第6章圖形的相似（基礎(chǔ)、典型、易錯、壓軸）分類專項訓(xùn)練

【基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2022?江蘇南京.九年級期末）已知產(chǎn)是線段的黃金分割點，且尸3,AB=1O,則AP長約為（）

A.0.618B.6.18C.3.82D.0.382

【答案】B

PRAP

【分析】根據(jù)黃金分割的定義二三。0.618即可解題.

APAB

【詳解】vP是線段AB的黃金分割點，且AP>PB,

AP

.?.-P--B-=-----?0.618

APAB

即AP?0.618xAB=6.18

故選B

【點睛】本題考查了黃金分割的定義，屬于簡單題，熟悉定義概念是解題關(guān)鍵.

2.（2022?江蘇?射陽外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）下列四組線段中，不成比例的是（）

A.3,9,2,6B.1,6,0,屈

C.1,2,3,9D.1,2,4,8

【答案】C

【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，只需判斷最小值與最大值的乘積是否等于另外兩數(shù)值的乘積，即可判定是

否能夠組成比例.

【詳解】解:A、2x9=3x6,可以組成比例，不符合題意；

B、1X76=>/2X^,可以組成比例，不符合題意；

C、1x9K2x3,不能組成比例，符合題意；

D、Ix8=2x4,可以組成比例，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了比例的概念，熟練運用比例的基本性質(zhì)判斷四個數(shù)值是否可以組成比例是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?江蘇.江陰市周莊中學(xué)九年級階段練習(xí)）兩三角形的相似比是3:5,則其面積之比是（）

A.73:75B.3:5C.6:10D.9:25

【答案】D

【分析】直接根據(jù)面積之比等于相似比的平方作答即可.

【詳解】解：：兩三角形的相似比是3:5,

其面積之比是9:25.

故選：D.

【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，相似多邊形對應(yīng)邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于

相似比的平方.

4.（2022?江蘇?陽山中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在AABC中,DE//BC,若A。：DB=3:2,AE=6cm,則

AC的長為（）

A

BC

A.6cmB.5cmC.4cmD.10cm

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，即可求解.

【詳解】解：:DE//BC,AD：DB=3：2,

：.AD：DB=AE:EC=3:2,

VAE=6cm,

：.6:EC=3:2,

EC=4cm,

：.AC=AE+EC=10cm.

故選：D

【點睛】本題主要考查了成比例線段，熟練掌握平行線分線段成比例基本事實是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?江蘇?江陰市青陽初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知〃砂，那么下列結(jié)論正確的是

CEADDFBCADBEADBC

\.-B.D.

CBDF~\D~~CE~DF~~CE

【答案】D

【分析】根據(jù)“兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例”進行判斷即可.

【詳解】解：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例,

和對應(yīng)，CE和。尸對應(yīng)，BE和Ab對應(yīng),

.CEDFADBC

…CB~AD'AF~BE

故D正確.

故選：D.

【點睛】本題主要考查兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，確定出對應(yīng)線段是解題的關(guān)

鍵.

6.（2022?江蘇蘇州?九年級期中）如圖，點尸在△A5C的邊AC上，要判斷△添加一個條件,

不正確的是（）

A.ZABP=ZCB.ZAPB=ZABC

AP_AB-ABAC

D.----=-----

BPCB

【答案】D

【詳解】解：A.當時,

又?:ZA=ZA,

AABPsAACB,

故此選項錯誤;

B.當時,

又?:ZA=ZA,

AABP^AACB,

故此選項錯誤;

、“APAB…

C.當——=——時,

ABAC

又?:ZA=ZA,

AABP^AACB,

故此選項錯誤；

D.無法得到△ABPs/vvcB,故此選項正確.

故選：D.

二、填空題

x2x+v

7.（2022?江蘇南京?九年級期末）若一=￡，則一的值為_____.

y3y

【答案】|

Y2

【分析】由一=￡,設(shè)X=2匕>=3以上20）,然后再代入求解即可.

y3

X2

【詳解】解：：一=￡,設(shè)工=21"3叱0）,

y3

.x+y_2k+3k5

3^~3'

故答案為：j.

【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（2022.江蘇?靖江市靖城中學(xué)九年級階段練習(xí)）在比例尺為1:1000000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是

2.6cm,則甲、乙兩地的實際距離為千米.

【答案】26

【分析】根據(jù)比例尺=圖上距離：實際距離.根據(jù)比例尺關(guān)系即可直接得出實際的距離.

