安徽省安慶市2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題(本大題共8小題)

L復(fù)數(shù)言的共軌復(fù)數(shù)是()

3.3.

A.—iB.—iC.—iD.i

55

2.等比數(shù)列｛叫中的出，%4是函數(shù)/(x)=(—T2x+21)eX的極值點，出。出4，則

皿⑷二()

A.1B.—C.—1D.—

33

3.已知向量癡滿足卜|=1,卜+可=2,且—則忖=()

A.1B.V2C?JiD.2

4.曲線歹=e3+l在點(0,2)處的切線與直線歹=0和V=x圍成的三角形的面積為

()

A.—B.—C.—D.1

323

5.已知函數(shù)/(x)滿足/(x)=2/(x—1),當(dāng)0?X<1時,f(x)=3x,則/(噫18)=

()

A.2B.4C.8D.18

6.正四棱臺上底面邊長為1,下底面邊長為2,若一個球的球心到正四棱臺各個面

的距離均等于該球的半徑，則正四棱臺與該球的體積之比為()

A.14:兀B.7:兀C.7:2兀D.7:行兀

7.已知點P在圓卜-￡[+/=；上，A(-2,0),則；|尸/|+|尸7圖的最小

值為()

A.1B.V2C.242D.Vw

8.已知函數(shù)/(x)=er-aln(ax-a)+a(a>0),若對于任意的x>1使得不等式/(無)20

成立，則實數(shù)”的取值范圍()

A.(0,e2]B.(0,ee]C.[e2,+?)D.[ee,+co)

二、多選題(本大題共3小題)

9.一口袋中有除顏色外完全相同的3個紅球和2個白球，從中無放回的隨機取兩

次，每次取1個球，記事件4：第一次取出的是紅球；事件(：第一次取出的是白

球；事件6：取出的兩球同色；事件C：取出的兩球中至少有一個紅球，則

()

A.事件4，4為互斥事件B.事件8。為獨立事件

1/15

23

C.P(S)=-D.P(C|^2)=-

10.設(shè)函數(shù)/(x)=丁—%2+qx-1,則()

A.當(dāng)。=-1時，/(x)有三個零點

B.當(dāng)aN；時，“X)無極值點

C.3aeR,使/(x)在R上是減函數(shù)

D.VaeRJG)圖象對稱中心的橫坐標(biāo)不變

11.如圖，棱長為2的正方體/BCD中，尸，。分別是棱CG，棱3c的中

點，動點W滿足萬方=2刀+〃方瓦，其中；L,，eR,則下列結(jié)論正確的是

A.若幾+〃=1,貝！1cM

B.若彳=〃，則三棱錐用-/MC的體積為定值

C.若〃=g,Q,4,1,則直線PM與直線8c所成角的最小值為60。

D.若動點”在三棱錐尸。外接球的表面上，則點M的軌跡長度為0兀

三、填空題(本大題共3小題)

12.已知=貝！Jsin2a=.

13.已知函數(shù)/(x)=2x2+〃lnx的圖象在x=l處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點，則實數(shù)

a-.

22

14.已知雙曲線C：=-二=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為公，F(xiàn)],若在

ab

C上存在點尸(不是頂點)，使得/%￡=3/小耳，則C的離心率的取值范圍

為.

四、解答題(本大題共5小題)

15.已知數(shù)列｛。“｝中，出=1，設(shè)S“為｛?！保癮項和，2Sn=nan.

(1)求｛與｝的通項公式；

2/15

sinl

⑵若"=求數(shù)列｛，｝的前〃項和1

cos(tz?+1)008(^+1)

16.如圖，四棱錐P-48cA中，平面P4D_L平面

ABCD,AB//CD,AD1CD,PA=PD=AD=CD=2,N8=1,M為棱PC上一點.

（1）證明：BD1PC；

（2）若尸/〃平面求直線尸C與平面所成角的正弦值.

2

17.已知甲、乙兩人進行乒乓球比賽，每局比賽甲獲勝的概率為1,乙獲勝的概率

為g,每局比賽的結(jié)果互不影響.規(guī)定：凈勝優(yōu)局指的是一方比另一方多勝加局.

