福建省福州第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第十八次模擬

檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.設(shè)集合5},B=[2,3,4},的8={2},則AUB=1)

A.{2,3,4,5}B.{3}C.{2,3,4}D.{1,3}

2.“a=l”是“直線x+oy-l=0與依-y+5=O垂直”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.不充

分也不必要條件

3.函數(shù)〃力=/一C+c'-Cjx+l的對(duì)稱(chēng)軸為()

A.x=lB.x=—lC.x=2D.x=—2

4.已知一組樣本數(shù)據(jù)4，尤2，%,x4,%恰好構(gòu)成公差為5的等差數(shù)列，則這組數(shù)據(jù)的方

差為（）

A.30B.40C.50D.60

「A的最大值是（

5.已知函數(shù)"x）=)

l+2cosx

A.1R陋D.史

JD.------c.-

2332

6.如圖，瓦月分別是正八面體（8個(gè)面均為正三角形）棱8c,8的中點(diǎn)，則異面直線QE與

Q

A.-B.6C.-D.如

3333

7.已知圓Q:(x+3)2+/=1,圓Q：+/=1,過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓。-圓。2的切線PA,

PB（A,8為切點(diǎn)），使得|R4|=0|尸同，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程為（）

222

222

A.—+^-=1B.x=4yC.q_y2=iD.（x-5）+y=33

8.已知a,pG（0,7i）,a手）3,若〃一/3=cosa-2cos夕，則下列結(jié)論一定成立的是（）

A.sinavsin/B.sina>sin尸C.coscr<cos/?D.coscr>cos/7

二、多選題

9.下列命題中正確的是（）

A.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布NR"）,若尸（X＜0）=0.2,貝。尸（X＜4）=0.8

B.將總體劃分為兩層，通過(guò)分層抽樣，得到樣本數(shù)為很，〃的兩層樣本，其樣本平均數(shù)

和樣本方差分別為I，京和S；,S；,若兀=看，則總體方差$2=

m+n

C.若A、8兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為〃=0.92,^=-0.96,則A組數(shù)據(jù)比8

組數(shù)據(jù)的相關(guān)性強(qiáng)

D.已知尸（A）＞0,P（B）＞0,若尸（A⑻uP（A）,則尸（砸卜尸⑻

10.如圖，在圓柱QU中，軸截面ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，“是以A。?為直徑2的圓

上一動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)人，。2），AM與圓柱的底面圓交于點(diǎn)N,則（）

B.平面加。。2,平面AN。

C.直線N3與直線A。1有可能垂直

D.三棱錐用-4。。?的外接球體積為定值

11.設(shè)函數(shù)/（X）=尤3_3依+〃，若/（占）=/（9）=/（%）=，，且再＜%＜彳3，則（）

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

A.實(shí)數(shù)。的取值范圍為□,+<?)

B.Vxe(0,+oo),/(x)>-1

C.2\[a<—Aj<2-j3a

D.當(dāng)2%=%+尤3時(shí)，?>31nfl+l

三、填空題

12.復(fù)數(shù)z滿足z+6i=1(i為虛數(shù)單位)，則z的虛部為.

13.在數(shù)列｛4｝中，4=0，出=2,若%1—1，出“，。2“+1成等差數(shù)列，%,，出“+”%,+2成等比數(shù)列，

則“8=-

22

14.設(shè)橢圓石:1+斗=1(。>〃〉0)的左右焦點(diǎn)為片，工，右頂點(diǎn)為A,已知點(diǎn)尸在橢圓E

ab

上，若/月產(chǎn)工=90。，/抬月=45。則橢圓的離心率為.

四、解答題

cb3

15.記VABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為b,c,已知q=7H—=--Hl.

bcbe

⑴求A；

3

(2)若sin3+sinC=5，求VABC的面積.

16.如圖1,五邊形ABCEF中,AC//EF,AC±CE,AB±BC,AC=2BC=2CE=4.將三

角形ABC沿AC翻折，使得平面平面ACEF,如圖2.