【詳解】根據(jù)比例尺=圖上距離：實際距離，得：A,B兩地的實際距離為2.6x1000000=2600000（cm）=

26（千米）.

故答案為26.

【點睛】本題考查了線段的比.能夠根據(jù)比例尺正確進行計算，注意單位的轉(zhuǎn)換.

9.（2022?江蘇?靖江外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）已知點C是的黃金分割點（AC>BC）,AB^6,則

BC=.（結(jié)果保留根號）

【答案】9-36##36-9

【分析】根據(jù)黃金分割點的定義得到AC=S^AB,進行計算即可求解.

2

【詳解】解：?.?點C是的黃金分割點（AC>BC）,AB=6,

/.AC=AB=^^x6=3非-3,

22

，BC=AB-AC

=6-(375-3)

=6-3國3

=9-3A/5,

故答案為：9-3A/5.

【點睛】本題主要考查了黃金分割點的定義，即：把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與

較短線段的比例中項.

10.(2022?江蘇?射陽外國語學(xué)校九年級階段練習(xí))兩個數(shù)4+6與4-百的比例中項是.

【答案】相或-而’

【分析】根據(jù)比例中項的概念:如果。:。=6:c,那么b是。與c的比例中項，根據(jù)比例的基本性質(zhì)得：〃=改,

據(jù)此即可求解.

【詳解】解：設(shè)6是兩個數(shù)4+g與4-上的比例中項，

=(4+g)x(4-我，

.,方=13,

b=±A/13，

故答案為：而或-舊.

【點睛】此題考查比例中項的概念，熟練掌握比例中項的概念與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

11.(2022?江蘇?九年級專題練習(xí))如圖，在RtABC中，ZACB=90。，點。是AB的中點，過點。作。E，3C,

垂足為點E,連接。，若CD=5,BC=8,則DE=.

A

D

H

【答案】3

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AB=10,利用勾股定理求出AC,再說明DE〃AC,得到華=當=：,

ACADZ

即可求出DE,

【詳解】解：???NACB=90。，點。為A3中點，

：.AB=2CD=10f

?：BC=8,

：?AC=1AB2_BC2=6,

?:DELBC,AC±BC,

J.DE//AC,

.DEBD\目口DEBD1

..-=一，即-二—，

ACAB26AB2

:?DE=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是通過平行得到比

例式.

12.（2022.江蘇.淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處模擬預(yù)測）如圖，在AABC中，DE//BC,AD=2,

BD=3,AC=10,則AE的長.

【答案】4

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例進行求解即可.

【詳解】解：?.?。石〃3。

.ADAE2

??茄一法—

.AE_2

**AC-5

22

AE=—AC=—xlO=4,

55

故答案為：4.

【點睛】本題考查平行線分線段成比例，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

13.（2022?江蘇無錫?九年級期中）已知△ABCSAD石p,相似比為1：2,貝!JABC與以期的周長比為

【答案】1:2

【分析】相似三角形的周長比等于相似比，根據(jù)性質(zhì)直接可得答案.

【詳解】解：相似比為1：2,

.ABC與"尸的周長比等于相似比1:2.

故答案為：1:2.

【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握“相似三角形的周長之比等于相似比”是解本題的關(guān)鍵.

14.（2022?江蘇?東海實驗中學(xué)三模）如果兩個相似三角形對應(yīng)邊的比為2：3,那么它們對應(yīng)高線的比是

2

【答案】2：3##-

【分析】根據(jù)相似三角形對應(yīng)高線的比等于相似比解答.

【詳解】解：?.?兩個相似三角形對應(yīng)邊的比為2：3,

它們對應(yīng)高線的比為2：3,

故答案為：2：3.

【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形對應(yīng)高線的比等于相似比是解題的關(guān)鍵.

15.（2022?江蘇揚州.九年級期末）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，。是位似中心，位似比為2:3,點A,

8的對應(yīng)點分別為點A,B'.若AB=6,則A0的長為.

【答案】9

【分析】根據(jù)位似圖形的概念列出比例式，代入計算即可.

【詳解】解：：圖形甲與圖形乙是位似圖形，位似比為2：3,AB=6,

?_2

??而一§，

62

即nn----——，

AB'3

解得,A'B'=9,

故答案為：9.

【點睛】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)，掌握位似圖形的兩個圖形是相似圖形、相似

三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.（2022?江蘇南通?九年級期末）如圖，△AOB與△COO是位似圖形，且。4=AC,則.AO3與△（%）￡）的

【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：：。4=AC,

0A1

???-—―，

OC2

Vcoo是位似圖形，

MAOBsMcOD,

?*.AOB與MOD的相似比為g.

