專題18.12常用五種構(gòu)造三角形中位線的方法

【人教版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生構(gòu)造三角形

中位線的五種常用方法的理解！

【題型1連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線】

（24-25八年級(jí)?廣東深圳?期中）

1.如圖，在△/8C中，3/=BC=5,4C=6,點(diǎn)。，點(diǎn)￡分別是8GAs邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)

點(diǎn)尸，點(diǎn)M分別是C2OE的中點(diǎn)，則的最小值為（）

AC

1295

A.—B.-C.3D.一

552

（24-25八年級(jí)?山東淄博?階段練習(xí)）

2.如圖，在中，ZC=90°,AC=3,BC=4,P是斜邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且尸在

AB1.（不包含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)的過程中，始終保持G、〃分別是。P、PE

的中點(diǎn)，連接G〃，則GH的最小值是（）

（24-25八年級(jí)?廣東深圳?期中）

3.如圖，點(diǎn)E為口A8C。的對(duì)角線AD上一點(diǎn)，DE=\,BE=5,連接NE并延長(zhǎng)至點(diǎn)尸，使

得AE=EF,則CF為（）

試卷第1頁(yè)，共12頁(yè)

9

C.4D.

2

(24-25八年級(jí)?江蘇揚(yáng)州?期中)

4.如圖，已知△Z5C的中線8。、CE相交于點(diǎn)O,M、N分別為06、。。的中點(diǎn).

(1)求證：和7VE互相平分；

(2)若BOLZ。，OC2=32,OD+CD=^,求△0C3的面積.

(24-25八年級(jí)?山東濟(jì)寧?期末)

5.如圖，在中，/A4C=90。,瓦尸分別是5C,4C的中點(diǎn)，延長(zhǎng)力到點(diǎn)。，使

AD=-AB.連接DE,DF.

2

(1)求證：4尸與。E互相平分；

(2)若NABC=60。,BC=4,求。尸的長(zhǎng).

(24-25八年級(jí)?山東濟(jì)寧?期末)

6.如圖，在平行四邊形/BCD中，點(diǎn)G,H分別是/及8的中點(diǎn)，點(diǎn)￡,尸在對(duì)角線ZC

上，S.AE=CF.

試卷第2頁(yè)，共12頁(yè)

A

ED

⑴求證：四邊形EGM是平行四邊形；

（2）連接8。交/C于點(diǎn)。，若BD=28,AE+CF=EF,求EG的長(zhǎng).

（24-25八年級(jí)?山東威海?期末）

7.（1）【課本再現(xiàn)】我們前面學(xué)習(xí)過三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且

等于第三邊的一半.請(qǐng)你嘗試證明.

已知：如圖1,是ZUSC的中位線.

求證：DE//BC,DE=-BC.

2

（2）【實(shí)踐應(yīng)用】

如圖2,是△4BC的中位線，4F是BC邊上的中線，OE與/尸是否互相平分？請(qǐng)證明

你的結(jié)論.

圖2

【題型2倍長(zhǎng)法構(gòu)造三角形的中位線】

（2024下?黑龍江伊春?八年級(jí)校聯(lián)考期末）

8.如圖，四邊形中，ACVBC,AD//BC,BC=3,AC=4,AD=6.M是BD

的中點(diǎn)，則CM的長(zhǎng)為（）

試卷第3頁(yè)，共12頁(yè)

AD

M

BC

35

A.-B.2C.-D.3

22

（2024上?福建龍巖?八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）

9.如圖，已知正方形45C。、正方形ZE產(chǎn)G的邊長(zhǎng)分別為4和1,將正方形ZE產(chǎn)G繞點(diǎn)A旋

轉(zhuǎn)，連接。尸，點(diǎn)"是。尸的中點(diǎn)，連接CM,則線段CW的最大值為（）.

/y

A.3^2B.4V2C.5V2D-2-\/5H-----

2

（24-25八年級(jí)?四川成都?階段練習(xí)）

10.如圖，在△NBC中，己知/E平分于點(diǎn)瓦廠是8C的中點(diǎn).若

AB=14cm,AC=20cm,則E77=cm.

11.【知識(shí)探究】探究得到定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

【定理證明】請(qǐng)你利用矩形的性質(zhì)，證明該定理.

已知：如圖1,在Rt2X4BC中，ZABC=90°,。是/C的中點(diǎn)；

試卷第4頁(yè)，共12頁(yè)

（2）【靈活運(yùn)用】如圖2,四邊形/BCD中，NABC=90。,AC=AD,E,尸分別是NC,

CD的中點(diǎn)，連接BE,EF,BF,求證：Z1=Z2.

