安慶二中2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期期中考試

高一數(shù)學(xué)試題

(考試時(shí)間：120分鐘分值：150分)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

2

.4=Ix<215={xlx+3x-45ol.nn_

1.己知集合L?,集合?,則」」8-()

A.[T4]B.[0,1]C.[-4,1]D.(-8,4]

【答案】B

【解析】

【分析】先分別求出兩個(gè)集合的解集，再根據(jù)集合的運(yùn)算可求出結(jié)果.

【詳解】對(duì)于不等式J7?2，解得o<X<4,

所以.4=[XI0<,r<4；,

對(duì)于不等式1-44。，BP(A-+4|(.V1|<0,解得7s,r<1,

所以B=I-4<v<1,

所以8=[X|0<JC<1|=[0,1].

故選：B.

2.已知aeR,幺1■為純虛數(shù)，貝!Ia=()

2-41

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)㈡:，再由純虛數(shù)的定義列方程求a.

2-4i

a+i(a+i)(2+4i)2a-4+|4?+2)i

【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù),

2-4i—(2-4i)(2+4i)

所以2a4=0，且4aI2工0,

所以a=2.

第1頁(yè)/共18頁(yè)

故選：B.

3.如圖，矩形OU'8'C'是用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的水平放置的一個(gè)平面四邊形O48C的直觀圖，其中

0才=4.0'C'=I,那么00/8。的面積為(

B.4VTD.

【答案】D

【解析】

【分析】求出矩形o‘rs'C'的面積，再利用斜二測(cè)畫(huà)法中直觀圖面積與原圖形面積的關(guān)系求得答案.

【詳解】依題意,矩形O/8'L的面積S'=OT-O'C'=4,

而斜二測(cè)畫(huà)法中直觀圖面積是原圖形面積的二二,

4

所以口OABC的面積為86.

故選：D

4.若tana=2,則.""a’的值為（

s《inn2Jna+consb*cai

【答案】B

【解析】

【分析】利用二倍角公式及正余弦齊次式法求值即得.

故選：B

5.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)。是線段BC的中點(diǎn)，E是線段的靠近A的三等分點(diǎn)，則/后=()

第2頁(yè)/共18頁(yè)

A'/>'I-BCB-BA+-BCcD-BA+-BC

33363333

【答案】B

【解析】

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】依題意，BE—BAAE-BA+-=BA+-(BZ)—BA)=BA+—(—BC—BA)——"BA+—BC.

333236

故選：B

6.函數(shù)/(x)=/(e'-e'I的大致圖象為()

【解析】

【分析】分析函數(shù)/的奇偶性，并利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在(0,+81上的單調(diào)性，結(jié)合排除法可得出

合適的選項(xiàng).

【詳解】函數(shù)/(、1的定義域?yàn)镽,/(-x|=l-.tr(e'-6')=-12(€'-e-')=-/I：VI,

所以，函數(shù)為奇函數(shù)，排除BD選項(xiàng).

當(dāng)X>0時(shí)，-V>-V,貝h-e,；-0,/*lV|=2.t(e1-e'|+.v'|e'+e')>0,

所以，函數(shù)/(W在(O，+“：上為增函數(shù)，排除C選項(xiàng).

第3頁(yè)/共18頁(yè)

故選：A.

7.斛是我國(guó)古代的一種量器，如圖所示的斛可視為正四棱臺(tái)，若該正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2,4,

側(cè)面積為24,則該正四棱臺(tái)的體積為()

22428仄I12V5

A.56B.---C.—v3D.-----

333

【答案】c

【解析】

【分析】先根據(jù)正四棱臺(tái)的側(cè)面積求出斜高，再求正四棱臺(tái)的高，根據(jù)四棱臺(tái)的體積公式求解.

【詳解】由[[4(2+4)]j'=24—為四棱臺(tái)的斜高.

設(shè)四棱臺(tái)的高為力，則力=yjh'-|2-l|：=JT，

所以四棱臺(tái)的體積為：V=1x73x(4+16+74x16)=^^-.

