北京市東城區(qū)2024-2025學年度第二學期高三綜合練習(一)

數(shù)學試卷

本試卷共6頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.

考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.已知集合4={也-一6>0},則”=()

A.{x\-2<x<3}B.{x|-3<%<2}

C.1x|-2<x<31D.|x|-3<x<2}

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式求得集合A,進而可求\A.

【詳解】由三—尤—6>0,可得(x—3)(尤+2)>0,解得％<—2或%>3,

所以A={x|x<—2或%>3},所以"A={x|-2WxW3}.

故選：C.

2.下列函數(shù)中，值域為(0,+8)的函數(shù)是

A./(x)=4xB./(x)=ln.rC./(x)=2xD./(x)=tanx

【答案】C

【解析】

【詳解】試題分析：確定函數(shù)的值域，應首先關注函數(shù)的定義域.根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知〃x)=2,的值域

為(0,+℃),故選C.

考點：函數(shù)的定義域、值域，常見函數(shù)的性質(zhì).

3.在(ax-?)5的展開式中，/的系數(shù)為io,則。的值為()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】D

【解析】

【分析】寫出二項式通項，令字母因數(shù)部分指數(shù)為3即可求解.

,k

【詳解】因為3—4)5的通項為2[=u3)5、_&)=(—l)%5-y無一5優(yōu)=0,123,4,5)，

k

令5——=3,解得左=4,

2

則(—l)4xC；a=5a=10,解方程得：a=2.

故選：D.

4.中國茶文化博大精深，茶水的口感與水的溫度有關.一杯80c的熱紅茶置于20℃的房間里，茶水的溫

度T(單位：C)與時間，(單位：min)的函數(shù)T=/?)的圖象如圖所示.下列說法正確的是()

A.若G+J=2%則/⑷+/&)>2/缶)

B.若則/⑷+/&)>2/&)

C.若/(%)+〃/3)=2/(/2),則：+，3<2/2

D.若/⑹+/圖>2〃/2),則4+4>2,2

【答案】A

【解析】

【分析】對于A,由結合函數(shù)的單調(diào)性可得/〉/(列),可判斷A；結合A,以及

BCD的條件逐項計算判斷即可.

【詳解】因為:+4=2%,所以號I=/2，

因為圖象是上凹函數(shù)，所以:&）；/（4）〉/⑺,即/（。）+/03）＞2/&）故A正確；

由A知使4+/3=2。，則"“）；/僅）〉〃外,即

由乙+73〉2t2,則t2＜tA,f（?2）＞f（?4）,故無法判斷/年）+/&），2/&）的大小關系，故B錯誤；

由A知%，使％+%=2%可得/（。）+/&）＞2/（/4），結合/（。）+/（才3）=2/（/2）*可得

/（幻＞/化）,

由“力的單調(diào)遞減可得馬，故：+6立明故c錯誤；

由A知，存在%，使0+6=2/4，可得/（。）+/（/3）＞2/（乙），

故存在，0?釬4），使2/（幻=/&）+/&）,

由函數(shù)的單調(diào)性可知方2e&4）時,2/（r0）＞2/（z2）,

當^^（/（，兒）時，彳+%＞2,2，

當［2=。時，%+/=2t2,

當^武。，。時，4+4＜2%故D錯誤.

故選：A.

5.在平面直角坐標系xOy中，角。以。尤為始邊，其終邊落在第一象限，則下列三角函數(shù)值中一定大于零

的是（）

A.sin（7i+a）B.cos（7i-cz）C.sin2czD.cos2a

【答案】C

【解析】

【分析】先得到sin。＞0,cos。＞0,利用誘導公式和倍角公式得到AB錯誤，C正確，舉出反例得到D錯

誤.

【詳解】由題意得sina＞0,cosa＞0,

A選項，sin（兀+1）=一sine＜0,A錯誤；

B選項，cos（7i-?）=-coscr＜0,B錯誤；

C選項，sin2cr=2sincrcosa>0,C正確;

JI

D選項，cos2cr=cos2（z-sin2a>若a=—,此時cos2o:=0,D錯誤.

4

故選：C

6.已知｛4｝是各項均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列，其中的三項為41,25,13,則｛4｝的公差可以為（）

A.-4B.-3C.4D.3

【答案】C

【解析】

【分析】由題意可得｛4｝只能是常數(shù)數(shù)列或單調(diào)遞增數(shù)列，結合｛%｝中的三項為41,25,13,可求得公差

的可能值.

