阿氏圓最值模型

知識(shí)回顧

1.“阿氏圓”問題

我們學(xué)過將軍飲馬模型，知道怎么求解PA+PB的最小值，但是有時(shí)候我們還會(huì)見到下面這種，即“PB+nPA”的

最小值問題(n丹)，這是近幾年考試熱點(diǎn)也是難點(diǎn)，本講內(nèi)容主要來研究這個(gè)問題.

“阿氏圓”問題總結(jié)

1、特點(diǎn)：①兩定一動(dòng).點(diǎn)A、B是定點(diǎn)，點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn).②動(dòng)點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng).

2、解題步驟：

①連接動(dòng)點(diǎn)P和圓心O.將系數(shù)不為1的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別與圓心連接，如圖線段OP、OA

②計(jì)算出所連接的這兩條線段的長(zhǎng)度.③計(jì)算這兩條線段的長(zhǎng)度比.即^=n

④在線段上取點(diǎn)Q，使得器=九得到△OPQ-AOAP廁PQ=nPA

⑤連接BQ,與圓交點(diǎn)即為當(dāng)“PB+nPA”的值最小時(shí)，點(diǎn)P的位置.

B

圖1

3、“阿氏圓”問題本質(zhì)是構(gòu)造字母型相似，如圖1.

構(gòu)造△OPQ△04P狷OP2=0Q-。4所以PQ=n-PA

4、特殊情況：如果n值大于1,則要先提取n,再跟據(jù)思路2進(jìn)行求解.

如：PA+3PB的最小值轉(zhuǎn)化為求3(|?71+PB)

求2PA+3PB的最小值轉(zhuǎn)化為求2PA+3PB=3+PB)

品真題精煉

1.二次函數(shù)+一次函數(shù)+阿氏圓最值——24濟(jì)南模擬/23煙臺(tái)+代數(shù)綜合壓軸+初三

如圖，拋物線y=a/+bx+5與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,.AB=4拋物線的對(duì)稱軸％=3與

經(jīng)過點(diǎn)A的直線y=kx—1交于點(diǎn)D,與x軸交于點(diǎn)E.

⑴求直線AD及拋物線的表達(dá)式；

⑵以點(diǎn)B為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)P為。B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出PC+的最小值.

2.三角形+銳角三角函數(shù)+隱形圓邛可氏圓最值+定弦定角——24廣元+填空壓軸+初三如圖，在AABC中，AB=5,t

an/C=2,則AC+gBC的最大值為

3.等腰直角三角形+弧+阿氏圓最值+中點(diǎn)一22衢州模擬/20桂林+填空壓軸+初三如圖在RSABC中，AB=A

C=4,點(diǎn)E,F分別是AB,AC的中點(diǎn)點(diǎn)P是扇形AEF的EF上任意一點(diǎn)，連接BP,CP，則［BP+CP的最小值是

4.圓+切線+阿氏圓最值---22南京模擬+填空壓軸+初三

如圖，AB是。0的直徑，CA、DB為。0的切線，P是。。上一動(dòng)點(diǎn)，若（CA=1,AB=2,DB=3，則^-PC+PD

的最小值是______

AC

5.直角三角形+圓+阿氏圓最值——23寧波模擬+填空壓軸+初三

在小ABC中,.AACB=90。,BC=&AC=6,,以點(diǎn)C為圓心，4為半徑的圓上有一動(dòng)點(diǎn)D,連接AD,BD,CD,

則加D+4D的最小值是

6.矩形+圓+阿氏圓最值一23揚(yáng)州模擬+填空壓軸+初三

如圖，已知矩形ABCD,AB=8,BC=6,以點(diǎn)A為圓心、5為半徑作圓，M為。A上一動(dòng)點(diǎn)，連接CM、DM,則初M

+MD的最小值為.

7直角三角形+圓+阿氏圓最值一22溫州模擬+填空壓軸+初三

如圖所示在△ABC中,.乙4cB=90°,BC=4,AC=3,以點(diǎn)C為圓心、2為半徑的圓上有一動(dòng)點(diǎn)D,連接AD,B

D,CD,貝U+的最小值是

8.圓+切線+阿氏圓最值——23鹽城模擬+幾何解答題+初三

已知。0半徑為1,AC、BD為切線”AC=1,BD=2,,P為弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，試求與PC+PD的最小值.

