PAGE第一章習(xí)題解答1．利用玻爾——索末菲量子化條件，求（1）一維諧振子的能量；（2）在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的電子軌道的可能半徑。已知外磁場(chǎng)，玻爾磁子，試計(jì)算動(dòng)能的量子化間隔，并與及的熱運(yùn)動(dòng)能量相比較。解：（1）方法一：玻爾——索末菲量子化條件為1、2、3···對(duì)于一維諧振子，，即這是一個(gè)橢圓方程，半長(zhǎng)軸，半短軸。 橢圓面積由，得到能量量子化條件為1、2、3···方法二：因?yàn)橐痪S諧振子的運(yùn)動(dòng)方程為，所以。利用量子化條件得（2）電子在垂直于磁場(chǎng)方向的平面里以某一確定線速度作半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，則廣義動(dòng)量——角動(dòng)量是守恒量，與此廣義動(dòng)量相對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)是。則 又，所以。因此電子軌道的可能半徑為1、2、3···電子的動(dòng)能動(dòng)能的量子間隔為熱運(yùn)動(dòng)能量為2．應(yīng)用玻爾——索末菲量子化條件，計(jì)算一個(gè)在鉛直方向作彈性往復(fù)運(yùn)動(dòng)的小求的允許能級(jí)。解：的積分區(qū)：最高點(diǎn)，。所以的變域：。所以 3．應(yīng)用玻爾——索末菲量子化條件，求限制在箱內(nèi)運(yùn)動(dòng)的粒子的能量。箱的尺度為、、。解：粒子在箱子內(nèi)是自由的，動(dòng)量是守恒量，在與箱碰撞時(shí)，動(dòng)量反向，但數(shù)值不變，即彈性碰撞。選箱的三度為坐標(biāo)軸，利用量子化條件4．由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移律：能量密度極大值所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)與溫度成反比，即（常數(shù)）。并近似計(jì)算的數(shù)值，準(zhǔn)確到兩位有效數(shù)字。解：由能量密度的公式：則由解得：即令，則解得所以5．在附近，鈉的價(jià)電子能量約為，求其德布羅意波長(zhǎng)。解：6．兩個(gè)光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)。如果兩光子的能量相同，問(wèn)要實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，光子的波長(zhǎng)最大是多少？解：兩個(gè)光子轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)，要求光子的最大波長(zhǎng)，即要求產(chǎn)生的正負(fù)電子對(duì)靜止，由能量守恒得（是電子的靜止質(zhì)量）第二章習(xí)題解答1．設(shè)一粒子的狀態(tài)用歸一化波函數(shù)描述，問(wèn)在薄立方體內(nèi)找到粒子的幾率。解：因?yàn)榱Ｗ映霈F(xiàn)在體積元中的幾率為，所以在內(nèi)找到粒子的幾率為2．設(shè)粒子的狀態(tài)用歸一化波函數(shù)描述，問(wèn)在球殼內(nèi)找到粒子的幾率。解：因?yàn)榱Ｗ映霈F(xiàn)在點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)的幾率為所以在球殼內(nèi)找到粒子的幾率為3對(duì)一維自由粒子（a）設(shè)波函數(shù)為，試用哈密頓算符對(duì)運(yùn)算，驗(yàn)證。說(shuō)明動(dòng)量本征態(tài)也是哈密頓量（能量）本征態(tài)，本征值為。（b）設(shè)粒子在初始（）時(shí)刻，，求。（c）設(shè)波函數(shù)為，可以看成無(wú)窮多個(gè)平面波的疊加，即無(wú)窮多個(gè)動(dòng)量本征態(tài)的疊加。試問(wèn)是否是能量本征態(tài)？（d）設(shè)粒子在時(shí)刻，求。解：（a）因?yàn)樗裕╞）因?yàn)槭悄芰勘菊鲬B(tài)，所以（c）由于是無(wú)窮多個(gè)動(dòng)量本征態(tài)的疊加，所以它也是無(wú)窮多個(gè)能量本征態(tài)的疊加，因此它不是能量本征態(tài)。