故答案為：g

【點睛】本題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.（2022?江蘇南通?一模）如圖，為了測量一棟樓的高度，小王在他的腳下放了一面鏡子，然后向后退,

直到他剛好在鏡子中看到樓的頂部.如果小王身高1.55m,他的眼睛距地面1.50m,同時量得BC=0.3m,

CE=2m,則樓高。E為m.

【答案】10

【分析】如圖，根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，AABCsADEC,再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，

VZABC=ZDEC=90°,/AC2=/OCE（反射角等于入射角，它們的余角相等）,

△ABCs^DEC,

.ABBCBn1.50.3

DECEDE2

/.￡>￡=10（m）

故答案為：10.

【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用.應(yīng)用鏡面反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，再運用相似三角形

對應(yīng)邊成比例即可解答.

18.（2022?江蘇宿遷?二模）某一時刻，身高為165cm的小麗影長是55cm,此時，小玲在同一地點測得旗桿

的影長為5m,則該旗桿的高度為m.

【答案】15

【分析】根據(jù)同一時刻實物高度與影子的比值相等，列方程即可.

【詳解】解：設(shè)旗桿的高度為xm,

則行=于

解得x=15,

故答案為：15.

【點睛】本題考查了利用相似測高，掌握相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

19.（2022?江蘇南京?九年級期末）如圖，在中，BC=8,AC=4,。是8C邊上一點，CD=2.

求證△ABCsADAC.

【分析】由題中線段長度得出算=篝，結(jié)合相似三角形的判定定理即可證明.

ACCD

【詳解】證明：：2C=8,AC=4,CD=2,

.BC_8TAC_4_

??————2,=——2.

AC4CD2

?BC_AC

,,法一布,

VZC=ZC,

AABC^ADAC.

【點睛】題目主要考查相似三角形的判定定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.

20.(2022?江蘇?揚州中學(xué)教育集團樹人學(xué)校九年級階段練習(xí))如圖，已知AB〃OC,點E、尸在線段8。上,

AB=2DC,BE=2DF.

(1)求證：AABEsACDF.

(2)若8。=8,DF=2,求跖的長.

【答案】(1)見解析；(2)EF=2.

【分析】(1)根據(jù)AB〃￡)C,可得再由AB=2OC,BE=2DF,可得AB：DC=BE：DF=2,即

可證得；

(2)根據(jù)3E=2OE可得BE=4,即可求解.

【詳解】(1)證明：?..A8〃OC,

：.ZB=ZD,

"：AB=2DC,BE=2DF,

：.AB：DC=BE：DF=2,

：.AABEs^CDF；

(2)解：'：BE=2DF,DF=2,

：.BE=4,

：B￡>=8,

：.EF=BD-DF-BE=2.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似是解

題的關(guān)鍵.

21.(2022?江蘇.江陰市青陽初級中學(xué)九年級階段練習(xí))如圖，A、B、C三點均在邊長為1的小正方形網(wǎng)格

的格點上.

(1)請在8C上標出點。，連接AD,使得△ABDS/^CBA；

(2)試證明上述結(jié)論：AABDS^CBA.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)相似三角形的定義作圖即可.

(2)借助勾股定理求出AB的長度，根據(jù)相似三角形的判定定理證明.

【詳解】(1)如圖，點。是所求作的點，

(2)證明：AB=^12+22=75>BC=5,BD=1,

BD1_V5ABx/5

AB~y[5~5'~BC^~5

BDAB

不一嬴,

ZDBA=ZABC,

AABD^ACBA.

【點睛】本題考查相似三角形的判定、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是熟悉相似三角形的判定定理.

22.(2022.江蘇淮安?九年級階段練習(xí))已知：如圖AABC三個頂點的坐標分別為AJ2,-2)、8(-3,T)、

C(T,T),正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長是1個單位長度.

(1)以點C為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△48°,使A48C與AA/?C的位似比為2:1,并直接寫出點4的坐標

(2)AABC的面積為.

【答案】(1)作圖見解析；(-3,0)

⑵8

【分析】(1)延長C4到A使=延長CB到月使從而得到\BXC.然后寫出點A的坐標;

(2)利用面積公式直接進行求解即可.

【詳解】(1)解：如圖，A耳C為所作；點4的坐標為(-3,0)；

(2)解：由圖可知：5AB]C=1BIC-AS=|X4X4=8.

