專題15圓錐曲線中的探索性問題與不良結(jié)構(gòu)問題

一、考情分析

圓錐曲線中的探索性問題與不良結(jié)構(gòu)問題是近年高考的熱點，探索性問題通常為探索是否存

在符合的點、直線或結(jié)果是否為定值，求解時一般是先假設(shè)結(jié)論存在，再進(jìn)行推導(dǎo)，有時也會出

現(xiàn)探索曲線位置關(guān)系的試題，結(jié)構(gòu)不良問題時,兼顧開放性與公平性，形式不固化，問題條件或

數(shù)據(jù)缺失或冗余、問題目標(biāo)界定不明確、具有多種評價解決方法的標(biāo)準(zhǔn)等特征，選擇不同的

條件，解題的難度是有所不同的，能較好地考查學(xué)生分析問題解決問題的能力.

二、解題秘籍

（-）解決探索性問題與不良結(jié)構(gòu)問題的注意事項及方法

1.解決探索性問題的注意事項

探索性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在.

（1）當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；

（2）當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件；

（3）當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要開放思維，采取另外合適的方法.

2.存在性問題的求解方法

（1）存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為：假設(shè)滿足條件的

元素（點、直線、曲線或參數(shù)）存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組

有實數(shù)解,則元素（點、直線、曲線或參數(shù)）存在；否則，元素（點、直線、曲線或參數(shù)）不存在.

（2）反證法與驗證法也是求解存在性問題常用的方法.

3.結(jié)構(gòu)不良問題的主要特征有：①問題條件或數(shù)據(jù)部分缺失或冗余；②問題目標(biāo)界定不明確；

③具有多種解決方法、途徑；④具有多種評價解決方法的標(biāo)準(zhǔn)；⑤所涉及的概念、規(guī)則和原

理等不確定.

【例1】（2023屆江西省贛州厚德外國語學(xué)校、豐城中學(xué)高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知雙曲線

22

C:A-當(dāng)=1經(jīng)過點（2,-3）,兩條漸近線的夾角為60。,直線/交雙曲線于A,B兩點.

ab

（1）求雙曲線C的方程.

⑵若動直線/經(jīng)過雙曲線的右焦點是否存在X軸上的定點,使得以線段A8為直

徑的圓恒過M點？若存在，求實數(shù)加的值；若不存在,請說明理由.

【解析】（1）???兩條漸近線的夾角為60。,..?漸近線的斜率土2=土石或±@,即/,=后或

a3

b=——a；

3

當(dāng)Z?=石〃時，由一■-yy=1得：/=1方=3,?二雙曲線。的方程為：X2——=1；

cib3

當(dāng)b=心~a時，方程=1無解；

3a2b1

2

綜上所述：..?雙曲線c的方程為：/一匕=1.

3

(2)由題意得：鳥(2,0),

假設(shè)存在定點”(m,0)滿足題意，則涼?礪=0恒成立；

方法一：①當(dāng)直線I斜率存在時，設(shè)l:y=k(x-2),A(xl,y1),B(x2,y2),

產(chǎn)(-2)(3-八o

由上口得：(3-蟲+4人-印+3)=。,,360+用＞0，

4k24公+3

占+%=正三，平2=k2_3，

22

:.MAMB=(^xl-Z7?)(x2~^n)+yxy2=^x2一加式+x2)+m+k(占勺-2(x；+x2)+4)

(4左2+3)(1+陰4k2(2k2+m]

22222

=(1+k)占馬-(2%2+7")(X]+X2)+/7J+4k=+m+4k=0,

左二3上2—3

;.(4公+3)(1+左2)—4左2(2妤+川)+"+4左2)(嚴(yán)—3)=0,

整理可得：k2(m2-4/n-5)+(3-3/n2)=0,

,\irr-4771-5=0zet

由《a2n特：〃?=T；

[3-3m=0

.,.當(dāng)〃7=-1吐加.布=0恒成立；

②當(dāng)直線/斜率不存在時,/:x=2,則4(2,3).3(2,-3),

當(dāng)M(-1,0)時,MA=(3,3),〃6=(3,-3),；.涼.骯g=0成立；

綜上所述：存在加(-1,0),使得以線段A8為直徑的圓恒過M點.