（d）因?yàn)?，所以因此利用，?假設(shè)一個(gè)粒子的初始狀態(tài)是兩個(gè)定態(tài)的線性迭加：（為使題目簡(jiǎn)單化，假設(shè)常數(shù)和是實(shí)數(shù)。）那么任意時(shí)刻的波函數(shù)是什么？求出幾率密度并描述其運(yùn)動(dòng)形式。解：很顯然，幾率密度以正弦形式振動(dòng)，角頻率是；這當(dāng)然不是一個(gè)定態(tài)。但是注意它是（具有不同能量的）定態(tài)的線性迭加，并且這種迭加會(huì)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)。5在t=0時(shí)刻一粒子由下面的波函數(shù)描述式中A、a和b是常數(shù)。（1）歸一化（即求出以a和b表示的A）。（2）作為x的函數(shù)畫出的草圖。（3）在t=0時(shí)刻在哪里最有可能發(fā)現(xiàn)粒子？（4）在a的左邊發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是多少?對(duì)b=a和b=2a兩種極限情況驗(yàn)證你的結(jié)果。（5）x的期待值是多少?解：（1）（2）（3）在處最有可能發(fā)現(xiàn)粒子。（4）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。（5）6一個(gè)自由粒子的初始波函數(shù)為其中和是正的實(shí)常數(shù)。（1）歸一化。（2）求出。（3）以積分形式寫出。（4）討論極限情況（很大和很?。＝猓海?）歸一化（2）（3）（4）當(dāng)很大時(shí)，是一個(gè)尖銳的峰值，比較寬泛，即位置精確而動(dòng)量很不確定；當(dāng)很小時(shí)，范圍較寬，是一個(gè)尖銳的峰值，即動(dòng)量精確而位置很不確定。第三章習(xí)題解答1．一粒子在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)。解：由方程 在及區(qū)域，，粒子不可能到達(dá)。即在及區(qū)域，。在區(qū)域，。令，則方程變?yōu)榇朔匠痰耐ń鉃橐驗(yàn)樵谔庍B續(xù)，即，所以。因?yàn)樵谔庍B續(xù)，即，所以（）。因此故與相應(yīng)的波函數(shù)為由歸一化條件得所以3一個(gè)處在一維無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子，其初始波函數(shù)是（1）畫出的圖形然后求出。（2）求出。（3）測(cè)量能量得到結(jié)果為的幾率是多少？（4）求出能量的期望值。解：（1）（2）因?yàn)樗裕?）測(cè)量能量得到結(jié)果為的幾率是（4）求出能量的期望值6．在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱：。證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。解：一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子滿足的薛定格方程為因?yàn)槭强臻g反演不變的，所以即即與是屬于同一本征值的本征態(tài)。由于它們描寫的是同一個(gè)狀態(tài)，因此之間只能相差一個(gè)常數(shù)。兩個(gè)方程可相互進(jìn)行空間反演而得對(duì)方，所以所以可見(jiàn)，，即當(dāng)時(shí)，，具有偶宇稱；當(dāng)時(shí)，，具有奇宇稱。所以，當(dāng)勢(shì)場(chǎng)滿足時(shí)，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。5設(shè)粒子處于半壁無(wú)限高的勢(shì)場(chǎng)中求粒子能量本征值，以及至少存在一條束縛能級(jí)的條件。解：勢(shì)函數(shù)把空間分成三個(gè)區(qū)域，滿足的薛定諤方程分別為顯然，。方程簡(jiǎn)化為令，，則方程進(jìn)一步簡(jiǎn)化為方程的通解為所以下面由波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件定解。由于波函數(shù)有限，所以，有在處，由波函數(shù)的連續(xù)性可得取，則在處，由單值性和連續(xù)性、可得得把、代入，得此即能量本征值滿足的超越方程。