專題09二次函數(shù)綜合題（解答題24題壓軸題）

1.（2025?上海楊浦?一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線＞=，加+6〃zx+"（能＜0）與x軸交于點

和點B,頂點為D.

斗

O

（1）求此拋物線的對稱軸及點B的坐標(biāo)；

（2）點尸是該拋物線上的一點，設(shè)對稱軸與x軸交于點E,如果恰好平分線段DE,求點P的坐標(biāo)（用含機

的式子表示）；

⑶在（2）的條件下，連接尸￡＞、AP,當(dāng)=時，求機的值.

2.（2025?上海靜安?一模）已知拋物線了=依2+桁+｛。7。）上，其＞與x部分對應(yīng)值如下表:

X-3-1032

y-80202

（1）求此拋物線的表達式；

（2）設(shè)此拋物線的頂點為尸，將此拋物線沿著平行于x軸的直線/翻折，翻折后得新拋物線.

①設(shè)此拋物線與無軸的交點為A、B（點A在點3的左側(cè)），且一ABP的重心G恰好落在直線/上，求此時新

拋物線的表達式；

②如果新拋物線恰好經(jīng)過原點，求新拋物線在直線/上所截得的線段長.

3.(2025.上海金山.一模)在平面直角坐標(biāo)系xQv中(如圖)，已知拋物線〃尤)=%2+(6+1卜+6僅＜0),/(x)

的圖像與x軸的兩個交點為點P、點。(其中點尸在點。左側(cè)).

川

1-

oI'，-^

⑴若將〃x)的圖像向上平移2個單位，得到的新拋物線g(x)經(jīng)過點(1,-3),求拋物線g(x)的表達式；

(2)若f(弓的圖像在直線x=1的右側(cè)呈上升趨勢，求6的取值范圍；

⑶在(1)中所求的g(x)的圖像與y軸的交點記為點8,與無軸的正半軸交點記為點A,點〃在g(x)的圖

像上.當(dāng)直線〃。與直線尸3垂直，且=時，求點〃的坐標(biāo).

4.（2025?上海嘉定?一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線、=加+機-1經(jīng)過點（2,3）和點（T3）.

（1）求該拋物線的表達式；

（2）如圖，該拋物線上有三個點A、B、C,A3〃x軸，ZACB=90°,ZR4C=30°,A3與拋物線的對稱軸

交于點M（點A在對稱軸的左側(cè)）.

①如果點C到拋物線對稱軸的距離為t,請用含t的代數(shù)式表示點B的橫坐標(biāo)；

②求點C的橫坐標(biāo).

5.（2025?上海閔行L模）已知拋物線G：y=-f+bx+c與y軸交于點A（0,3）,頂點P在直線x=l上.

y

（D求拋物線G的解析式及頂點P的坐標(biāo)；

（2）將拋物線G向右平移機（加＞。）個單位，再向下平移〃（〃＞。）個單位，得到新拋物線Q,新拋物線G的頂

點為Q,與拋物線G的交點為點B，如果四邊形尸是平行四邊形，求機、〃之間的關(guān)系式；

⑶在（2）的條件下，拋物線c2的對稱軸與直線AP交于點E,與拋物線G交于點F,且SAPEQ-SABFO=3：1,

求此時拋物線G上落在平行四邊形內(nèi)部的點（不包括與平行四邊形的交點）的橫坐標(biāo)I的取值范圍.

6.(2025?上海普陀?一模)在平面直角坐標(biāo)系中(如圖).已知拋物線y=加+bx-3(aH0)的頂點A的

坐標(biāo)為(1,-2),與y軸交于點艮將拋物線沿射線54方向平移，平移后拋物線的頂點記作M,其橫坐標(biāo)為

m.平移后的拋物線與原拋物線交于點N,且設(shè)點N位于原拋物線對稱軸的右側(cè)，其橫坐標(biāo)為加

(1)求原拋物線的表達式；

(2)求m關(guān)于n的函數(shù)解析式；

(3)在拋物線平移過程中，如果是銳角，求平移距離的取值范圍.

7.(2025?上海崇明?一模)已知在直角坐標(biāo)平面xOv中，拋物線？=依2+桁+。(。/0)經(jīng)過點

4(—2,。卜3(2,0)、C(OT)三點.

(1)求該拋物線的表達式：

(2)點尸是拋物線上在第一象限內(nèi)的動點，點P的橫坐標(biāo)為機

①如果aB4c是以PC為斜邊的直角三角形，求機的值；

②在y軸正半軸上存在點4,當(dāng)線段繞點H逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。時，恰好與拋物線上的點。重合，此時

點。的橫坐標(biāo)為“(”>0),求"-m的值.

8.（2025?上海虹口?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOv中，已知拋物線、=-/+施+3與x軸交于點A、B

（點A在點8的左側(cè)），與>軸交于點C,聯(lián)結(jié)AC,tanZCAO=3,拋物線的頂點為點￡）.