【詳解】因為｛4｝是各項均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列，所以｛4｝只能是常數(shù)數(shù)列或單調(diào)遞增數(shù)列，

若｛4｝中三項為41,25,13,則它們在數(shù)列中的位置只能是13排在前，41排在后，

由25-13=12,41—25=16,由12,16同時是公差的倍數(shù)，

所以公差可以為L2,4.

故選：C.

7.長度為2的線段A3的兩個端點分別在x軸及〉軸上運動，則線段的中點到直線3x+4y+10=0距

離的最小值為（）

A.1B.72C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】確定的中點的軌跡方程為圓，結合圓心到直線的距離即可求解.

【詳解】設A（x,0）,5（0,y）,

由題意可得：X2+/=4,

X

m--

設AB的中點坐標為貝叫，

所以療+“2=1，即線段A3的中點的軌跡是以（0,0）為圓心，1為半徑的圓,

圓心（0,0）到3x+4y+10=0的距離為：-^===2，

所以線段A3的中點到直線3x+4y+10=0距離的最小值為2—1=1,

故選：A

8.已知x>Ly>l，貝卜4、>2?”是“1。82%>1084（丁一1）”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)4*>2>、log2%>log4（yT）分別有2x>>、y<x7+l,結合基本不等式有f+i>2%,再

根據(jù)推出關系判斷條件間的關系.

【詳解】由4*=22*>2〉，則必有2x>y,

由Iog2x>log4（y—1）,則log2<>log2（y—l）,可得ycY+l,

又x>l,根據(jù)基本不等式有爐+1>2%,

若4、>2、且、>1，貝!1有X?+l>2x〉y>1,即4*>2>是log2》>1。84（丁一。的充分條件，

若x=3,y=7,則2%<丁<一+1,此時滿足1082]>1。84（y一1）,但4工>2》不成立，

所以4工>2,是log2x>log4（y-l）的非必要條件，

綜上，“4'>2>”是“1。82%>1。84（y—1）”的充分不必要條件―

故選：A

9.祈年殿（圖1）是北京市標志性建筑之一、距今已有600多年歷史.殿內(nèi)部有垂直于地面的28根木柱，

分三圈環(huán)形均勻排列.內(nèi)圈有4根約為19米的龍井柱，寓意一年四季；中圈有12根約為13米的金柱，代

表十二個月；外圈有12根約為6米的檐柱，象征十二個時辰.已知由一根龍井柱AA和兩根金柱3耳,CG

形成的幾何體ABC—4用￡（圖2）中，=米，^BAC-144，則平面44G與平面ABC

所成角的正切值約為（

------D.

3cosl8----------------4cosl8

【分析】若平面ABC//平面。耳￡,E是4G的中點，連接DE，4E,從而得到/片石。是平面44cl

與平面D4cl所成角的平面角，即為所求角，結合已知求其正切值.

【詳解】若平面A5。//平面。則平面431G與平面ABC所成角，即為平面44cl與平面。與C

所成角，

由題意有，ABC三DBG，即是等腰三角形，腰長約為8米，ZB.DC,?144,易知

/DBCi=/DC[B產(chǎn)18,

若E是4G的中點，連接。E，4E,則。ELBQ],且4。，平面。與G，

由與Gu平面D5|G,則4。，與G,DE都在平面A。石內(nèi)，

所以gG，平面ADE,則/4即是平面A^G與平面。用G所成角的平面角，

其中4。=19—13=6,OE=8sinl8，則tan幺E。=坐=---.

DE4sinl8

C

故選：B

10.已知集合A={(x,y)|1卜B=1(x,y)|y=a\x+a^,如果Ac5有且只有兩個元素，則

實數(shù)。的取值范圍為()

A.(TO/)B.(1,+8)C.[0,1]D,[0,1)L(1,+°0)

【答案】D

【解析】

【分析】先分析出曲線丁=療力表示的是雙曲線V-9=1在x軸上及上方的所有點，再分情況討論當

。取不同值時，y=a|x+a|表示的不同曲線，及與曲線丁=在二！的交點個數(shù)情況即可得到結果.

