第二十八章銳角三角函數(shù)單元測(cè)試

一、單選題

1.如圖，在V4BC中，/C=90。，BC=4,AB=5,cos/的值為（）

5

D.

3

2.如圖，正方形4BC￡＞中，將邊2C繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BE,連接CE,DE,若

ACED=90°,貝!Jsin/ECO的值是（）

3.如圖，V4BC內(nèi)接于。。，NC是。。的直徑，P是。。上一點(diǎn).若4C=4,

C.26D.473

4.如圖，在V45C中，N4C2=90。，點(diǎn)。為N8的中點(diǎn)，連接CD.若3C=4,CD=3則

sm^ACD的值為（）

BC

2B.3「V5

A.-X-/?----D.旦

343

5.在RtZXZBC中,ZC=90°,BC=3,AC=4,則sin/=().

43_43

A.-B.一C.一D.

5534

6.已知sin/='，

且為銳角，則=().

2

A.30°B.45°C.60°D.75°

在中,

7.RtZSZBCZC=90°fAB=5,BC=4,則Z8的正切值為（)

34八34

A.-B.一C.-D.

4355

8.小穎在國(guó)際龍舟競(jìng)渡中心廣場(chǎng)點(diǎn)尸處觀看200米直道競(jìng)速賽.如圖所示，賽道為東

西方向，賽道起點(diǎn)A位于點(diǎn)P的北偏西30。方向上，終點(diǎn)B位于點(diǎn)尸的北偏東60。方向上,

42=200米，則點(diǎn)尸到賽道N8的距離約為（）（參考數(shù)據(jù)：V3?1.732）.

86.6米C.87.5米D.88.5米

9.如圖，菱形的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)C在〉軸的負(fù)半軸上,拋物線>=依2過(guò)點(diǎn)瓦若

C.—D.1

2

10.如圖，將激光筆傾斜固定在長(zhǎng)方體水槽工處，開(kāi)啟激光筆發(fā)射一束紅光線，水槽中不

裝溶液介質(zhì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)光斑恰好落在c處，此時(shí)/P/C=45。，當(dāng)向槽內(nèi)緩緩加入溶液介質(zhì)上

升至。處時(shí)，光斑隨之緩緩移至尸處.已知E為N5的中點(diǎn)，AB=36cm,作出

法線與3c的交點(diǎn)//,測(cè)得折射角/尸0H等于30。，則光斑移動(dòng)的距離CF為（）

A.9cmB.-—、cmC.（18—6j3）cmD.（24—6j3）cm

11.如圖，口/BC。的對(duì)角線4C,8。交于點(diǎn)。，AB=2BC,。石平分。交45于點(diǎn)

E,交4c于點(diǎn)F.若8=36，且則。月?斯的值為（）

A.6B.8C.9D.12

12.如圖，在V48c中，CD_L48于點(diǎn)。，coM=；,/B=l+V^/C=2,則N-/C2的度

數(shù)為（）

A.45°B.75°C.90°D.105°

二、填空題

24

13.在V45C中，45=25,AC=30ftanZ5=y,。是5C上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作?！?/。

交/C延長(zhǎng)線于點(diǎn)區(qū)若笠=9,則笑的值為_(kāi)____.

CD4CA

14.如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形EFG”組成的一個(gè)大正

方形4BCD.連接ZE,DE,若工處=25%尸，則tanNB4F=.

DC

AB

15.如圖，小海想測(cè)量塔的高度，塔在圍墻內(nèi)，小海只能在圍墻外測(cè)量.這時(shí)無(wú)法測(cè)得

觀測(cè)點(diǎn)到塔的底部C的距離，于是小海在觀測(cè)點(diǎn)A處仰望塔頂，測(cè)得仰角為再往塔的

方向前進(jìn)機(jī)的＞0）米至觀測(cè)點(diǎn)5處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫榱Γㄊ尽?）,點(diǎn)A、B、C在一直

線上，小海測(cè)得塔的高度為米（小海的身高忽略不計(jì)，用含尸的三角比和”的

16.如圖，在中，ZACB=90°,/B=60。，3c=4,點(diǎn)〃與點(diǎn)N分別在邊4C與8C

上，NCNM=30。,將ACW沿翻折得到VCW,連接NC'并將NC'繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)30。得到NE,連接CE,則CE的最小值為.