（1）求6的值和點。的坐標(biāo)；

（2）點尸是拋物線上一點（不與點B重合），點尸關(guān)于x軸的對稱點恰好在直線BC上.

①求點尸的坐標(biāo)；

②點M是拋物線上一點且在對稱軸左側(cè),連接BM,如果=求點M的坐標(biāo).

9.(2025?上海長寧?一模)如圖，在直角坐標(biāo)平面xQv內(nèi)，以點C為頂點的拋物線j=x2+6x+c經(jīng)過點A(4,3),

且與y軸交于點B,對稱軸為直線x=2.

斗

---------------------------------------------?

Ox

(1)求拋物線的表達式；

(2)平移上述拋物線，所得的新拋物線的對稱軸為直線x=r,頂點為點p.

①聯(lián)結(jié)AB,如果點P在x軸上且新拋物線與線段A3有公共點，求才的取值范圍；

②設(shè)新拋物線與直線尤=2交于點。，如果點尸在原拋物線y=Y+6x+c上，且在直線尤=2的右側(cè)，

ZCPD=2ZCBO,求點P的坐標(biāo).

10.（2025?上海青浦?一模）在平面直角坐標(biāo)系九0y中，拋物線y=G；2（，vO）經(jīng)過直線丁=-九上的點A,已

知。4=2血.

姝

>

OX

（1）求該拋物線的表達式；

（2）將拋物線,=依2（。<0）先向右平移1個單位，再向上平移M4>0）個單位后，所得新拋物線與y軸相交

4

于點C,如果tan/OC4=§.

①求人的值；

②設(shè)新拋物線的頂點為點O,新拋物線上的點B是點A的對應(yīng)點.聯(lián)結(jié)8、CD,在新拋物線的對稱軸上

存在點P,使得NOPB=NODC,求點尸的坐標(biāo).

11.（2025?上海徐匯?一模）通過二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，小杰知道形如，=砂2（。*0）的函數(shù)，其圖像始終經(jīng)過點

（0,0）,也即拋物線y=/（awo）經(jīng)過定點（0,0）.于是他進一步探究了形如丫=依2一依+2（〃力0）的函數(shù)圖

像，發(fā)現(xiàn)拋物線>=蘇-6+2（。20）經(jīng)過定點（0,2）與（1,2）.他探究的思路是：設(shè)法找到x的某些取值，

使表達式中含。的各項之和為0.

含。的各項之和：ax2-ax=a（^x2-x^,令尤,一x=0,解得玉=0,%=l.

當(dāng)x=0時，>=2,得到定點（0,2）；當(dāng)無=1時，y=2,得到定點（1,2）.

小杰還探究了拋物線>=依2+。一4卜一24+1（。工0）,發(fā)現(xiàn)它也經(jīng)過兩個定點，其中一個位于尤軸上，可記

作點A,另一個位于第一象限內(nèi)，可記作點3.

⑴求點AB的坐標(biāo)；

⑵當(dāng)a<0時（如圖），拋物線y=〃+（l-。）尤-2a+l的頂點為。，與尤軸的另一個交點為C.

①如果NABC=90。，求。的值；

②當(dāng)NAD3=90。時，求。的值.

12.(2025?上海黃浦?一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=-x2+4x+c(c<0)與x軸交于A、B

兩點(點A在點B的右側(cè))，與y軸交于點C,頂點為P,直線PC與x軸交于點。.

八

Ox

⑴用含c的代數(shù)式表示點尸及點D的坐標(biāo)；

(2)將該拋物線進行上下、左右兩次平移，所得的新拋物線的頂點P，落在線段PC的延長線上，新拋物線與y

軸交于點E,且PEL尸P.

①求該拋物線兩次平移的方向和距離；

②點A在新拋物線上的對應(yīng)點A,如果DA被y軸平分，求原拋物線的表達式.

13.(2025?上海松江?一模)在平面直角坐標(biāo)系無Qv中(如圖)，已知二次函數(shù)＞="2+樂+2的圖像與x軸負(fù)

半軸交于點A,與y軸交于點8,且。4=03.

斗

3-

2-

1-

1II]

-3-2-1O1234

-1-

(1)當(dāng)X=-工時，求該二次函數(shù)的函數(shù)值；

a

(2)定義：對于一個函數(shù)y=/(x),滿足f(x)=x的實數(shù)X叫做這個函數(shù)的不動點.如果二次函數(shù)

y=o?+bx+2存在唯一的一個不動點，試求出這個不動點；

(3)將VAO3繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，點。落在點C處，點A落在點。處，當(dāng)四邊形ABCD是梯形時，點C恰好

落在該二次函數(shù)圖像上，求該二次函數(shù)的解析式.

14.（2025?上海寶山?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知拋物線>="?+4的頂點為。，點A、B

在拋物線上，且都在y軸右側(cè)，橫坐標(biāo)分別是加，利+1.