R

圖1圖2

⑴求證：平面5C石；

(2)記直線AF與平面BEF所成角為6.^sin6>=—,求砂的長(zhǎng).

7

17.甲、乙兩人進(jìn)行AI知識(shí)問(wèn)答搶答賽，比賽共有3道搶答題，每道題均有人搶答，其計(jì)

分規(guī)則為：初始甲、乙雙方均為0分，答對(duì)一題得1分，答錯(cuò)一題得-1分，未搶到題得0

分，最后累計(jì)總分多的人獲勝.假設(shè)甲、乙搶到每題的成功率相同，且甲、乙兩人每題答題

正確的概率分別為:和:.求：

（1）在3題均被乙搶到的條件下，設(shè)乙答題得分為X,求X的分布列和期望值；

（2）甲在比賽中獲勝的概率.

2

18.已知雙曲線r：尤2-2_=1的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)下的直線/交雙曲線r右支于A、8兩點(diǎn)

3

（點(diǎn)A在x軸上方），點(diǎn)C在雙曲線「上，直線AC交x軸于點(diǎn)。（點(diǎn)。在點(diǎn)尸的右側(cè)）.

（I）求雙曲線r的漸近線方程；

（2）若點(diǎn)入（2,3）,且tan/BAC=g,求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）若VABC的重心G在x軸上，記AAFG、ACQG的面積分別為凡、S,,求要的最小值.

d2

19.對(duì)于任意兩個(gè)正數(shù)a,b（a<㈤，記區(qū)間[?；厣锨€y=/（x）下的曲邊梯形面積為S（a,b）,

并規(guī)定S（a,a）=O,S[a,b）=-S（b,a）,記5（4戶）=?。?%）,其中/（"=產(chǎn)。）.

,、1b-aa+b

⑵若/（x）=I時(shí)，求證：7^b）<~；

⑶若/（x）=lnx+l,直線y=c與曲線s（l,x）交于N（%,%）兩點(diǎn)，求證:

0<<-4（其中e為自然常數(shù)）.

e

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

《福建省福州第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第十八次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案AAACBCDAABDABD

題號(hào)11

答案BCD

1.A

【分析】由題意先求出。=2,由此能求出AUB的值.

【詳解】：集合A={。，5},2={2,3,4},AAB={2},

.".a=2,

：.AUB={2,3,4,5).

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查交集、并集的求法，考查交集、并集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題.

2.A

【分析】分析可得兩直線垂直恒成立，結(jié)合充分條件與必要條件的定義可確定選項(xiàng).

【詳解】???對(duì)于任意aeR,Haa?(1)=0恒成立，

二直線x+ay_]=0與o^_y+5=0垂直恒成立，

...“4=1”是“直線工+°丫-1=0與。龍-〉+5=。垂直”的充分不必要條件.

故選：A.

3.A

【分析】逆用二次展開(kāi)式對(duì)函數(shù)進(jìn)行整理，利用函數(shù)性質(zhì)求解即可.

【詳解】由題意：

234

=C%4.(—I)。+c%3.㈠)+c%2.(-1)+C：x.(-1)+Cy-(-l)=(尤—if,

可由偶函數(shù)y=/的圖像向右平移1個(gè)單位得到，所以函數(shù)/(x)的對(duì)稱(chēng)軸為尤=1,

故選：A.

4.C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及平均值求法得均值為W，再應(yīng)用方差公式求方差即可.

■E-t口=、1—％+x,+及+%+Z乂-?1°+%—5+%++5++10

［詳解］由題設(shè)X=」一2一I一-=-------------'----------'----='3，

(玉一()2+(%2—%3y+(*3—*31+(%4—工3+(毛一工3)2

所以O(shè)(X)=

5

答案第1頁(yè)，共14頁(yè)

100+25+0+25+100

-5

故選：C

5.B

【分析】利用降暴公式化簡(jiǎn)函數(shù)/（x）,再結(jié)合輔助角公式及正弦函數(shù)的有界性列出不等式

求出最大值.