【詳解】因為Ac5有且只有兩個元素，

所以曲線y=J義工與y=a|x+a|有且只有兩個交點.

對于曲線y=J7二i變形可得f—丁2=1(丁20)，

表示的是雙曲線爐-y2=i在X軸上及上方的所有點，

對于曲線y=a|x+a|,

(1)當a=0時，如圖所示，y=a|x+a|表示的是一條直線y=。，

與三―丁=1(/0)交于(1,0),(—1,0)兩點，符合題意；

(2)當a<0時，y=a\x+a\<0,與f―丁=1(”。)至多有一個交點，不符合題意;

(3)當。>0時，y=a|x+a|表示的是兩條射線，

a(x+a)(x2-a)

了-a(x+a)(x<-a)，

①當a=l時，y=a|x+a|表示的是y=x+l(x?—l)

和y=—(x+l)(x<-l)兩條射線，

與*—丁=l(y20)僅有(—1,0)一個交點，

如下圖所示，所以。=1不符合題意;

②當0<a<l時，y=a|x+a|與x軸的交點為(一。,0),-ae(-l,O),

且y=a(x+a)的斜率tze(0,l),y=-a(x+a)的斜率—ae(-1,0),

而雙曲線V—V=1的兩條漸近線為丫=±刈斜率分別為1和—1，

所以y=a|x+a|與Y—丁=1(y二。)的左右兩支各有一個交點,

如下圖所示，所以0<。<1符合題意；

③當a>l時，y=a|x+a|與無軸的交點為(一。,0),-a<-l,

且y=a(x+a)的斜率a〉l,y=-a[x+a)的斜率一。<一1,

而雙曲線V—V=i的兩條漸近線為，二土左，斜率分別為1和—i，

所以y=a|x+a|與Y-丁=l(y>0)的右支沒有交點，與左支有兩個交點,

如下圖所示，所以。〉1符合題意；

綜上，實數(shù)。的取值范圍為[0,1)U(L+8).

故選：D

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.若復數(shù)z滿足(l+i)-z=i,則|z|=.

【答案】—##-A/2

22

【解析】

【分析】應用復數(shù)除法的幾何意義及模長求法求結果.

【詳解】由題設z=Jr，貝I]|Z|=」L=」=也

l+i|l+i|V22

故答案為：f

12.已知向量a,仇。在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,貝i|cos＜Z?,c〉=

；\a-b\c=.

【答案】?.—②.0

2

【解析】

【分析】根據(jù)網(wǎng)格寫出向量的模，再平移向量C求出與4。的夾角的余弦值，應用向量的數(shù)量積

公式求解即可.

【詳解】平移向量c與b共起點，易看出瓦。的夾角為45，

cos<6,c〉=cos45=—

2

同二石，W=后，|c|=1,

d(:的夾角的余弦值85＜。,。＞=3=1b,c的夾角為45，

A/55

a-byc=a-c-bc=|^||c|cos^a.c^-|/?||c|cos

=X1X

^f-夜xlxcos45=0-

故答案為:；0.

2

13.己知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為歹，點M為C上任意一點，且總有則P的一個

值可以為.

【答案】2(答案不唯一)

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線性質(zhì)有|加刊之T，結合己知得P22,即可得.

【詳解】由拋物線的性質(zhì)知|兒牛.々，又1MH21,即日》l=p?2.

所以尸的一個值可以為2.

故答案為：2(答案不唯一)

14.己知函數(shù)/(x)=sinaa(tw>0),若/(九)的最小正周期為兀，則①=；若存在

%,馬e[7i,2TI],使得V(%)—/仁)|=2，則0的最小值為.

【答案】?.2-

4

【解析】

【分析】由正弦型函數(shù)的最小正周期公式可求。，由題意可得/(%),/(%)為函數(shù)的最大值或最小值，由

/713兀

CDTl<—(V71<——

2或<2

題意可得,可求G的最小值.

2am>—2^71>—

22

【詳解】因為函數(shù)/(x)=sinox(o>0)的最小正周期為兀，所以——=兀，解得0=2,

CO

因為/(x)=sinft?x(ty>0)G[_l,l],又石=2,

所以/(%)，/(%)為函數(shù)的最大值或最小值，

要使。最小，則最大值與最小值應在同一個周期內(nèi),

由xe[兀,2兀],貝!|e[am,2am],

兀3兀

(D7l<—。兀?——

2—253

則或，解得:

3兀5兀42

2師2——2CDTI>—

2I2

所以0的最小值為3.