⑴連接A。、BD,求cot/OD4-cotNOD3的值（結(jié)果用含。的代數(shù)式表示）;

（2）如果y軸上存在點C,使得ACL3C,且AC=BC,

①求拋物線的表達式；

②若，點E在y軸上，且VADE與VABC相似，求點E的坐標(biāo)

15.(2。25?上海奉賢?一模)在直角坐標(biāo)平面中‘直線y=尤+2向下平移5個單位后’正好經(jīng)過拋物

線>=依2+8依+2的頂點C,拋物線與〉軸交于點艮

(1)求點C的坐標(biāo)；

(2)點M在拋物線對稱軸上，且位于C點下方，當(dāng)=時，求點M的坐標(biāo)；

(3)將原拋物線頂點C平移到直線y=-；尤+2上，記作點G，新拋物線與y軸的交點記作點用，當(dāng)

/B4G=45。時，求B片的長.

16.(2025?浦東新區(qū)一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線Mi：-2or+c與x軸交于點A(-

3,0)和點8,與y軸交于點C(0,5).

(1)求拋物線M\的解析式；

(2)把拋物線Mi向下平移機個單位(能＞0)得到拋物線M2,記拋物線的頂點為。，與y軸交于

點、E,直線DE與x軸交于點P.

①當(dāng)點尸與點A重合時，求機的值；

②記點8平移后的對應(yīng)點為夕，如果P,求此時點。的坐標(biāo).

oZ

專題09二次函數(shù)綜合題(解答題24題壓軸題)

1.(2025?上海楊浦?一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx2+6mx+〃(%＜0)與x軸交于點A(-l,0)

和點B,頂點為￡).

沖

O

(1)求此拋物線的對稱軸及點B的坐標(biāo)；

⑵點尸是該拋物線上的一點，設(shè)對稱軸與x軸交于點E,如果3尸恰好平分線段DE,求點P的坐標(biāo)(用

含m的式子表示)；

(3)在(2)的條件下，連接尸￡＞、AP,當(dāng)NDP3=NR4B時，求機的值.

【答案】(1)對稱軸是直線龍=-3,點B的坐標(biāo)為(-5,0)

(2)點P坐標(biāo)為(-2,-3m)

(3)m=

3

【分析】(1)先根據(jù)對稱軸方程求出對稱軸，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求出點B的坐標(biāo);

(2)過點P作軸于點G,將拋物線先寫成交點式，再化成頂點式求出頂點。及線段DE的中點

坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的判定列方程求解；

(3)延長￡>尸交無軸于點求出點H的坐標(biāo)，證AB尸根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出p〃，

然后在Rt^PG”中，根據(jù)勾股定理列方程即可求解.

【詳解】(1)解：拋物線對稱軸是直線尤=-翌=-3.

2m

??,點A與點8關(guān)于對稱軸對稱，點A(-1,O),

.??點B的坐標(biāo)為：(-5,0).

(2)拋物線與x軸交于點A(-l,0),B(-5,0),

y="?(x+l)(x+5)=+6mx+5，w=〃z(x+3)—-4m,

a=5〃"點E坐標(biāo)為(-3,0),頂點￡)的坐標(biāo)為(-3,-4機)

如圖，設(shè)的中點為F,則點F的坐標(biāo)(-3,-2機).

設(shè)點P的坐標(biāo)為[a,"/+6a+5)].

作PGLx軸，垂足為點G.

???PG_Lx軸，￡>E_Lx軸，

.■.PG//DE,

■■.BE:BG=EF:PF,

2_-2m

?,Q+5M〃2+6〃+5)，

解得a=-2或a=-5(舍去)，

???點P坐標(biāo)為(-2,-3m)；

(3)如圖，延長。尸交工軸于點”,

「點D(-3,-4m)，點尸坐標(biāo)為(-2,-3m).

直線PD的函數(shù)解析式為：y=mx-m.

???點H的坐標(biāo)為(1,0).

又?：/DPB=NPAB,

-ZBPH=ZHAP.

在.即汨與中，ZBPH=ZHAP，N”是公共角,

；?△BPHsAHAP.

PHBH

~AH~PH

；?PH?=AH-BH，又AH=2，BH=6,

PH=2A/3.

在RtZkPGH中，PH=2^3,GP=-3m,GH=3,

222

.?.(29=(-3/7?)+3,

解得：m1=(舍去)i^m2=~~~■

【點睛】本題考查了二次函數(shù)與幾何的綜合，考查了拋物線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三

角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識.利用點的坐標(biāo)表示線段的長度、數(shù)學(xué)形結(jié)合及構(gòu)造輔助線是解本

題的關(guān)鍵.

2.(2025?上海靜安?一模)已知拋物線丁=依2+8+。(。70)上，其y與尤部分對應(yīng)值如下表:

X-3-1032

y-80202

(1)求此拋物線的表達式;

(2)設(shè)此拋物線的頂點為P,將此拋物線沿著平行于x軸的直線/翻折，翻折后得新拋物線.