【詳解】函數(shù)〃幻=:山2：的定義域?yàn)镽,

2+cos2x

令y=zfMx，整理得2y=sin2x一ycos2%=mT^"sin（2x+°）,

則IZyrMAsinQx+o）區(qū)而B(niǎo)P/<1,當(dāng)且僅當(dāng)1$皿2%+0）|=1時(shí)取等號(hào),

則一所以所求最大值為也.

333

故選：B

6.C

【分析】根據(jù)正八面體的結(jié)構(gòu)特征有方=麗+；比、QE=QC+^CB,若正八面體的棱

長(zhǎng)為2,應(yīng)用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律及夾角公式求異面直線的夾角余弦值.

【詳解】由正八面體結(jié)構(gòu)特征知方=而+麗=麗+3成，QE=QC+CE=QC+^CB，

若正八面體的棱長(zhǎng)為2,且各側(cè)面都是正三角形，ASCD為正方形，

所以而應(yīng)=（而+g成）?（〃+（麗）=苑衣+：苑.函+；皮衣+；覺(jué).國(guó)

^-QBQC-^BQBC+^OJCQ-^CDCB

=—2x2x———x2x2x—+—x2x2x——0=—2,

22222

\PF\=^（BQ+^DC）2=^BQ-BQCD+^DC=,4-2+l=B

同理得I加b-詼.函+!面2=V3,

22

所以Icos（而，班）|=|PFQEl=j,異面直線QE與尸尸所成角的余弦值為:.

\PF\\QE\

故選：C

7.D

【分析】根據(jù)題目中的等式，利用切線的性質(zhì)以及兩點(diǎn)距離公式，可得答案.

【詳解】

答案第2頁(yè)，共14頁(yè)

由|科=夜|尸固，^\PAf=2\PBf.易知PA，AO"8，BO2，

因?yàn)閮蓤A的半徑均為1,則|尸?！敢籰=2(|Pa「T).

設(shè)P(x,y),且a(—3,0),Q(l,0),

則(x+3)2+V_1=2[(x-l)2+V-1],即(x-5)2+V=33.

所以點(diǎn)P的軌跡方程為(x-5)2+/=33.

故選：D.

8.A

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=V-cosx并利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后分

’71’71Ji

0</?<,,/?=5,5</?<兀三種情況討論，然后根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可得

【詳角車(chē)】/(x)=x3-cosx,ff(x)=3x2+sinx,

若％￡(0,兀)，貝lj/f(x)=3x2+sinx>0

所以=-cosx在(0,兀)上單調(diào)遞增，

7T

當(dāng)0</<5時(shí)，則0<cos4<1,

所以〃一夕3=cosa—2cos夕<cosa-cos/?,.\a3-cosa</33—cos，,

又"%)=短一cosx在(0,7i)上單調(diào)遞增,所以。<。T，二?sina<sin尸，cosa>cosjS,

當(dāng)月=1時(shí),oc3-p3=cosa-2cos"=cosa-cos夕,a3-cosa=伏一cos/7,

又“xbV-cosx在(0,無(wú))上單調(diào)遞增，所以a=〃=T，不合題意；

TT

當(dāng)]<〃<兀時(shí)，—l<cos，<0,

3

所以c?一/3_cosa_2cos；0>cosa-cos/?,/.a-cosa>段—cos’,

答案第3頁(yè)，共14頁(yè)

又/（x）=x3-cosx在（0,兀）上單調(diào)遞增，

71

所以兀所以cosavcos/,sinavsin尸，

綜上可得sinc<sin￡,

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造/（x）=x3-cosx判斷單調(diào)性，然后分類(lèi)討論，利用放縮法對(duì)

=cosa-2cos夕變形，結(jié)合正余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得.