故選：C

8.己知四邊形.48(7)中，.4ClB0,/B=8C=z=2,/C=C0=2jJ,點(diǎn)E在四邊形.48(7)的四

條邊上運(yùn)動(dòng)，則下才.『萬(wàn)的最小值是()

A.4B.0C.-3D.-4

【答案】C

【解析】

【分析】由題意分析可知四線性.48(?。關(guān)于直線8。對(duì)稱，且8cle0,只需考慮點(diǎn)￡在邊8C,CD上

的運(yùn)動(dòng)情況即可，然后分類討論求出EB-ED的最小值.

【詳解】如圖所示，因?yàn)?C，8。，且.48=8C,所以8。垂直且平分XC,

Er

第4頁(yè)/共18頁(yè)

則—）為等腰三角形，又.建;CD=,所以“CO為等邊三角形.

則四邊形.48。。關(guān)于直線8。對(duì)稱，故點(diǎn)E在四邊形4BCD的四條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，只需考慮點(diǎn)E在邊

BC,CD上的運(yùn)動(dòng)情況即可，

RD

因?yàn)?48=8。=工-=2,易知“：.CD=BD：，即8c1CD,則行.而=0,

①當(dāng)點(diǎn)E在邊8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)而=入而|04力41|,

則麗=麗+麗=而+而_而=（入-1）而+而，

所以曲?麗=入而而+而］=疔鼠|入-1）而,當(dāng)a=1時(shí)，EBEO的最小值

為—1;

②當(dāng)點(diǎn)E在邊C。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)麗=A?函（04A411,

則麗=麗+麗=而+而-而而+而，

所以而?前而+）卜而/而=當(dāng)k=1時(shí)，鉞.麗的最小

L」2

綜上，下鼠￡萬(wàn)的最小值為,3,

故選：C.

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

9.已知復(fù)數(shù)：，、二,以下四個(gè)說(shuō)法中正確的是（）

A.二??三=1?三

B.若同=|-；|,貝IJ二；=二；

c匕+z』引4|+匕|

D.若小二/二產(chǎn)三）是方程x、ax+6=0（a、be別的虛根，則、、二：互為共輾復(fù)數(shù)

【答案】ACD

第5頁(yè)/共18頁(yè)

【解析】

【分析】根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的性質(zhì)，可判定A正確；根據(jù)；=J5i,三=17,可判定B不正確；根據(jù)復(fù)數(shù)模的

運(yùn)算，以及基本不等式，可判定C正確；根據(jù)實(shí)系數(shù)的一元二次方程的虛根成對(duì)的原理，可判定D正確.

【詳解】對(duì)于A中，設(shè)=1=4+左,二2=c+1i.(a*瓦,

則zt-z,=(o+/?i)(c+di)=ac-hd+(ad+hc)i,所以:［?三=ac-hd-(ad+bc)i

又由W?二？=(a-bi)(cdi)=achd(ad+bc)i,

所以二］?［：=二??三，所以A正確；

對(duì)于B中,取Zj=>/2i,z?=l+i,滿足「則Z1——2.Z2=2i,所以z；z2,

所以B不正確；

對(duì)于C中，設(shè)二I=a+8i,二2=c+(/i\a,b,c,deR),

貝！Jpi+Zzl=|(a+c)+(6+(/)i|=a2++c:+</:+lac+2bd,

(|zj+|z：|f=aW+d+/+2^(a2+/>:)(c:+d:),

又由(ac+M)'=a\~+b2d2+labed,

(a2+b2)(c2+d2)=a2c:+b2d2+a2d2+b2c2^a2c2+b2d2+2abcd

當(dāng)且僅當(dāng)「d：=h；時(shí)，等號(hào)成立，所以匕+二』引zj+H，所以c正確；

對(duì)于D中，利用實(shí)系數(shù)的一元二次方程的虛根成對(duì)的原理，即可得到D正確.

故選：ACD.

10.已知.48C的內(nèi)角L8,C所對(duì)的邊分別為。，機(jī)。，則下列說(shuō)法正確的是()

A.若sin8>sinC,則8>C

B.若。=2#/=4,4=：,則三角形有兩解

C.若.48C面積為S,S=則C=?.