（2024上?江蘇蘇州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）

12.如圖，在A48c中，AACB=60°,BC=2,。是48的中點(diǎn)，E是NC上一點(diǎn)，若DE

平分A23C的周長(zhǎng)，則?！甑拈L(zhǎng)等于—.

【題型3已知角平分線與垂直關(guān)系構(gòu)造中位線】

（2024下?河北邯鄲?八年級(jí)?？计谥校?/p>

13.在△ABC中，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，CE平分NACB,AELCE于點(diǎn)、E.

（1）求證：DE//BC；

（2）若NC=5,BC=1,求。E的長(zhǎng).

（2024下?山西運(yùn)城?八年級(jí)校聯(lián)考期末）

14.如圖，在中，BD平仿乙4BC,過點(diǎn)C作CO_L8D于點(diǎn)。，E是邊/C的中點(diǎn)，連

接?！?若DE=2,BC=10,則的長(zhǎng)為（）

試卷第5頁(yè)，共12頁(yè)

A

D

B

A.6B.8C.7D.9

（24-25八年級(jí)-江蘇南通?期末）

15.已知：如圖，AD、2E分別是AZBC的中線和角平分線，ADLBE,AD=BE=3,則

AC的長(zhǎng)等于—.

（2024下?江蘇?八年級(jí)姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中?？计谥校?/p>

16.如圖，為△/8。中乙4。8=90。，4B=13,BC=5,AD,AE■分別平分—A4C、

ZABC,ZADC=ZBEC=90°,連接。E,貝1|。￡=.

（24-25八年級(jí)?河南南陽(yáng)?期中）

17.如圖，ZUBC中，ZC=90°,過點(diǎn)8作NC的平行線，與/C48的平分線交于點(diǎn)。,

若/C=6,C5=8.E、尸分別是C2、4D的中點(diǎn)，則￡尸的長(zhǎng)為.

（24-25八年級(jí)-江蘇南通?期中）

18.已知：點(diǎn)E在正方形4BCD的邊的延長(zhǎng)線上，連接CE,過點(diǎn)C作WLCE,交邊

于點(diǎn)尸.

試卷第6頁(yè)，共12頁(yè)

⑴如圖1，猜想CE與CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

(2)如圖2,連接￡/，AC,作NNEE的平分線交/C于點(diǎn)G,求證：所=eCG;

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接EG,過點(diǎn)A作NN,EG,交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,M

為/月的中點(diǎn)，連接MV.若/尸=6,FD=\,請(qǐng)求出MV的長(zhǎng).

(24-25八年級(jí)?湖北武漢?期中)

19.在和中，AD<AB,AB=AC,NDAE=工NBAC=a,//￡。=90°,點(diǎn)

2

下是線段。C的中點(diǎn)，連接斯.

(1)若。在3C上，

①如圖1,點(diǎn)E恰好落在NC上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段所與8。的數(shù)量關(guān)系；

②如圖2,試探究線段所與AD的數(shù)量關(guān)系;

圖1

試卷第7頁(yè)，共12頁(yè)

A

圖2

63

(2)如圖3,a=30。，點(diǎn)。不在上，ZDBC=15°,EF=芳,AE=~,直接寫出A48C

的面積是---------

圖3

【題型4已知中點(diǎn)，取其他邊中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線】

(24-25八年級(jí)?山西太原?期末)

20.如圖，ZUBC中，ZACB=90°,G4=CB=12cm,點(diǎn)。為C8的中點(diǎn)，將一個(gè)直角三角

板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，直角邊的點(diǎn)￡在邊42上，AE=7cm,連接8尸，則B尸的長(zhǎng)

為cm.

試卷第8頁(yè)，共12頁(yè)

c

（24-25八年級(jí)?天津?期末）

21.如圖，已知△4BC中，ZACB=90°,BC=AC=4,將直角邊/C繞/點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至

AC,連接8C',￡為8。的中點(diǎn)，連接CE,則CE的最大值為（）

C

A.472B.272+1C.272+2D.2石+2

（24-25八年級(jí)?湖北恩施?期末）

22.如圖，△ABC中，。是48的中點(diǎn)，E在/C上，5.ZAED=90°+,貝U8C+2/E

等于（）

33

A.ABB.ACC.—4BD.—AC

22

（24-25八年級(jí)?山東煙臺(tái)?期末）

23.如圖所示，在四邊形中，AB=245,CD=2拒,ZABD=3Q°,ZBDC=120°,

E,尸分別是ND,8c邊的中點(diǎn)，則斯的長(zhǎng)為（）

試卷第9頁(yè)，共12頁(yè)

A.2V2B.2V3C.V5D.V7

（24-25八年級(jí)?福建漳州?期末）

24.如圖，在△NBC中，點(diǎn)。，石分別是/民8。上的動(dòng)點(diǎn)，連接?！?將aBDE沿直線DE

折疊得到3￡尸，點(diǎn)尸落在/C上.