9.ABD

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷A的真假；根據(jù)方差的計(jì)算公式判斷B的真假；根據(jù)相

關(guān)系數(shù)的意義判斷C的真假；根據(jù)條件概率的計(jì)算公式判斷事件A、8的關(guān)系，確定D的

真假.

【詳解】對(duì)A：因?yàn)閄~N（2,4），且尸（X<0）=0.2,所以P（X>4）=P（X<0）=0.2,所

以尸（X<4）=0.8,故A正確;

_]m__]n

對(duì)B：設(shè)兩層的數(shù)據(jù)分別為：4/2/3,…,Z,“和必,笫，則玉=-Ez,.,X2=-^y;,

mMn,=1

設(shè)總體平均數(shù)為，則1J叼上%,因?yàn)閉=京，所以7=7=^.

m+n

]m_2

因?yàn)閟；=一￡仁一玉)2,

m4=1ni=l

imn2,2

故正確.

所以s'Wl畢F+沙-于卜味詈B

對(duì)C：由樣本相關(guān)系數(shù)的意義可知，8組數(shù)據(jù)比A組數(shù)據(jù)的相關(guān)性強(qiáng)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D：由尸（4忸）=尸（A）=>胃胃=P（A）nP（AB）=尸（A）尸⑻,所以事件A,B獨(dú)立，所

欲尸（8同=尸⑻，故D正確.

故選：ABD

10.ABD

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理判斷A,由線面垂直可得面面垂直判斷B,假設(shè)

可得0/>?N與。招=O1N矛盾，判斷C,確定出球心位置，由半徑為定值可判斷D.

答案第4頁(yè)，共14頁(yè)

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)镸,N都是對(duì)應(yīng)圓周上的點(diǎn)，AQ，AB是相應(yīng)的圓的直徑，

所以所以MO2〃NB,

因?yàn)镸O2a平面A?a，NBu平面NBO1,所以/。2〃平面A?。],A項(xiàng)正確：

對(duì)于B,因?yàn)镺]Q，AN，aQcMO2=Q，所以AN」平面加。。2，

因?yàn)锳Nu平面AN。，所以平面M?Q_L平面AN。，B項(xiàng)正確；

對(duì)于C,若NBLAOi，因?yàn)镹BL⑷V,ANn^Q=AAMAQu平面AN。，

22

所以A?1平面AN0、,NB1NOi,則OiB=yjNB+OiN>O,N,

因?yàn)镼U，平面ABN,GO?=2,30?=NQ=1,所以QN=OiB=亞+1=亞,

這與。出>01"矛盾，故直線N3與直線AQ不可能垂直，C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)锳AMOrAA。2a均是以A。為斜邊的直角三角形，

22

所以三棱錐M-AO。z的外接球的球心為A。1的中點(diǎn)，由于AOX=A/2+1=&，

故三棱錐M-A002的外接球體積為定值，D項(xiàng)正確.

故選：ABD

11.BCD

【分析】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)A》)的性質(zhì)，由已知結(jié)合三次函數(shù)的圖象特征逐項(xiàng)求解判斷.

【詳解】函數(shù)/0)=留-30%+<?的定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得尸(x)=3(/-a),

當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，最多一個(gè)解，不符合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，由/'(無(wú))>0,得尤<—&或x>&;由/''(x)<。，-yfa<x<y[a>

函數(shù)/(x)在(-00,-7^),(^,+00)上單調(diào)遞增，在(-8)上單調(diào)遞減，

函數(shù)/(x)在x=—y/a處取得極大值f=a3+2a\[a,在x=?處取得極小值

/(A/O)=a3-2a\[a,

對(duì)于A,依題意，/(&)</</(-&),實(shí)數(shù)。的取值范圍為(0,+s),A錯(cuò)誤；

3

2

對(duì)于B,由A選項(xiàng)知。e(0,y),x>0,y(x)>/(^?)=(^-1)-1>-PB正確；

答案第5頁(yè)，共14頁(yè)