①設(shè)此拋物線與x軸的交點為A、B(點A在點8的左側(cè))，且qABP的重心G恰好落在直線,上，求此

時新拋物線的表達式；

②如果新拋物線恰好經(jīng)過原點，求新拋物線在直線/上所截得的線段長.

2°4

【答案]⑴y=+—x+2

⑵①y=1(x-if-[②710

【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求解析式及二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，重心的性質(zhì)，掌握二

次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意，運用兩點式，設(shè)y=a(x+l)(x-3),運用待定系數(shù)法即可求解；

(2)①將拋物線的一般式化為頂點式得到點尸的坐標(biāo)為如圖所示，過點尸作垂直x軸于點

H,根據(jù)G是一尸的重心，得到G/7=；ZW=|,則新拋物線的頂點坐標(biāo)為根據(jù)題意可知，這

兩條拋物線的形狀不變，開口方向相反，由此即可求解；②設(shè)直線/與＞軸的交點為(o,根)，則關(guān)

于直線/的對稱點為(1,2根-g],由此得到新拋物線的表達式為y=：(x-l)2+2機-1,根據(jù)它經(jīng)過原點，

得到解得m=1,所以令y=i,代入＞由此即可求解.

【詳解】(1)解：當(dāng)x=-i時，y=o,當(dāng)x=3時，y=o,

???設(shè)拋物線的表達式為y=a(x+l)(x-3),

把無=0,y=2代入，2=?（0+1）（0-3）,

2

解得〃=-三

74

???此拋物線的表達式為^^--X2+-X+2.

28

（2）解:

3

二點P的坐標(biāo)為

如圖所示，過點尸作尸〃垂直X軸于點

???6是_45尸的重心，

1Q

:?GH=—PH=—,

39

???G在直線/上，且新拋物線與原拋物線的圖像關(guān)于直線I對稱，

???新拋物線的頂點坐標(biāo)為，,-1）,

???根據(jù)題意可知，這兩條拋物線的形狀不變，開口方向相反，

???新拋物線的表達式為y=；

②設(shè)直線/與y軸的交點為（o，M,

???小野關(guān)于直線/的對稱點為11,2利-11,

???新拋物線的表達式為3；=j（x-l）+2m-j,

,?,它經(jīng)過原點，

28

0=—+2m——,

33

解得m=l,

令尸1，代入y=+-,

彳日_j而一如

%=1H---——,%=]......~—，

???新拋物線在直線/上所截得的線段長為質(zhì).

3.（2025?上海金山?一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線“彳卜%2+。+1卜+6（。＜0）,

/（X）的圖像與X軸的兩個交點為點尸、點。（其中點尸在點。左側(cè)）.

y.

i-

⑴若將〃尤)的圖像向上平移2個單位，得到的新拋物線g(x)經(jīng)過點(1,-3),求拋物線g(x)的表達式;

(2)若f(尤)的圖像在直線x=l的右側(cè)呈上升趨勢，求b的取值范圍；

(3)在(1)中所求的g(x)的圖像與丫軸的交點記為點3,與工軸的正半軸交點記為點A,點加在g(x)的

3

圖像上.當(dāng)直線加。與直線可垂直，且時，求點〃的坐標(biāo).

［答案］⑴8(X)=尤2_3冗_耳

(2)-3<Z?<0

⑶以",TW

【分析】(1)把點。,-3)代入解析式g(x)中即可解出6的值；

Ail

(2)先求出拋物線，(尤)的對稱軸為直線尤=-*2,開口向上，由原拋物線在直線x=l的右側(cè)呈上升

A4-1

趨勢，得——41,解得：一3?/?<0；

(3)先求出｛。,一［，A。，。)，P(-LO),。(一瓦。)，貝|。尸=-6+1,3=6+3,根據(jù)°P=|QA建

立方程31=3性+3］,解得6=-；,所以哈。)設(shè)山,/-，|),當(dāng)直線與直線PB垂直時，

253

OPt7

垂足為M交》軸于點G,如圖所示，可證明tan/P3O=tan/MQA,得二；=一,解得

OB.i2

i--

2

，2=-二，可求M點坐標(biāo).

【詳解】(1)解：將拋物線〃%)=￡+優(yōu)+1卜+〃9<0)向上平移2個單位，

???新拋物線的表達式g(x)=%2+伍+l)x+b+2,

?新拋物線經(jīng)過點(L-3),

.,.-3=l2+(/?+l)+Z?+2,

2

53

???新拋物線的表達式g(元)=

(2)解：拋物線/(%)=%2+e+1卜+人修＜。),

Z?+1

，對稱軸為直線一〒

原拋物線在直線x=1的右側(cè)呈上升趨勢,

.上<1

2，

：.b>-3,

b<0,

/.-3<Z?<0；

53

(3)解：由(1)^g(x)=x2--x--=(x-3)

3xl解得=_；或

令x=0,貝i]y=_Q；令y=0,貝U(x_3)+=0,xx=3,

:.B

3

：.OB=-

2

原拋物線與％軸的兩個交點為點尸、點Q,

??.OP=1,

貝UQP=-b+l,QA=\b+3\,S.QP=^QA,

3

即_人+1=$+3],

解得6=或7(舍去),

設(shè)M"一|"|)'