4

故答案為：①2；②一.

4

15.己知數(shù)列｛4｝滿足a,.=a“+i+2%(八=1,2,3,),且4=1.給出下列四個結論：

①若a2G(0,+8),當“23時，an+l>an-

②若見?-2,0),當〃N3時，all+1<an-

③若出?T0),對任意正數(shù)"，存在正整數(shù)No，當“〉No時，an>M-

④若a2G1),對任意負數(shù)存在正整數(shù)No，當〃>時，an<M.

其中正確結論的序號是.

【答案】①③④

【解析】

【分析】先根據(jù)%+2=%+2%(〃=1,2,3,?)構造新數(shù)列｛%+i+an｝是首相為4+1，公比為2的等比數(shù)

列，得出an+l+an=(a2+1)2,，再構造新數(shù)列\(zhòng)an-與口x2"｝是首相為2子，公比為—1的等比數(shù)列,

從而求出數(shù)列｛4｝的通項公式；對于①，利用作差法即可判斷；對于②，取。2=-1即可判斷錯誤；對于③，

求解不等式%>對，利用放縮法找到正整數(shù)或即可；對于④，求解不等式&<〃，利用放縮法找到正

整數(shù)No即可.

【詳解】因為a,.=4+1+24,(〃=1,2,3,)且4=1,所以a“+2+4+i=2a“+i+2%=2(4+]+4),

所以｛4+1+4｝是首相為出+1，公比為2的等比數(shù)列，所以a,田+%=(g+1)21,

即―+@+上所以％-亨4」［一胃山，又囚一叩』丁,

所以一義3義2"|是首相為公比為_i的等比數(shù)列，所以夕&±1X2'=2Z&(T〃T,

L6J363

即4=喑x2〃+U(T)i，

對于①，若02G(0,+8),當〃23時，

當“23且為奇數(shù)時，??+1-??-^x2--^x2=^+|k+^-1>0;

oJoJJo3

當“23且為偶數(shù)數(shù)時，4+「q,=4x2"+Tx2=［工-卷+9>0；

o3163/o3

綜上>0,即?！?1>an,故①正確；

對于②，若02G(—2,0),取出=一1，貝此“=也F><2"+馬產(chǎn)(一1戶=(一1戶，故②錯誤;

對于③，若生￡(-1,0),則。2+1>。，2-〃2>。，

對任意正數(shù)M,由%〉/得/=箓止義2"+芻『(—1)小,

所以2〃〉號彳(一1)"］,又號］〃_?(一1廣］三號

%+1(3)%+113J%+1<3)

當2">—^—(M+^—^］時上式一定成立，即

%+M3)2也+i(3))

'(6(9-/7AY

故存在正整數(shù)乂=log2-------M+——2,當"〉乂時，an>M,故③正確；

對于④，若生￡(—8，-1)，則。2+1<°，2-。2>。，

對任意負數(shù)由〈“得名=義『義『(—-1X■

M,42"+21)'<M,

所以2"〉：［“-丁(-1)"］，又:［〃一一

%+113)%+113

當2〉(M2］時4<〃成立，即〃>iog"-F，

3)2+1(3))

■(6(2-、丫

故存在正整數(shù)No=log-------M-----"，當">

2N()時，an<M,故④正確；

_1w+M3〃

故答案為：①③④

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在VABC中a=6,6—c=l,sinC=.

(1)求。的值及7ABC的面積；

(2)求證：A=2C.

【答案】（1）b=5,/\/lOVy|

（2）證明見解析.

【解析】

3

【分析】（1）由正弦值得cosC=±—,再應用余弦定理列方程求得b=5,最后應用三角形面積公式求面

4

積；

（2）由（1）及二倍角余弦公式得cos2C=工，再應用余弦定理求得cosA=工，結合三角形內(nèi)角的性質(zhì)即

88

可證.