對(duì)于C,依題意，不〈一后，七〉則七一%>2&,

由d—3a%]+Q3=%；—3aM+",=3〃(七—七)，%；+玉/+兀；=3a,

則(龍3-%)2-3。=3(-%)退43(三]五)2,當(dāng)且僅當(dāng)一再=天時(shí)取等號(hào)，解得出—%W2四，C

正確；

對(duì)于D,由C選項(xiàng)知(了3-%)2-3°=-3%尤3，且(西-馬)2-3。=-3々占，

3

由2工2=玉+%，得(再-3了=(七-%2)2，則天2%=々占，即9=。，Z=/(X2)=a,

31

令函數(shù)g(a)=a3-31na-1,求導(dǎo)得g，(a)=31——=3(a-l)(a+1+—),

aa

當(dāng)0<a<l時(shí)，g'(a)<0；當(dāng)時(shí)，g'(a)>0,g(a)在(0,1)上遞減,在(1,+功上遞增,

因此g(a)2g⑴=0,則。3231no+1,即4N31na+1,D正確.

故選：BCD

12.-3

【分析】設(shè)z=a+仇化簡(jiǎn)式子求得6值即可.

【詳解】設(shè)2=。+歷，貝!J。+歷+6i=。一歷，即6i=-2歷得人=-3,故z的虛部為-3.

故答案為：-3

13.32

【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)榈摹癟—+1成等差數(shù)列，%，電用，%+2成等比數(shù)列,

所以％,電，生成等差數(shù)列，9，%”成等比數(shù)列,%，%，％成等差數(shù)列，。4，。5，。6成等比數(shù)列，

%，。6，%成等差數(shù)列，。6，。7，。8成等比數(shù)列，

所以可得｛凡｝的前8項(xiàng)為0,2,4,8,12,18,24,32.

故答案為：32

14.73-1

【分析】利用已知條件求出尸點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程中形成齊次方程，解出離心率即可.

【詳解】

答案第6頁(yè)，共14頁(yè)

如圖：由題意不妨設(shè)網(wǎng)士,兇）在第一象限，作PH，x軸交x軸于點(diǎn)H，知+歸同=2a①,

因?yàn)椤┦?=90。，所以|尸葉+|尸閶2=4。2②,

所以（附|+|尸用丫-（附『+|即0=2閥尸聞=4/一4c

貝I」尸￡HP&I=2/_202=力2,

由尸"=：2〃=吐

1扇

而,△ppp=丁2。?％="解得%=一，

~，C

又由NPA月=45。,所以|則=|尸引=%,又M=&,即%+M=a,

h2

代入玉+必=。解得：%=〃——，

C

2222

把石=〃--h-，％=一h代入=X+多V=1（〃>/?>0）中,

ccab

a1b2a2

整理得-lac+2a之—H=0,

即/+2e-2=0,解得e=g+l（舍）或6=百-1.

故答案為：^3-1.

71

15.（1）A=-

⑵也

2

【分析】（1）整理可得尸+。2一/=兒，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解即可;

（2）利用正弦定理可得》+c=3,即可得6c=2,進(jìn)而可得面積.

【詳解】（1）因?yàn)椤?6,貝|」，+夕=3+1即為￡+2=±+i,

bcbebcbe

答案第7頁(yè)，共14頁(yè)

整理可得/+。2-4=歷，

且46(0,兀)，所以A=g.

abcA/3,

_____—_____—_____—___—)be

(2)由正弦定理可得$1114一$山8一$出。一五一，則sinB=5，sinC=],

F"

bc3

可得sinB+sinC=—+—=—,即6+c=3,

222

由(1)可得〃+°2="，則(He)?-/=3Z?c,

即9-3=3兒，可得bc=2,

所以VABC的面積S.“=L6csinA=』x2x@=YL

we2222

16.(1)證明見(jiàn)解析

⑵2

【分析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得CEL平面ABC,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)與判定定理即

可證明；

(2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)EF=a,利用空間向量法求出平面3EF的法向量，求

出線面角，建立關(guān)于。的方程，解之即可求解.

