬］上為減函數(shù)，故8正確,

C中函數(shù)關(guān)于％二左》對稱，故。錯誤,

D中函數(shù)由無數(shù)條對稱軸，且周期是2乃，故。正確

故正確的是BD

故選：BD

【點睛】本題考查由有解析式的函數(shù)圖象的性質(zhì).有關(guān)函數(shù)圖象識別問題的思路:

①由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置;

②由函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢;

③由函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性;

④由函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù).

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.

12.若角a的頂點為坐標(biāo)原點，始邊在無軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線丁=-后上，則角a的取值集合是

【答案】=左兀一左ez]

【解析】

【分析】終邊在一條直線上的角的取值集合：寫出一個角再加上左了即可..

【詳解】直線y=—若x傾斜角是g,

所以終邊落在直線y=-上的角的取值集合為|a|a=kn-gkeZ

故答案為：=左兀一]，左ez}.

sm

13.已知sina是方程5爐—7%—6=0的根，a是第三象限角，則---（、/、

In].f7T]

coUs----aJsin12——vaJ

tan2（乃一a）=.

9

【答案】-7

16

【解析】

33

【分析】由方程5/—7%—6=0的根，求得sina二—二，由三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得tana=—,再

54

利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡、運(yùn)算，即可求解，得到答案.

3

【詳解】由題意，可得方程5f—7%—6=0的根為-二或2,

又a是第三象限角，所以$111。=一二，所以cos。=—，l—sin。二一1，

?…sina53

所以tana=------=,

cosa_44

呼（一

利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡得，原式=sa上in&）.2a=_tan^=_2_.

sinacosa16

【點睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡、求值問題，其中解答中熟記三角函數(shù)的誘導(dǎo)公

式，合理、準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.若函數(shù)/（x）=sin"+m（?！?）在區(qū)間兀上至少有兩個零點，則實數(shù)。的取值范圍是

【答案】（|，果叫收）

【解析】

【分析】令/（x）=0,求得零點工="3（keZ）'令x=上二，零點乙和乙+1在區(qū)間[、，兀]內(nèi)，

CDCO一

兀224

則萬〈々且々+1<兀，求得左+§<0<2左—§（左eZ）,可得左>§（左eZ）,分別對左取值求得結(jié)果.

“—兀

【詳解】由/（x）=0得+1=E（左eZ）,得1：也一耳z廣

CD

kit-a-，零點z和4+1在區(qū)間［■！，兀j內(nèi)，則■71!</且與

令：+i<兀，

X*2

3

E—g且（左+1）兀2?

即71〈兀伏eZ）'化簡得k+

—<3H_________J

2coCD

22

左+—<2左一一

33（丘Z）,得左>g（左eZ）,所以人為大于1的整數(shù).

由<

2k-->0

3

8101116

易得當(dāng)％=2時，EA=；當(dāng)上=3時，4二

23'TT5T

14221728

當(dāng)左=4時，CDEA=;當(dāng)左=5時，

4T,T

222

可得當(dāng)左23時，左+1+—<2左——，且當(dāng)上一>+co時，2k---->+oo,

333

所以AUAUAUAJ-UAJ-

故實數(shù)。的取值范圍為

故答案為:

..kit--ku--

【點睛】思路點睛：根據(jù)題意令〃%）=0,求得函數(shù)零點3（RUZ），令x3>由零點

COG）

（兀、224

4和4+1在區(qū)間不,兀內(nèi)，求得左+—<0<2左——（keZ）,可得左>—（左eZ）,分別對左取值將所得

\2J333

結(jié)果求并集求得答案.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.己知角戊終邊上一點P（-4,3）,求下列各式的值.

⑴sin。+cosa

smi-cos。

7

⑵-：

【解析】

【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義可求得tanc的值，再利用弦化切可求得所求代數(shù)式的值;

（2）利用誘導(dǎo)公式化簡可得所求代數(shù)式的值.

【小問1詳解】

33

解：由三角函數(shù)的定義可得tana=——=——,

-44

1

....,sina+cosatanat+1A1

所以，i-----------------=一〒

sina-cosatana—17

~4

【小問2詳解】

-sintz-since3

-----------=tantz=——.

-sintz-cosa4

16.園林管理處擬在公園某區(qū)域規(guī)劃建設(shè)一半徑為廠米，圓心角為6（弧度）的扇形觀景水池，其中。為扇

形A08的圓心，同時緊貼水池周邊建設(shè)一圈理想的無寬度步道.要求總預(yù)算費用不超過24萬元，水池造

價為每平米400元，步道造價為每米1000元.

（1）當(dāng)廠和6分別為多少時，可使得廣場面積最大，并求出最大面積;

（2）若要求步道長為105米，則可設(shè)計出的水池最大面積是多少.

【答案】（1）見解析（2）3375平方米

【解析】

【詳解】試題分析：（1）步道長為扇形周長2r+。廠，利用弧長公式及扇形面積公式可得不等式

400x1+W00（2r+0r）<24x104,利用基本不等式將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于S的一元不等式，解得S的

范圍，確定最大值為400.⑵由條件得歷'+2r=105,消夕得S=g（105—2廠）廠，由8=——2<2?及

400x^r2+1000（2r+^r）<24x104,解出廠245,根據(jù)二次函數(shù)最值取法得到當(dāng)廠=45時，S最大

337.5

1

試題解析：解：（1）由題意，弧長A3為。/，扇形面積為S=—。0

2

由題意400x1Or1+1000（2r+Or）<24xl04,即夕戶+5（2r+6r）<1200,

即0r+2r>2y120r2,

________產(chǎn)

所以6r+12戶w1200，所以t=426戶，/>0，貝！1萬+12?！?200=>/<40，

1,

所以當(dāng)仍?=2廠=40時，面積S=—。/的最大值為400.