⑴如果約定先凈勝兩局者獲勝，求恰好4局結(jié)束比賽的概率；

⑵如果約定先凈勝三局者獲勝，那么在比賽過程中，甲可能凈勝

%=-3,-2,-1,0,1,2,3）局.設(shè)甲在凈勝，局時，繼續(xù)比賽甲獲勝的概率為々，比賽結(jié)

束（甲、乙有一方先凈勝三局）時需進行的局?jǐn)?shù)為x,期望為磯用）.

①求甲獲勝的概率乙；

②求￡（4）.

22

18.已知點/（2,0）為橢HE東+方=1e>1>0）的右端點,橢圓￡的離心率為

，，過點尸（2,2）的直線/與橢圓交于5、c兩點，直線/3、/C分別與y軸交于

M、N點.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵試判斷線段血W的中點是否為定點，若是，求出該點縱坐標(biāo)，若不是，說明理

由.

19.已知函數(shù)/(x)=ln(x+l)—

(1)當(dāng)〃=1時,求/(%)的極值；

⑵若求。的值；

111/

(3)求證：sin-----l-sin------1----l-sin——<ln2lneN

〃+l〃+22n'

3/15

參考答案

1.【答案】C

【詳解】由題意知,

2+i(2+i)(l+2i)

令z=二1,

l-2i(l-2i)(l+2i)

所以復(fù)數(shù)的共輾復(fù)數(shù)為1=—i，

故選C.

2.【答案】A

【詳解】由/（"=優(yōu)一12苫+21）1求導(dǎo)得廣（x）=，-10x+9）e1

由/'(x)>0nx2-10x+9>0=>(x_l)(x_9)>0n尤<1或x>9；

由/'（x）<01<%<9.

所以函數(shù)〃x）在（-叫1）和（9,+s）上單調(diào)遞增，在。,9）上單調(diào)遞減.

所以函數(shù)“X）的極大值點為x=l,極小值點為x=9.

由題意可知。2，。24=<4=9，所以log3|a13|=1.

故選A.

3.【答案】A

【詳解】因為，一同,不，則0_4石=廬_?石=0=廬=）石，

又因為同=1,

由歸+同=2得7+2.石+片=4，

則1+2片+片=4=片=1，則同=1，

故選A.

4.【答案】A

【詳解】y'=-2e2=y盤=_2,所以在點（0,2）處的切線方程為了=-2》+2,它與

y=x的交點為4G，與k0的交點為（1,0）,所以三角形面積為:x：xl=a

故選A.

5.【答案】C

【詳解】因為2=log39<log318<log327=3,所以0<logs*-2<1.

2

因為/（無）=2/（x-1）,所以/（log318）=27（log318-2）=2X3啕回?=8.

故選C.

6.【答案】B

【詳解】

4/15

如圖作出正四棱臺的軸截面圖，可知這個等腰梯形的內(nèi)切圓就是內(nèi)切球的最大圓,

根據(jù)CD=1,N8=2,設(shè)球的半徑為則由直角三角形8C8中的勾股定理得：

91

BC2=(2R?+『BC=

利用等面積法：sBEFC=S^FCI+S&BEI+^^BCI'

可得:

解得：V

再由棱臺體積公式得：Vx=1(l+4+Vi><4)xV2=^y-

由球的體積公式得：匕=3x7tx電=&,

3I2J3

772

所以正四棱臺與球的體積之比是：多二餐=2,

K<27t

------71

3

故選B.

7.【答案】B

【詳解】設(shè)尸(x,y),3(。,0),^\PA^PB\,則;J(x+2)2+/二"江+尸,

整理后x"-竽x+""

與已知尸軌跡方程展開整理得：x2+y2-5x+4=0,

9a+2

4

對照，得c；“，解得。=2，所以8(2,0).

9a--4.

---------=4

4

；|尸/|+\PM\=\PB\+\PM\>\MB\=J(2_1)2+(1-0)2=V2

則當(dāng)P、B、M三點共線時取得最小值百

故選B.

5/15

8.【答案】A

【詳解】因為0>0,由數(shù)-。>0可得x>l,即函數(shù)f(x)的定義域為(1,+s),

X

/(x)=e%-alna-o'ln(x-l)+iz>On]'^—-Ina>ln(x-1)-1,

即ex~'na+x-Ina2x-1+In(x-1),

構(gòu)造函數(shù)g(x)=x+lnx,其中x>0,則g<x)=l+：>0,故函數(shù)g(x)在(0,+8)上單

調(diào)遞增，

所以8(。'』""8卜一1),可得貝ijx-lna與n(x-1),

HPlna<x-ln(x-l),其中x>l,令〃(x)=x-ln(x-l),其中x>l,

則〃(x)=l-----=匚，當(dāng)l<x<2時，”(x)<0,此時函數(shù)〃(x)單調(diào)遞減，

x-1x-1

當(dāng)x〉2時，”(x)〉0,此時函數(shù)〃(X)單調(diào)遞增，

所以，Ina4力卜)向=力⑵=2,解得aVe?.