方法二:①當(dāng)直線/斜率為o時,/：y=o,則A(To),B(I,O),

MA-MB=m2-1=0m=±l；

②當(dāng)直線“斜率不為。時，設(shè)/:x=ty+2,A(%,％),3(孫丹)，

E+2,、⑶2一IN0

?,?%+%=一月，%%=口‘

2

MAMB=(xl—m](x2-〃2)+弘%=^%2—mix1+x2}+m+yty2

=(以+2)(仇+2)一勿伽]+2+優(yōu)+2)+〃/+yry2

2

=(』+1)%%+(2t—+y2^+4-4m+m

9(/+l)12t(2t—mt},(12/M—15)r+9,

—二----L+4-4/77+m2=-----------------+(2—〃。x2=0：

3?-l3Z2-13r2-1''

12m-159

當(dāng)二^—=1,即加=-1時，麻?詼=0成立；

綜上所述：存在河(-1,0),使得以線段A3為直徑的圓恒過”點.

【例2】(2023屆云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期月考)已知雙曲線

22___

:二一2r=l(b>a>0)的右焦點為尸(c,o),從①虛軸長為2耳；②離心率為2；③雙曲線

a"b'

C的兩條漸近線夾角為60。中選取兩個作為條件，求解下面的問題.

(1)求C的方程；

(2)過點F的直線/與雙曲線C的左、右兩支分別交于A8兩點,0為坐標(biāo)原點，記AAOBQFOB

面積分別為力S,,若*=6+1，求直線/的方程.

d2

(注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.)

c2=a2+Z?\

a=1,

【解析】(1)若選①②，可知￡=2,解得卜=6

a

c=2,

2b=273,

c的方程為尤2-21=1.

3

若選①③,因為…a~'

2b=2?

2

...(?的方程為1-±=1.

3

-=2,

-=2,a

若選②③,設(shè)遞增的漸近線的傾斜角為區(qū)可知a二八。

Ijlll<b

U—OU,、一=tan6=tan60°，

2a

a+Z72=2

ca2+b2=c1

此時無法確定a,b,c

(2)F(2,0),由題意知，直線I斜率不為0,?.設(shè)直線/：x=ry+2.

x=ty+2,

2

由2y得⑶2-1)丁+12。+9=0,

=1,''

I3

設(shè)A&,%),8(無2,%),IM3%I,則可知3產(chǎn)-1w0且A>0恒成立,

-12t9.6T6

9

+3^2=z-2~~77，,必%>°,??￡<——^t>——.

3t-13t-133

...S&AOB-S0F—S^BOF,S_0F]=?%?]=招I]?，_=2+后

SgOFSgOFSgoF?%?'%

由（%+%尸-2%%=10產(chǎn)+2得且+&=10*+2.10產(chǎn)+2_4

y%3產(chǎn)-1”寸%%3?——-3產(chǎn)-1'

「」=±6滿足"一巫或"巫.

33

.??直線/的方程為>=正尤一地或y=一也x+也.

33-33

（二）是否存在型探索性問題

求解此類問題一般是先假設(shè)存在，再根據(jù)假設(shè)看看能否推導(dǎo)出符合條件的結(jié)論.

22

【例3】（2022屆天津市南開中學(xué)2高三上學(xué)期檢測）已知橢圓C：=+[=15>>>0）的

ab

左、右焦點分別為月、%,且工也是拋物線E：y2=4x的焦點,p為橢圓C與拋物線E在第

一象限的交點，且|尸用=j

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線y=Mx-1）與橢圓C交于R,S兩點，問是否在x軸上存在一點T,使得當(dāng)女變動時,

總有NOTS=NOTR?說明理由.

【解析】（1）?.?修也是拋物線E：）?=4x的焦點，:心（1Q）,

：.c=l，且拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-l.