三、解答題

17.計(jì)算：V4-(7t-3)0-10sin30o+(-l)2＜，25+f-

18.如圖，在RtZk/BC中，NABC=90。,點(diǎn)。為線段Z2上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作NC的垂線交CD

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

E

B

圖1圖2

⑴如圖1,若4/C=30。，tanZACE=^,BC=3,求線段C￡的長(zhǎng)度.

（2）如圖2,若4c=4E,點(diǎn)下為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接所交線段48于點(diǎn)G,且

ZBCD=ZCAF,求證：BG=-CF.

2

19.已知VN2C內(nèi)接于。。，是。。的直徑，過(guò)點(diǎn)2作。。的切線，與/C的延長(zhǎng)線相交

于點(diǎn)。，點(diǎn)￡在。。上，CA=CE,CE與N2相交于點(diǎn)足

圖①圖②

（1）如圖①，若/。=53。，求，4BC和/BCE的大小;

（2）如圖②，若NBAE=/BAC,04=3,求CD的長(zhǎng).

20.乒乓球桌的側(cè)面簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)（如圖所示）是軸對(duì)稱圖形，臺(tái)面23=274cm（臺(tái)面厚度忽

略不計(jì)）且與地面平行，高度為72cm（臺(tái)面N3與地面之間的距離），直線型支架尸￡與。尸

的上端瓦廠與臺(tái)面N8下方相連，尸￡與的下端P,。各是一個(gè)腳輪（腳輪大小忽略不計(jì)）,

直線型支架CG與的上端C,。與臺(tái)面相連，下端G,H與P￡，8相連，圓弧形支架

ACS

GH分別與尸在點(diǎn)G,“相連，且QD1AB,已知所=106cm,—

Q

tan/ECG=tan^FDH=-.求EG的長(zhǎng)度.

參考答案

題號(hào)12345678910

答案BCCABAABAc

題號(hào)1112

答案BB

1.B

【分析】本題考查了求余弦，勾股定理，勾股定理求得/C,然后根據(jù)余弦的定義即可求

解.

熟練掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：,??在VNBC中，ZC=90°,BC=4,AB=5,

?1?AC=y/AB2-BC2=A/52-42=3，

,AC3

cosA=---=—,

AB5

故選：B.

2.C

【分析】過(guò)B作垂足為尸，根據(jù)兩個(gè)三角形全等的判定定理，確定

△BCF知CDE(AAS),從而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=DE,再根據(jù)將邊BC繞點(diǎn)B逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BE,確定ABCE為等腰三角形，結(jié)合“三線合一”得到BF是CE邊上的中線，進(jìn)

而EF=CF=DE,BPCE=2DE,在中，CE=2DE,設(shè)DE=a,則CE=2a,由

勾股定理得到=,利用正弦值定義求解即可得到答案.

【詳解】解：過(guò)B作8CE,垂足為尸，如圖所示：

:.ZBCF+ZDCE=90°,

■：ZBCF+ZFBC=90°,

NDCE=ZFBC,

在V2C尸和ACDE中,

/BFC=90°=ZCED

<ZBCF=ZCDE

BC=CD

.-.△SCF^ACDE(AAS),

；,DE=CF,

???將邊BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BE,

/.BE=BC,

???BFVCE,

由“三線合一”可得BF是CE邊上的中線，即斯=。/=。后，

CE=2DE,

在Rt^CDE中，CE=2DE,選DE=a,則CE=2a,

由勾股定理得到CD=ylDE2+CE2=45a，

.._DE_a_V5

..sin/ECD==—產(chǎn)—=—,

CD4ia5

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查求正弦值，涉及正方形的性質(zhì)、全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與

性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)幾何概念、判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

3.C

【分析】根據(jù)圓周角定理，余弦函數(shù)的應(yīng)用解答即可.

