2024-2025學年高二下學期期中數(shù)學試卷（基礎篇）

參考答案與試題解析

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.（5分）設隨機變量X?P（0<X<4）=0.4,貝！JP（X>0）=（）

A.0.25B.0.35C.0.3D.0.7

【解題思路】根據(jù)題意結合正態(tài)分布的對稱性分析求解.

【解答過程】因為X?N（2Q2）,則〃=2,且P（0<X<4）=0.4,

所以P（X>0）=0.5+|p（0<X<4）=0.7.

故選：D.

2.（5分）已知（l+3x）n的展開式共有9項，則該展開式中含好的項的系數(shù)為（）

A.36B.28C.252D.324

【解題思路】根據(jù)二項式定理的展開式的性質求n,再利用通項公式求結論.

【解答過程】因為（1+3乂產(chǎn)的展開式共有9項，

所以n=8,

二項式（1+3x）8的展開式的通項公式為77+1=篇18-r（3x）r,r=0,1,2,…,8,

所以展開式中含好的項為第-I6<3x）2=252/,

故這個展開式中含/的項的系數(shù)為252.

故選：C.

3.（5分）己知函數(shù)y=f（久）的圖象如圖所示，（（久）是f（x）的導函數(shù)，則下列式子正確的是（）

A.r(3)>/(2)B.f'(3)<f(3)-”2)

C.f(2)</(3)-/(2)D.7(3)-/(2)<0

【解題思路】利用導數(shù)的幾何意義，切線的斜率，判斷求解即可.

【解答過程】由題圖知函數(shù)y=f(x)是單調(diào)遞增的，

則函數(shù)/(x)的圖象上任意一點處的導函數(shù)值都大于零.

又函數(shù)f(久)的圖象在％=2處的切線斜率H大于在x=3處的切線斜率上，

所以尸(2)>/(3).

如圖，記4(2,/(2))鳳3,/(3)),連接4B.

直線4B的斜率k=((3)-f(2).

由函數(shù)圖象知：k1>k>k2>G,

即「(2)>/(3)-〃2)>〃3)>。

故選：B.

4.(5分)某高校將4名學生分配到3所中學實習，每所中學至少分配1名學生，則不同的分配方案共有

()

A.24種B.36種C.48種D.72種

【解題思路】將分配操作分步求出事件數(shù)，再利用分步乘法計數(shù)原理求解即可.

【解答過程】若某高校將4名學生分配到3所中學實習，

每所中學至少分配1名學生，則一定有1所中學分配的學生有2名，

首先把2名學生安排在同一所中學實習，分配方案有第0=6x3=18種，

再把剩下的學生分配到對應的中學，分配方案有Ag=2種，

由分步乘法計數(shù)原理得分配方案有18x2=36種，故B正確.

故選：B.

5.(5分)甲、乙分別用弓箭對準同一個弓箭靶，兩人同時射箭.已知甲、乙中靶的概率分別為0.5和0.4,

且兩人是否中靶互不影響，若弓箭靶被射中，則只被乙射中的概率為()

【解題思路】利用條件概率公式進行求解即可.

【解答過程】設事件力:甲中靶，事件B:乙中靶，事件C:弓箭靶被射中,

則PQ4)=05P(B)=0.4,

所以P(C)==1-(1-0.5)(1-0.4)=0.7,

P((ZB)C)=P(AB)=(1-0.5)X0.4=0.2,

即P(((初C)|C)=《號,

故選：D.

6.(5分)設離散型隨機變量X的分布列為

X01234

p0.10.4q0.20.2

若離散型隨機變量y滿足y=2x-i,則下列結論錯誤的是()

A.q=0.1B.E(X)=2,D(X)=1.4

C.E(X)=2,D(X)=1.8D.E(Y)=3,=7.2

【解題思路】選項A,利用分布列的性質，即可求解；利用期望和方差的計算公式，即可判斷出選項B和C

的正誤；選項D,利用期望和方差的性質，即可求解.

