第四章基本平面圖形知識歸納與題型突破（題型清單）

01思維導圖

定義、表示方法、線段的中點

H觸線段的性質、兩點之間的距離

線段的長短比較

線段、射線、直線——

T射線定義、表示方法

」直線定義、表示方法、性質I

基

本T定義、表示方法

平|角的單位換算：10=60',1=60〃

角^-------------------

面—（角平分線

圖

I角的大小匕限］

形

定義、多邊形的對角線、正多邊形

02知識速記

知識點1直線、射線與線段的概念

端點

類型圖例表示方法書寫規(guī)范

個數(shù)

直線直線AB或直線

?/.0個兩個大寫字母無順序

艮4或直線/

AB

兩個大寫字母中的第一個表

一/一

射線射線。4或射線/1個

AB示端點

線段或線段

._______1_______.45

線段2個兩個大寫字母無順序

AB民4或線段/

1

知識點2:基本事實

1.經過兩點有一條直線，并且僅有一條直線，即兩點確定一條直線

2.兩點之間的線段中，線段最短，簡稱兩點間線段最短

知識點3：基本概念

1.兩點間的距離：兩個端點之間的長度叫做兩點間的距離。

2.線段的等分點：把一條線段平均分成兩份的點，叫做這個線段的中點

知識點4：雙中點模型：

C為A8上任意一點，M、N分別為AC,BC中點，貝UMN=-AB

2

知識點5：角的概念

1.角的定義:

(1)定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩

條邊.如圖1所示，角的頂點是點0,邊是射線0A、0B.

圖1圖2

(2)定義二：一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形，射線旋轉時經過的平面部分是角的內部.如圖2

所示，射線0A繞它的端點0旋轉到0B的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置0A是角的始邊，終止位置

0B是角的終邊.

注意：

(1)兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關.

(2)平角與周角：如圖1所示射線0A繞點0旋轉，當終止位置0B和起始位置0A成一條直線時，所形成

的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉，0B和0A重合時，所形成的角叫做周角.

__4___------------------

BOAA(B)

平角周角

圖1圖2

2

2.角的表示法：角的幾何符號用表示，角的表示法通常有以下四種:

表示方法圖示記法適用范圍

Z.AOB任何情況都適

(1)用三個大

或用，表示頂點的

寫字母表示

/LBOA字母寫在中間

0B

以某一點為頂點

(2)用一個大的角只有一個

乙0

寫字母表示/時，可以用頂點

6表示角

(3)用阿拉

Z1任何情況都適用

伯數(shù)字表示

(4)用希臘字

Z.a任何情況都適用

母表示

知識點6：角度制及其換算

角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1。的角，1°的,為1分，記作

60

“1'”，1'的上為1秒，記作“1〃這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.

60

1周角=360°,1平角=180°,1°=60',1'=60".

注意:

在進行有關度分秒的計算時，要按級進行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高一

位借的單位要化為低位的單位后再進行運算，在相乘或相加時，當?shù)臀坏脭?shù)大于60時要向高一位進位.

知識點7：鐘表上有關夾角問題

鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應30°的角，分針1分鐘轉6°,時針每小時轉30°,

時針1分鐘轉0.5。，利用這些關系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題.

知識點8：方位角

在航行和測繪等工作中，經常要用到表示方向的角.例如，圖中射線0A的方向是北偏東60。；射線0B的

方向是南偏西30°.這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角.

3

知識點9：角平分線

從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線.如圖所示，0C是NAOB

的角平分線，ZA0B=2ZA0C=2ZB0C,

ZAOC=ZBOC=-ZAOB.

2

注意：由角平分線的概念產生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架一樣.

知識點10：角的運算

如圖所示，/A0B是/I與/2的和，記作：ZA0B=Zl+Z2；/I是/A0B與/2的差，記作：Zl=ZA0B-

Z2.

知識點11：角的比較

角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種.

方法1：度量比較法.先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小.

方法2：疊合比較法.把其中的一個角移到另一個角上作比較.

如比較/A0B和/A'0,B'的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得/A0BV/A，0，B,；由圖（2）可得/A0B

=NA'O'B'；由圖（3）可得NA0B>/A'O'B'.