4'4

D.若6cos8ccosC=0,則.48(7一定為等腰直角三角形

【答案】AC

【解析】

第6頁(yè)/共18頁(yè)

【分析】對(duì)于A：利用正弦定理化簡(jiǎn)即可；對(duì)于B：利用余弦定理運(yùn)算求解即可；對(duì)于C：利用面積公式和

余弦定理化簡(jiǎn)即可；對(duì)于D：舉反例即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)閟in8>sinC,貝所以8>C,故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：由余弦定理可得r=b,?「?？hicos.』，BP24=16+c2-2x4cx—,

2

整理可得(-4VFc-1-U，解得<-2W-$或t-?V?-4(舍去)，

所以三角形有一解，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)镾=一（/+,則』absinC='x2aZ>cosC,可得tanC=l,

424

且Ce(0.7d,所以C=￡,故c正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：例如才=8=C=；,貝u“=b=,

可得Mos8ccosC=frcosfibcosB=0,符合題意，

但.48C為等邊三角形，故D錯(cuò)誤；

故選：AC.

11.定義在R上的奇函數(shù)/⑶，滿足/(l+x)=〃3-x)且“X)在［0,2］上單調(diào)遞減，/(2)=-1,則

()

A.函數(shù)圖象關(guān)于直線X=2對(duì)稱

B.函數(shù)/(W的周期為4

C./(2024)+/(2022)=1

D.設(shè)=/十T|-6<x<2|,和g［x］的圖象所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為一2

【答案】AC

【解析】

【分析】A：將./(I川=/13X)變形為〃2+#=/(2XI即可判斷；B：根據(jù)〃-2)./(2)的大小

關(guān)系可作出判斷；c：根據(jù)B中計(jì)算出的周期化簡(jiǎn)/(20241?/|20221,結(jié)合〃的奇偶性可判斷結(jié)果;

D：先分析的圖象的對(duì)稱性，然后作出xi在同一坐標(biāo)系下的圖象，根據(jù)圖象的交點(diǎn)

個(gè)數(shù)作出判斷.

第7頁(yè)/共18頁(yè)

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?(l+x|=〃3x),所以〃2+M=/[2x),所以/(X)圖象關(guān)于直線X=2對(duì)

稱，故A正確；

對(duì)于B：因?yàn)?(l+x)=/(3-x),所以/'(x+4)=/(-x),

又因?yàn)槭荝上的奇函數(shù)，所以/|-x)=所以〃x+4i=?/|x),

所以〃x+8)=-/(x+4)=/(x),所以的周期為,

又因?yàn)?(2)=友2)=1,所以所以的周期不可能為4,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)椤ǖ闹芷跒?，所?/p>

/(2024)+/(2022)=/(8x253|+/(8x253-2)=/(0)+/(-2),

因?yàn)槭荝上的奇函數(shù)，所以.〃0|+/「21=0-〃2|=1,所以〃20241+/(2022|=1,故c正

確；

對(duì)于D：因?yàn)椤▁+4)=/(-x),所以/(-4-x)=/(x+8)=/(x),所以/(-2-”=/(-2+幻，

所以的圖象關(guān)于K=-2對(duì)稱，

又因?yàn)間1-4-x|==$十臼=g(x),所以g(-2-x)=g(-2+x),

所以月(H的圖象也關(guān)于、=2對(duì)稱，

作出〃N.g|XI在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如下圖所示：

由圖象可知：有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)關(guān)于A=-2對(duì)稱，

所以的圖象所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為-2x2=-4,故D錯(cuò)誤；

故選：AC.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)稱性常用結(jié)論如下：

(1)若函數(shù)/")滿足/(4+*}=/(。-”或/(2。7)=/(*)或/(2。+”=/(-”，則/(x)的一

條對(duì)稱軸為x=。；

第8頁(yè)/共18頁(yè)

(2)若函數(shù)/(x)滿足〃a+x)+/(a-x)=2/>^/(2a-x)+/(x)=2方或/(2a+x)+f(-x}=2b,

則/(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為(。力).

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知￡=|1,3|[=[2+，1|,且d與/1的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)彳的取值范圍是—.

【答案】A>—5且拄一Q

【解析】

【分析】依據(jù)兩個(gè)向量的夾角為銳角，所以可得8$?,q}>0且月工4￡屋>01,然后計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)閐與力的夾角為銳角，則coS(u后>0,且cos，；”")/I,

——-5

即d,6=2+%+3>0,且6HA“7(A>0],則/>—5且及—.