設(shè)點P（Xo,%）,

552

\?|尸耳|=§，一?％o+1=§，?.?%o=§，

2A/22A/648i

?"二訪=亍.以+/=1'

???/一/=c?=1,解得〃2=4,從=3,

22

二橢圓方程為L+二=1：

43

（2）假設(shè)存在了（。0）滿足NO7S=NO77?.設(shè)氏（不凡）,5（孫％），

聯(lián)立IsXtz-n，消丁整理得G+4〃）f一8k2x+442—12=0,

由韋達(dá)定理有西+%2=q，%1%2=4：，:①，其中△>（）恒成立,

,'""D十個K

由ZOTS=ZOTR（顯然TS,TR的斜率存在），故kTS+砧=0,即一^+萼；=。②，

—I%2—t

由H,S兩點在直線y=k（xT）上，故乂=左（玉一1）,%=左（9一1）,

代入②整理有2%%-（%+。（再+W）+2/=。③,

將①代入③即有：暮6/-雋94=。④,要使得④與k的取值無關(guān),當(dāng)且僅當(dāng)"t=4”時成立，

3+4H

綜上所述存在7（4,0），使得當(dāng)k變化時，總有ZOTS=NOTR.

（三）探索直線是否過定點

求出此類問題一般是設(shè)出直線的斜截式方程y=kx+t，然后根據(jù)已知條件確定匕r的關(guān)系式，

再判斷直線是否過定點.

22

【例4】（2022屆北京市房山區(qū)高三上學(xué)期期末）已知橢圓E:二+與=1（a>6>0）的離心

ab

率為日,A,2分別為橢圓E的上、下頂點，且|AB|=2.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線/與橢圓E交于M,N（不與點A,8重合）兩點,若直線A"與直線AN的斜率之

和為2,判斷直線/是否經(jīng)過定點？若是，求出定點的坐標(biāo)；若不是，說明理由.

【解析】（1）由離心率為巫，可得￡=且

2a2

因為A,3為橢圓的上、下頂點，且|AB|=2,所以處=2即6=1,

又/=/+

解得：〃=2

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為片+>2=1

4

（2）直線，經(jīng)過定點證明如下：

①當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)/：y=^+f,（/H±i）,

y=kx+t

由I*,得（1+4左2）冗2+8依+4〃—4=0,

——+y=1

14,

則A=（8Q）2—4（1+4左2）（4〃—4）>0得：t2<4k2+l

設(shè)Ma，%）”%,%）

1-Skt4d-4

則匹臺’

則L+L=3+J=2…（1）（…）

再x2x1x2

二8g1）：,

-4（r+l）（r-l）-

所以心發(fā)-1,經(jīng)檢驗，可滿足產(chǎn)＜4/+1,

所以直線/的方程為了=丘+左一1,即丁=上（》+1）—1

所以直線/經(jīng)過定點

②當(dāng)直線/的斜率不存在時，設(shè)=yM）,N（m,-yM）,

貝1=+二2kzi=2

mm

解得7"=-1,此時直線/也經(jīng)過定點（-1,-1）

綜上直線/經(jīng)過定點（-1,7）.

（四）探索結(jié)果是否為定值

此類問題一般是把所給式子用點的坐標(biāo)或其他參數(shù)表示，再結(jié)合韋達(dá)定理或己知條件進(jìn)行化

簡，判斷化簡的結(jié)果是否為定值.

【例5】（2022屆云南省三校高三聯(lián)考）在平面直角坐標(biāo)系尤帆中，橢圓

E』+a=1（。＞6＞0）過點'

abJ/I，J

（1）求橢圓E的方程；

（2）點%）是單位圓x2+y2=1上的任意一點，設(shè)P,M,N是橢圓E上異于頂點的三點

uuuuuaULW1iniir。iiimTo

且滿足OP=x0OM+%ON.探討瑞2+揭2是否為定值？若是定值，求出該定值，若不是定

值,請說明理由.

f_2_+J_=i

【解析】⑴因為點橢圓上，所以＜￡*，解得〃=1,〃=8,

所以橢圓方程為工+9=1.

8

（2）令M（%,%）,N（A：2，%）,則尸（玉石+%孫/%+%%），

所以￡^+5%+%%)2=1'

O

即［1+才卜+旨￡卜+(^^+2%%%%)=1.

又工+"1，4+￡=1芯+￥=1，所以馬萼上+2W1%=0,

ooo

即也及=Y

1

xrx28'

所以（％%）2==泊,那=（1-yi）（i-yf）=1-（yi+禿）+必?修

即資+%=1，又工+才=1，"+及=1，所以靖+吟=8,

88

一uuuruum

所以O(shè)M2+ON2=%；+%；+y；+y；=9,

加UULT2皿2斗一怙0

故31+ON為正值9.