【點睛】本題考查位似三角形的作圖，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握位似三角形的定義：如果兩個三角形不僅

是相似三角形，而且每組對應(yīng)點的連線交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這兩個三角形叫做位似三角形.

23.（2022.江蘇南通?模擬預(yù)測）如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標點P,在近岸

取點Q和S,使點P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著再過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當?shù)?/p>

點T,確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點R.如果測得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的

寬度PQ.

【答案】90米

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出力%=等，進而代入求出即可.

【詳解】解答：根據(jù)題意得出：QR/7ST,

貝（UPQRS/\PST,

痂PQQR

故-------=—,

PQ+QSST

?/QS=45m,ST=90m,QR=60m,

.PQ一6。

,■PQ+45~90）

解得：PQ=90（m）,

河的寬度為90米.

【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出APQRsZXPST是解題關(guān)鍵.

【典型】

一、單選題

1.（2022?江蘇?宜興市樹人中學(xué)九年級階段練習(xí)）下列各組線段中，長度成比例的是（）

A.2cm>3cm>4cm>1cmB.1.5cm>2.5cm>4.5cm、6.5cm

C.l.lcm>2.2cm>3.3cm、4.4cmD.lcm>2cm、2cm、4cm

【答案】D

【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段.對選項一一分析,

排除錯誤答案.

【詳解】A.2x3W4xl,故本選項錯誤，不符合題意；

B.1.5x6.5?2.5x4.5,故本選項錯誤，不符合題意；

C.L1X4.4￥2.2X3.3,故本選項錯誤，不符合題意；

D.Ix4=2x2,故本選項正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查比例線段，掌握成比例線段的定義和特征為解題關(guān)鍵.

2.（2022?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，YABCD的對角線AC,即相交于點。，AE平分，BAD,分別交

BC,BD于點、E,P,連接OE,ZADC=60，AB=1BC=1,則下列結(jié)論：?ZCAD=30；②BD=5,

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】①先利用角平分線和平行四邊形的性質(zhì)判斷三角形ABE為等邊三角形，由外角的性質(zhì)和等腰三角

形的性質(zhì)得NACE=30。，最后由平行的性質(zhì)得到最后結(jié)論；

②先根據(jù)三角形中位線定理得：OE=gAB=，OE〃AB,根據(jù)已知條件可推出NCOE=90。，ZACD=90°,

根據(jù)勾股定理和平行四邊形的性質(zhì)可計算OC和OD的長，最終可得BD的長；

③因為NBAC=90。，根據(jù)平行四邊形的面積公式可作判斷；

④根據(jù)三角形中位線定理可作判斷；

⑤先判斷出59"=%*=1?！?。。=\!義且=遮，根據(jù)△ABPS^EOP得到AP：OE=2：1,同高三角

22228

形面積的比等于對應(yīng)底邊的比，可得到4=：,SW=2S“OE=2X3=且，故可將⑤作出判斷.

sAOP23"3812

【詳解】①:A石平分/BAD,

.\ZBAE=ZDAE,

???四邊形ABCD為平行四邊形，

???AD〃BC,ZABC=ZADC=60°,

.\ZDAE=ZBEA,ZBAE=ZBEA,

.*.AB=BE=1,

???AABE是等邊三角形,

VBC=2,

???EC=1,

AAE=EC,

JZEAC=ZACE,

???ZAEB=ZEAC+ZACE=60°,

ZACE=30°,

VAD/7BC,

JNCAD=NACE=30。，

故①正確；

②;BE=EC,OA=OC,

.*.OE=|AB=1,OE//AB,

ZEOC=ZBAC=600+30°=90°,在RTAEOC中，OC=Jl2-^

???四邊形ABCD是平行四邊形，

.*.ZBCD=ZBAD=120°,

???ZACB=30°,

/.ZACD=90°,在RTAOCD中，O￡>=JpZ=*，

???BD=2OD=g,

故②正確；

③由②知，ZDCA=ZBAC=90°,

**?S平行四邊形ABCD=ABg^C

故③正確；

④由②知：OE是△ABC的中位線，

：.OE=-AB,

2

,?*AB=—BC,

2

OE=-BC=-AD,

44

故④正確;

⑤丁四邊形ABCD是平行四邊形，

???OA=OC=走，

2

?q_o1V3_5/3

,,SAAOE=SAEOC=-OE^OC=2X2X~T=~8~，

VOE^AB,△EOP^AABP,

.EPOE_1

"AP~AB~2"

q1

,。.POE_

??不力

sAAOP=-sAAOE=2又迫=走；

LXAUr3ZAACz/13g]2

故⑤錯誤；

本題正確的有4個，

故選擇C.