【小問1詳解】

由sinC=^^,可得cosC=±°,而c?=儲+6?-2a6cosC,

44

所以。2=36+（c+iy±9（c+l）,即37+2C±9（C+1）=0,顯然46+llc=0不成立，

所以37+2c—9（c+l）=0,可得°=4,則b=5,

痂c'卜.「'一幣15近

故=—cibsine=-x6x5x——=-----；

△ABC2244

【小問2詳解】

31

由（1）易知cosC=—，貝!Jcos2c=2cos9C—1——，

48

由（1）及余弦定理有cos4=.+°2一片=25+16—36;工,

2bc2x5x48

所以cosA=cos2C,又A,Ce（0,兀）,4+。＜兀，則A=2C.

17.如圖，在幾何體ABCDEE中，四邊形ABCD為平行四邊形，平面平面

CDE,AD工DE,AD=DE=DC=1,BF//DE.

(1)證明：EC//平面ADE；

(2)已知點E到平面A/C的距離為二L,再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求跖

2

的長.

條件①：AELCD-,

條件②：AC=CE.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(1)證明見解析；

(2)所選條件見解析，BF=-.

2

【解析】

【分析】(1)由題設得A。/ABC,BF//DE,應用線面平行的判定證明BC//平面ADE,BE〃平面

ADE,再由面面平行的判定及性質(zhì)證明結論；

(2)根據(jù)已知證明A￡>J_DE,AD±CD,CD，DE,構建合適的空間直角坐標系，應用向量法求點面

距，列方程求所的長.

【小問1詳解】

由四邊形ABCD為平行四邊形，則AD//5C,又BFIIDE,

ADu平面ADE,BCa平面ADE,則BC//平面ADE,同理BF〃平面ADE,

由3CBF=B,5cB尸都在平面內(nèi)，則平面5CE//平面ADE,

FCu平面BCF,則EC//平面ADE；

【小問2詳解】

平面平面平面A￡)E門平面CDE=DE,ADu平面ADE，

所以平面COE,DE,CDu平面C0E,則ADLOE,AD±CD,

選條件①：AE1CD,ADcAE=A都在平面ADE內(nèi)，則CD，平面ADE,

DEu平面ADE，則CDLDE；

選條件②：由ADLOE,ADLCD,AD=DE=DC=1,

則VADEMVADC,又AC=CE,故AC=AE=CE,

所以ADE=ADC三EDC,則CDLDE,

綜上，ADYDE,AD±CD,CD工DE,

以。為原點，。4,。。,?！隇閬V丁"的正方向建立空間直角坐標系。一呼,

所以A(1,O,O),C(O,1,O),E(0,0,1),令BF=x>0,則"Um),

故4R=(0,1,x),CF=(1,0,x),AE=(-1,0,1)，

m-AF=b-^-xc=0

令加=是平面AFC的一個法向量，則｛,

m-CF=a+xc=0

取。=%,則m=(x,%一1),

由題設I些生|=X+1=先，可得4x2—4X+1=02X=L,

\m\J2-+122

所以3歹=』.

2

18.據(jù)國家相關部門統(tǒng)計，2023年華東地區(qū)、東北地區(qū)主要省份的水稻、小麥的播種面積和產(chǎn)量數(shù)據(jù)見下

表：

水稻小麥

播種面積(千公產(chǎn)量(萬播種面積(千公產(chǎn)量(萬

頃)噸)頃)噸)

江蘇省2221.02003.22389.51373.5

浙江省649.0485.3152.666.4

安徽省2500.71609.82862.71740.7

華東

地區(qū)

福建省601.1394.60.100

江西省3383.92070.711.33.5

山東省101.086.14008.92673.8

遼寧省500.5412.92.00.8

東北

吉林省828.8682.15.01.7

地區(qū)

黑龍江省3268.52110.019.37.5

(1)從表1中的華東地區(qū)隨機抽取1個省份，求該省水稻產(chǎn)量比小麥產(chǎn)量少的概率；

(2)從表1的9個省份中隨機抽取2個，設X為水稻播種面積排在前5名且屬于東北地區(qū)省份的個數(shù).求

X的分布列與數(shù)學期望；

(3)2023年華東地區(qū)、東北地區(qū)和華北地區(qū)主要糧食作物的播種面積及其采用新技術的播種面積占該作

物總播種面積的比值(簡稱新技術占比率)數(shù)據(jù)見下表：

糧食播種面積新技術糧食播種面積新技術

作物(千公頃)占比率作物(千公頃)占比率

華東地區(qū)水稻9456.70.70小麥9425.10.60

東北地區(qū)水稻4597.80.55玉米13800.00.65

華北地區(qū).小麥3184.50.65玉米9564.70.60

記華東地區(qū)和東北地區(qū)水稻播種總面積新技術占比率、華東地區(qū)和華北地區(qū)小麥播種總面積的新技術占

比率、東北地區(qū)和華北地區(qū)玉米播種總面積的新技術占比率分別為a,b,c.依據(jù)表2中的數(shù)據(jù)比較ahc的

大小.(結論不要求證明)

【答案】(1)—；

3

4

(2)分布列見解析，E(X)=—；

9

(3)a>c>b.