3

故答案為：4>一5且拄一§.

13.如圖，在離地面高100的熱氣球M上，觀測(cè)到山頂C處的仰角為15°、山腳A處的俯角為45。，已知

ZBAC=603,則山的高度BC為.

【答案】150

【解析】

【分析】先求得4W,然后利用正弦定理求得,4C,由此求得8c.

【詳解】依題意可知三角形,八/0是等腰直角三角形，

所以=IDOVT，

ZX.WC=60e,Z.WK=180°-45°-60°=75°,￡ACM=180°-60°-75°=45°，

由正弦定理得』—4W,4M

,AC=?sin600

sin600sin450sin45°

第9頁(yè)/共18頁(yè)

A“100x/23

心，，BC=JC-sin60°=-sin260°==150

所以sin45°4

故答案為：NO

l.r+lLx5O

14.已知/(."=

v＞o'若方程有四個(gè)不同的解項(xiàng)、八、XJ、L且＞＜工＜八＜3,

1I

貝I］』+-V,+-的取值范圍是.

XyX4

【答案】|-2,-2+

【解析】

1I、1

【分析】作出函數(shù)的圖象可得：項(xiàng)+工=-2,xt=—,進(jìn)而得到占?與~---=-2-----x,,求出

XjM

口的取值范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求解.

【詳解】如下圖所示:

y=f(x)

OX31

方程/（M=a有四個(gè)不同的解玉、七、X）、肛且、＜'＜v＜h，且

由圖可知，點(diǎn)（三,“）關(guān)于直線入=1對(duì)稱，則\+工=-2,

由圖可得由|lnxj=|lnx/可得Inx,=-Inx,=In',可得

由a=|lnxj=-In.、e[0,l]可得<1,

I1I

所以，X|+4+-

-X-二在-.1I上均為減函數(shù)，故函數(shù)丁=1

因?yàn)楹瘮?shù)J'=一、I

X

第10頁(yè)/共18頁(yè)

因?yàn)開(kāi)4M<],則-2<---x,-2<-2+e--,

ex,e

11(|1

因此，$+工+-----7的取值范圍是I-2,-2+e--.

心Xj\e.

故答案為：卜2,-2+e-：.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將所求代數(shù)式化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化

為只含一個(gè)變量的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)基本性質(zhì)求解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.求下列各式的值：

(1Y7

⑴(本+lg25+lg4+7心:；

Jl-2sinlO°coslO°

sin10°-Vl-sin:100

【答案】⑴20;(2)-1

【解析】

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)累運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算公式求解.

(2)利用同角關(guān)系計(jì)算即得.

小問(wèn)1詳解】

(1

77+Ig25+Ig4+7^J2

\64/

2

=(2-6)y+lg52+lg22+2

=24+2(lg5+lg2)+2

=24+2lgl0+2

=16+2+2=20；

【小問(wèn)2詳解】

Jl-2sinl0°8s10°Jsin"0°+cos“00-2sinl00cosl00

sinl00-Vl-sin210°sinlO0->/l-sin:10°

第11頁(yè)/共18頁(yè)

^(sinl00-cosl00)4

sin100-cos10°

_cos10°-sin10°_]

sin100-cos10°

16.記.48。的內(nèi)角.L8,C的對(duì)邊分別為。、氏。，已知J諷os/l+J?acos8+ctart4=0.

(1)求A；

(2)若Q=4,求ABC的面積的最大值.

【答案】(1)力=至

⑵史

3

【解析】

【分析】⑴邊化角結(jié)合sin18+川=sin('即可求解；

(2)由余弦定理、基本不等式結(jié)合三角形面積公式即可求解；

【小問(wèn)1詳解】

由JIfrcos/l+JJocosB+ctanJ=0結(jié)合正弦定理邊化角可得：

6sinBcosA+VJsinAcosb+sinCtanJ=0,

即"sin(8-.41+sinCtan.4=0,又d-8=x-C,

所以6sinC+sinQan4=0,又sinC*0,

所以tailA=—>/?>，。<」<x

所以；

【小問(wèn)2詳解】

,222?