【點睛】本題是一道幾何的綜合題目，掌握平行四邊形的性質(zhì)及求面積方法、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定

理、中位線定理、相似等是解答本題的關(guān)鍵.

3.（2022?江蘇?無錫市金橋雙語實驗學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，已知A（3,6）、8（0,0（0〈心6）,作ACLA8,

3

交工軸于點C,M為5C的中點，若尸（萬，0）,則的最小值為（）

C.1A/5D.

【答案】D

【分析】作軸于“，CE_LAH于E,作MN_LOC于N,易得△AHBs/XCEA從而3=巨色，設(shè)BH=x,

6AE

則AE=2x,可得PM2=P2V2+M/V2=N+(---)2=—X2-3x+9=—(x--)?+更即可求出PM最小值

24455

【詳解】如圖，作軸于H,CE_LAH于E,作MALLOC于N.

則四邊形CEH。是矩形，OH=CE=4,

ZBAC=NAHB=ZAEC=90°,

；?NABH+/HAB=90。,ZHAB+ZEAC=90°,

：.NABH=NEAC,

???AAHB^ACEA,

.AHBH

??一，

ECAE

-3_BH

??一，

6AE

:.AE=2BH,設(shè)貝UAE=2x,

：.OC=HE=3+2x,OB=6-x,

：.B(0,6-x),C(3+2x,0)

*：BM=CM,

3+2x6-x

?.M(-------,-------),

22

3

VP(-,0),

2

：.PN=ON-OP=3+2x--=x,

22

PM2=P^+MN2=x2+(---)2=—x2-3x+9=—(x--)2+—,

24455

.?.x=|?時，P冊有最小值，最小值為:，

的最小值為=16.

故選D

【點睛】此題主要考查平面內(nèi)兩點之間最小值，涉及到相似三角形以及二次函數(shù)的性質(zhì)

4.（2021?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC與△DEF形狀完全相同，且AB=3.6,BC=6,AC=8,EF=2,

則DE的長度為（）

BC

A.1.2B.1.8C.3D.7.2

【答案】A

【分析】利用△ABCs^DEF,對應(yīng)線段成比例即可求出DE的長.

【詳解】VAABC^ADEF,

.ABBC3.66

??--=---,KRJn---二——

DEEFDE2

/.DE=1.2

故選A.

【點睛】此題主要考察相似三角形的對應(yīng)線段成比例.

5.（2021?江蘇?濱海縣第一初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）點8是線段AC的黃金分割點，且若AC=

2,則的長為（）

A.^±1B.C.75+1D.75-1

22

【答案】D

【分析】根據(jù)黃金分割的定義可得出較長的線段BC=6二！AC,將AC=2代入即可得出BC的長度.

2

【詳解】：點2是線段AC的黃金分割點，且

...BC=^Z1AC,

2

'：AC=2,

：.BC=y/5-1.

故選：D.

【點睛】本題考查了黃金分割，應(yīng)該識記黃金分割的公式：較短的線段=原線段的三5倍，較長的線段=

2

原線段的避二1倍.

2

6.（2021.江蘇淮安.九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（-3,6）、B（-9,一3）,以原

點O為位似中心，相似比為g,把△ABO縮小，則點A的對應(yīng)點A，的坐標是（）

A.(—1,2)

B.(—9,18)

C.(—9,18)或(9,—18)

D.(—1>2)或(1,—2)

【答案】D

【詳解】解：方法一：「△ABO和AAB?關(guān)于原點位似

OA'1

；.△ABOs/^VB'O且一=一

0A3

.A'E_0E_1

.??AD—0D—§

.?.A'E=』AD=2

3

OE=』OD=1

3

；.A,(-1,2)

同理可得A”(1,-2)

方法二：：點A(-3,6)且相似比為;

；?點A的對應(yīng)點A，的坐標是(-3xg,6x1),

；.A'(-1,2)

:點A”和點A，(-1,2)關(guān)于原點O對稱

.?.A"(1,-2)

故選：D.

7.（2021?江蘇?九年級專題練習(xí)）已知CD是RSABC斜邊上的高，則下列各式中不正確的是（）

C

ADB

A.BC2=BD?ABB.CD2=BD?AD

c.AC2=AD?ABD.BC?AD=AC?BD

【答案】D

【分析】根據(jù)①直角三角形中,斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項.②每一條直角邊是這條直角

邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項，進行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)射影定理每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項可得:A、C都正確.