9.特殊角度+圓+阿氏圓最值——23宿遷模擬+填空壓軸+初三

在^ABC中，AB=9,BC=8/4BC=60°,,圓A的半徑為6,P是圓A上的動(dòng)點(diǎn),連接PB、PC,則3PC+2

PB的最小值為.

10扇形+特殊角度+阿氏圓最值+中點(diǎn)一22眉山模擬+選擇壓軸+初三

如圖，在扇形CAB中，CA=4,/CAB=120°?D為CA的中點(diǎn)，P為.^BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與C,B重合），則2PD

+的最小值為（）

A

X.4+2A/3B.4V7D.4A/3+4

11.二次函數(shù)+圓+阿氏圓最值一23廣州模擬+填空壓軸+初三

如圖，拋物線y=-/+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,OD過A,B,C三

點(diǎn)P是。D上一動(dòng)點(diǎn)連接PC,PO,則/PC+逐P。的最小值為

12.圓+中點(diǎn)+阿氏圓最值——22紹興模擬+填空壓軸+初三

如圖點(diǎn)A、B在圓O上,（。41OB,OA=0B=12,,點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)點(diǎn)D在OB±,0D=10,點(diǎn)P是圓O

13.正方形+中點(diǎn)+圓+阿氏圓最值----23無錫模擬+填空壓軸+初三如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E是BC

的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，P點(diǎn)是以B為圓心，BE為半徑的圓上任意一點(diǎn)，則例2+2PF的最小值為.

14.圓+直角三角形+阿氏圓最值——21淮安模擬+幾何綜合壓軸+初三

問題提出：如圖1,在］Rt△ABC中，乙ACB=90。,CB=4,G4=6,OC半徑為2,P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、

BP,求4P+坪P的最小值

⑴嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路：如圖2,連接CP,在CB上取點(diǎn)D,使CD=1,則

._rnrpipn-1-i-i

有吆====又：乙PCD=^BCP,PCDABCP,—=PD=-BP,：.AP+-BP=AP+PD

CPCB2BP222

請(qǐng)你完成余下的思考,并直接寫出答案：4P+^BP的最小值為.

(2)自主探索：在“問題提出”的條件不變的情況下，\AP+BP的最小值為

15.幾何綜合+胡不歸最值+阿氏圓最值——22陜西+幾何綜合壓軸+初三

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】

如圖1,已知線段AC和BCAC=2,BC=5,,則線段AB的最小值為

(2)【問題探究】

如圖2,在矩形ABCD中,.BC=7,AB=9.P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，分別連接AP、BP、CP,且PB=3延長(zhǎng)CP交AB

于點(diǎn)F,若BF=1,求\AP+PC的值.

如圖3是某街心花園的一角，在扇形AOB中,.Z.AOB=90°,OA=12米，在矮圍墻OA和OB上分別有兩個(gè)

入口C和D,.AC=4米，D為OB的中點(diǎn).現(xiàn)要在4B上找一個(gè)出口E,沿CE、DE從入口到出口鋪設(shè)兩條景觀

小路.已知鋪設(shè)小路CE所用的普通石材每米的造價(jià)是200元，鋪設(shè)小路DE所用的景觀石材每米的造價(jià)是400元，

則在上是否存在點(diǎn)E,使鋪設(shè)小路CE和DE的總造價(jià)最低?若存在，求出最低總造價(jià)和出口E距直線OB

的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由.(小路的寬度忽略不計(jì))

16.二次函數(shù)+矩形+圓+阿氏圓最值------21連云港模擬+代數(shù)綜合壓軸+初三

如圖，拋物線y=-x2+bx+c與直線AB交于A(-4.-4),B(0,4)兩點(diǎn)直線AC:y=-緊-6交y軸于點(diǎn)C.

點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF1X軸交AC于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn)G.

(1)求拋物線y=-產(chǎn)+b%+cc的表達(dá)式.

⑵連接GB,EO,當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo).

(3)解答下列各題：

①在y軸上存在一點(diǎn)H,連接EH,HF,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A,E,F,H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形?求出此

時(shí)點(diǎn)E,H的坐標(biāo).

②在①的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)M為0E上一動(dòng)點(diǎn)，求+CM的最小值.

1.如圖，拋物線y=a/+法+5與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,AB=4拋物線的對(duì)稱軸x=3與經(jīng)

過點(diǎn)A的直線y=kx-l交于點(diǎn)D,與x軸交于點(diǎn)E.

(1)求直線AD及拋物線的表達(dá)式；

(2)以點(diǎn)B為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)P為。B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出PC+|PA的最小值.