該方程只能數(shù)值求解或用作圖法求解。下面討論束縛態(tài)存在的條件。令，，則它們的交點(diǎn)就是束縛態(tài)能級(jí)滿足的解。由圖知，至少存在一個(gè)束縛態(tài)的條件為6．分子間的范德瓦耳斯力所產(chǎn)生的勢(shì)能可以近似表示為求束縛態(tài)的能級(jí)所滿足的方程。解：勢(shì)能曲線如圖示，分成四個(gè)區(qū)域求解。定態(tài)薛定格方程為對(duì)各區(qū)域的具體形式為Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：Ⅳ：對(duì)于區(qū)域Ⅰ，，粒子不可能到達(dá)此區(qū)域，故。且（1）（2）（3）對(duì)于束縛態(tài)，有，令，，，則 （4）（5）（6）各方程的解分別為利用波函數(shù)的有限性：因?yàn)橛邢?，所以，因此。利用波函?shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)：因?yàn)?，所以，因此；因?yàn)?，所以?）因?yàn)?，所以?）因?yàn)椋裕?）因?yàn)?，所以?0）由（7）、（8）得(11)由（9）、（10）得（12）令，則（11）式變?yōu)椋?3）聯(lián)立（12）、（13）得，要此方程組有非零解，必須解方程把代入即得此即為所要求的束縛態(tài)能級(jí)所滿足的方程。附：從方程（10）之后也可以直接用行列式求解。第四章習(xí)題解答1．求證：解：上式左邊的分量為同理所以2．設(shè)算符、皆與它們的對(duì)易子對(duì)易。證明：，。解：利用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)時(shí)，，顯然成立。設(shè)時(shí)，成立，則所以同理可證3．一維諧振子處在基態(tài)，求（1）勢(shì)能的平均值；（2）動(dòng)能的平均值；（3）動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。解：（1）（或利用）所以（2）或。（3）所以，動(dòng)量幾率分布函數(shù)為4．氫原子處在基態(tài)。求（1）的平均值；（2）勢(shì)能的平均值；（3）最可幾半徑；（4）動(dòng)能的平均值；（5）動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。解：（1）的平均值為其中利用了。（2）勢(shì)能的平均值為（3）電子出現(xiàn)在球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為令，則。當(dāng)時(shí)，為幾率最小位置。因?yàn)樗?，是最可幾半徑。?）因?yàn)?，所以?dòng)能的平均值為其中利用了。（5）因?yàn)?，所以其中利用了。?dòng)量幾率分布函數(shù)5．一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，它的能量的經(jīng)典表示式是，為角動(dòng)量，求與此對(duì)應(yīng)的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù)：（1）轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；（2）轉(zhuǎn)子繞一固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。解：（1）設(shè)該固定軸沿Z軸方向，則有哈米頓算符因?yàn)闊o(wú)關(guān)，所以這是一個(gè)定態(tài)問(wèn)題。其本征方程為令，則方程變?yōu)槿∑浣鉃椋烧韶?fù)可為零）。由于波函數(shù)是單值得，應(yīng)有，所以有，所以，，，……因此轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為（，，，……）可見(jiàn)能量只能取一系列分立值，構(gòu)成分立譜。其定態(tài)波函數(shù)為為歸一化常數(shù)，它可由歸一化條件求得：所以轉(zhuǎn)子的歸一化波函數(shù)為綜上所述，除外，能級(jí)是二重簡(jiǎn)并的。