當(dāng)直線MQ與直線網(wǎng)垂直時，垂足為”，交y軸于點G,如圖所示,

-ZGHB=ZGOQ=9009ZOGQ=ZHGB,

ZOQG=ZHBG,

又???NOQG=NMQA,

ZMQA=ZPBO,

：.tanZPBO=tanZMQA,

253253

CDt--1--Ot--1--

.?嗎0TA即2=一^,

OBlt--13l,-1-

22

【點睛】本題以二次函數(shù)為背景考查了二次函數(shù)的圖象平移，二次函數(shù)的增減性性質(zhì)，線線垂直問題,

線段的倍分關(guān)系問題，掌握以上內(nèi)空并能數(shù)形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵.

4.（2025?上海嘉定?一模）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線、=破+法-1經(jīng)過點（2,3）和點（T,3）.

（1）求該拋物線的表達式；

（2）如圖，該拋物線上有三個點A、B、C,軸，ZACB=90°,ZBAC=30°,45與拋物線的對

稱軸交于點M（點A在對稱軸的左側(cè)）.

①如果點C到拋物線對稱軸的距離為/,請用含?的代數(shù)式表示點B的橫坐標(biāo)；

②求點C的橫坐標(biāo).

【答案】（l）y=；f+l

⑵①21；②竿一1

【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解直角三角形，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想

進行求解是解題的關(guān)鍵：

（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

（2）①連接CM,過點C作直線x=-l,根據(jù)對稱性結(jié)合直角三角形斜邊上的中線推出.為

等邊三角形，在中，求出CM的長，進而得到BA1的長，即可得出點B的橫坐標(biāo)；

②在RtZ\CDM中，利用銳角三角函數(shù)求出/的值，進而求出點C的橫坐標(biāo)即可.

【詳解】（1）解：???拋物線y=*+bx-l經(jīng)過點（2,3）和點（T,3）,

1

4a+2Z?-l=3d—

16H=3'解得：’2,

b=1

y——+x—1；

2

(2)①:y=+無-1,

=__=

???對稱軸為直線*一一；7r一，

ZX—

2

AB〃x軸,

AB關(guān)于對稱軸對稱，

???A3與拋物線的對稱軸交于點M,

.??”為的中點，

.-.CM=-AB=AM=BM,/ABC=60°,

2

.?..QWB為等邊三角形，

.-.ZCMB=60°,

ZCMD=90°-ZCMB=30°,

?.?CDJ_直線x=-1,且點C到拋物線對稱軸的距離為t,

:.CD=t,

:.CM=2CD=2t,

BM=2t,

???點B的橫坐標(biāo)為：2Z-1;

②設(shè)點C到拋物線對稱軸的距離為八則點C的橫坐標(biāo)為51,

1913

???點C的縱坐標(biāo)為:-(f-l)-+r-l-l=-r--,

13

由①可知：點B的橫坐標(biāo)為：2r-l,則:點B的縱坐標(biāo)為：-(2r-l)?+2t-1-l=2t2--,

3133

DM=29t---------19+-=-t9,

2222

在RtZkCDM中，/CMD=30。，

CDt_2_73

tanZCMD=——

MD

2

2A/3

t------,

3

二點c的橫坐標(biāo)為：”1=2叵-1.

3

5.（2025?上海閔行?一模）已知拋物線。：〉=-/+麻+。與y軸交于點A（0,3）,頂點P在直線x=l上.

（1）求拋物線G的解析式及頂點P的坐標(biāo)；

（2）將拋物線G向右平移7M機>°）個單位，再向下平移“（">。）個單位，得到新拋物線G，新拋物線G的

頂點為Q,與拋物線G的交點為點B，如果四邊形出3。是平行四邊形，求機、〃之間的關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，拋物線C2的對稱軸與直線AP交于點E,與拋物線G交于點/，且S.PEQ:5會山=3：1,

求此時拋物線G上落在平行四邊形尸43。內(nèi)部的點（不包括與平行四邊形的交點）的橫坐標(biāo)f的取值范

圍.

【答案】（1）>=-X，+2為+3,尸（1,4）；

（2）n=m*2—2m（m>0）；

⑶2。<3.

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于二次函數(shù)綜合題，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意得出6=2,c=3,即可得到解析式，再求出頂點坐標(biāo)即可；

（2）由題意得：Q（1+私4-〃）,B（m,3-n）,根據(jù)磯〃?,3-w）在上，得出3-n=-m2+2m+3,BP

n=m2-2m（m>0）；

（3）先求出E,F的坐標(biāo)，再根據(jù)義在2:S.BF。=3:1,得出（利?一"。機=6機，求出相的值，得出f的取

值范圍.