根據(jù)直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項可得B選項正確；

綜上可得:A,B、C選項都正確.

故選D.

【點睛】本題考查射影定理的知識，屬于基礎(chǔ)題，注意掌握射影定理的內(nèi)容并靈活運用.

8.（2021?江蘇?泰興市洋思中學(xué)九年級期中）如圖，△ABC中，點D為AB中點，點E在AC上，若DE〃:BC,

貝USAADE：S四邊彩DECB的值為（）

A.1:2B.1:3C.1:4D.1:72

【答案】B

【分析】由DE〃BC,得至U△A。Es△ABC,且相似比為1：2,再由相似三角形的性質(zhì)即可得到兩個三角

形的面積比，進而可得出結(jié)論.

【詳解】,：DE//BC,：.AADE^AABC.

:點。為AB中點，.,.A￡＞：AB=1：2,：.4,:.S&ADE：S承形DECB=\：3.

故選B.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，能夠熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.（2021?江蘇省錫山高級中學(xué)實驗學(xué)校二模）如圖，△ABC中，ZA=78°,AB=4,AC=6.將△ABC沿圖示

中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）

【答案】C

【詳解】A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，不符合題意，

B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，不符合題意，

C、兩三角形的對應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，符合題意，

D、兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，不符合題意，

故選：C.

【點睛】本題考查相似三角形的判定，兩組角對應(yīng)相等，兩個三角形相似；兩組邊對應(yīng)成比例及其夾角相

等，兩個三角形相似；三組邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似.

二、填空題

10.（2022.江蘇?南京漢開書院學(xué)校九年級階段練習(xí)）己知：y=|,則佇字的值是.

【答案】

【分析】根據(jù)已知等式設(shè)a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.

【詳解】解：由，=］，可設(shè)a=2k,b=3k,（k和），

b3

,,Q—2b2k—2x3k—4k1

故：-----=---------=——=——，

b+2b2左+2x3左8k2

故答案：.

【點睛】此題主要考查比例的性質(zhì)，a、b都用k表示是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

11.（2022.江蘇?蘇州中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖1,在四邊形ABC。的邊BC的延長線上取一點E,在直線

的同側(cè)作一個以CE為底的等腰ACEF,且滿足/8+/歹=180。，則稱三角形為四邊形48C。的“伴

隨三角形

（1）如圖1,若△（2￡戶是正方形ABC。的“伴隨三角.形''：

①連接AC,則NACE=；

②若CE=2BC,連接AE交CF于H,求證：H是CP的中點；

（2）如圖2,若ACEF是菱形A8C。的“伴隨三角形"，ZB=60°,M是線段AE的中點，連接。M、FM,

猜想并證明DM與的位置與數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）①90。；②見解析；（2）DM=6FM,理由見解析

【分析】（1）①連接AC,利用正方形的性質(zhì)得到NACB=45。，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到NFCE=45。，

然后利用/ACF+/ACB+/FCE=180。進行求解即可；

②設(shè)BC=a,則CE=2a,利用等腰直角三角形的判定及性質(zhì)得到AC=EF,然后利用全等三角形的判定及性

質(zhì)以及中點的定義進行求證即可；

（2）延長DM交BE于G,連接FM,FG,根據(jù)△CEF是菱形ABCD的“伴隨三角形"，/B=60。，得至以CEF

是等腰三角形，且NCFE=120。，然后利用全等三角形的判定及性質(zhì)進行求解即可.

