專題4圓中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、

婆羅摩笈多（定理）模型

圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就圓形中的重要模

型（阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方

便掌握。

模型1.阿基米德折弦模型

【模型解讀】折弦:從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。

一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)。

如圖1所示，和8C是。O的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），BOAB,M是ABC的中點(diǎn)，則從M

向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD。

常見證明的方法：

1）補(bǔ)短法：如圖2,如圖，延長(zhǎng)。8至R使8尸=BA；

2）截長(zhǎng)法：如圖3,在CD上截取OG=D5；

3）垂線法：如圖4,作射線A8,垂足為“。

例1.（2023?廣東?統(tǒng)考一模）定義：圓中有公共端點(diǎn)的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦.阿基米德折弦

定理：如圖1,AB和BC組成圓的折弦，AB>BC,M是弧ABC的中點(diǎn)，MFI3AB于F,則AF=FB+BC.

如圖2,E1ABC中，0ABC=6O°,AB=8,BC=6,D是AB上一點(diǎn)，BD=1,作DEIBAB交13ABe的夕卜接圓于E,

連接EA,則E1EAC=°.

圖1圖2

例2.（2023?浙江溫州,九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）阿基米德是古希臘最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他曾用圖1發(fā)現(xiàn)了阿

基米德折弦定理.如圖2,已知為回。的直徑,AB為一條弦（BOAB），點(diǎn)M是A8C上的點(diǎn)，AffiSBC于

點(diǎn)。，延長(zhǎng)交弦A8于點(diǎn)E,連接若B?"=底,A2=4,則AE的長(zhǎng)為（）

圖1圖2

591213

A.-B.一C.—D.——

2455

例3.（2023上?河南周口?九年級(jí)校考期末）問(wèn)題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1,A3和BC是。的兩條

弦（即折線ABC是弦。的一條折弦）,BC>AB,M是弧ABC的中點(diǎn)，則從M向8C所作垂線的垂足。

是折弦ABC的中點(diǎn)，即C￡>=AB+3。,下面是運(yùn)用"截長(zhǎng)法"證明=的部分證明過(guò)程―

證明：如圖2,在CB上截取CG=AB,連接壓，MB,MC和MG.

M是弧ABC的中點(diǎn),

^\MA=MC,

圖1圖2圖4

⑴請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分;

（2）實(shí)踐應(yīng)用：如圖3,ABC內(nèi)接于O,BC>AB>AC,。是弧4cB的中點(diǎn)，于點(diǎn)E,依據(jù)阿

基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為.

⑶如圖4,等腰」內(nèi)接于CO,AB=AC,。為弧A3上一點(diǎn)，連接ZACE>=45°,AC=6,BC=4,

求.3DC的周長(zhǎng).

例4.（2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè)）問(wèn)題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1,AB和8C是。的兩條弦（即

折線ABC是圓的一條折弦），BC>AB,M是ABC的中點(diǎn)，則從加向BC所作垂線的垂足。是折弦ABC的

中點(diǎn)，即CD=AB+9.下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD=AB+9的部分證明過(guò)程.

（1）證明：如圖2,在CB上截取CG=AB,連接MA,MB,MC和MG.

是ABC的中點(diǎn)，=

請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分;

實(shí)踐應(yīng)用：（2）如圖3,已知一ABC內(nèi)接于。，BC>AB>AC,。是ACB的中點(diǎn)，依據(jù)阿基米德折弦定

理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為一.

（3）如圖4,已知等腰JU3C內(nèi)接于G。，AB=AC,。為AB上一點(diǎn)，連接08,ZACD=45°,AELCD

于點(diǎn)E,一比心的周長(zhǎng)為4立+2，BC=2,請(qǐng)求出AC的長(zhǎng).

例5.（2023?河南商丘?統(tǒng)考二模）閱讀下面材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：

阿基米德是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一、《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對(duì)于了解古

希臘數(shù)學(xué)，研究古希臘數(shù)學(xué)思想以及整個(gè)科技史都是十分寶貴的.其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周

上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦.一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的

折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn).

如圖1,48和BC是。的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），M是弧ABC的中點(diǎn)，則從〃向8c

所作垂線之垂足。是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=A5+3￡）.

小明認(rèn)為可以利用“截長(zhǎng)法"，如圖2：在線段CB上從C點(diǎn)截取一段線段C7V=AB,連接M4,MB,MC,MN.