【例6】（2022屆天津市耀華中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知。為坐標(biāo)原點，雙曲線

0：口一1=1（1>0,4>0）和橢圓口:二+1=13>62>。）均過點71，攣且以6的

01bl%&I3J

兩個頂點和C2的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形.

（1）求C-C?的方程；

（2）是否存在直線/,使得/與C1交于A,2兩點，與C?只有一個公共點，且|西+而|=|市|?

證明你的結(jié)論；

（3）橢圓C2的右頂點為。，過橢圓C?右焦點的直線乙與C?交于〃、N兩點,M關(guān)于％軸的

s

對稱點為S,直線SN與X軸交于點尸,△MQ2,△加尸Q的面積分別為S],S2,問寸是否為定值?

32

若是,求出該定值；若不是，請說明理由.

41141

【解析】⑴根據(jù)題意：膏一至t=仁+礪=1,

以G的兩個頂點和C2的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形，邊長為應(yīng)

故％=1,q=1,故必=&2+1，代入計算得到瓦=69=6,瓦=近,

/產(chǎn)2

2

故G：y---=l,c2：—+—=1-

（2）假設(shè)存在直線方程滿足條件，

當(dāng)直線斜率不存在時,x=占或尤=-月,代入計算得到y(tǒng)=土應(yīng)，驗證不成立；

（y=kx+b

當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為〉二丘+%則/2

I--1--=1

I32

即（2+3/）/+6&+362-6=0,八=36左262一4（362—6）（2+3公）=0,

化簡得至!|/=3左2+2.

y=kx+b

設(shè)A（4%）,3（孫3），y2/_],故（3〃—1）/+6物:+3必一3=o,

_6kb

“2一3^猾T，|況+網(wǎng)=網(wǎng)+萬+/，故礪,加

故，

即xlx2-\-yiy2=玉%2+(g+5)(仇+人)=。,即儼+1)再入2+幼(再+%2)+〃=°,

即(尸—化簡得至1」2〃=3/+3,

'73F-13左2-1

f2=方程組無解，假設(shè)不成立.

（2b/=3kz+3

故不存在直線滿足條件.

（3）焦點坐標(biāo)為（1,0），易知直線方程斜率不為零，設(shè)直線方程為x=my+l,

M（%，X）,N（如女），則S（孫一方），

x=my+1為+丫2=一^^

式+日=1，化簡得到（2毋+3）/+4my-4=0,

4

{y/2=一2心

直線WS方程為：丁=生之工-再）+九

玉-x2

取y=o得到

再％+ZX_（加必+1）%+（根%+1）%_4_~2m2^+3

%+%%+%Ji+%4m

2m2+3

今=鬻=杏=亭，故、是定值為正1.

€23—A/32%2

（六）探索直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

探索直線與圓的位置關(guān)系一般根據(jù)圓心到直線距離與圓的半徑的大小進(jìn)行判斷，探索直線與

橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系一般根據(jù)判別式.

【例7】已知定理：如果二次曲線加+。2+m+@+尸=0與直線mr+"y+4=0（#0）有兩個

公共點P、Q,0是坐標(biāo)原點，則OP±OQ的充要條件是（A+C）q2-（mD+nE）q+（m2+n2）F=0.

（1）試根據(jù)上述定理寫出直線/：尤+2y-3=0與圓C:x2+y2+x_6y+c=0相交于P,Q,坐標(biāo)

原點為。，且OP，OQ的充要條件，并求c的值；

22

（2）若橢圓=+[=1與直線”+沖+4=0相交兩點P、Q,而且OP^QQ,試判斷直線尸。與

ab

無2+2____

圓>一,，i的位置關(guān)系,并說明理由.

a2b2

【解析】(1)由定理可知OP，OQ的充要條件為:2X(-3)2-(1-12)X(-3)+(1+4)C=0,

BP18-33+5c=O,.-.c=3.

22

(2)?.?橢圓A+4=l與直線mx+〃y+q=o相交兩點p、2,

ab

?"5+5）"T療+/）=。，即，+/=二^?