【解答過程】對于選項A,因為0.1+0.4+q+0.2+0.2=1,解得q=0.1,所以選項A正確，

又E(X)=0x0.1+1x0.4+2x0.1+3x0.2+4x0.2=2,D(X)=(0-2)2X0.1+(1-2)2X0.4+(2-2)2

x0.1+(3-2尸x0.2+(4-2/x0.2=1.8,

所以選項B錯誤，選項C正確，

對于選項D,因為y=2X—l,所以E(y)=E(2X—l)=2E(X)-l=2x2—l=3,D(Y)

=D(2X-1)=4C(X)=4x1.8=7.2,所以選項D正確，

故選：B.

7.(5分)高三某班有前勺學生數(shù)學成績優(yōu)秀，若從班中隨機找出5名學生，那么其中數(shù)學成績優(yōu)秀的學生

數(shù)貝/筐=￡)=(：泊吟5一上取最大值時女的值為()

A.0B.1C.2D.3

【解題思路】根據(jù)概率公式應用最大值列不等式組計算求出k的值.

【解答過程】由已知P(f=k)=cK}k(}5i,k=0,1,2,3,4,5,

所以由(P(f=k)N尸=k+1)

.以出I=/c)N=k—1)

徨儲G)冒尸2管峙尸(|尸

腔(力(|)5-k“紐(|)I(|)6-k)

解得，kW*又因為k€N*,所以k=L

故選:B.

8.(5分)若/(x)={]nQ?；個高；>&為區(qū)上的減函數(shù)，貝心的取值范圍為()

A.(-1,0]B.[0,1]C.(—1,1]D.[1,2]

【解題思路】令g(%)=ln(%+利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關系，求得g(%)=ln(%+1)-%-1的單

調(diào)區(qū)間，在同一直角坐標系中作出y=/一2久與g(X)=ln(%+1)-％-1,根據(jù)題設，數(shù)形結合，即可求解.

【解答過程】因為二次函數(shù)丫=/-2%=(久一1)2-1的圖象為拋物線，開口向上，頂點為(1,一1),且最小值

為一1,

記g(%)=ln(%+1)-％-1,則。'(%)=一2,所以當一lv%V0時，g\x)>0,

當x>0時，g'(x)<0,所以g(%)在(-L0)上單調(diào)遞增,在(0,+8)上單調(diào)遞減,

所以％=0是g(%)的極大值點，也是最大值點，且g(%)max=9(0)=-1，

則工,一1時總有g(%)<x2-2x,y=/一2久與g(%)=ln(x4-1)一%-1在同一直角坐標系下的圖象如圖所示，

因為f(x)={ln(xt莖譽,：>a為R上的減函數(shù),由圖知O"W1,

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.(6分)若(1一2%)5=劭++。3爐+則下列結論中正確的是()

A.a?！?

B.+。2+。3+。4+。5=2

C.+。3+。5=-122

的a2a3]a41a5

D-萬+7+豆+?+豆=1

【解題思路】利用賦值法即可逐一求解.

【解答過程】令x=0,則的=1,故A正確，

令X=1可得(1—2)5=a。+a[+,故+Gt2+CI3++05=-2,故B錯誤，

令x——1可得(1+2戶--CIQ—的+<12——45—243,故a[+GI3+。5——122,故C正確，

令％=3可得(1-2x1)=劭+a[+。2；+<13^+<252=0,4+,+詈+瑞+砥=-1'故D錯誤，

故選：AC.

10.(6分)甲口袋中有3個紅球，2個白球和5個黑球，乙口袋中有3個紅球，3個白球和4個黑球，先

從甲口袋中隨機取出一球放入乙口袋，分別以442和心表示由甲口袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件;

再從乙口袋中隨機取出一球，以8表示由乙口袋取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是()

?2

A.P(BM2)=RB.事件公與事件B相互獨立

53

C.。缶3歸)=五D.P(B)=^

【解題思路】根據(jù)已知條件，結合互斥事件的概念和條件概率公式，即可求解.

【解答過程】由題意得可知41，人2,北是兩兩互斥的事件，

3211

.?"(4)=五，P(A2)=-=-,PQ43)=5，

.,"(夕如)=9需=千=4，故A正確；

P(B)=P(B4)+P(FA2)+P(B&)=五*元+/卷+三1=而

。341)=2X卷力P(8)PQ4i),故事件必與事件8不獨立，故B錯誤，D正確；

「(北歸)=與器"=嚀』[故C正確；

I'10

故選：ACD.