小麗認(rèn)為可以利用“垂線法"，如圖3：過(guò)點(diǎn)M作用于點(diǎn)女，連接AM,MB,MC

任務(wù)：（1）請(qǐng)你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續(xù)書寫出證明過(guò)程，

（2）就圖3證明：MC2-MB-=BCAB.

模型2.婆羅摩笈多(定理)模型

【模型解讀】婆羅摩笈多(BrahmagupG是七世紀(jì)時(shí)的印度數(shù)學(xué)家。

婆羅摩笈多定理：如果一個(gè)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直相交,那么從交點(diǎn)向某一邊所引垂線的反向延

長(zhǎng)線必經(jīng)過(guò)這條邊對(duì)邊的中點(diǎn)o

如圖1,A8CD為圓內(nèi)接四邊形，對(duì)角線AC和3D垂直相交，交點(diǎn)為E,過(guò)點(diǎn)E作的垂線ER延長(zhǎng)尸￡

與交于點(diǎn)G；則點(diǎn)G是的中點(diǎn)。

如圖2,所示已知等腰MAA8C和等腰放△AEZ),作由MAE交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)(1)SAACD^SAABE;

(2)若AhLCD,則G為5E中點(diǎn)。

2、如圖3,已知等腰RMABC和等腰放△AED,在AF的延長(zhǎng)線取點(diǎn)H,使得AF=FH；(1)SAACD=SAABE;

(2)若尸為CO中點(diǎn)，則AGL8E。

例L(2023?浙江?九年級(jí)專題練習(xí))閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

布拉美古塔定理

婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提出了"婆羅摩笈多定

理"，也稱"布拉美古塔定理定理的內(nèi)容是：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角

線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊.

某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)寫出了這個(gè)定理的已知和求證.

已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，對(duì)角線AC13。，垂足為P,過(guò)點(diǎn)P作的垂線分別交AB,DC

于點(diǎn)H,M.求證：M是。的中點(diǎn).

任務(wù)：（1）請(qǐng)你完成這個(gè)定理的證明過(guò)程.（2）該數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在該定理的基礎(chǔ)上寫出了另外一個(gè)命題：

若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則一邊中點(diǎn)與對(duì)角線交點(diǎn)的連線垂直于對(duì)邊請(qǐng)判斷此命題是—命

題.（填"真"或"假"）。⑶若尸。=2,HP=RBP=3,求的長(zhǎng).

例2.（2023?重慶?統(tǒng)考一模）閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、

天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理"，也稱"布拉美古塔定理定理

的內(nèi)容是："若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊

任務(wù)：（1）按圖（1）寫出了這個(gè)定理的已知和求證，并完成這個(gè)定理的證明過(guò)程；

已知：求證：證明：

（2）如圖（2）,在（。中，弦45_LCD于連接AC,CB,3￡）,r>A，及尸分別是AC,BC上的點(diǎn)，EMVBD

于G,FI7_LA￡（于"當(dāng)M是A2中點(diǎn)時(shí)，直接寫出四邊形￡7%。是怎樣的特殊四邊形：.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023?浙江溫州??？既＃┰趲缀螌W(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，人們發(fā)現(xiàn)了許多經(jīng)久不衰的平面幾何定理，蘇

格蘭數(shù)學(xué)家羅伯特?西姆森（夫。加加的如加）發(fā)現(xiàn)從三角形外接圓上任意一點(diǎn)向三邊（或其延長(zhǎng)線）所作垂線

的垂足共線，這三個(gè)垂足的連線后來(lái)被稱為著名的“西姆森線"（S加s。地證）.如圖，半徑為4的。為ABC

的外接圓,CB過(guò)圓心O,那么過(guò)圓上一點(diǎn)尸作ABC三邊的垂線，垂足E、F、。所在直線即為西姆森線,

若NFPB=NC,EF=3,則一的值為（）

2.（2023山東??？级＃┌⒒椎抡巯叶ɡ恚喝鐖D1,A5和BC是O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條

折弦），BC>AB,”是弧A3c的中點(diǎn)，則從對(duì)向8c所作垂線的垂足。是折弦A3C的中點(diǎn)，即

CD=AB+3。.請(qǐng)應(yīng)用阿基米德折弦定理解決問(wèn)題：如圖2,已知等邊.ABC內(nèi)接于O,AB=10,D為

。上一點(diǎn)，ZABD=45°,AEL8D于點(diǎn)E,貝的周長(zhǎng)是

A

圖1圖2

3.（2023春?山東威海?九年級(jí)校聯(lián)考期中）早在公元前古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得就發(fā)現(xiàn)了垂徑定理，即垂直于

弦的直徑平分弦.阿基米德從中看出了玄機(jī)并提出：如果條件中的弦變成折線段，仍然有類似的結(jié)論.