本題考查了圓周角定理，余弦函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握定理和函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：「NC是。。的直徑，P是。。上一點(diǎn).

ZBPC=ABAC=30°,ZABC=90°,

：.AB=ACcosZBAC,

???/C=4,

AB=4xcos30°=2Vs,

故選：C.

4.A

【分析】本題考查解直角三角形，銳角三角函數(shù)，熟練掌握解直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵；

根據(jù)題意，求得的長(zhǎng)度，進(jìn)而求解即可；

【詳解】解：???//CB=90。，點(diǎn)。為N8的中點(diǎn),

CD=AB=AD,

AB=2CD=6,ZACD=/A,

?/-/BC42

smZACD=smZAA==—=—；

AB63

故選：A

5.B

【分析】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)，由勾股定理求出斜邊45的長(zhǎng)，再根據(jù)正弦

的定義計(jì)算即可求解，掌握正弦的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖,

vZC=90°,BC=3,AC=4,

AB=SIAC2+BC2=A/42+32=5,

,ABC3

sinA==—,

AB5

故選：B.

6.A

【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解，熟記特殊角的三

角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???sin/=；,且//為銳角，

???44二30。，

故選：A.

7.A

【分析】本題主要考查了勾股定理和解直角三角形，根據(jù)勾股定理求出NC,再根據(jù)正切的

定義求解即可.

【詳解】解：,??在Rt2\Z8C中，ZC=90°,AB=5,BC=4,

?1?AC=ylAB2-BC2=3，

故選：A.

8.B

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添

加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

過(guò)點(diǎn)P作垂足為尸，設(shè)尸C=x米，然后分別在RtA4PC和RdCAP中，利用銳

角三角函數(shù)的定義求出NC,8c的長(zhǎng)，再根據(jù)22=200米，列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即

可解答.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)尸作尸43,垂足為C,

在RtA4PC中，ZAPC=30°,

回

???^C=PC-tan30°=—x（米），

3

在RtZxCAP中，NCPB=60°,

???JBC=CPtan60°=V3x（米），

???AB=200米，

.-.AC+BC=200,

巧

??.—x+73^=200,

3

x=50。?86.6，

.?.PC=86.6米，

???點(diǎn)P到賽道AB的距離約為86.6米，

故選：B.

9.A

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和菱形的性質(zhì)及解直角三角形，過(guò)點(diǎn)B作

軸交7軸于點(diǎn)。，求出3點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可求解，求出8點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)

鍵.

???ZAOC=60°,

??./BCD=60°,

/71

???BD=BCsinZBOC=2x^=6，CD=2cos60°=2x-=1,

川―3),

把川-百3)代入”辦2,

-3=3〃,

???a=-l,

故選：A.

10.C

【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩

形的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)及等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由題意易得

/ACB=NPAC=45。,四邊形0〃。。是矩形，則有3￡=CD=O〃，然后根據(jù)三

角函數(shù)可得HF=O//-tan3()o=6VL進(jìn)而問(wèn)題可求解.

【詳解】解：:/PNC=45°,AP//BC,

ZACB=APAC=45°,

vBE1BC,CD1BC,ED//BC,ED=BC,

四邊形E8CD是矩形，

同理可得OHCD也為矩形，

BE=CD=OH,

ZACB=45°,ZOHC=90°,

.?.△OHC是等腰直角三角形,

OH=HC,

???￡為N8的中點(diǎn)，AB=36cm,

.-.BE=-AB=18cm=OH=HC,

2

?；NHOF=3G°,

■■HF=OHtan3Q°=,

CF=HC-HF=（1S

故選C.

11.B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定根據(jù)已知條

件得出4048=60。，AD/E是等邊三角形，得出。8=6石，則。￡=40=6,

證明△/￡＞尸所得出竺="=」，進(jìn)而求得訪=2,。b=4,即可求解.