綜上，0<a<e2

故選A.

9.【答案】ACD

【詳解】第一次取出的球是紅球還是白球兩個事件不可能同時發(fā)生，它們是互斥

的，A正確；

由于是紅球有3個，白球有2個，事件3發(fā)生時，兩球同為白色或同為紅色，

q

尸(。)=器?=不具百==，事件3不發(fā)生，則兩球一白一紅，尸?=1,8,C不獨

P(B)C；+C；4

立，B錯；

事件4發(fā)生后，口袋中有3個紅球1個白球，只有從中取出一個紅球，事件C才發(fā)

3

生，所以P(C|4)="D正確.

故選ACD.

10.【答案】BD

【詳解】對于A,當(dāng)a=-l時，f(x)=xi-x2-x-1,求導(dǎo)得八無)=3x?-2x-l,

令/(x)=0得x=-g或x=l,由/'(x)>0,得或無>1,由/'(x)<0,

得T<x<i,于是[a)在y,-g),(1,+m)上單調(diào)遞增，在(—1)上單調(diào)遞減，

/。)在彳=-g處取得極大值/(-；)=-《一；+；-1<0,因此“X)最多有一個零點，A

錯誤；

6/15

對于B,/'(x)=3x2-2x+a,當(dāng)時，A=4-12a<0,即/'(無)20恒成立，

函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，AM無極值點，B正確；

對于C,要使/(x)在R上是減函數(shù)，則八x)=3/-2x+aV0恒成立，

而不等式3--2》+“40的解集不可能為R,C錯誤；

o????SR

對于D,由-x)+/(%)=(§-a―(§-%)2+-x)-1+x3-x2+ax-1=—a--,

得了(X)圖象對稱中心坐標(biāo)為(g,"I-II),D正確.

故選BD.

11.【答案】ABD

【詳解】以。為坐標(biāo)原點，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),A(2,0,0),2(0,0,2),4(2,2,2),C(0,2,0),

所以房=(2,0,0),西=(0,0,2),

所以兩=4方+〃西=42,0,0)+〃(0,0,2)=(240,2〃)，即四(2九0,2〃)，

所以兩=(24-2,2〃)，又西=(2,2,2),

所以西?西=232+(-2)-2+2〃?2=4彳-4+4〃=4(；1+〃)-4=0,

所以豉，函，所以CM，。片，故A正確；

因為4=〃，DM=ADA+jLiDD,,所以點M在直線上，

又因為&B\UABUDC,AlBl=AB=DC,所以四邊形/QC多是平行四邊形，

所心4?！ǘ?，又4。①平面8/C,BCu平面2/C,所以平面片/C,

所以W到平面3/C的距離為定值，又△B/C的面積為定值,

所以三棱錐片-/"C的體積為定值，故B正確；

點尸為C0的中點，坐標(biāo)為(0,2,1),點〃的坐標(biāo)為(24,0,1),

向量用7=(24-2,0),向量前=(-2,0,0),

設(shè)直線P“與直線BC所成的角為6,

7/15

\PM-BC\4

cos。二l~4

\PM[\BC\A/422+4X2

又因為0“人1,當(dāng)2=1時，（cos。）1mx=正，

即直線PM與直線8c所成角的最小值為45。，故C錯誤;

因為三棱錐C-。尸。即為三棱錐尸-C。。，又底面△80是直角三角形,

過。。的中點N作。平面CD。，。是三棱錐C-DP0外接球的球心，

因為PC,平面C。。，所以CW=gpC=g,又。。二五+儼=石,

所以三棱錐c-o尸。外接球的半徑廠=J個］+（；：=手，

因為點M在平面內(nèi)，又在三棱錐尸0外接球的表面上,

所以M的軌跡是平面截三棱錐C-D尸。外接球的截面圓，

又易得。到平面的距離為1,所以截面圓的半徑為J乎一F=f

所以M的軌跡的周長為2”也=后,故D正確.