圖5

某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)此進(jìn)行了探究，如圖1,AC和BC是。的兩條弦（即折線段ACB是圓的一條折弦）,

BC>AC,M是ACB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作“。_L5C,垂足為。，小明通過(guò)度量AC、CD、/汨的長(zhǎng)度，發(fā)

現(xiàn)點(diǎn)。平分折弦ACB,即BD=AC+CD.小麗和小軍改變折弦的位置發(fā)現(xiàn)3D=AC+8仍然成立，于是

三位同學(xué)都嘗試進(jìn)行了證明：

小軍采用了“截長(zhǎng)法"（如圖2）,在3。上液取BE,使得BE=AC,......

小麗則采用了“補(bǔ)短法"（如圖3）,延長(zhǎng)3C至尸，使CF=AC,.…

小明采用了“平行線法"（如圖4）,過(guò)M點(diǎn)作交圓于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作......

⑴請(qǐng)你任選一位同學(xué)的方法，并完成證明；

（2）如圖5,在網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1,ABC內(nèi)接于O（A、B、C均是格點(diǎn)），點(diǎn)4、。關(guān)于

3C對(duì)稱，連接并延長(zhǎng)交。于點(diǎn)E,連接CE.

①請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺作直線/,使得直線/平分ABCE的周長(zhǎng)；②求，3CE的周長(zhǎng).

4.（2023?浙江嘉興?九年級(jí)校聯(lián)考期中）阿基米德折弦定理：如圖1,A8和3c是,：O的兩條弦（即折線ABC

是圓的一條折弦），BC>AB,M是ABC的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足。是折弦ABC的中點(diǎn)，即

CD=AB+BD.下面是運(yùn)用"截長(zhǎng)法"證明CD=+3。的部分證明過(guò)程.

證明：如圖2,在CB上截取CG=AB,連接MA,MB,MC^MG.血是A8C的中點(diǎn)，^MA=MC

任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

（2）填空：如圖（3）,已知等邊.ABC內(nèi)接于O,AB=2,。為（。上一點(diǎn)，ZABD=45°,與

點(diǎn)E,則加C的周長(zhǎng)是

AA

圖(1)圖(2)圖(3)

5.（2023秋?山西陽(yáng)泉?九年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù):

阿基米德折弦定理

阿基米德QArchimedes,公元前287~公元前212年，

古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、

高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子.

阿拉伯A/出加山（973年?1050年）的譯文中保存了

阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)

盒A/-囪加獻(xiàn)譯本出版了像文版《阿基米德全集》，第一題

就是阿基米德的折弦定理.

S

阿基米德折弦定理：

如圖1,A3和是1。的兩條弦（即折線ABC是

固的一條折弦），BC>AB,“是弧ABC的中點(diǎn)，

則從M向所作垂線的垂足。是折弦ABC的中

(圖1)

點(diǎn)，即CD=AB+3￡>.

這個(gè)定理有根多證明方法，下面是運(yùn)用“垂線法”證

明CD=AB+的部分證明過(guò)程.

證明：如圖2.作射線垂足為H,連接

MA,MB,MC.

團(tuán)"是弧ABC的中點(diǎn)，（圖2）

SMA=MC....

任務(wù)：⑴請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

（2）填空：如圖3,已知等邊內(nèi)接于（。，。為AC上一點(diǎn)，ZABD=15°,CELBD于點(diǎn)、E,AB=2A/2.

則折弦ADB的長(zhǎng)是______.

（圖3）

6.（2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)任務(wù):

婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的算術(shù)運(yùn)

算規(guī)則、二次方程等方面均有建樹.他曾經(jīng)提出了"婆羅摩笈多定理"，該定理也稱為“古拉美古塔定理"，該

定理的內(nèi)容及部分證明過(guò)程如下:

古拉美古塔定理：如圖L四邊形ABC。內(nèi)接于（。，對(duì)角線AC1BD,垂足為點(diǎn)直線垂

足為點(diǎn)E,并且交直線A少于點(diǎn)則川=陽(yáng).