DFAD2

【詳解】解：???四邊形是平行四邊形，

AD=BC,AB//CD

■.■AB=2BC

AB=2AD,

???DE平分N4DC交4B于點(diǎn)E,AB//CD

ZDAE=ZCDE=NDEA

*'?DA=DE9

???AB=AE+EB=AD+EB=2AD

EB=AE

???E是45的中點(diǎn)

???□/BCZ）的對(duì)角線/C,BD交于點(diǎn)O

DO=BO

.-.EO//AD

?：OEIBD

???AD_LDB

D41

cos/DAB=----=—

AB2

???/DAB=60°

ADAE是等邊二角形,

■■■OD=3y/3，

:?DB=6人

：.AD=DB=6

tan60°

DE=AD=6

???EO//AD

???△ADFs^OEF

EF_OE1

?.而一萬(wàn)一萬(wàn)

,-.EF=-DE=2,DF=-DE=4

33

尸?斯的值為8

故選：B.

12.B

【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，三角函數(shù)的定義，特殊角的三角函數(shù)值，先

根據(jù)cos/=；,求出44=60。，得出/4CD=30。，解直角三角形得出CD=6,4D=1,

求出tan/DC3=g2=^=l,得出/DC5=45。，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的

CDV3

關(guān)鍵.

【詳解】解：,cos/=；,

/.ZA=60°f

.-.ZACD=90°-60°=30°,

??,AC=2,

A7]

.-.C￡>=^Cxsin60°=2x^-=V3,AD=ACxcosA=2x-=l,

■：AB=1+6,

BD=V3,

tanZDCS=—=^5=1,

CDJ3

NDCB=45°,

/./ACB=ZACD+ZDCB=75°.

故選：B.

27

13.—

2

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，正切函數(shù)，勾股定理.過(guò)點(diǎn)/作/P，8c于點(diǎn)P,

Ap24

過(guò)點(diǎn)E作交3c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡由正切函數(shù)得tan/B=蕨=萬(wàn)和48=25,求

得4P=24,BP=7,在RbNBP中，求得CP=18,推出8C=25,由膽=’,求得

CD4

4

BD=5,CD=20fPD=2,進(jìn)而得tan4CP=tan/EC/,設(shè)防=4左，CF=3k,貝|

T~)p1FF4k

CE=5k,。產(chǎn)=20+3左，由正切函數(shù)tanND4P=——=—,tan/EDF=——=---------,即

AP12DF20+3左

可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)4作ZPLBC于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)￡作后方交5C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R如圖所

/K：

AP〃EF,

4P24

在RLABP中，tan/B=----=—,

BP7

???設(shè)/尸=24〃，BP=7a,

???AB=25,

??.252=（7Q）2+（24Q）2,

解得a=1,

???/尸二24,BP=7,

在RtzUBP中，

-AC=30f

-CP=yjAC2-AP2=43（）2—242=18，

??.BC=BP+CP=7+\8=25,

BD1

CD4

BD=5,CO=20,PD=BP-BD=2,

FF4

tanZECF=——二一

CF3

設(shè)￡b二4左，CF=3k,

CE7EF?+CF2=5左，

.'.DF=CD+CF=20+3k,

DP21

在VA^APD中,tanZDAP=——=——=一

AP2412

-DEIAD,

ZDAP=90°-ZADP=ZEDF,

EF

在Rt△。既中，tanZ^DF=——

DF

4

解得：k=~,

：.CE=5k=效,

9

AC3027

???CE-20-T.

V

27

故答案為：—.