2

（2）即夕廠+2r=105=。=皿—2<2萬，6>廠=105—2r代入可得

r

（105-2r）r+5x105<1200

”史,「1―2哨—232萬

當(dāng)一2與夕<27r不符,

2

5（。）在［45,+8）上單調(diào)，當(dāng)廠=45時，S最大337.5平方米，此時6=g.

17.已知函數(shù)/(%)=Acos(ox+")(A>0,o>0,|d<q)的部分圖象如圖所示.

2

⑴求/⑴的解析式;

17兀7C

⑵若函數(shù)g（x）=/（x）-7"在—三，§上有兩個零點，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

(42兀

【答案】(1)/(x)=coslJX+—

(2)

【解析】

【分析】(1)由圖象結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)得出解析式即可;

(2)由余弦函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)的值域，進(jìn)而結(jié)合圖象解題即可.

【小問1詳解】

由圖可知A=l,

-3T37197115K5兀4

由一=一，得丁二土二得。二一

44T~8~25

3兀(3兀|_33兀兀

因為了cosI(P\=—1,所以-^-+°=兀+2kli(keZ),

5

得夕=女+左兀(左又閘＜，所以夕=§,故/(%)=42兀

2wZ),gcos—XH-------

52555

【小問2詳解】

由題意可知，〃龍)與直線有兩個交點,

,,17兀71?，42兀712兀

因為，所以gx+yc

2436'T

17兀

則了，作出簡圖為

~24

17TCTC旦冽＜1

若函數(shù)g(x)=/(x)-加在---,y上有兩個零點，由圖可知,

2

故m的取值范圍為

18.己知函數(shù)/(x)=2sin(0x+e)10〉O,|e|<、J,其圖象中相鄰的兩個對稱中心的距離為1,且函數(shù)

7T

/(%)的圖象關(guān)于直線X="對稱；

(1)求出/(幻的解析式；

TT7C2〃"

(2)將/(%)的圖象向左平移三個單位長度，得到曲線y=g(x),若方程g(%)=〃在上有兩根

12|_63_

a，/3(a于位,求的值及〃的取值范圍.

【答案】(1)/(x)=2sin[2x+W]

(2)a+/3=,卜2,—

【解析】

IT7T

【分析】(1)根據(jù)條件相鄰的兩個對稱中心的距離為一得到周期從而求出口，再根據(jù)對稱軸是工=-一及

23

JT

10<5求出。，從而得到了(%)的解析式；

(2)根據(jù)平移變換得到g(x)=2sin]2x+。],再通過整體代換，利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)得到g(x)

有最小值及對應(yīng)的自變量的值，即可求&+萬的值及。的取值范圍.

【小問1詳解】

1T

解：因為函數(shù)/(x)=2sin((yx+o)的圖象相鄰的對稱中心之間的距離為萬，

T7T2〃

所以—=—,即周期丁=%，所以。=—=2,

22T

所以/(%)=2sin(2x+(p),

JT

又因為函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線X=-y軸對稱，

(九、兀77r

所以2[—彳)+0=keZ,即0=人》+*-,keZ,

7171

因I/K—,所以夕=二，

26

所以函數(shù)y=/(x)的解析式為/(x)=2sinl2%+^

【小問2詳解】

解：將/(%)的圖象向左平移二個單位長度，得到曲線y=g(x),

所以g(x)=2sin12x+g

當(dāng)xw—,—時，2%H—G—,—,-2^2sin2xH—|＜，3,

_63J3L33J(3)

Jr37r77r

當(dāng)2%+生=3時，g(x)有最小值-2且關(guān)于x=上對稱，

3212

n2%

因為方程8。)="在—上有兩根1,隊a手位,

所以。+，=2義一=—,

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:.-2＜a＜-y/3,即口的取值范圍卜2,—6］

19.若定義域為R的函數(shù)y=力(x卜黃足：對于任意xeR,都有/z(x+2i)=/z(x)+〃(2;r),貝ij稱函

數(shù)y=力⑺具有性質(zhì)P.

⑴設(shè)函數(shù)＞=/(無)，y=g(%)的表達(dá)式分別為/(x)=sinx+x,g(x)=cosx,判斷函數(shù)

y=/(x)與y=g(%)是否具有性質(zhì)尸,說明理由；

(2)設(shè)函數(shù)y=/(￡)的表達(dá)式為/(x)=sin(a＞x+0),是否存在0＜。＜1以及一乃＜。＜乃，使得函數(shù)

丁=5皿(。%+0)具有性質(zhì)尸？若存在，求出。，。的值；若不存在，說明理由；

⑶設(shè)函數(shù)y=/(x)具有性質(zhì)尸，且在［0,2可上的值域恰為［〃0),/(2到；以2》為周期的函數(shù)

y=g(x)的表達(dá)式為g(九)=sin(〃九))，且在開區(qū)間(0,初上有且僅有一個零點，求證：

于?兀)=2兀.

【答案】⑴函數(shù)y=〃尤)具有性質(zhì)尸，y=g(x)不具有性質(zhì)產(chǎn)，理由見解析；⑵不具備，理由見解析;

(3)證明見解析.