【答案】Q)直線AD的解析式為y=x-l；拋物線解析式為y=x2-6x+5(2)741

【解析】⑴解:.拋物線的對(duì)稱軸x=3,AB=43.A(l,0),B(5,0),將A(l,0)代入直線y=kx-1,得匕1=0廨得k=l,/.

直線AD的解析式為y=x-l；將A(l,0),B(5,0)代Ay=ax2+bx+5得與；/°，解得二26”拋物線的

解析式為y=x2-6x+5;

(2)如下圖所示，在AB上取點(diǎn)F,使BF=1,連接CF,???PB=2,.?.霽'u=/又?./PBF=/ABP,」.

rDZAB4ZrD/ID

△PBF—ABP,.蕓=黑=小即PF="4.??PC+^PA=PC+PF>當(dāng)點(diǎn)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PC+“A的

值最小,即為線段CF的長(zhǎng),?.。C=5,OF=。B-l=5-l=4,.?.CF=yj0C2+0F2=回不不=WT,PC+椒的最小值

為V41.

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)解析式

2.如圖，在SBC中,AB=5,tanzC=2廁AC+哼BC的最大值為

5-

【答案】5V2

【解析】

【分析】

過點(diǎn)B作BD±AC,垂足為D,如圖所示，利用三角函數(shù)定義得到AC+^BC=AC+DC,延長(zhǎng)DC到E,使E

C=CD=x，連接BE,如圖所示，從而確定

AC+yBC=AC+DCAC+CE=AE.ZE=45°,再由輔助圓-定弦定角模型得到點(diǎn)E在。0上運(yùn)動(dòng)，AE

是。。的弦，求4C+的最大值就是求弦AE的最大值，即AE是直徑時(shí)，取到最大值，由圓周角定理及勾股

定理求解即可得到答案.

【詳解】

解：過點(diǎn)B作BD±AC,垂足為D,如圖所示：

?.tanzC=2,

..在RbBCD中，設(shè)DC=x，則BD=2x,由勾股定理可得BC=V5x,

,即—BC=DC,

BCV5x55

AC+^-BC=AC+DC,

延長(zhǎng)DC到E,使EC=CD=x,連接BE,如圖所示:

AC+^BC=AC+DC=AC+CE=AE,

?.BD±DE,DE=2x=BD,

."BDE是等腰直角三角形，則NE=45°,

在3BE中,AB=5/E=45。,由輔助圓-定弦定角模型作SBE的夕桿妾圓加圖所示：

二由圓周角定理可知，點(diǎn)E在。。上運(yùn)動(dòng)，AE是。。的弦，求AC+的最大值就是求弦AE的最大值，

根據(jù)圓的性質(zhì)可知，當(dāng)弦AE過圓心。，即AE是直徑時(shí)，弦最大，如圖所示：

..NABE=90°,

???NE=45",

."ABE是等腰直角三角形，

；AB=5,

，BE=AB=5,則由勾股定理可得AE=7AB2+BE2=5短即AC+，EC的最大值為5企

故答案為：5V2

【點(diǎn)睛】

本題考查動(dòng)點(diǎn)最值問題，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、圓周角定理、

動(dòng)點(diǎn)最值問題-定弦定角模型等知識(shí)，熟練掌握動(dòng)點(diǎn)最值問題-定弦定角橫型的解法是解決問題的關(guān)鍵.

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】圓心角和圓周角

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)與判定綜合問題

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理

【知識(shí)點(diǎn)】正切的定義

3如圖，在RNABC中,AB=AC=4,點(diǎn)E,F分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的EF上任意一點(diǎn)，連接BP,C

P,則匏P+CP的最小值是.

【答案】V17

【解析】在AB上取一點(diǎn)T,使得AT=1,連接PT,PA,CT.

..PA=2,AT=1,AB=4,

PA2=AT-AB,

.PA_AB

??AT-PA"

,/zPAT=zPAB/

??.△PAT△BAP,

.PT_AP_1

''PB-AB~2

PT=-PB,

2

1

???^PB+CP=CP+PT,

.-.△COP'-APOE,

=V2,

PEQP

??.PE=yPC

—PC+PD=PE+PD>slantDE.