【詳解】（1）解：「丁=-工2+桁+。與》軸交于點4（0,3）,頂點P在直線尤=1上,

???C一—D,--—11,

2

???Z?=2,

y=—+2x+3,

???當(dāng)x=l時，y=4,

”(1,4)；

（2）解：由拋物線的平移可得Q（l+八4-〃）,

■.?四邊形PABQ是平行四邊形,

AB=PQ,ABPQ,

???A(0,3),尸(1,4),2(l+m,4-n),

n),

???5(私3-〃)在G上,

3-n=-nr+2m+3,?=m2-21n(m>0)；

（3）解：設(shè)直線A尸的解析式為y=^+d,

???該直線過點A（0,3）,尸（1,4）,

d=3d=3

k+d=4,解得

k=l

,-.y=x+3f

當(dāng)尤=1+用時，y=m+4,即石1（m+1,m+4）,

將x=1+冽，代入y=—爐+2尤+3,

得：y=4-m2,即b(m+1,4-m2),

nl加,

SpEQ=g(小-mjmfSBFQ=g2?1=

,**$4PEQ:S八BFQ=3：1,

(m2—m)m=6m,

???解得：m=3或根=一2（舍）,

???直線P。：丁=-%+5與k-無2+2尤+3的交點為（2,3）,（3,0）,

/.2<Z<3.

6.(2025?上海普陀?一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖).已知拋物線丁=依2+及一3(aw0)的頂點A

的坐標(biāo)為(1,-2),與y軸交于點股將拋物線沿射線84方向平移，平移后拋物線的頂點記作其橫坐

標(biāo)為私平移后的拋物線與原拋物線交于點N,且設(shè)點N位于原拋物線對稱軸的右側(cè)，其橫坐標(biāo)為加

Ox

(1)求原拋物線的表達式；

(2)求m關(guān)于n的函數(shù)解析式；

(3)在拋物線平移過程中，如果4VBM是銳角，求平移距離的取值范圍.

【答案】(l)y=—尤~+2尤一3

(2)m=2n

⑶也<AM<5亞

_±=1

【分析】(1)根據(jù)頂點的坐標(biāo)為(1,-2),列出方程2a,求解即可；

d~\~b—3——2

(2)先求出直線AB的表達式為，=了-3,根據(jù)題意求出點M的坐標(biāo)為，點N的

坐標(biāo)為(n,-n2+2n-3),計算即可；

(3)分類討論求出臨界情況，即可得出取值范圍.

【詳解】(1)解:由原拋物線)=加+及-3("0)頂點的坐標(biāo)為(1,-2).

_±=1

可得v2〃,

ct~\-b—3=-2

解得a=-1,b=2.

所以，原拋物線的表達式是y=-/+2x-3.

(2)解：由點A的坐標(biāo)為(L-2),點3的坐標(biāo)為(0,-3)

設(shè)直線AB的表達式為y=kx-3,

將點A的坐標(biāo)(1,-2)代入可得—2=k-3,解得：k=l,

.,?直線AB的表達式為y=X-3.

由拋物線沿射線54方向平移，可得頂點M始終落在射線54上，

得點M的坐標(biāo)為O,〃?-3).

得平移后拋物線的表達式為y=-(%-Ml)2+772-3.

???平移后的拋物線與原拋物線交于點N,其橫坐標(biāo)為“，點N的坐標(biāo)為(",-1+2"-3),

-n2+2〃-3=-(〃-m)2+m-3.

化簡得用2一2加〃一機+2〃=0,得(加一2〃)(加一1)=0.

m—1w0,

???加一2〃=0,

解得：m=2n,

所以加關(guān)于〃的函數(shù)解析式為機=2〃.

(3)解：過點5作5G,M3,交原拋物線于點G,那么NG5M=90。.

當(dāng)點N在AG之間的拋物線上運動時，N八曲/是銳角.

當(dāng)點N與點A重合時，NQ,-2),M(2,-l),

平移距離=J(l-2『+(_2+1『=V2,

當(dāng)點N與點G重合時，

過點N作人石，y軸，垂足為點E,過點A作A尸~Ly軸，垂足為點?

???點N的坐標(biāo)為(幾，-〃2+2〃-3),點5的坐標(biāo)為(0,-3),點A的坐標(biāo)為(1,-2).

*'?AF=BF=1,EN=n,BE=ri1—2n.

ZABF=/BNE=90°-/NBE,ZBFA=/BEN=90°,

AABFsABNE,

BFAF

NE~BE'

n2-2n=n,可得川―3〃=0.

〃#0,

解得：〃=3.

二點M的坐標(biāo)為(6,3),

AM=5y/2.

??,點N位于原拋物線對稱軸的右側(cè)，

.?.當(dāng)NA?”是銳角時，平移距離的取值范圍是0<AM<50.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解一元二次方程,

一次函數(shù)的性質(zhì)等，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.(2025?上海崇明?一模)已知在直角坐標(biāo)平面xOx中，拋物線,=依2+桁+<?(。H0)經(jīng)過點

A(-2,0)、3(2,0卜C(OT)三點.