2

故選：ABD.

12.【答案】|

71V2

所以sina

~~T

25

所以sin2a=cos----2a=cos=l-2sinf1-2x

9

13.【答案】-2

【詳解】因為/（尤）=2-+0111工，所以/'卜）=4》+區(qū),

所以（（1）=4+〃，又/⑴=2,

所以＞=/（x）在尤=1處的切線方程為：y-2=（4+a）（x-l）,

又切線方程過原點，把（0,0）代入得-2=-lx（a+4）,

解得：。=-2.

14.【答案】（72,2）

【詳解】設(shè)尸片與〉軸交點。，連接。居，由對稱性可知，NQKF—QFE，如圖

所示，

8/15

又?/NPF[F\=3NPFF?,：.gQ=ZPQF2=2ZPFtF2,：.\PQ\=\PF2\.

又???|亞|一|尸用=2a,A\PF]-\PF^\PF]-\P^=\QF\=2a,

在RtA0O耳中,\QF\>\OF^,：.2a>c,：.e=-<2,

a

由/尸6片=3/尸片耳，且三角形的內(nèi)角和為180。，尸乙入〈詈-=45°

:.cosNPF[F]=>cos45,即_￡_>2^,貝ije=—>V2.

一OK2a2a

綜上，ee(V2,2).

15.【答案】⑴凡="-1

(2)Tn=tan(w+l)-tanl

【詳解】(1)數(shù)列｛&｝中，%=1,S"為｛與｝前〃項和，

當(dāng)〃=1時，2S]=%n26=ax,/.％=0,

當(dāng)〃22時，2Sn=〃①，

2s〃+|=(〃+1)%+1②，

由②-①得:2s,+]-2S,=(〃+1)%-〃%,2(Sn+1-)=(?+1)an+i-nan,

即〃?！?(〃-1)?！?1，

n2_1L幺=3a_2

當(dāng)時，—3

“22=―遞推可得:a99

冊n-1n-\〃-2，a32a21

“〃+i.%…幺.幺_nn-132

由累乘法可得：----------X-----------X???X—X—

1”3。2n—1n-221'

乎=",又因為電=1，所以％="，即。經(jīng)檢驗，當(dāng)"=1時％=0符合上

式，

所以%="1;

(2)由(1)可知4=〃-1,an+l=n,所以：

7sinl

b=------------------------------

〃cos(%+I)cos(為+1+1)

sinl

cos〃cos(〃+1)

9/15

cos〃cos(〃+1)

sin(幾+1)cosn-cos("+1)sin〃

cosacos(〃+l)

sin(〃+l)cos〃cos(〃+l)sin〃

cosncos+1)cosncos僅+1)

=tan(加+1)-tan〃,

所以(=4+a+&+Lbn

=(tan2-tan1)+(tan3-tan2)d----b[tann-tan-1)]+[tan(〃+1)-tan

=tan(w+l)-tanl；

所以數(shù)列｛4｝的前n項和7；=tan(?+l)-tanl.

16.【答案】(1)證明見解析

⑵巫

8

【詳解】(1)取4。中點O,連接P。,。。

??,PA=PD,:.POLAD

??,平面尸4O_L平面ABCD,平面上40c平面=40,尸0u平面PAD

尸。_L平面ABCD

QBDu平面4BCD,；.P0上BD

兀

c-/DO=1=AB,CD=AD,NDAB=ZCDO=-

A封B

:ADAB義ACDO

TT

:.ND0C+NADB=—,gpBD1OC

2

又PO,OCu平面POC,POcOC=O,3。_L平面POC

???尸Cu平面POC,BD1PC

(2)連接ZC,設(shè)=連接w

'：PA〃平面瓦〃），尸4u平面PAC,平面尸4CCI平面BMD=MQ

PA//MQ,易知/Q:QC=1:2,「.PM:MC=1:2

取BC中點N,連接ON,則CM,ON,O尸兩兩互相垂直.

分別以O(shè)4OMO尸為x軸，＞軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

10/15

.?.麗=(2,1,0),正=(-1,2,_6),

:.PM=-PC=

33'3

J.2_V|22

:.DM=DP+PM={l,0,s[3]+_5_5_

333

設(shè)平面的一個法向量萬=(x/,z)

設(shè)直線尸C與平面2MD所成角為凡則

4-X2A/2

即直線尸C與平面3河。所成角的.正弦值為亞

17.【答案】⑴言

O1

O

⑵①1；②E(X°)=7.