4

知識點12：多邊形及正多邊形

1.定義：多邊形是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉平面圖形.其中，各邊

相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.如下圖:

五邊形正六邊形

2.正多邊形

1.各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形

十々、右巾“,一人4上("-2)x180。

2.正多邊形的每個內角----------

n

3.正多邊形每個外角的度數(shù)：36叫0°上

n

(3)平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面。

3.相關概念：

頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點.

邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.

內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內角(可簡稱為多邊形

的角)，一個n邊形有n個內角.

外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.

對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

多邊形公式

Ln邊形一個頂點的對角線數(shù)：n-3

/Q\

2.n邊形的對角線總數(shù)：“

2

3.n邊形的外角和：360°

4.補充拓展：n邊形截去一個角后得到n/n-l/n-2邊形

知識點12：圓及扇形

1.圓的定義

如圖，在一個平面內，一條線段繞著它固定的一個端點旋轉一周，另一個端點所形成的圖形叫做圓，固定

5

的端點叫做圓心，線段0A叫做半徑.

2.扇形

(1)圓弧：圓上任意兩點A,B間的部分叫做圓弧，簡稱弧，記作我8,讀作“圓弧AB”或“弧AB”.如

下圖:

(2)扇形的定義：如上圖，由一條弧AB和經過這條弧的端點的兩條半徑OA,0B所組成的圖形叫做扇形.

注意：圓可以分割成若干個扇形.

(3)圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.如上圖，NAOB是圓的一個圓心角，也是扇形OAB的圓心角.

03題型歸納

題型一直線/射線和線段及作圖

例題：如圖，己知四點A、3、C、D,請用尺規(guī)作圖完成.(保留畫圖痕跡)

A

D.B

?c

(1)畫直線AB,畫射線4C,連接8C；

(2)延長線段到E.使得BE=AB+BC；

(3)在線段BD上取點尸，使P4+PC的值最小.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】本題考查作圖一復雜作圖，直線、射線、線段，兩點間的距離，解決本題的關鍵是掌握基本作

圖方法.

6

(1)根據(jù)基本作圖方法即可畫直線ZB,畫射線4C,連接BC；

(2)延長線段BC到E,利用尺規(guī)使CE=AB,可得BE=2B+BC；

(3)連接線段BD交AC于點P,根據(jù)兩點之間線段最短可得PA+PC的值最小.

【詳解】(1)解：如圖，直線4B,射線AC,線段BC即為所求;

(2)解：如圖，點E即為所求:

(3)解：如圖，點P即為所求.

鞏固訓練

1.下列說法錯誤的是()

A.畫線段4B=3厘米B.畫射線4B=3厘米

C.在射線4C上截取4B=3厘米D.延長線段4B到C,使得力C=248

【答案】B

【分析】本題主要考查了畫線段和射線，射線無法度量，線段可以度量，據(jù)此結合線段的畫法可得答案.

【詳解】解：A、線段可以度量，因此可以畫線段4B=3厘米，原說法正確，不符合題意;

B、射線無法度量，因此不可以畫射線4B=3厘米，原說法錯誤，符合題意;

C、在射線4C上可以截取2B=3厘米，原說法正確，不符合題意;

D、延長線段4B到C,使得47=24B,原說法正確，不符合題意;

故選：B.

2.如圖，下列說法正確的是()

OAB

A.射線。B和射線4B表示同一條射線

B.射線。B和射線。4表示同一條射線

C.射線。B和射線B0表示同一條射線

7

D.以點力為端點的射線有4條

【答案】B

【分析】本題考查了直線、射線、線段，掌握射線的表示方法是解題的關鍵.

根據(jù)射線的表示方法逐項判定即可.

【詳解】解：A、射線。B和射線力B的端點不同，不是表示同一條射線，故此選項不符合題意；

B、射線。B和射線。2的端點相同，方向相同，是表示同一條射線，故此選項符合題意；

C、射線。B和射線B。的端點不相同，方向也不相同，不是表示同一條射線，故此選項不符合題意；

D、以點4為端點的射線有2條，故此選項不符合題意；

故選：B.

3.如圖，已知四點4、B、C、D,請按要求作圖并解答.

A?