【詳解1(1)因?yàn)槠矫鍭BC±平面ACEF,CEu平面ACEF,平面ABCfl平面ACEF=AC,

AC1CE,

所以CEJ■平面ABC,又ASu平面ABC,

所以CE，AB,又3C_LAB,CEcBC=C,CE,BCu平面BCE

所以AB_L平面3。石.

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)3作H9_LAC于點(diǎn)0,則45x5C=R9xAC,

zk

B

2222

在VABC中，AB=VAC-BC=2V3>所以B。-AC-6,WOC=A/BC-BO=1.

過(guò)點(diǎn)c作Z軸1平面ACEF,建立如圖空間直角坐標(biāo)系C-xyz

設(shè)防=“，貝!|A(0,4,0),B(o,l,出).E(2,o,o),F(2,a,0),

答案第8頁(yè)，共14頁(yè)

所以赤=(2,a-4,0),麗=(2,°-1,一代)，前=(O,a,O),

設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為5=(x,y,z),

n-BF=2尤+(a—l)y—石z=0

n-EF=ay=0

令x=6則y=0,z=2,所以7=(班,0,2),

解得。=4,即EF=4.

17.(1)分布列見(jiàn)解析，-1

539

(2)---

864

【分析】(1)由題意知X的所有可能取值為-3,-1,1,3,分別求出對(duì)應(yīng)概率，寫(xiě)出分布列,

進(jìn)而求期望；

(2)設(shè)甲獲勝為事件A,甲在比賽中共搶至卜D=0,1,2,3)道題為事件由

尸⑷=尸⑷尸(Al4)+尸(4)尸(Al4)+P(A)P(WA)+尸(4)尸(圓4)計(jì)算求解即可.

【詳解】(1)依題意，X的所有可能取值為-3,-1,1,3,

則p(x7)=qi；*，「(X若小

71

p(x=l)=c；=§，P(x=3)=G

27

故分布列為

X-3-113

8421

p

279927

“(X)—>+

(2)設(shè)甲獲勝為事件A,甲在比賽中共搶至收［=0』,2,3)道題為事件A,,

|=|，尸(A)=c；

貝UP(A)=C；IIP(A)=C；III=T尸(4)=c；1hr

答案第9頁(yè)，共14頁(yè)

P(A|A)=lx^|x|+2x|x1^l-^x|x|=|)「(A|&)=0+C；?gx(|)*

539

所以尸(A)=p(A)尸(4]A)+P(4)P(A|4)+P(A)P(A|4)+尸(4)尸(A|A^=—.

3o04

18.(1)y-±y/3x

⑵點(diǎn)。的坐標(biāo)為（26,T5）

（3）4k的最小值為近+1

、22

【分析】（1）根據(jù)雙曲線方程即可得其漸近線方程;

（2）由點(diǎn)4（2,3）可得3（2,-3）,從而可利用三角形外角關(guān)系從而可得直線AC的斜率，將

直線AC方程代入雙曲線方程求解即可得點(diǎn)C的坐標(biāo);

（3）設(shè)直線鉆:％=少+2,4（4%）,3（々,%）,。（電,力），代入雙曲線方程得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系,

由重心可得%+%+%=。，根據(jù)點(diǎn)線關(guān)系即可得/的范圍，再結(jié)合三角形面積關(guān)系得今與/

d2

的關(guān)系，由基本不等式可得最值.