???圓/+'2=「的半徑為曰:二層5=溪7,

a2b2\a2b2

又圓心（0,0）到直線PQ的距離為"=-1==,

7m+n

d=r,

無2,2=_I_

，直線PQ與圓＞一工+工相切.

a2b2

（七）探索類比問題

此類問題多是橢圓與雙曲線的類比

22

【例8】設(shè)耳、8分別為橢圓C:二+與=1（。＞0）＞0）的左、右兩個焦點.

ab

⑴若橢圓C上的點A11，3到耳、與兩點的距離之和等于4,寫出橢圓C的方程；

（2）設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段4K的中點的軌跡方程；

（3）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點尸是橢圓上任意一點,

當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kpM、kPN時，那么kpM與kPN之積是與點P位置無關(guān)的

22

定值.試對雙曲線=1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明.

ab

【解析】（1）點A.在橢圓C上,且到小層兩點的距離之和等于4,則V［|］2a=4,

I~+~^~=x

ab

22

解得“=2,〃=3,橢圓C的方程為上+匕=1；

43

（2）。=乒齊=1,則有MT。）,設(shè)線段KK的中點為（無力則有

_m-1

X~2Jm=2x+l

n\n=2y'

y=-i

I2

又K是橢圓上的動點，則有M+d=i,即-—--F-~~y）=1,即［x+工］+勺-=1.

4343I2）3

故線段大K的中點的軌跡方程為］》+gj+手=1

Y22

（3）類似特性的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線2V=1上關(guān)于原點對稱的兩個點，點尸是雙

ab

曲線上任意一點,當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kpM、kpN時，那么kpM與kpN之積是與

點P位置無關(guān)的定值.

證明：設(shè)戶（X。,幾）,M（SJ）,N（—s,T）,則指-5=1,腦=二，%=篝,

27

=%)-=%T

一,-22

XQ—SXo+5Xo—5

（八）不良結(jié)構(gòu)問題

近年不良結(jié)構(gòu)問題,通常是要求學(xué)生從備選條件中選擇部分條件解題，選擇不同的條件，所用

知識可能不同，難易程度也可能不同.

【例9】在①尸產(chǎn)=5+1,②%=2%=2,③PF，左軸時,尸尸=2這三個條件中任選一個，補充

在下面的橫線上，并解答.

問題：已知拋物線。：尸=2m（0>0）的焦點為￡點戶伍,九）在拋物線C上,且_____.

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線/：x-y-2=。與拋物線C交于A.B兩點，求AABF的面積.

【解析】（1）解：選擇條件①，

由拋物線的定義可得PF=x。欄,

因為尸尸=須+1,所以無o+~|=%+1,解得P=2,

故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.

選擇條件②，

因為%=2%=2,所以y0=2,x0=l,

因為點尸（%，％）在拋物線C上，

所以尤=2內(nèi)。,即2P=4,解得p=2,

所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.

選擇條件③.

當(dāng)尸尸_Lx軸時,P尸=孑+§=2,所以p=2.

故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.

（2）解：設(shè)4（%,%）,5仁,%）,由（1）知/（1,0）.

由。[x—=y—-2?=0，得>.Ty-8=0,

則X+%=4,%%=-8,

所以IM-%|==J16+32=46，

故AB=Jl+Rj]—y21=yjlx4#:=4^/6.

因為點p到直線/的距離〃=4二3=立，

所以A4B廠的面積為工48"=、45后、走=2右.

222

三、跟蹤檢測

1.(2023屆廣東省佛山市順德區(qū)高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測)已知動圓C經(jīng)過點P(LO),且與

直線x=-l相切,記動圓C圓心的軌跡為E.

⑴求E的方程；

(2)已知尸(4,%)(%>0)是曲線E上一點,A3是曲線E上異于點P的兩個動點,設(shè)直線PA、

3兀

PB的傾斜角分別為圓/，且a+/?=T，請問：直線AB是否經(jīng)過定點？若是，請求出該定點，

4

若不是，請說明理由.

2.(2023屆江蘇省泰州市泰興市高三上學(xué)期期中)已知圓。：/+產(chǎn)=16,點A(6,0)，點、B

為圓。上的動點，線段的中點M的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

⑵設(shè)7(2,0)，過點T作與無軸不重合的直線/交曲線C于E、F兩點.