（2）取固定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則轉(zhuǎn)子的哈米頓算符為因?yàn)闊o(wú)關(guān)，所以這是一個(gè)定態(tài)問(wèn)題。其本征方程為式中，設(shè)為的本征函數(shù)，為其本征值。令，則方程變?yōu)榇思礊榻莿?dòng)量的本征方程，其本征值為其波函數(shù)為球諧函數(shù)所以轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為可見(jiàn)，能量是分立的，且是重簡(jiǎn)并的。6設(shè)粒子處于一維無(wú)限深方勢(shì)阱中證明處于能量本征態(tài)的粒子討論時(shí)的情況，并與經(jīng)典力學(xué)計(jì)算結(jié)果比較。解：因?yàn)?，所以?jīng)典物理中，中粒子處于范圍內(nèi)的概率為，則時(shí)，量子與經(jīng)典結(jié)果一致。7．設(shè)時(shí)，粒子的狀態(tài)為求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能。解：波函數(shù)變形為可見(jiàn)，動(dòng)量的可能值為、、、、，動(dòng)能的可能值為、、、、，對(duì)應(yīng)的幾率應(yīng)為、、、、。歸一化常數(shù)可由歸一化條件求得所以，動(dòng)量的平均值為動(dòng)能的平均值為8.設(shè)粒子處于一維無(wú)限深勢(shì)阱中設(shè)粒子處于基態(tài)（），。設(shè)時(shí)刻阱寬突然變?yōu)?，粒子的波函?shù)來(lái)不及變化，即試問(wèn)：對(duì)于加寬了的無(wú)限深勢(shì)阱是否還是能量本征態(tài)？求測(cè)得粒子處于能量本征態(tài)的概率。解：對(duì)于加寬了的無(wú)限深勢(shì)阱，粒子能量本征值和本征態(tài)分別是顯然，不再是能量本征態(tài)。由于阱寬突然變寬，粒子的波函數(shù)來(lái)不及變化，所以能量仍保持為。可按展開(kāi)所以測(cè)得粒子處于能量本征態(tài)的概率為。9．一維運(yùn)動(dòng)粒子的狀態(tài)是其中，求：（1）粒子動(dòng)量的幾率分布函數(shù)；（2）粒子的平均動(dòng)量。解：（1）先求歸一化常數(shù)，由所以波函數(shù)為動(dòng)量的幾率振幅為動(dòng)量幾率分布函數(shù)為（2）粒子的平均動(dòng)量為10．在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)阱的寬度為，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)描寫，為歸一化常數(shù)，求粒子的幾率分布和能量的平均值。解：一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的能量的本征函數(shù)和本征值分別為能量的幾率分布函數(shù)為，且把歸一化所以所以第五章習(xí)題解答1利用氫原子能級(jí)公式，討論下列體系的能譜：（a）電子偶素（positronium，指束縛體系）；（b）原子（muonicatom），指平常原子中有一個(gè)電子被一個(gè)粒子代替；（c）子偶素（muonium，指束縛體系）。解：氫原子能級(jí)公式（a）電子偶素，能級(jí)。（b）原子，能級(jí)。（c）子偶素，能級(jí)。2對(duì)于氫原子基態(tài)，求電子處于經(jīng)典禁區(qū)（）（即區(qū)域）的概率。解：氫原子基態(tài)波函數(shù)電子處于經(jīng)典禁區(qū)（）的概率3一質(zhì)量為的粒子在下面的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)求粒子的基態(tài)能量和歸一化波函數(shù)。解：中心力場(chǎng)中，徑向方程為基態(tài)，則令，則時(shí)因?yàn)椋?，有因?yàn)?，所以波函?shù)歸一化4一質(zhì)量為的粒子在一圓圈（周長(zhǎng)為）上運(yùn)動(dòng)。如果還存在函數(shù)勢(shì)，，請(qǐng)寫出系統(tǒng)的所有能級(jí)和相應(yīng)的歸一化波函數(shù)。解：薛定諤方程為式中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為圓半徑。令，則因?yàn)?