【解析】

【分析】(1)應用古典概型的概率求法求華東地區(qū)隨機抽取1個省份，水稻產(chǎn)量比小麥產(chǎn)量少的概率；

(2)由題意X可能值為0』,2,應用超幾何分布的概率求法求概率，即得分布列，進而求期望；

(3)根據(jù)表格分別求出各地區(qū)作物新技術占比率，比較大小即可.

【小問1詳解】

由表格，華東地區(qū)6省中只有安徽省、山東省的水稻產(chǎn)量比小麥產(chǎn)量少，

所以華東地區(qū)隨機抽取i個省份，水稻產(chǎn)量比小麥產(chǎn)量少的概率2=,；

63

【小問2詳解】

由表格，水稻播種面積最大的5個省依次為江西、黑龍江、安徽、江蘇、吉林,

其中華東地區(qū)有3個，東北地區(qū)有2個，若9個省份中隨機抽取2個，

水稻播種面積排在前5名且屬于東北地區(qū)省份的個數(shù)X可能值為0,1,2,

C27C'C17C21

P(X=°)=^=不，。吠=1)=卡=笈，P(X=2)=-^=-

C912C91KC9Jo

分布列如下,

X012

771

P

121836

7714

所以E(X)=0x—+lx—+2x—=—；

1218369

【小問3詳解】

9456.7x0.7+4597.8x0.55^9425.1x0.6,3184.5x0.65

由表格知a=-0.651,b0.6126,

9456.7+4597.89425.1+3184.5

13800x0.65+9564.7x0.6

?0.6295,

13800+9564.7

所以

22離心率為半，E上的點4(加,〃)(〃/0)關于了軸

19.已知橢圓E：二+4=1(〃>/?>0)過點(。,1),

crb2

的對稱點為8.設。為原點,OH=20X(0<2<1),過點"與x軸平行的直線交E于點RQ.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若點8在以PQ為直徑的圓上，求力的值.

2

【答案】(1)—+/=1

3-

⑵I

【解析】

【分析】（1）由橢圓二+與=1過點（0,1）可求出）=1,由離心率為亞及橢圓中a2=》2+c2,可求得

ab~3

1=3,即可得到橢圓方程;

（2）先由條件得到8,4的坐標，再得到過”的直線方程，代入雙曲線得到「，。的坐標，進而得到以PQ為

直徑的圓的方程，再利用點8既在圓上，又在橢圓上，化簡整理即可求出2的值.

【小問1詳解】

y2

因為橢圓E:「+=l（a〉6〉0）過點（0,1）,

a

所以5=1,即上=1.

因為橢圓的離心率為如，所以e=￡=Y5，c=—a，

3a33

又因為橢圓中/=〃+°2,代入可得/=1+

解得1=3,所以橢圓的方程為上+丁=1；

3-

【小問2詳解】

如圖所示，因為A關于x軸的對稱點為B,A（m,n）,所以B（m,一〃），

因為的=2。4，所以0/7=（力徨,/L"）,所以H（力耳/1〃），

所以過點H與x軸平行的直線為y=九也

將直線y=An代入橢圓方程—+/=1,

3-

2

可得5+（加）2=1,即V=3（1—%"）,

所以個小3（1-萬“2）"4e^3（l-22n2）,2nj,

所以以PQ為直徑的圓的圓心為（0,An）,半徑為網(wǎng)—42n2）,

所以圓的方程為/+（y—X〃）2=3（l—萬川），

因為點8在圓上，所以W+（f-沏『=3（1-方層），

即M+"2（1+為2=3-322n2（*）,

2

又因為點8在橢圓上，所以1_+〃2=1,即4=3（1—川），

代入（*）可得3（l-n2）+H2（l+2）2=3-322712,

化簡后可得2彳2+九一1=。，解得/二,或九二―1（舍），

2

所以x=L

2

20.設函數(shù)〃x）=（x—2）e*+?x+6,曲線y=/（x）在A（0,〃0））處的切線方程為y=0.