2

過點(diǎn)E作AB的平行線分別交CA,DB于點(diǎn)F,G,

貝！jGB=FA=-AC=-,FE=CF=-AC=

2222

1316

EG=FG-FE=AB-FE=2--=-,DG=DB-GB=3--=-

2222f

???DE=yjEG2+DG2=—,

2

PC+PD的最小值是空

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】阿氏圓問題

4在“\BC中/ACB=90o,BC=8,AC=6,以點(diǎn)。為圓心,4為半徑的圓上有一動(dòng)點(diǎn)D,連接AD,BD,CD,則\BD+

AD的最小值是

【答案】2V10

【解析】如圖，在CB上取一點(diǎn)，使得CF=2,連接FD、AF,

在RbACT中,?.NCAT=90。，AT=1,AC=4,

CT=<AT2+AC2=V17,

PC+PT>slantTC,

?+PC>slantV17,

.?[PB+PC的最小值為V17

故答案為：V17

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】阿氏圓問題

5.如圖,AB是。。的直徑,CA、DB為。。的切線,P是。。上一動(dòng)點(diǎn)，若CA=1,AB=2,DB=3，則/PC+PD的

最小值是

【解析】如圖，連接OGOP,取0C的中點(diǎn)E,連接DE,PE,

貝UCA=OA=OP=1,

0C=V2,OF=y,

?義=竺=71

OPOE

又NOOP=NPOE,

，CD=4,CF=2,CB=8,

CD2=CF-CB,

CD_CB

CF-CF'

?NFCD=NDCB,

△FCD^ADCB.

DF_CF_1

BD~CD-2’

1

DF=^BDt

,-BD+AD=DF+AF

2

DF+AD>slantAF,AF=V22+62=2

\BD+AL的最小值是22VIU.

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】阿氏圓問題

6.如圖，已知矩形ABCD,AB=8,BC=6,以點(diǎn)A為圓心、5為半徑作圓，M為。A上一動(dòng)點(diǎn)，連接CM、DM,則|CM

+MD的最小值為.

B

【答案】4

【解析】連接A0交。A于點(diǎn)E,取AE的中點(diǎn)N,連接MN,ND,

則稱CM+ML的最小值為DN的長(zhǎng)，

?.矢巨形ABCD中,AB=8,BC=6,

??.AC=7AB2+BC2=V82+62=10,

??.AM=5,AN=2.5,

AN_2.5_1_5_AM

**AM~5-2-10-4C，

?./MAN=/CAM（公共角），

「.△MANiCAM,

tMN_AN_1

??MC~AM~2，

-i

即MN=：MC,

iCM+MD=MN+DM>DN.

2

當(dāng)N、M、D三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，即J"+MD的最小值就是DN的長(zhǎng).

作NHJ_AD,易求得N”=2.5x*=2,

=2.5x|==AD-AH=6-1.5=4,5

???ND=y/NH2+HD2=V22+4.52=—.

2

故答案為：牛

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】阿氏圓問題

7如圖所示，在AABC中/ACB=90°,BC=4,AC=3,以點(diǎn)C為圓心、2為半徑的圓上有一動(dòng)點(diǎn)D,連接AD,BD,CD,

則加D+an的最小值是.

【答案】V10

【解析】如圖，在CB上取一點(diǎn)F,使得CF=1,連接FD,AF.

.-.CD=2,CF=1,CB=4,

CD2=CF-CB,

.CD_CB

??CF-CD'

.「NFCD=NDCB,

「.△FCDs^DCB,

.DF_CF_1

??BD~CD~2’

1

??.DF=

i

.'.-BD+AD=DF+AD,

DF+AD>slantAF,AF=Vl2+32=V10,

\BD+AD的最小值是Vio.

故答案為：Vio

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】阿氏圓問題

8已知。。半徑為1,AC、BD為切線AC=1,BD=2,P為弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，試求^PC+PD的最小值.

【答案】|V2

【解析】連接0C,在線段0C取一點(diǎn)E,使。E=冬

?.?—=—=二且NEOP=NPOC,

OPOC2

EOP△POC.

EPV2

———,

PC2

???日PC+PD的最小值等于EP+PD最小值.

/.(-PC+PD)=ED.

12,min

作EM^AB于M,EN，BD于N,

???OE=—,

2，

???EM=0M=

2

???BN=EM=

2

DN=2--1=3-BM=EN=l+1-=3-

22f22

ED=|V2,gp?PC+PD最小值為|V2.