(i)過點T作與直線/垂直的直線相交曲線C于G、8兩點，求四邊形EGFH面積的最大值；

(ii)設(shè)曲線C與x軸交于P、。兩點，直線PE與直線。/相交于點N,試討論點N是否在定

直線上，若是，求出該直線方程；若不是，說明理由.

3.(2023屆上海師范大學(xué)附屬嘉定高級中學(xué)高三上學(xué)期期中)己知雙曲線C:/-y2=i,過點

T(t,0)作直線/和曲線C交于A,B兩點.

(1)求雙曲線C的焦點和它的漸近線；

⑵若f=0,點A在第一象限,，x軸,垂足為連結(jié)BH，求直線BH斜率的取值范圍；

⑶過點T作另一條直線機"和曲線C交于&F兩點.問是否存在實數(shù)f,使得荏.甌=0和

|而|=|甌]同時成立.如果存在,求出滿足條件的實數(shù)/的取值集合；如果不存在,請說明理由.

4.(2023屆湖北省鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校高三上學(xué)期期中聯(lián)考)設(shè)點P

為圓C:無2+>2=4上的動點，過點尸作%軸垂線，垂足為點Q,動點/滿足2麗=V3P2(點尸、

。不重合)

⑴求動點”的軌跡方程E；

⑵若過點7(4,0)的動直線與軌跡E交于A、B兩點，定點N為，直線NA的斜率為《，直

線的斜率為心，試判斷匕+&是否為定值.若是,求出該定值；若不是，請說明理由.

22

5.(2023屆湖南省郴州市高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測)已知橢圓E：卞+3=1(°>6>0)的離

心率為他，過坐標(biāo)原點0的直線交橢圓E于尸,A兩點，其中P在第一象限，過尸作x軸的垂線，

2

垂足為C,連接AC.當(dāng)C為橢圓的右焦點時,△PAC的面積為血.

⑴求橢圓E的方程；

(2)若B為AC的延長線與橢圓E的交點，試問：NAPB是否為定值，若是，求出這個定值；若不

是，說明理由.

6.(2023屆云南省部分重點中學(xué)高三上學(xué)期10月份月考)已知拋物線C：y2=2/7x(p>0)

的焦點為F，點。(如2)在拋物線C上，且修斤|=2.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑵直線/：x=陽+t與拋物線C交于A,JB兩點,點尸(yO),若ZAPO=NBPO(。為坐標(biāo)原

點)，直線/是否恒過點M?若是，求出定點M的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

7.(2023屆上海市高橋中學(xué)高三上學(xué)期9月月考)在平面直角坐標(biāo)系中,0為坐標(biāo)原點，動點

G到耳(-73,0),F2(73,0)的兩點的距離之和為4.

(1)試判斷動點G的軌跡是什么曲線，并求其軌跡方程C.

⑵已知直線y=M無-與圓修1-百丫+丁、；交于M、N兩點,與曲線C交于P、

Q兩點,其中“、尸在第一象限,d為原點。到直線i的距離，是否存在實數(shù)k，使得

T=(|NQ]-[加尸|)?2/取得最大值,若存在，求出k和最大值；若不存在，說明理由.

8.(2022屆廣東省潮州市高三上學(xué)期期末)已知橢圓C:J+￡=l(a>6>0)的離心率為手，

以原點。為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線2x-魚y+6=0相切.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點48為動直線尸網(wǎng)片2)(際0)與橢圓C的兩個交點，問：在x軸上是否存在定點瓦

使得由+麗?荏為定值？若存在，試求出點E的坐標(biāo)和定值；若不存在，請說明理由.

9.(2022屆河北省深州市高三上學(xué)期期末)已知拋物線。：/=4了,點尸為。的焦點,過廠的

直線/交C于4,8兩點.

(1)設(shè)A3在C的準(zhǔn)線上的射影分別為P,。,線段尸。的中點為R,證明：AR//FQ.

(2)在無軸上是否存在一點T,使得直線AT,的斜率之和為定值？若存在，求出點T的坐標(biāo)；

若不存在,請說明理由.

10.已知橢圓￡:9+%2=1(〃>1)的離心率為白，圓A:x2+(y—〃)2=產(chǎn)土〉0)與橢圓E相交

于&。兩點.

(1)求4B-AC的最小值;

(2)若片，外分別是橢圓E的上、下焦點，經(jīng)過點耳的直線/與橢圓E