(1)求該拋物線的表達式：

(2)點尸是拋物線上在第一象限內(nèi)的動點，點P的橫坐標(biāo)為加

①如果，刈C是以PC為斜邊的直角三角形，求m的值；

②在y軸正半軸上存在點H,當(dāng)線段繞點反逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。時，恰好與拋物線上的點。重合,

此時點Q的橫坐標(biāo)為〃(〃>0),求〃一旭的值.

【答案】(1),=/一4

(2)①〃7=2g;②〃一〃2=1

【分析】(1)由拋物線、=依2+云+?。工0)經(jīng)過點4-2,0),B(2,0),C(0,-4),再建立方程組解題即

可;

(2)①作PNLx軸，垂足為N.由題意可得AN=〃2+2,PN=m2-4,OA=2,OC=4,證明

tanZPAN=tanZACO,再建立方程求解即可；②作PEy軸于E,軸于證明

△QFH名AHEP,可得PE=FH,HE=QF,設(shè)/，1-勺，再進一步解答即可.

【詳解】(1)解：拋物線、=辦2+桁+以。工0)經(jīng)過點4一2,0),B(2,0),C(0,-4),

4a-2b+c=0a=1

解方程組得：\b=0

:.<4a+2b+c=0

c=-4c=-4

「?拋物線的表達式為：y=x2-4

橫坐標(biāo)為樹>>o)，

A(-2,0),C(0,-4),

:.AN=m+2,PN=m2—4,OA=2,OC=4,

ZPAN+ZOAC=ZACO+ZOAC,

:.ZPAN=ZACO,

/.tan/PAN=tanZACO,

.PNAO

??菽一而‘

P1加2—42

即rl-----=-，

m+24

解得加=23，經(jīng)檢驗符合題意；

②作尸石，y軸于E,。尸，y軸于尸，

/FHQ=ZHPE,

又，HQ=HP,

:.Z\QFH"Z\HEP,

:.PE=FH,HE=QF,

設(shè)以冬1―4）,

由PE=m,OE=m2-4,QF=n,OF=n2-4,

FH=m,HE=n,

OF—OE=FH+HE,

n2—4-^m2-4^=m+n,

22

整理得：n—m=m+nJ

m>0,n>0,

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),

銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出符合題意的圖形是解本題的關(guān)鍵.

8.（2025?上海虹口?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-/+陵+3與1軸交于點A、

B（點A在點5的左側(cè)），與y軸交于點C,聯(lián)結(jié)AC,tanNC4O=3,拋物線的頂點為點。.

(1)求人的值和點。的坐標(biāo)；

(2)點P是拋物線上一點(不與點8重合)，點戶關(guān)于左軸的對稱點恰好在直線上.

①求點尸的坐標(biāo)；

②點M是拋物線上一點且在對稱軸左側(cè)，連接如果=求點M的坐標(biāo).

【答案】⑴)=2；0(1,4)

⑵①(一2,一5)；②

【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解直角三角形、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識.

「°

(1)點C的坐標(biāo)為(0,3),得到0C=3在Rt一A0C中，tanZC40=—=3,得到A0=l,點A的坐標(biāo)

為(—1,0),得至打=一12一"3,解得6=2；

(2)①點2的坐標(biāo)為(3,0),求出直線BC的解析式為y=-x+3,設(shè)點P的坐標(biāo)為。,-r+2/+3),則點

產(chǎn)關(guān)于無軸的對稱點為尸'("2-2—3),得到尸'。,〃-2—3)在直線2。上，得到r_2…3=T+3,解方

程即可得到答案；②設(shè)交拋物線的對稱軸于點X,過點X作"于點N,證明/AfiC=45。，

求出直線5P的解析式為y=x-3,得到NABC=NABP=45。，得到tanZBOH='，證明

2

ZABP=ZDBM=45°,在八8￡歸中,tanNBDH=g,NDBH=45。設(shè)NH=x=NB,貝l|ON=2x,貝lj

DH=45x,得到BD=BN+DN=3x,由3〃=+(0—4)?=2占得至Ij3x=2石,則工=卓，得

至！]?！?石尤=],則點”的坐標(biāo)是，彳)，求出直線期/的解析式為y=-；x+l,與拋物線解析式聯(lián)

立得到龍+1=-Y+2x+3求出點M的橫坐標(biāo)，即可得到點M的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：當(dāng)％=0時，y=-x2+bx+3=3,

???點C的坐標(biāo)為(0,3),

.??。。=3

co

在RtAOC中，tanZ.CA0-=3,

AO

?*.AO—1

二點A的坐標(biāo)為(TO)，

,??拋物線y=+fex+3與x軸交于點A,

.??0=—12一6+3,

解得b=2,

???拋物線的表達式為y=-%2+2%+3=-(％-1)2+4,

???0(1,4)；

(2)①當(dāng)丁二。時，—x2+2x+3=0,解得尤=-1或冗=3,

???點8的坐標(biāo)為(3,0),

設(shè)直線BC的解析式為y=云+”