證明：^ACIBD,MELBC,0Z.BMC=ZAMD=AMEC=90°

ElACME+Z.ECM=90°,ZCBD+ZECM=90°.0NCBD=NCME.

^CD=CD>SZCBD=ZCAD.（依據(jù)）

^ZCME=ZAMF,^ZAMF=ZCAD.SAF=FM.

任務(wù)：（1）上述證明過(guò)程中的依據(jù)是；（2）將上述證明過(guò)程補(bǔ)充完整;

（3）古拉美古塔定理的逆命題：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O,對(duì)角線AC人80,垂足為點(diǎn)M,直線網(wǎng)0

交BC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F.若AF=ED,則EEL3c.請(qǐng)證明該命題.

7.（2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考二模）【閱讀】婆羅摩笈多是七世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家，他曾提出一個(gè)定理：若圓內(nèi)接四

邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊.

證明：如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形ABCD的對(duì)角線AC血互相垂直，垂足為點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G的直線垂直于

AD,垂足為點(diǎn)E,與邊BC交于點(diǎn),F,由垂直關(guān)系得NEGr>+NFGC=90,ZEGD+ZEDG=90,所以

NEDG=NFGC,由同弧所對(duì)的圓周角相等得NAD3=NACB,所以NFGC=NFCG,則bG=PC,同理,

FG=FB,故BF=FC；

【思考】命題"若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊"為一

（填"真命題"，"假命題"）；

【探究】（1）如圖2,AAG3和ADGC為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，ZAGB=ZDGC^90，過(guò)點(diǎn)G的直線

垂直于4D,垂足為點(diǎn)E,與邊8c交于點(diǎn)P.證明：點(diǎn)廠是3c的中點(diǎn)；

（2）如圖3,AAG3和ADGC為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形NAG3=/DGC=90，點(diǎn)/是8C的中點(diǎn)，連接PG

8.（2023?山西太原?九年級(jí)校考階段練習(xí)）閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)

婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算

規(guī)則、二次方程等方面均有建樹，特別是在研究一階和二階不定方程方面作出了巨大貢獻(xiàn).他曾經(jīng)提出了“婆

羅摩笈多定理"，該定理也稱為“古拉美古塔定理該定理的內(nèi)容及部分證明過(guò)程如下：

古拉美古塔定理：已知：如圖，四邊形A8CD內(nèi)接于回。，對(duì)角線4C13B。，垂足為直線M￡0BC,垂足

為E,并且交直線于點(diǎn)E則

證明：0AC0BZ),M￡0BC00CM￡+0C=90°,0CBD+0C=9O°

S3iCBD=SCME0,^CME=^AMF^CAD=^\AMF^AF=MF...

任務(wù)：（1）材料中劃?rùn)M線部分短缺的條件為：；

（2）請(qǐng)用符號(hào)語(yǔ)言將下面“布拉美古塔定理”的逆命題補(bǔ)充完整，并證明該逆命題的正確性：

已知：如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于回。，對(duì)角線AC138。，垂足為尸為上一點(diǎn)，直線60交于點(diǎn)E,

①.求證：②.證明：

8.（2023?廣東佛山?統(tǒng)考三模）探索應(yīng)用

材料一：如圖1,在AABC中，AB=c,BC=a,0B=0,用c和。表示BC邊上的高為,用a.c和6

表示AABC的面積為.

材料二：如圖2,已知EIC=EIP,求證：CF?BF=QF?PF.

A

C

圖3

圖4

材料三：蝴蝶定理QBiUterflyTheorem）是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一，最早出現(xiàn)在1815年，由

W.G.霍納提出證明，定理的圖形象一只蝴蝶.

定理：如圖3,M為弦PQ的中點(diǎn)，過(guò)M作弦AB和CD,連結(jié)AO和BC交尸。分別于點(diǎn)石和R則

MF.