2__

【詳解】（1）已知雙曲線「:/一1_=1,貝|普=1）=百，所以雙曲線方程為＞=±后；

2

（2）雙曲線r=1的右焦點(diǎn)*2,0）,

又4(2,3),所以ABLOB,則3(2,-3),

因?yàn)閠an-4所以ktan[4AC+升一^^=一2,

貝!J直線AC：y—3=—2(%—2),即y=—2%+7,

答案第10頁(yè)，共14頁(yè)

%2_匕=]

所以<3n九2—28%+52=0,解得玉=2,々=26,即％=26,

y=-2x+7

貝|J汽=—2x26+7=—45,所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為(26,-45)；

(3)設(shè)直線45:x=)+2,A(%,％),5(%2，%)，。(%3，%)，

A=36(Z2+l)>0

12t9

則nrl…"

因?yàn)橹本€/過(guò)點(diǎn)R且與雙曲線「右支交于A、B兩點(diǎn)，所以fej-*,日

又因?yàn)閂ABC的重心G在x軸上，所以％+丫2+%=。，

由點(diǎn)。在點(diǎn)尸的右側(cè)，可得%<0,所以％+%>。，解得"0,所以飛。,

而|x-%|=J(%+%--4必%'代入可得%-%=:1

!Jl—1

AF%M

AB

訴|、J01_A_Mi_%-%

所以邑°SABG__

2CQ-%—X+%

q

°AACGACX-%2%+%

(%+%+%)(%+為一%)=M+必+]_

(%-%)(%+%)%-%(%-%)(%+%)'

代入化簡(jiǎn)可得：

衣z113t2+l⑵2產(chǎn)+1WL4+3+1，

所以—=-j^=+1l=—1^=+—>^=+l>2j-

$28fJ產(chǎn)+18Tti+1Styjt2+1v:8rVr+18T產(chǎn)+12

當(dāng)且僅當(dāng)/=叵時(shí)等號(hào)成立，所以去的最小值為立+1.

11S22

答案第11頁(yè)，共14頁(yè)

19.(1)證明見(jiàn)解析

⑵證明見(jiàn)解析

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)當(dāng)/(x)=J時(shí)，r(x)=lnx,根據(jù)s(a,x)=-x)-b⑷的定義求解；

(2)解法一：如圖可知，5(卬6)為＞=:與x=。，x=b以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積，

、2

曲面梯形的面積大于S梯形°即，S梯形沖p=S矩形MMN=(8-。)?a+b,得證；

2PM

解法二：轉(zhuǎn)化為證明：—3/＜1/,設(shè)2=r,"1,則不等式可化為止D〈lnt，31),

1+￡aa1+Z

a

構(gòu)造函數(shù)：%(。=?+1)111，-2/+2,利用導(dǎo)數(shù)證明?+1)1皿一2r+2＞。在，￡(1,+。)恒成立；

(3)令g(x)=S(l㈤，故g(x)=xlnx,直線y=c與曲線S。,X)交于日(％,%),N(%2，%)，

1cC

所以--＜。＜0,即有：-^1=--①，^2=----②，進(jìn)一步變形可得1叫+ln%2＜-2,從而得

eliiXjlnx2

證.

【詳解】(1)因?yàn)?(。,無(wú))=尸(同一尸⑷，且/(%)=尸'(x),

當(dāng)"x)='時(shí)可知S(a,x)=lnx-Ina,

所以S(l,2)=ln2-lnl=ln2,

S(5,10)=InlO-ln5=ln2,所以S(1,2)=S(5,10)成立；

b-aa+b、2

(2)解法一：要證s(“叫＜~^~，即證5(z。/)＞(人一〃)?石金，

如圖可知，S(a,6)為y=J與x=a,x=b以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積.

若直線尤=之與曲線V,交于點(diǎn)D,

過(guò)。做丫="1■的切線，分別交》=。，x=b于尸，Q,

X

過(guò)。做X軸的平行線分別交X=a,x=b于"，N,則鼠哂=%加，

答案第12頁(yè)，共14頁(yè)

易知曲面梯形的面積大于s梯形21Mp

2

所以S梯形。明P=§矩形MABN=（人一。）,q+b

9

所以‘$（*>