，則時(shí)，有利用連續(xù)性條件得歸一化，得5在直角坐標(biāo)系中求解二維各向同性諧振子的能級(jí)和簡(jiǎn)并度，與三維各向同性諧振子比較。解：哈密度算符、、相互對(duì)易，而且都是守恒量。所以的本征函數(shù)和本征值分別為給定后，有下列種組合方式所以能級(jí)的簡(jiǎn)并度為。的本征態(tài)的宇稱為。三維各向同性諧振子，的本征函數(shù)和本征值分別為給定后，有下列組合方式所以，能級(jí)簡(jiǎn)并度為二維各向同性諧振子與三維各向同性諧振子的能級(jí)分布均勻，能級(jí)間隔都是。第六章習(xí)題解答1．求在動(dòng)量表象中角動(dòng)量的矩陣元和的矩陣元。解：分別在坐標(biāo)表象與動(dòng)量表象下計(jì)算在動(dòng)量表象中的矩陣元，應(yīng)該得到同樣的結(jié)果。首先在坐標(biāo)表象中計(jì)算。這時(shí)，有在動(dòng)量表象中的矩陣元為其次，在動(dòng)量表象中計(jì)算。這時(shí)，有在動(dòng)量表象中的矩陣元為2．求能量表象中，一維無(wú)限深勢(shì)阱的坐標(biāo)與動(dòng)量的矩陣元。解：基矢：；能量：；對(duì)角元：（因?yàn)椋┊?dāng)時(shí)，上面的推導(dǎo)用到了3．求在動(dòng)量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)。解：定態(tài)薛定諤方程為即兩邊乘以，得令，，則跟課本式比較可知，線性諧振子的能量本征值和本征函數(shù)為式中為歸一化因子，即4．求線性諧振子哈密頓量在動(dòng)量表象中的矩陣元。解：5．設(shè)已知在的共同表象中，算符和的矩陣分別為求它們的本征值和歸一化的本征函數(shù)。最后將矩陣和對(duì)角化。解：的久期方程為得所以，的本征值為。的本征方程其中為的本征函數(shù)在共同表象中的矩陣。當(dāng)時(shí)，有所以由歸一化條件取，則當(dāng)時(shí)，有所以由歸一化條件取，則當(dāng)時(shí)，有所以由歸一化條件取，則由以上結(jié)果可知，從和的共同表象變到表象的變換矩陣為矩陣在自身表象中的矩陣為對(duì)角化矩陣，對(duì)角元素為它的本征值，則同理可得，的本征值為，歸一化的本征函數(shù)分別為的對(duì)角化矩陣為6設(shè)矩陣和滿足，，。（a）證明；（b）在表象中求出的矩陣表示（設(shè)本征態(tài)無(wú)簡(jiǎn)并）。解：（a）由和，得（b）設(shè)的本征值方程為，所以又，所以，因此的矩陣表示為設(shè)的矩陣表示為由，得由，得由，得所以若取，則第七章習(xí)題解答1.如果是的本征態(tài)，對(duì)應(yīng)的本征值為，那么，波函數(shù)和也都是的本征函數(shù)，對(duì)應(yīng)的本征值分別為和。（南京大學(xué)2002年）證明：因?yàn)樗酝?設(shè)兩個(gè)粒子做一維諧振動(dòng)，考慮它們之間的相互作用，體系的哈密頓量為（忽略，為正常數(shù)）求體系能量本征值。解：令利用，，得且所以因此令，，則這樣，體系就變成了兩個(gè)相互獨(dú)立的諧振子，所以，能量本征值為7-3某體系的能量算符為 其中，。試求體系的能量本征值。解：令b=ua+va+?解：令bH且則bb=于是H=53a+a+23a于是HH比較得u=ku=2/所以H能量本征值E7-4一個(gè)量子系統(tǒng)，其哈密頓算符可寫為 其中為實(shí)數(shù)，、為數(shù)，算符及滿足。試求系統(tǒng)的能量本征值。提示：因?yàn)闉槎蛎姿惴浴?在粒子數(shù)表象中哈密頓。（1）把化成標(biāo)準(zhǔn)諧振子哈密頓，求能量本征值。（2）把看成微擾，求能量本征值至二級(jí)近似。解：（1）哈密頓變形為令，，則且能量本征值為（2）令，其中，，則所以，能量一級(jí)修正為能量二級(jí)修正為所以能量本征值為7在表象（為基矢）中，的子空間的維數(shù)為3。求在此三維空間中的矩陣表示。再利用矩陣方法求出的本征值和本征態(tài)。解：在表象中，的矩陣元為在的子空間中當(dāng)時(shí)，，有由此得設(shè)的本征方程為所以有解的條件解得，，所以，。當(dāng)時(shí)，有得，，所以利用歸一化條件，得所以同理8．設(shè)體系處于態(tài)，求的觀察值。解：設(shè)的本征方程為把用、、做展開(kāi)：在表象下，的矩陣表示為又因?yàn)樵诒硐笙?，的矩陣表示為所以有解的條件解得，，所以，。