證明：設(shè)0A=!3C=a,回3=團(tuán)。=0,

^DMP=^\CMQ=yf^1AMP=^\BMQ=p,PM—MQ=a,ME=x,MF=y

SAAMES^FCMS^DMqAM.AE.sinaFM.CM.sin/ED.MD.sinpMF.MB.sm81

由，/@=1,即------------------?-------------------?------------------?------------------=1,

QQQ

UAFCMQ^EDM^\FMB3AAMEMC.CF.smaEM.MD.sinyFB.BM,sin/3MA.ME.sin3

MF2CF.FB

化簡(jiǎn)得：MF2?AE?ED^ME2?CF?FB則有:

ME2AE.ED

X^CF?FB^QF?FP,AE-ED=PE-EQ,

MF2QF.FPMF2(a—y)(〃+y)a2-y2222

團(tuán)—____a_n__艮?j—___________—___即___】=a—y

1222,從而尤=y,ME=MF.

■ME-PE.EQ，ME~(a-x)(a+x)~a-xXa2

請(qǐng)運(yùn)用蝴蝶定理的證明方法解決下面的問(wèn)題:

如圖4,B、C為線段PQ上的兩點(diǎn)，且BP=CQ,A為尸。外一動(dòng)點(diǎn)，且滿足Sft4P=?CA。，判斷ABIQ的

形狀，并證明你的結(jié)論.

9.（2022?河南駐馬店?統(tǒng)考三模）閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延

長(zhǎng)線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）.數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理.如圖1,已

知,ABC內(nèi)接于回。，點(diǎn)尸在回。上（不與點(diǎn)A、B、C重合），過(guò)點(diǎn)尸分別作AB,BC,AC的垂線，垂足分別

為D,E,尸求證：點(diǎn)D,E,尸在同一條直線上

以下是他們的證明過(guò)程：

AA

圖1圖2

如圖1,連接尸2,PC,DE,EF,取尸C的中點(diǎn)。，連接。E,QF,

則PQ=CQ=gpC=EQ=FQ（依據(jù)1）,

EIE,F,P,C四點(diǎn)共圓.0ZFCP+ZFEP=180°（依據(jù)2）.

X0ZACP+ZABP=180°,^ZFEP=ZABP.

田NBDP=NBEP=90°,SB,D,P,E四點(diǎn)共圓.^ZDBP=ZDEP（依據(jù)3）.

EIZABP+ZD5P=180o,0ZFEP+ZD￡P(guān)=18O°（依據(jù)4）.

團(tuán)點(diǎn)A,E,尸在同一條直線上.

任務(wù)：（1）填空：①依據(jù)1指的的是中點(diǎn)的定義及;②依據(jù)2指的是；

③依據(jù)3指的是；④依據(jù)4指的是.

（2）善于思考的小英發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)尸是BC的中點(diǎn)時(shí)，比＞=5.請(qǐng)你利用圖2證明該結(jié)論的正確性.

10.（2022,河南安陽(yáng)?統(tǒng)考一模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延

長(zhǎng)線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）.某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理.

如圖（1）,已知ABC內(nèi)接于（O,點(diǎn)尸在＜。上（不與點(diǎn)A,B,C重合），過(guò)點(diǎn)P分別作AB,BC,AC

的垂線，垂足分別為?點(diǎn)。，E,尸求證：點(diǎn)。，E,尸在同一條直線上.

如下是他們的證明過(guò)程（不完整）：

明該結(jié)論的正確性.

圖⑵

11.（2023?山東濟(jì)寧?統(tǒng)考二模）閱讀與思考；

婆羅摩笈多是一位印度數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家，書寫了兩部關(guān)于數(shù)學(xué)與天文的書籍，他的一些數(shù)學(xué)成就在世界

數(shù)學(xué)史上有較高的地位，他的負(fù)數(shù)及加減法運(yùn)算僅晚于中國(guó)九章算術(shù)而他的負(fù)數(shù)乘除法法則在全世界都是

領(lǐng)先的，他還提出了著名的婆羅摩笈多定理，該定理的內(nèi)容及證明如下：已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接與

圓0對(duì)角線ACIBBD于點(diǎn)M,MEI3BC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)EM交CD于F,求證：MF=DF

證明回AO3BD,ME0BC0BCBD=0CME

00CBD=E1CAD,0CME=0AMFfflCAD=0AMF0AF=MF

EHAMD=90°,同時(shí)EIMAD+EIMDA=90°EHFMD=EIFDM

SMF=DF,即F是AD中點(diǎn).