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】阿氏圓問題

9在AABC中,AB=9,BC=8/ABC=60°,圓A的半徑為6,P是圓A上的動(dòng)點(diǎn)，連接PbPC,則3PC+2PB的最小值

為______

B

【答案】21

【解析】在AB上取Q點(diǎn)，連接AP、PQ,使得AQ=4.則AAQPiAPB,且相似比為2:3,則PQ=|PB,

3PC+2PB=3(PC+|PB)=3(PC+PQ)>s/cmt3CQ在^BQC中用余弦定理求得

QC=7,則所求為21.

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】阿氏圓問題

10.如圖，在扇形CAB中,CA=4/CAB=120°,D為CA的中點(diǎn),P為BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與C,B重合），則2PD+PB的

最小值為（）

A.4+2^3B.4V7C.10D.4V3+4

【答案】B

【解析】方法一:如圖，作NPAP=120。廁AP'=2AB=8,連接PP',BP',

APAP仁

—=—=2,

ABAD

「.△APDiPB,

.??BP'=2PD,

?，?2PD+PB=BP+PB>slantPP,

過點(diǎn)P作PE±P'A交P'A的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

???NP4P'=120°,

??.NPAE=60°.

??.ZAPE=30°.

i

AE=-AP=2.

2

PE=y/AP2-AE2=V42-22=2A/3.

在RtWEP'中,1PE=PA+AE=8+2=10

PP'=J102+(2⑹2=7112=4V7,

A2PD+PB>4a.

」.2PD+PB的最小值為4V7

方法二:如圖，延長(zhǎng)AC到E,使得CE=AC,連接BE交。A于P1,

由unp反推出-=^=—=|，

APAbPEZ

.?.P'E=2P'D,

2PD+PB=PE+PB=BE,,求出BE即可解決問題.

故選B.

11如圖，拋物線y=-x2+2尤+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,。D過A,B,C三點(diǎn)

P是。D上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC,P0,則&PC+逐P0的最小值為.

【答案】3V5

【解析】如圖所示，連接DA,DB,DC,過點(diǎn)D作DE±AB交AB于E,

.?拋物線y=-/+2%+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，

又；y=—%2+2x+3=—(x+1)(%—3),

故由二次函數(shù)的交點(diǎn)式可知A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0).

令x=0,得y=3,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),

,「。D過A,B兩點(diǎn)

二由圓的垂徑定理可知E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,D點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,y).

5CD=BD,BD=5(1—3尸+(y—0)2,CD=7(1-0)*2+(y-3)2,

J(l—3)2+(y—0)2=J(1—0)2+(y—3)2,

即4+y2=1+(y-3)2,

X+y2=1+y2—6y+9,

，y=L

,D點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1),

???OD=V(l-0)2+(l-0)2=y[2,BD=J(l—3=+(1-0)2=Vs.

在圓上，

BD=DP=V5,

延長(zhǎng)DO到F使得DF=手，連接PF,PO,

?.直線DF經(jīng)過點(diǎn)D(l,l)s0(0,0),

，直線DF的解析式是y=x,

設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),

解得％=y=_|,

.??點(diǎn)F的坐標(biāo)為(一|一I)，

L.—S",—

DP_V5_VlODF_—_V10

DO~y/2~2，DP一遍-2，

DP_DF

DO—DP'

「.△DOPiDPF,

.PF__yio

**OP~2，

PF=叵P0,

2

立PC+V5PO=a(PC+手P。=V2(PC+PF),

???當(dāng)P、C、F三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，

???V2PC+V5PO=V2CF

=&(卜-。)2+(-13)2)

=3A/5.

故答案為：3V5

12如圖，點(diǎn)A、B在圓0上,0A，0B,0A=0B=12,點(diǎn)（：是0A的中點(diǎn)，點(diǎn)D在0B上,OD=10,點(diǎn)P是圓0上一

動(dòng)點(diǎn)則PC+?。的最小值為.

【答案】13

【解析】延長(zhǎng)0A至Q,使QA=A0=12,連接QP,

CO_0P_1

OP~0Q~2’

.,.△COP-APOQ,

，PQ=2PC,

11

PC+jPD=：(PQ+2PD),

當(dāng)P、Q、D三點(diǎn)共線時(shí)，

(PC+-PD)=-QD=-xV242+102=13.

12min22

13如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，P點(diǎn)是以B為圓心，BE為半徑的圓上

任意一點(diǎn)，則+2PF的最小值為.

【答案】V17

【解析】設(shè)圓與AB交于G點(diǎn),BG中點(diǎn)為H,連HP、PC、BP.

易證ABHPSABPA/BFPSABPC,且相似比均為1:2.