3k+m=0

m=3

k=-l

解得

m=3

直線BC的解析式為y=-尤+3,

設(shè)點尸的坐標(biāo)為卜，-產(chǎn)+2/+3),

則點P關(guān)于x軸的對稱點為P'(t,t2-2t-3),

P'[t,t2-2t-3)在直線BC上,

—2,一3=—t+3，

解得，=-2或，=3(不合題意，舍去)

—t2+2/+3=—4—4+3=—5,

???點尸的坐標(biāo)為(—2,—5)；

②設(shè)3M交拋物線的對稱軸于點"，過點H作HNLBD于點N,

?：OB=OC=3,ZBOC=90°,

??.ZABC=45°

設(shè)直線BP的解析式為y=nx+d,

f3〃+d=0

則|-2〃+4=-5

[n=l

解得，父

[d=-3

???直線族的解析式為k％-3,

??.ZABC=ZABP=45°,

v5(3,0),7)(1,4),且點。在拋物線對稱軸直線x=l上，

3-11

.-.tanZBDH=——二一，

42

-ZMBP=ZABD

.-.ZABP=ZDBM=45°,

在中，tanZBDH=1,ZDBH=45°

設(shè)NH=X=NB，則DN=2%,則DH=+DN?=&，

；.BD=BN+DN=3x,

???BD=^(3-1)2+(0-4)2=2百，

???3%=2^/5,貝1Jx=

...DH=0=?,

3

則點H的坐標(biāo)是[1,4-即

設(shè)直線BH的解析式為y=px+e,

3〃+e=0

則，2

p+e=—

I3

1

解得°=3

e=l

???直線BH的解析式為y=—gx+1，

與拋物線解析式聯(lián)立得到-，尤+1=-f+2x+3

2

解得%=3（不合題意，舍去）

2121=H

當(dāng)％=一1時,y=----x+

39

211

3，-9

9.（2025?上海長寧?一模）如圖，在直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，以點C為頂點的拋物線y=/+fcv+c經(jīng)過點

A（4,3）,且與y軸交于點3,對稱軸為直線x=2.

------------------->

Ox

（1）求拋物線的表達式；

（2）平移上述拋物線，所得的新拋物線的對稱軸為直線x=r,頂點為點P.

①聯(lián)結(jié)A3,如果點P在x軸上且新拋物線與線段有公共點，求f的取值范圍；

②設(shè)新拋物線與直線x=2交于點。，如果點P在原拋物線y=/+bx+c上，且在直線x=2的右側(cè),

ZCPD=2ZCBO,求點尸的坐標(biāo).

【答案】（l）y=乂-4x+3

(2)①-若"<4+后②P

【分析】（1）先由對稱軸求出人的值，再把A點坐標(biāo)代入解析式即可得到拋物線解析式；

（2）①新拋物線的解析式可設(shè)為y=（無-疔，當(dāng)y=（x-疔的圖象的對稱軸右邊圖象過B點（0,3）時，有

3=(o-r)2,解得：t=-囪；當(dāng)y=(xT)2的圖象的對稱軸左邊圖象過A點(4,3)時，有3=(4-f)2,解得:

?=4+5從而可知-有+

②如圖1所示，作尸E_LCD,設(shè)尸?,產(chǎn)—4f+3),新拋物線可設(shè)為y=(xT)2+產(chǎn)-4f+3,故。(2,2/_劭+7),

證明。E=CE,再利用三線合一性質(zhì)說明ZDPC=2NCPE,當(dāng)NCPE=Z.CBO時，即tanNCPE=tanNCBO時，

滿足題意，至此完成二倍角的轉(zhuǎn)換，最后根據(jù)tanNCPE=tanNCBO=筮=^^=一2=；,解出/的值即

可得解.

bb

【詳解】(1)解：對稱軸為直線X=-2='=-2,

2a2

:.b=-A,y=x2-4x+c,

把A(4,3)代入y=爐-4尤+。，可得c=3,

拋物線表達式為y=x2-4x+3.

(2)解：拋物線表達式為y=f-4x+3,

故8(0,3),C(2,-l).

①當(dāng)點P在x軸上時，新拋物線的解析式可設(shè)為y=(x-)2,

當(dāng)y=(x7)2的圖象的對稱軸右邊圖象過B點(0,3)時，有3=(0-疔，

解得：.=-石，t2-y/3(舍去)；

當(dāng)y=(xTP的圖象的對稱軸左邊圖象過A點(4.3)時，有3=(4->,

解得：%=4+君，t2=4—V3(舍去).

故t的取值范圍為-+百；

②如圖1所示，作PE_LCZ),

設(shè)尸億『一書+3),且點P為新拋物線頂點，新拋物線的對稱軸為直線x=r,

則新拋物線可設(shè)為y=(xT)2+/-4/+3,又。點橫坐標(biāo)為2,

貝1|%=2/一貨+7,故￡>(2,2/-8+7),

2222

:.DE=yD-yp=2t-8t+1