???四邊形A5CD是正方形

AZACB=45°,N8=90。，

???△0斯是正方形ABCD的“伴隨三角形”,

.*.ZB+ZF=180°,

AZF=90°,

又,??△CbE是等腰三角形，

.*.ZFCE=45°,

AZACF=1800-ZFCE-NACB=90°,

故答案為90°；

??設(shè)8c=〃，CE=2a,

VZB=90°,AB=BC=a,

??AC--a,

VZF=90°,CE=2a,

：?EF=FC=y/2a,

ZACF=ZF=90°,

J.AC//EF,

：.AACH^AEFH,

.ACCHV2a1

,?———■i——1,

EFHFV2a

CH=HF,

，點H是CF的中點，

(2)DM^^FM,FMLDM

理由如下：如圖，延長。M交CE于點P,連接DRFP,

?..四邊形ABC。是菱形

：.AB=BC=CD=AD,AB//CD,AD//BC,

：.ZB=NDCP=60。,ZDAM=ZPEM,

「若△CEP是菱形ABC。的“伴隨三角形"，ZB=60°,

/.ZCF￡+ZB=180°,

.,.ZCFE=120°,且ACE尸是等腰三角形，

:.NECF=3Qo=NFEC,CF=EF,

：./DCF=3Q。

?：/DAM=/PEM,AM^ME,ZAMD^ZPME,

：.AADM^/\EPM(ASA),

：.AD=PE,DM=MP,

：.CD=PE,MCF=EF,/DCF=/FEC=30。,

：./\CDF^/\EPF(SAS),

：.DF=PF,ZDFC=ZPFE,

'：ZPFE+ZCFP=ZCFE=120°,

AZDFC+ZCFP=\20°=ZDFP,MDF=FP,DM=PM,

：.FM±DM,/FDM=30°,

:.DM=6FM.

【點睛】本題主要考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定

及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平角的定義，補角，正方形的性質(zhì)，三角形的中線等有關(guān)知識.正確理解“伴隨三角形”

的含義是解答本題的關(guān)鍵.

12.(2022?江蘇?靖江外國語學(xué)校九年級階段練習(xí))馬路兩側(cè)有兩根燈桿AB、CD,當小明站在點N處時，

在燈C的照射下小明的影長正好為NB,在燈A的照射下小明的影長為NE,測得BD=24m,NB=6m,NE=2m.

（1）若小明的身高MN=1.6m,求AB的長；

（2）試判斷這兩根燈桿的高度是否相等，并說明理由.

【答案】（1）AB=6.4m；（2）AB=CD,理由見解析.

【分析】（1）直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)分析得出答案;

（2）直接利用平行線分線段成比例定理分析得出答案.

.MN_NE

【詳解】（1）,.,MN//AB,：.AMNESABE,

"AB~BE

162

?：NB=6,NE=2,MN=1.6,,.9.AB=6A(m)；

AB8

（2）這兩根燈桿的高度相等，理由如下:

,MNNE21MNBN61

■:MN//CD,5。=24,.)：.AB=CD.

ABBE84CDBD244

【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出相似三角形是解題的關(guān)鍵.

13.（2021.江蘇無錫.九年級期中）在菱形A8CD中，CD=CA=6,對角線AC、8。交于點O,E為邊8C上

一點，直線EO分別交邊AZX射線于點G、F.

（1）求菱形A8CD的面積;

（2）請判斷士+士是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；

BEBF

S4

（3）設(shè)ABEB的面積為四邊形ABE。的面積為S2,試確定點E的位置，使得肅=1.

【答案】（1）18百；（2）是，定值為g；（3）BE=4

【分析】（1）證明得到△ABC是邊長為6的等邊三角形，即可求出菱形面積；

（2）利用平行線段成比例，可以得出△陰得出8尸的表達式，即可求出上+工的值，據(jù)此

判斷是否為定值；

（3）利用（2）各邊的表示方法，可以求出S/.S2的表示方法，依此列方程求解，即可得出8E的值.

【詳解】解：（1）???四邊形A3C。是菱形，

■■.AD=AC,

又CD=CA=6,

??.△ABC是邊長為6的等邊三角形.

???SABC=9y/3

,?,S菱形=2x9^/^—18^/3.

(2)是定值，理由如下：

設(shè)BE=m,貝!]CE=6—m,

-AD//BC,AO=CO

???AGO金CEO

???AG=CE=6~m

由AG〃BE可知，"AGS^FBE.

GAFA6—mFA

BEFB'mFA+6

得陰=殳網(wǎng)，

m-3

cl3m

：.BF=-------.

m-3

1+1_1+m-3_1

―BE十茄一獲十3m~3；

(3)由(2)得

_l3m733A/3；772

Si=--m---------——=-----------

2m-324(m-3)

$2=；(〃?+6>36=3向m+6),

22

；.5x=4x34。+6).

4(m-3)2

解得徵/=4,m2——12(舍)，

S4

???當3E=4時，U=J

)25

【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)等知識.此題綜合性很強，圖形也比較復(fù)

雜，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

14.(2021?江蘇蘇州?九年級階段練習(xí))如圖，矩形EFG”內(nèi)接于ABC(矩形各頂點在三角形邊上)，E,

P在2c上，H,G分別在AB,AC上，且AO23C于點。，交居于點N.