（1）請(qǐng)你閱讀婆羅摩笈多定理的證明過(guò)程，完成婆羅摩笈多逆定?理的證明:

已知：如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接與圓0,對(duì)角線ACE1BD于點(diǎn)M,F是AD中點(diǎn)，連接FM并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)

E,求證：ME0BC

（2）已知如圖2,回ABC內(nèi)接于圓0,HB=30°SACB=45°,AB=2,點(diǎn)D在圓。上，0BCD=6O°,連接AD交BC

于點(diǎn)P,作0NI3CD于點(diǎn)N,延長(zhǎng)NP交AB于點(diǎn)M,求證PMI3BA并求PN的長(zhǎng).

12.（2023,北京昌平?九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)尸和）0,，。的半徑為4,

交x軸于點(diǎn)A,B,對(duì)于點(diǎn)P給出如下定義：過(guò)點(diǎn)C的直線與｛。交于點(diǎn)N,點(diǎn)尸為線段的中點(diǎn),

我們把這樣的點(diǎn)P叫做關(guān)于MV的"折弦點(diǎn)".

（1）若C（-2,0）,①點(diǎn)內(nèi)0,0）,^（-1,1）,1（2,2）中是關(guān)于的“折弦點(diǎn)”的是:

②若直線〉=辰+石（左片0）上只存在一個(gè)關(guān)于肱V的"折弦點(diǎn)"，求左的值；

（2）點(diǎn)C在線段A2上，直線>=彳+6上存在關(guān)于兒W的"折弦點(diǎn)"，直接寫出人的取值范圍.

13.（2023?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖中所示,AB和BC組成圓的折弦,。是ABC的中點(diǎn),DE^AB,

垂足為E.連結(jié)A。，AC,BD.（1）寫出所有與SD8A相等的角（不添加任何線段）.

（2）判斷AE,BE,8c之間的數(shù)量關(guān)系并證明.（3）如圖，已知A￡）=7,BD=3,求ABBC的值.

14.（2023.浙江九年級(jí)期中）小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究.

（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題.如圖1,在。中，C是劣弧池的中點(diǎn)，直線CDLAB

于點(diǎn)E,則AE=BE.請(qǐng)證明此結(jié)論；

（2）從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦.如圖2,PA,組成。的一

條折弦.C是劣弧筋的中點(diǎn)，直線6，上4于點(diǎn)E,則可以通過(guò)延長(zhǎng)DB、"相交于點(diǎn)

F,再連接加證明結(jié)論成立.請(qǐng)寫出證明過(guò)程；

（3）如圖3,PA.尸3組成O的一條折弦，若C是優(yōu)弧池的中點(diǎn)，直線CDLR4于點(diǎn)E,則/歸，PE

與依之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，不必證明.

15.(2023.重慶九年級(jí)期中)先閱讀命題及證明思路，再解答下列問(wèn)題.

命題：如圖1,在正方形ABCD中，已知：NE4r=45。，角的兩邊鉆、"分別與BC、CD相交于點(diǎn)E、

F,連接EF.求證：EF=BE+DF.

證明思路：如圖2,將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AADE.AB^AD,Nfi4D=90。，.?.至與")重

合.ZADC=ZB=90°,:.ZFDE=180。,點(diǎn)、F、D、F是一條直線.

根據(jù)S4S,得證AA￡F三AAZE,得EF=EF=ED+DF=BE+DF.

(1)特例應(yīng)用：如圖1,命題中，如果班=2,DF=3,求正方形ABCD的邊長(zhǎng).

(2)類比變式：如圖3,在正方形MCD中，已知NE4尸=45。，角的兩邊AE、"分別與BC、CD的延

長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F,連接￡F.寫出￡F、BE、上之間的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論.

(3)拓展深入：如圖4,在。中，AB.A￡＞是?O的弦，且=M,N是:。上的兩點(diǎn)，

ZMAN=-ZBAD.①如圖5,連接MN、MD,求證：MH=BM+DH,DM±AN；

2

②若點(diǎn)C在ADM(點(diǎn)C不與點(diǎn)A、D、N、Af重合)上，連接CB、CD分別交線段AM、AN或其延

長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F,直接寫出EF、BE、DF之間的等式關(guān)系.

DD一

圖4圖5

16.（2023?江蘇鹽城?九年級(jí)統(tǒng)考期中）【了解概念】

我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形.如圖1,線段知。、QN組成

折線段MQN.若點(diǎn)P在折線段MQN上，MP=PQ+QN,則稱點(diǎn)尸是折線段W的中點(diǎn).

【理解應(yīng)用】（1）如圖2,。的半