【詳解】(1)4局結(jié)束比賽時甲獲勝，則在前2局甲乙各勝一局，并且第3,4局

甲勝，

概率為C；x2x！x(2］=3；4局結(jié)束比賽時乙獲勝，則在前2局甲乙各勝一局，

并且第3,4局乙勝，概率為=-,所以恰好4局結(jié)束比賽的概率為

16420

--1---...

818181

(2)①在甲凈勝-2局前提下，繼續(xù)比賽一局：

若甲贏，則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟賂局，繼續(xù)比賽獲勝的概率為21；

若甲輸，則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟?3局，比賽結(jié)束，

2212121

根據(jù)全概率公式，匕=§匕，同理匕=§?+］匕，P^-P^-P,,

6=|+；4,

21?143

由△=§+］/得6=,+亍|，

o15gl

與匕聯(lián)立消去耳，得不4=元+§匕，

又匕=］巴，F(xiàn).=|^+|p2,得匕=：片，

CQ1Q

與亍4=5+］已聯(lián)立消去乙，得片=§，

11/15

o

所以甲獲勝的概率為1.

②在甲凈勝-2局前提下，繼續(xù)比賽一局：

若甲贏，則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟賂局，繼續(xù)比賽至結(jié)束，還需要局，共進行

了E（X_J+1局；

若甲輸，則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟倬郑荣惤Y(jié)束，共進行了1局，

則￡（^2）=-[E（X1）+l]+-xl,即E（X_2）=d（X_J+l,

同理E（X_J=|[E（X°）+I[+；[E（X_2）+I],即E（XT）=RX°）+；E（幾）+1,

E（X。）=Y（XJ+1]+M（X_J+1],即/X。）亨（Xj+&（X_J+l,

￡（與）=][磯占）+1]+§畫4）+1]，即雙乂）=薩（蒞）+/（X0）+l,

O11

￡（XJ=§X1+§[E（XJ+1],即￡（占）=/區(qū)）+1,

711315

聯(lián)立￡（毛）=§￡（占）+§￡（4）+1與￡（占）=/（3）+1,得￡（乜）=/（4）+亍，

2?1

聯(lián)立￡（工2）=]￡（工1）+1與￡（XT）=1E（X°）+§￡（工2）+1,得

E（X_J=：￡（X°）+￡,

71

代入E（X°）=薩（XJ+薩（X_J+l,得

￡（Xo）=|",E（XO）+T+：：￡（X。）*卜1,

所以E（X0）=7.

2

18.【答案】⑴二+「=i

4

（2）是，JW的中點為10,￡|

【詳解】（1）由題意得￡="，a=2,又“2=62+C2,

a2

解得Q=2,b=\,c=\/3,

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+必=1；

4

（2）設(shè)3（石,必）,C（x2,y2）,

因為直線/經(jīng)過（2,2）且與橢圓交于BC兩點,所以直線回的斜率一定存在，

故設(shè)直線力的方程為：y=kx+m,其中加=2（1-左），

12/15

y=kx+m

2222

由*x2得：（1+4A;x+Skmx+4m-4=0,

彳+y_

3

A=64^2m2-16（l+4A:2）（m2-l）>0,得k>3

o

-Skm4m2—4

又因為直線小方程:廣六(1),得力已

同理NO,二空

(X2~2

由鼻+W=

X]—2馬-2

（何+m）（x-2）+（丘2+加）（巧—2）2kx[X2+（m-2k）（x+x）-4m

2=-212

x{x2-2（%j+X2）+4

2左（4加24）-8km（m-2k）-4m（l+4k2）

（4加之一4）+16加+4（1+4左之）

-8k-4m4k+2m4左+4（1—左）

4m2+16km+16k2m2+4km+4k24（1—左『+8左（1—左）+4代

故也v的中點為(0,；

19.【答案】⑴/(x)在x=0處取得極小值0,無極大值；

⑵。=1；

⑶證明見解析.

【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得最值；

(2)分情況討論函數(shù)的單調(diào)性與最值情況，可得參數(shù)值;

13/15

(3)利用放縮法，由sinx<x(x>0),可知若證sin-一+sin-一+…+sin」-<ln2,即