11.(6分)已知函數(shù)/(%)=2M-3/,則()

A.%=。是/(%)的極小值點

B.f(x)的圖象關于點弓,—鄉(xiāng)對稱

C./(久)在(1,+8)上單調(diào)遞減

D.當0<x<l時，/(%2-1)</(%-1)

【解題思路】利用導數(shù)求函數(shù)極值點判斷選項A；通過證明f(x)+/(l-x)=-1得函數(shù)圖象的對稱點判斷選

項B；利用函數(shù)單調(diào)性判斷選項C；利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小判斷選項D.

【解答過程】函數(shù)/■(久)=2爐一3%2,p(x)=6x2—6x=6x(x—1),令r(x)=O,解得x=0或尤=1,

故當xe(—8,0)時尸(x)>0,當(0,1)時，尸(x)<0,當xe(1,+8)時尸(%)>o,

則/(%)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

故。是f(x)的極大值點，1是/(久)的極小值點，故A錯誤，C錯誤；

對B./(x)+/(I—x)=2x3—3x2+2(1—%)3—3(1—x)2=2x3—3x2+2—6x+6x2-2x3—3+6x—3x2——1,

則f(x)的圖象關于點6，-2)對稱，故B正確；

對D.當0<x<l時，一1<乂2一1<萬一1<0,而/'(X)在(—1,0)上單調(diào)遞增，

故故D正確.

故選：BD.

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)如圖，用4種不同的顏色對，，B,C,。四個區(qū)域涂色，要求相鄰的兩個區(qū)域不能用同一種顏

色，則不同的涂色方法有48.

【解題思路】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求解即可.

【解答過程】根據(jù)題意，對于區(qū)域4有4種涂色方法，對于區(qū)域8,有3種涂色方法，

對于區(qū)域C,有2種涂色方法，對于區(qū)域。，有2種涂色方法，

則由分步乘法計數(shù)原理可得4x3x2x2=48種涂色方法.

故答案為：48.

13.(5分)小明喜愛踢足球和打羽毛球.在周末的某天，他下午去踢足球的概率為:若他下午去踢足球,

則晚上一定去打羽毛球；若下午不去踢足球，則晚上去打羽毛球的概率為已知小明在某個周末晚上去打

羽毛球，則下午踢足球的概率為一4

【解題思路】設出事件4區(qū)分別求出P(A)和PQ48),依題需求P(B|A),利用條件概率公式計算即得.

【解答過程】設小明周末晚間去打羽毛球為事件力，下午去踢足球為事件B,

Q717QQ

貝i」PQ4)=mXl+FXq=?PQ48)=gXl=g,

3

5-

--

P2

依題意，P(B|4)-

3

故答案為:2.

14.(5分)設函數(shù)/(Y)=*2一缶+2)x+alnx(aeR),若/(x)21恒成立，則a的取侑范闈為一(一8,-2]_.

【解題思路】由題意得/'(x)min21,對/■(%)求導，對a分aW0和a>0討論，利用導數(shù)分析單調(diào)性，求出函

數(shù)的最值即可求解.

【解答過程】廣(久)=>o,

由題意/(>)21恒成立，貝1J/(X)minNl，

①當aW0時，令r(x)>0,得x>l；

令廣(無)<0,得0<x<l,

所以/(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以/Wmin=f(l)=-a-121，解得aW-2

②當a>0時，存在/(I)=—a—1<0,不滿足題意，

綜上，實數(shù)。的取值范圍是(—8,—2].

故答案為：(—8,—2].

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.(13分)已知(必+:7的展開式中的所有二項式系數(shù)之和為64.

⑴求正的值；

(2)求展開式中好的系數(shù).

【解題思路】(1)根據(jù)二項式系數(shù)和公式即可求解，

(2)根據(jù)二項式展開式的通項特征即可求解

【解答過程】(1)由題意可得，2"=64.

解得n=6；

(2)(7+9=(X2+1)6?

二項展開式的通項為G+l=CW(x2)6-rg)=黑爐2-31

由12-37=3,得r=3.

?1?展開式中A3的系數(shù)為髭=20.