由余弦定理，得cos.4=—————=一一,

2bc2

所以/+<;-16=-fee.

由基本不等式知卜?12Ue,

于是-be=/)'+c:-16>2be-16=>he<—,

第12頁(yè)/共18頁(yè)

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=—時(shí)等號(hào)成立.

3

^\，曲、，后16

所以ABC面f積ncS=—bLcs\nA=—be<—x—=---

24433

當(dāng)且僅當(dāng)/>=。=士①時(shí)，面積取得最大值SC.

33

17.記.48。的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2/>c=2dcost,.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若。點(diǎn)在線段8C上，且平分/84C,若8D=2CD,且,4。=6,求

【答案】(1)4=T

g3G

(2)a=---

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得2sin8sinf=2sin-IcosC,結(jié)合sin8=sin|.4?C|利

用兩角和的正弦展開(kāi)式化簡(jiǎn)，再結(jié)合角的范圍可求結(jié)果;

(2)由'，八7”.-S，一利用三角形的面積公式化簡(jiǎn)可得力+c=k,再結(jié)合角平分線定理可得c=2/>

,然后用余弦定理可求結(jié)果;

【小問(wèn)1詳解】

由正弦定理可得;b

sinB

所以2b-c=2acosCn2sinB-sin(=2sinAcosC,

即2sin(4+C)-sinC=2sinAcos(,

可得2sinAcosCf2cosAsinC-sinC=2sinAcosC,

整理可得sin。2cosA1)=0,

因?yàn)樵贏BC中，sinC>0,

所以cos4=J,又

2

n

所以j二Q；

【小問(wèn)2詳解】

第13頁(yè)/共18頁(yè)

因?yàn)?AKpA。平分/8/C,

由§如+§>u=S?得:,40.,43sinm.,4Csinm./Csin3,

262623

即走C+苴^=—be

整理可得力+c=k,①

444

因?yàn)?。。為角平分線,所以N8」D=NC/D,

BDAB

在△中由正弦定理可得一_--

sin/.BADsinZBDA

CDAC

在中由正弦定理可得.

sinZCADsin-C'

又上BDA=n-ADC,所以sin/80.4=sinAADC,

ADDn

所以==2^AB=2AC^c=2b,②

ACCD

由①②可得8=3,c=3,

2

在.48C中，由余弦定理可得

兀27

:2:

BC=AC+AB-2ACABcos-=—f

18.在.48C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,BC,AC邊上的兩條中線AM,8N相交于點(diǎn)P.

(1)令4八0,』C二A，用Q，h表示AP;

(2)證明：所卜;,2.+。2卜/；

⑶若.48=4,.40=10,N8.4C=60：,求NMPN的余弦值.

第14頁(yè)/共18頁(yè)

【答案】(1)」，--lJ*-

⑵證明見(jiàn)解析⑶4叵

91

【解析】

【分析】(1)由條件可得竺=，，結(jié)合工/=?(1以+%)可解；

(2)在.48C中，由余弦定理，得C0S/48C,在屋彳8的中，由余弦定理，得H/；

(3)/與而，麗的夾角相等，根據(jù)向量夾角公式可求其大小.

【小問(wèn)1詳解】

由題可知?是A48c重心，且竺=2，

PA2

所以AP=:AAf=；(4月+彳")=卜+j.

【小問(wèn)2詳解】

在48C中，由余弦定理，得cosN.4BC=，

lac

在AHBM中，由余弦定理，得

【小問(wèn)3詳解】

因?yàn)槎?/MPN，AM=^-a+^-h,BN=-a+-b,

222

■.1.21.2-2I?2

所以』A/8N=—-a--ab+-b=-8-5+25=12,

244

-1A7BN124回4病

所以c°s,JL7即=^^=即=寸,即乙的余弦值為詈.

19.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)/(x)=asinx+〃cosx,稱向量d7=(。/)為函數(shù)/(K|的相伴特征向

量，同時(shí)稱函數(shù)/(打?yàn)橄蛄?"的相伴函數(shù).

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⑴記向量ON=(1,6)的相伴函數(shù)為/(K),若且xj-f，：]，求siiu的值；