(2)若AD=3,BC=9,沒EH=x,矩形EFG”的面積為V,求出了與x之間的函數(shù)表達式，并寫出自

變量x的取值范圍.

【答案】(1)見解析；(2)J=-3X2+9X(0<X<3).

【分析】(1)由四邊形跳G”是矩形，可得HG//BC,即可證明VAHG:VABC；

(2)由VA"G:VA3C可表示出用的長度，再由矩形EFGH的面積=即可求出丫與x之間的函

數(shù)表達式.

【詳解】(1)證明：???四邊形瓦GH是矩形，

HG//BC,

.AHAG

??一，

ABAC

?：ZHAG=ZBACf

：.VAHG:NABC,

(2)解：:四邊形是矩形，

???ZHED=/EHN=90。，

又?：ADLBC,

???四邊形HEDN是矩形，設(shè)EH=x,AN±HG

ND=EH=x,

AD=3,

AN=3—x,

NAHG\NABC,

ANHG

AD-BC?

3-x_HG

HG=9—3x,

矩形￡FGH的面積=〃G?HE,

y=尤（9-3龍）=一3尤2+9x（0<x<3）.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)表示出用的長度是解決本題的關(guān)鍵.

15.(2021?江蘇揚州?九年級期末)如圖1,在AABC中,*8=30°,AB=4cm,AC=6c〃z,點。從點2出發(fā)

以2cmis的速度沿折線8—A—C運動，同時點E也從點8出發(fā)以\cmls的速度沿BC運動，當某一點運動到

C點時，兩點同時停止運動.設(shè)運動時間為x(s),△8DE的面積為y(<?/).

(1)如圖2,當點。在AC上運動時，x為何值，AABDsAACB；

(2)求y(cm2)關(guān)于尤(s)的函數(shù)表達式；

(3)當點。在AC上運動時，存在某一時段的ABOE的面積大于。在AB上運動的任意時刻的ABOE的面

積，請你求出這一時段x的取值范圍.

12

-x20<x<2

2

【答案】(1)y;(2)■1;（3）2<x<3

—/—x2Vx<5

[33

AR

【分析】⑴由“加可得力=花,列出方程求解即可;

(2)分D點在AB上和AC上兩種情況，運用三角形面積公式求解即可;

(3)求出y=的最大值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可.

【詳解】解：(1)當。在AC上運動時，^ABD^^ACB,

.ABAC

**AD-AB

AB2=ADAC

???AB+AD=2x

AD=2x-4

A16=(2x-4)x6

..x——

3

(2)①當D在AB上時，作。于點G,如圖,

*.?ZB=30°

DG=-BD=x

2

11

y=-BExDG=-x?2

22

②當D在AC上時，作于點H,Q,

AH//DQ

AD=2x-4,貝1JCD=10—2x

AH=-AB=2

2

AH//DQ

△CAH^ACDQ

DQCD

DQ10-2x

~T~6

10-2x

DQ=

3

y=~BExDQ=g?x?10-2x

633

XV0<2x-4<6

2<x<5

1

-x290<x<2

2

???y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為:

15「

—x2H—x2(xW5

33

（3）當x=2時，y=取得最大值2,即當D在AB上時，面積最大值為2

令y=--X2+—x=2,則有一工/+工工=2

3333

X2-5X+6=0

??x=2%—3

.?.當2Vx<3時，存在ABDE的面積大于。在AB上運動的任意時刻的△加比的面積.

【點睛】本題考查的是三角形面積的計算，二次函數(shù)解析式的確定，二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象確定x的

運動時間與面積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

16.（2021.江蘇.泰州市海軍中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且

AABC^ADEF,將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿

B到C的方向運動，且DE始終經(jīng)過點A,EF與AC交于M點.

（1）求證：△ABEsAECM；

（2）探究：在ADEF運動過程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明

理由；

（3）當線段BE為何值時，線段AM最短，最短是多少？

D

【答案】⑴證明見解析；⑵能；BE=1或2■.⑶BE=3時，AM最短為當.

65

【分析】（1）由A8=AC,根據(jù)等邊對等角，可得NB=NC,又由△ABC之△DEP與三角形外角的性質(zhì)，易

證得NCEM=NBAE,則可證得△ABES^ECM；

(2)首先由且/AME>/C,可得AE￥AM,然后分別從AE=EM與AM=EM去分析，注

意利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案；

龍261

(3)首先設(shè)BE=x,由△ABESAECM,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易得CM=-女+二產(chǎn)-g(%-

9

3)2+(,繼而求得AM的值，利用二次函數(shù)的