16.(15分)現(xiàn)有編號為1,2,3的三個口袋，其中1號口袋內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號

球；2號口袋內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號口袋內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球；第一次先從1號

口袋內(nèi)隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的口袋中，第二次從該口袋中任取一個球，

(1)在第一次抽到3號球的條件下，求第二次抽到1號球的概率；

(2)求第二次取到2號球的概率；

【解題思路】(1)由條件概率公式即可得解.

(2)由全概率公式、條件概率公式即可得解.

【解答過程】(1)記事件4A分別表示第一次、第二次取到i號球，i=1,2,3,

則第一次抽至IJ3號球的條件下，第二次抽到1號球的概率=*=9；

o1

(2)依題意41，42/3兩兩互斥，其和為。，并且PQ41)=7PQ42)=P(43)=『

22311?

=彳P(B1|“2)=不尸(81|“3)尸(B2M1)=不尸(B2M2)=7尸(B2M3)=]

111

尸(B3M1)=不P(B3M2)=?P(83M3)=1

3

應用全概率公式，＜P(B2)=yP(A)P(B2|A)=^xi+ixi+ix1=g.

17.(15分)由0,1,2,3,4這五個數(shù)字.

(1)能組成多少個無重復數(shù)字的五位數(shù)？

(2)能組成多少個無重復數(shù)字的五位偶數(shù)？

(3)組成無重復數(shù)字的五位數(shù)中比21034大的數(shù)有多少個？

【解題思路】(1)先排數(shù)字0,再排其它4個數(shù)字即可計算得解；

(2)選偶數(shù)先排個位數(shù)，分個位數(shù)字為0和個位數(shù)字為2或4兩種情況，再排其它數(shù)位；

(3)按最高位上的數(shù)字比2大和2兩類分類計算作答.

【解答過程】(1)先排數(shù)字0,0只能占除最高位外的其余四個數(shù)位，有A杯中排法，

再排四個非0數(shù)字有A捌，由分步乘法計數(shù)原理得A叢今=4x24=96,

所以能組成96個無重復數(shù)字的五位數(shù)；

(2)當個位數(shù)字為0時，則可以組成A》=24個無重復數(shù)字的五位偶數(shù)，

當個位數(shù)字為2或4時，則可以組成?C從W=36個無重復數(shù)字的五位偶數(shù)，

即可以組成24+36=60個無重復數(shù)字的五位偶數(shù)；

(3)計算比21034大的五位數(shù)的個數(shù)分兩類：

萬位比2大的五位數(shù)個數(shù)是A叢才，

萬位是2的五位數(shù)中，千位比1大的有A熟。個，千位是1,百位比0大的有A/?個，千位是1,百位是0,

十位比3大的有1個，

由分類加法計數(shù)原理得+A必9+1=65,

所以組成無重復數(shù)字的五位數(shù)中比21034大的數(shù)有65個.

18.(17分)已知函數(shù)/'(X)=(久2_必一1)^-2在(2/(2))處的切線與直線x+4y=0垂直.

⑴求。的值；

(2)求/■(久)的單調(diào)區(qū)間和極值.

【解題思路】(1)先求出導函數(shù)，再代入得出切線斜率，最后結合垂直斜率關系計算求參；

(2)應用導函數(shù)的正負得出函數(shù)的單調(diào)性進而得出函數(shù)的極值即可.

【解答過程】(1)由題意知/''(無)=(X2—a%-l)ex-2+(2x-a)e*-2=(/_&%+2x-a—l')ex~2,

所以廣⑵=7—3a,又函數(shù)/(x)=(/―狽―l)e>2在點(2/(2))處的切線與直線x+4y=0垂直，

所以(7—3a)x(—；)=—1,解得a=l,即a的值為1.

(2)由(1)知/'(x)=(x2—x—l)ex~2,/'(x)=(%2+x—2)ex~2=(x+2)(x—l)ex~2,令((x)=0,解得％=—2

或x=1,

所以當％<-2或x>l時，f(x)>0,當一2<%<1時，r(x)<0,

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,—2)、(l,+oo),單調(diào)遞減區(qū)間為(—2,1),

又/(—2)=5e-4,/(i)=-e-1,所以〃工)的極大值為5