【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)，勾股定理以及求角的正切值，設(shè)

BF=CE=DH=AG=a,BE=CH=DG=AF=b,得HE=ERF=FG=GH=b—a,

AB=BC=CD=DA=y/a2+b2＞根據(jù)以力。。=2S△/時(shí)得方程/+〃=3",解方程求出

4=三好即可得解.

b2

【詳解】解：設(shè)BF=CE=DH=AG=a,BE=CH=DG=AF=b,

.??HE=ERF=FG=GH=b-a,AB=BC=CD=DA=sja2+b2，

~—b2--ab--a2

222

=a2+b2-—b2-—ab--a2

222

=-a2+—b2-—ab,

222

S"BF=；Qb，

..c7v

?u^ADE=-Q^ABF，

1

：.—a2+—b2-—ab=2x—ab,

2222

整理得，a2+b2=3ab,

2

aa

+1=3

和3a

+1=0,

~b

3+V5或Q3-

解得，-

b2b2

?:a<b,

ar

:.—<],

b

ci3--\/~5

b2

3-V5

???tanNBAF=—

b2

故答案為：上電

2

m

15.---（-答----案---不--唯-一）

cotcr-cotp

【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角找到直角三角形

各邊之間的聯(lián)系，從而求解.在氏以/。。中，//的對(duì)邊是CQ,鄰邊是/C,則

cotA=,表示出ZC=xcota,在心△BDC中，表示出8C=xcot/7,結(jié)合AB=AC-BC

即可求解.

【詳解】解：設(shè)CQ=x米.

在RMADC中，cotA-,

CD

AC=CDcotZ=xcota,

???在RQBDC中,cotZDBC=——

CD

BC=CD?cot/DBC=xcot(3,

'：AB=AC-BC,

/.xcota-xcotf3-m,

m

x=---------------

COt6Z-COty0

m

答：塔的高度約為1——萬(wàn)米.

COtdf-COtp

m

故答案為:

cotcr-cot。?

16.6-2V3/-2V3+6

【分析】由折疊的性質(zhì)得，^C'NM=ZCNM=30°,CN=C'N,證明ACNC是等邊三角形得

/CC'N=/C'CN=60。，可得點(diǎn)C'在與C2夾角為60。的射線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)CC交N8于點(diǎn)G，

證明ACGB是等邊三角形得/。。d=60。,。避=8。=4,由/A4c=30?？芍獙⒛鏁r(shí)針

旋轉(zhuǎn)30。后所得線段AC2在AC上,證明VG/C'gVC2/E(SAS)，求出ZAC2F=ZCC2E=60°,

得出點(diǎn)￡在直線C2尸上運(yùn)動(dòng)，作CHLEQ于點(diǎn)、H,則當(dāng)E與H重合時(shí)，CE的值最小.求

出C"=6-26即可求解.

【詳解】解：連接CC并延長(zhǎng)，

?.?在Rt^ABC中，N4CB=90°,ZB=60°,BC=4,

:.ZBAC=30°,

AB=2BC=8,

AC=:82-42=473，

由折疊的性質(zhì)得，zcw=ZCNM=30°,CN=C'N,

ZCNC=60°,

.?.△CN。'是等邊三角形，

NCC'N=NC'CN=60°,

.?.點(diǎn)C在與C8夾角為60°的射線上運(yùn)動(dòng),

設(shè)CC交N5于點(diǎn)q,

QZC'CN=60°,ZB=60°,

.MCCd是等邊三角形，

NCQB=60°,CAB=BC=4,

AQ=8-4=4,ZACIC=120°,

?.?4/C=30°,

???將ACt逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后所得線段在/C上,

AC2=ACl=4,CC2=4A/3-4,

.?.^F=^C2-COS30°=2A/3,

QZC,AC2=ZCAE=30°,

ZC,AC=ZC2AE,

QlACl=AC2,AC'=AE,

.?VG/C3VG/E(SAS),

ZAC2E=ZAQC=120°,

ZAC2F=NCC[E=60°,

???點(diǎn)E在直線C2尸上運(yùn)動(dòng)，

作CXLEC?于點(diǎn)〃，則當(dāng)￡與〃重合時(shí)，CE的值最小.

??.CE的值最小值為6-26.