（1）求6的值；

（2）求不等式/（方"0的解集；

（3）已知以%/⑺），其中/>2,直線AB的方程為y=g（無）.若?°/），且/（七）=8（%2），求

證：X]>馬.

。=1

【答案】⑴^C；

b=2

（2）[0,+oo）；

（3）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，結合已知求參數(shù)值；

（2）導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結合函數(shù)的零點求不等式的解集；

（3）問題化為xe（01）且，〉2上勇〉』區(qū)恒成立，即判定證明/（尤）、%（%）=/'。）在（0,+8）上單

tX

調(diào)遞增即可證.

【小問1詳解】

由題設廣(x)=(x—l)e'+a,貝U/'(O)=a—1,而/■(0)=6—2,

所以曲線y=/(x)在A(0,/⑼)處切線方程為y—g—2)=(a—1)(%-0),

a—1—062—1

所以y=(〃-l)x+(b—2),即為y=。，貝弘△；

b-2=Q\b-2

【小問2詳解】

由⑴得〃x)=(x—2)e*+x+2,則/'(x)=(x—l)e，+l,

令h(x)=f'(x),貝!Jh'(x)=xer,

當x<0,〃(x)<0,〃(x)=/'(x)在(—8,0)上單調(diào)遞減，

當尤>0,〃(x)>0,〃0)=/'(幻在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以/'(x)?/'(0)=0,故/(%)在R上單調(diào)遞增，且"0)=0,

所以“X)20的解集為［0,+00)；

【小問3詳解】

由(2)知/(%)在R上單調(diào)遞增，要證%>尤2，即證/(石)>/(%)，

由石e(0/)且=,即證g(w)>/(w)，

由A(0,0),/(r)),則g(x)=/^x且/>2,

所以xe(Oj)且/〉2上，證明")x>(x—2)e*+x+2,即'，)>以)恒成立,

所以，只需證/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且增長速度逐漸變快，

由(2)/(0)=0,/(尤)、〃(x)=/'(%)在(0,+8)上均單調(diào)遞增，

所以尤e(0,1)且/>2上，―-恒成立，故%>%。，得證.

tx

21.已知有限數(shù)列人:卬,％,.'g"-""eN*,3)滿足a,e{l,2,，磯z'=l,2,..an—l)對于給定的

左(左=2,3,.?,〃)，若A中存在左項滿足力<%<,<aik(1<Zj<z2<<ik<2w-l),則稱A有％項遞

增子列；若A中存在左項滿足4>%>>ajl<z；<z2<<4<2;7-1),則稱A有七項遞減子列.當

A既有〃項遞增子列又有n項遞減子列時，稱A具有性質(zhì)P.

(1)判斷下列數(shù)列是否具有性質(zhì)P;

①4,1,3,2,1,3,4；

②12,5,4,3,4,5,3,1.

(2)若數(shù)列A中有勾=4[/〃)，證明：數(shù)列A不具有性質(zhì)產(chǎn)；

(3)當數(shù)列A具有性質(zhì)尸時，若A中任意連續(xù)的〃項中都包含％項遞增子列，求人的最大值.

【答案】(1)數(shù)列①具有性質(zhì)P,數(shù)列②不具有性質(zhì)尸

叫/為奇數(shù)

2

(2)證明見解析(3)儲ax=

為偶數(shù)

12

【解析】

【分析】(1)根據(jù)性質(zhì)P判斷即可；

(2)利用反證法，假設數(shù)列A具有性質(zhì)P,則數(shù)列A中存在，項遞增的數(shù)列｛4｝和〃項遞減數(shù)列｛cj,

分析可知，存在/W｛1,2,3,…㈤在A中恰出現(xiàn)一次，不妨記為%

記%=外,則必有。，1+1=為，再根據(jù)數(shù)列｛4｝遞增，｛c,J遞減，推導出左=”,推出矛盾，從而說明結

論成立；

(3)由⑵知，數(shù)列A中恰有一項4既是也｝的項，也是｛c,｝的項，記“=?！埃?，c?_J+l=an,

對數(shù)列A