貝[]^PA=PH,2PF=PC,^PA+2PF=PH+PC>CH=VT7為所求.

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】阿氏圓問題

14.問題提出如圖1,在RbABC中/ACB=9O°,CB=4,CA=6,0C半徑為2,P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP,求AP

+”P的最小值，

圖1

(1)嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路：如圖2,連接CP,在CB上取點(diǎn)D使CD=1,則有

￡￡=￡￡=1X-.ZPCD=ZBCP,.-.APCD-ABCPPD=-BP,.AP+-BP=AP+PD

CPCB2'BP222

請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+|BP的最小值為

B

圖2

(2)自主探索：在"問題提出"的條件不變的情況下:4P+BP的最小值為

【答案】⑴V37

(2)|V37

【解析】(1)如圖L連接AD,

AP+-2BP=AP+PD,

..當(dāng)點(diǎn)A,P,D在同一條直線時(shí)，AP+PD最小,

日AP+|BP的最小值為AD的長(zhǎng)度，

在RbACD中,CD=1,AC=6,

AD=yjAC2+CD2=內(nèi)，

.?.aP+^BP的最小值為V37

⑵如圖2,連接CP,在CA上取點(diǎn)D,使CD=|,

-zPCD=zACP,

.1△PCDSAACP,

PD_1

AP-3，

1

PD=：AP,

i

r.-AP+BP=BP+PD

3t

,.同⑴的方法得出^AP+BF的最小值為BD=y/BC2+CD2=|V37.

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】阿氏圓問題

15.(1)【問題發(fā)現(xiàn)】

如圖L已知線段AC和BC,AC=2,BC=5,貝!l線段AB的最小值為

A

一

(2)【問題探究】

如圖2,在矩形ABCD中,BC=7,AB=9,P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，分別連接AP.BRCP,且PB-3,延長(zhǎng)CP交AB于點(diǎn)F,若

BF=1,求:4P+PC的值.

(3)【問題解決】

如圖3是某街心花園的一角，在扇形AOB中,NAOB=90O,OA=12米，在矮圍墻0A和0B上分別有兩個(gè)入口C

和D,AC=4米，D為OB的中點(diǎn).現(xiàn)要在AB上找一個(gè)出口E,沿CE、DE從入口到出口鋪設(shè)兩條景觀小路.已知鋪

設(shè)小路CE所用的普通石材每米的造價(jià)是200元，鋪設(shè)小路DE所用的景觀石材每米的造價(jià)是400元，則在AB上

是否存在點(diǎn)E，使鋪設(shè)小路CE和DE的總造價(jià)最低?若存在，求出最低總造價(jià)和出口E距直線0B的距離；若不存

在，請(qǐng)說明理由.(小路的寬度忽略不計(jì))

【答案】⑴3

(2)5V2

(3)存在，總造價(jià)的最小值為1600VIU元出口E距直線0B的距離為二業(yè)米.

【解析】⑴當(dāng)AC與BC重合時(shí),AB最小，

ABmin=BC-AC=5-2=3.

⑵如圖，在AB上截取BF=1,連接PF、CF,

.?.AB=9,PB=3,BF=1,

PB_1_BF

AB~3~BP'

./ABP=NPBF,

.△ABP~WBF,

FP_BP_1

AP~AB~3，

PF=^AP,

1

-AP+PC=PF+PC

3

當(dāng)F、P、C三點(diǎn)共線時(shí).\AP+PC最小，且為CF的長(zhǎng)，

在RfBCF中,BF=1,BC=7,

CF=y/BF2+BC2=“+49=5Vx

(-AP+PC]=5V2.

'3'min

(3)鋪設(shè)小路CE和DE總造價(jià)為200CE+400DE=200(CE+2DE),如圖連接0E,延長(zhǎng)0B到點(diǎn)Q,使BQ=OB=1

2米，連接EQ,在AEOD與AQOE中/EOD=NQOE,

.OD_OE_1

''OE-OQ_2r

A

..△EOD-'QOE/

故:QE=2DE,

，CE+2DE=CE+QE,問題轉(zhuǎn)化為求CE+QE的最小值,

連接CQ,交弧AB于點(diǎn)E',此時(shí)CE+QE取得最小值CQ,

在Rt^COQ中,C0=8米,OQ=24米，

CQ=8"U米，

故總造價(jià)的最小值為16004U元.

作E'H^OB,垂足為H，連接OE：

設(shè)EH=x，則QH=3x,