當(dāng)時(shí)，有得，，所以利用歸一化條件，得，所以同理所以于是因此，在態(tài)下，的觀察值和對(duì)應(yīng)的概率及平均值分別為01/41/21/4第八章習(xí)題解答1求互相垂直的均勻電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的帶電粒子的能量本征值。解：設(shè)電場(chǎng)沿方向，磁場(chǎng)沿方向，則選Landau規(guī)范，，且，滿足粒子的哈密頓量為選取為守恒量完全集，可選取能量本征函數(shù)為其中、為本征值，可取任意實(shí)數(shù)。能量本征值方程為所以變形為式中。該式與一維諧振子能量本征值方程相似，所以能量本征值為是以為變量的一維諧振子能量本征值函數(shù)，即式中。2設(shè)電子囚禁在二維各向同性諧振子場(chǎng)中，。如再受到沿軸方向的均勻磁場(chǎng)的作用，取矢勢(shì)，（a）求電子的能級(jí)和本征函數(shù)。（b）分別討論和兩種極限情況以及能級(jí)簡(jiǎn)并度的變化。解：（a）因?yàn)?，所以因此，哈密頓量為式中，。為了方便，以下把電子沿軸方向的自由運(yùn)動(dòng)分離出去，集中討論電子在平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，這樣極坐標(biāo)系下因?yàn)椋赃x（）作為守恒量完全集，利用二維各向同性諧振子的結(jié)論，得能量本征值和本征函數(shù)分別為（b）若，則系統(tǒng)變?yōu)槎S各向同性諧振子，哈密頓量變?yōu)槟芰勘菊髦岛捅菊骱瘮?shù)分別為能級(jí)的簡(jiǎn)并度為。若，則系統(tǒng)變?yōu)榫鶆虼艌?chǎng)中的電子，哈密頓量變?yōu)槟芰考蠢实滥芗?jí)。能量本征函數(shù)和本征值分別為式中。下面考察能級(jí)簡(jiǎn)并度。因?yàn)椋?，?duì)給定，當(dāng)時(shí)，所有態(tài)能量都相同，因此簡(jiǎn)并度為無(wú)窮大。3電子被限制在x-y平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，在Z方向有一均勻磁場(chǎng)B，此外沒(méi)有其它勢(shì)?；卮鹣铝袉?wèn)題：（1）定義規(guī)范不變的動(dòng)量，求對(duì)易式；（2）利用上述對(duì)易關(guān)系式和一維諧振子問(wèn)題的類比求電子的能量本征值。解：（1）處于磁場(chǎng)中電子的哈密頓為其中所以因?yàn)?，，所以?）一維諧振子的哈密頓量為令則其能量本征值為該題中，令則式中，。它與一維諧振子哈密頓量極其相似，所以能量本征值為第九章習(xí)題解答1．設(shè)一維諧振子的哈密頓算符為，再加上微擾，系統(tǒng)的哈密頓算符為試用微擾法求能量近似值。解：所以實(shí)際上所以展開(kāi)式的前三項(xiàng)正是微擾法的結(jié)果。2．在表象中，若哈密頓算符的矩陣形式為其中，、為小的實(shí)數(shù)，且。求能量至二級(jí)修正，并與精確解作比較。解：因?yàn)樗韵旅媲竽芰康木_解。能量的本征方程為久期方程所以3．設(shè)哈密頓算符的矩陣形式為求其精確的本征值；若，求其本征值至二級(jí)近似。解：先求精確解：久期方程再求近似解：顯然，它是精確解的近似。4一維無(wú)限深勢(shì)阱（）中的粒子，受到微擾作用求基態(tài)能量的一級(jí)修正。解：一維無(wú)限深勢(shì)阱能量的本征解為能量一級(jí)修正對(duì)基態(tài)，有8平面中的轉(zhuǎn)子的哈密頓量為，為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（a）求轉(zhuǎn)子的能級(jí)和能量本征函數(shù)；（b）設(shè)轉(zhuǎn)子具有電偶極矩，受到弱電場(chǎng)（平面內(nèi)）的作用，，利用一級(jí)微擾論計(jì)算轉(zhuǎn)子能級(jí)和波函數(shù)；（c）如外加電場(chǎng)極強(qiáng)，轉(zhuǎn)子將不能自由轉(zhuǎn)動(dòng)，只能局限在一個(gè)很窄的角度（）附近小振動(dòng)，。求振動(dòng)能級(jí)和本征函數(shù)。解：（a）平面的轉(zhuǎn)子的能量本征值方程其本征函數(shù)為相應(yīng)能量本征值除外，其它能級(jí)二重簡(jiǎn)并。（b）微擾哈密頓矩陣元為