故答案為：6-25/3.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角

形，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，確定點(diǎn)C和點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的軌跡是解答本題

的關(guān)鍵.

17.-2

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，算術(shù)平方根，零指數(shù)幕，特殊角的三角函數(shù)值，乘方

運(yùn)算，負(fù)整指數(shù)塞運(yùn)算，根據(jù)相關(guān)法則正確運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵.分別進(jìn)行算術(shù)平方根，零

指數(shù)累，乘方，負(fù)整指數(shù)累運(yùn)算，最后相加減即可.

【詳解】解：V4-(71-3)°-10sin30°+(-1)2025+Qj

=2-l-10x--l+3,

2

=2—1—5—1+3,

=—2.

18.(1)2710

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由直角三角形的性質(zhì)得/C=28C=6,進(jìn)而由銳角三角函數(shù)得/E=2,再根

據(jù)勾股定理即可求解；

(2)如圖2,作于點(diǎn)。，可證A/BC咨AE04(AAS),得到=BC=AQ,

由是等腰直角三角形，可證得/出8=/8工4=45。，得到A4=8尸，進(jìn)而可證明

△F8G也AE0G(AAS),得到0G=BG=,又由/3=即，HQ=BC彳導(dǎo)BQ=CF,據(jù)此

即可求解.

【詳解】(1)解：???ZABC=：90°,NBAC=30°,BC=3,

■.AC=2BC=6,

■.■AE1AC,

ZCAE=90°,

???tanZ.ACE=—,

3

AEAE1

?,就一工-3’

*'?AE=2,

?1?CE=-JAE2+AC2=V22+62=2M;

(2)證明：如圖2,作EQL/B于點(diǎn)°,

E

vEQVAB,AC.LAE,

???ZEQA=ZEAC=90°,

：.ZQEA+ZQAE=90°,NQAE+NBAC=90。,

.?.ZQEA=ABAC,

?：NABC=90。,

???/ABC=ZAQE,

在V45C和△E。/中，

ZABC=ZAQE

</BAC=NQEA,

AC=AE

???"BC%EQ4（AAS）,

/.AB=EQ,BC=AQ,

-AC=AE,ZEAC=90°f

???△4CE是等腰直角三角形，

NACE=/AEC=45。,

???/BCD+ZACE+ZCAB+/ABC=180°,

ZBCD+ZCAB=45°9

???/BCD=ZCAF,

.?.NCAF+NC4B=45。,

即/FAB=45°,

："FAB=/BFA=45。,

???BA=BF,

在與4/06中，

ZEGQ=ZFGB

<ZEQG=ZFBG=90°,

EQ=BF

尸BG會(huì)△￡0G(AAS),

.-.QG=BG=^BQ,

?：AB=BF,AQ=BC,

：.BQ=CF,

:.BG=-CF.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，余角性質(zhì)，角平分線的

定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的

關(guān)鍵.

19.⑴/4BC=53。，/BCE=16。

⑵百

【分析】(1)利用切線性質(zhì)得出90°,結(jié)合直徑所對(duì)圓周角是直角得N/C2=90。,

根據(jù)同角的余角相等求出=ND=53。.由同弧所對(duì)圓周角相等得

NAEC=NABC=53。,再根據(jù)C4=CE得出/C4E=/CEN,最后利用三角形內(nèi)角和定理

求出//CE,進(jìn)而由/3(%=//。3-44。石算出/8?！甑亩葦?shù).

(2)連接OC、OE,根據(jù)圓周角定理及=推出E)80C=E18OE,通過(guò)全等三

角形判定證明ACO尸部后。尸，得到4F垂直平分CE,從而得出/C=/￡,結(jié)合C4=CE判

定為等邊三角形，得出NN2C=60。，在Rt/X/BC中求出3c的長(zhǎng).算出一。2c的

度數(shù)，在RtZSBC。中利用正切函數(shù)求出CD的長(zhǎng).

【詳解】(1)解：Q2。是。。的切線，

:.ZABD=90°,

Z