*B

*

D

C

(1)按要求作圖：

①作射線AB；

②連接BD；

③在射線AB上截取AM,使4M=DB；

④在線段BD上取點P,使P4+PC的值最??；

(2)小明同學根據(jù)圖形寫出了四個結論：①圖中有8條線段；②點B在線段DP的延長線上；③射線48和

射線力M是兩條射線；④點M在射線的延長線上；其中正確的結論是.

【答案】(1)見解析

⑵②③

【分析】(1)①根據(jù)射線的定義作圖即可；②直接連接BD即可；③以A為圓心，以BD為半徑畫圓弧，

與射線直線48交于M；④連接AC與8。的交點即為所求；

(2)根據(jù)直線、線段、射線的定義逐個判斷即可解答.

【詳解】(1)解：①射線即為所求；

8

②線段BD即為所求;

③線段AM即為所求;

④點P即所求.

(2)解：①圖中的線段有AB、AM,BM、AP.AC.PC、BD、PB、DP,共9條，則①錯誤；

②由AC與BD的交點，則點尸是點B在線段DP的延長線上，即②正確；

③圖中射線4M、BM,共2條，則③正確；圖中共有6條線段的說法是正確的；

④由射線4B本來就無限延伸，故不需要延長，則④錯誤.

故答案為②③.

【點睛】本題主要考查了基本作圖，直線、線段、射線的定義，線段的性質等知識點，掌握直線，射線，

線段的定義是解題的關鍵.

題型二直線和線段的性質

例題：如圖，經過刨平的木板上的A,8兩個點，能彈出一條筆直的墨線，而且只能彈出一條墨線，能

解釋這一實際應用的數(shù)學知識是()

A.兩點之間的所有連線中，線段最短

B.過一點，有無數(shù)條直線

C.兩點確定一條直線

D.兩點之間線段的長度叫做這兩點之間的距離

【答案】C

【分析】根據(jù)“經過兩點有且只有一條直線”即可得出結論.

本題考查了直線的性質，掌握“經過兩點有且只有一條直線”是解題的關鍵.

【詳解】解：?經過兩點有且只有一條直線，

,經過木板上的4、8兩個點，只能彈出一條筆直的墨線.

9

能解釋這一實際應用的數(shù)學知識是兩點確定一條直線.

故選：C.

鞏固訓練

1.如圖，建筑工人砌墻時，經常用細繩在墻的兩端之間拉一條參照線，使砌的每一層磚在一條直線上,

這樣做的依據(jù)是（）

A.直線比曲線短B.兩點之間，線段最短

C.兩點確定一條直線D.兩點之間，直線最短

【答案】C

【分析】此題考查了直線的性質，根據(jù)兩點確定一條直線，即可解答.

【詳解】解：根據(jù)兩點確定一條直線，可使每一層磚在一條直線上.

故答案為：C.

2.媛媛一家準備周末從A地前往8地游玩，導航提供了三條可選路線（如圖），其長度分別為21km,24km,

19km,而兩地的直線距離為12.1km,解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學知識最合理的是（）

34分鐘33分鐘36分鐘

A.兩點確定一條直線B.垂線段最短C.兩點之間線段最短D.公垂線段最

短

【答案】C

【分析】本題考查了線段的性質，由兩點之間，線段最短即可得出答案，熟練掌握線段的性質是解此題

的關鍵.

【詳解】解：由題意得：解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學知識最合理的是兩點之間線段最短,

故選：C.

10

（）

象是

的現(xiàn)

解釋

短”來

線段最

用“垂

下列能

3.

起

跳

線

】C

【答案

數(shù)

練掌握

，，熟

應用

中的

生活

識在

學常

的數(shù)

性質

直線的

質，

的性

線段

短，

段最

垂線

查了

題考

】本

【分析

.

的關鍵

是解題

學常識

,

的墨線

條筆直

彈出一

線，能

彈墨

板上

線；木

條直

定一

點確

是兩

墻上

定在

條固

一根木

可以把

釘子就

用兩根

到

腳后跟

最短求

垂線段

成績是

量跳遠

象；測

的現(xiàn)

解釋

線來

條直

定一

兩點確

，可用

墨線

一條

彈出

只能

而且

.

斷即可

分別判

；據(jù)此