⑴如圖1,若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，求證：DE//AC；

⑵如圖2,若448c=90。，且點(diǎn)尸是NC的中點(diǎn).

①判斷線段CE與。E之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②若AB=3,BC=4,直接寫出:跖的面積.

【題型5作其他輔助線構(gòu)造三角形的中位線】

（24-25八年級(jí)?江西宜春?期末）

25.如圖，在△NBC中，AD平分NCAB交BC于點(diǎn)、E.若48￡>/=90。，E是/。中點(diǎn),

DE=2,AB=5,則NC的長(zhǎng)為（）

D

C/\

（24-25八年級(jí)?山西長(zhǎng)治?階段練習(xí)）

26.已知如圖，正方形NBC。，4B=10,點(diǎn)、E,尸分別是邊42,8c的中點(diǎn)，連接EC,

DF,點(diǎn)、G,H分別是EC,。尸的中點(diǎn)，連接G8,則G〃=.

試卷第10頁(yè)，共12頁(yè)

（24-25八年級(jí)?北京?階段練習(xí)）

27.已知"BE,將"BE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°<a<180。）到△/4,使得點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)C落在直線班上.

⑴①依題意補(bǔ)全圖1；

②若尸C垂直BE,直接寫出a的值；

（2）如圖2,過8作NC的平行線2D,與FE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。，F(xiàn)E交AC于點(diǎn)、G,取廠。

的中點(diǎn)河和BC的中點(diǎn)N,寫出線段與FG的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（24-25八年級(jí)?湖北武漢?期末）

28.如圖（1）,在等腰△NBC,中，AB=AC,AD=AE,ABAC=ZEAD=a,"BE

可以由A/。通過順時(shí)針旋轉(zhuǎn)變換得到.

⑴請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)中心及最小旋轉(zhuǎn)角的大?。ㄓ煤?的式子表示）；

⑵如圖（2）,若河為8c中點(diǎn)，點(diǎn)。在CM上，過點(diǎn)M作于0,交DE于點(diǎn)、N.

①求證：N為。E的中點(diǎn)；

②若N8=NC=2,a=120。，點(diǎn)。在MC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（包括M,C兩個(gè)端點(diǎn)），直接寫出

的最小值.

試卷第11頁(yè)，共12頁(yè)

（24-25八年級(jí)?安徽淮南?階段練習(xí)）

29.如圖，在△ABC和△NZJE中，AB=AC,AD=AE,ABAC+ZEAD=180°,△ABC不

動(dòng)，繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接5￡、CD,尸為BE的中點(diǎn)，連接.

（1）如圖①，當(dāng)/24￡=90。時(shí)，求證：CD=2AF,

（2）當(dāng)NR4EW90。時(shí)，（1）的結(jié)論是否成立？請(qǐng)結(jié)合圖②說明理由.

（24-25八年級(jí)?浙江金華?階段練習(xí)）

30.如圖，在矩形紙片如5CD中，AB=9cm,8C=12cm,E為邊CD上一點(diǎn)、,將ABCE沿BE

所在的直線折疊，點(diǎn)C恰好落在/。邊上的點(diǎn)尸處，過點(diǎn)尸作RWLBE,垂足為點(diǎn)“，取

4尸的中點(diǎn)N,連接則初V的長(zhǎng)為.

試卷第12頁(yè)，共12頁(yè)

1.A

【分析】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)及三角形中位線定理，正確得出CE的最小

值是解題的關(guān)鍵.過點(diǎn)8作88L/C于〃，連接CE；當(dāng)CE取最小值時(shí)，W0的值最小，

由垂線段最短可知，當(dāng)CE123于點(diǎn)E時(shí)，CE的值最小，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)

求出58的長(zhǎng)，進(jìn)而利用三角形等面積法求解即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作BHJ.4C于連接CE；

當(dāng)CE取最小值時(shí)，的值最小，

由垂線段最短可知，當(dāng)CE148于點(diǎn)￡時(shí)，CE的值最小,

在△NBC中，BA=BC=5,AC=6,

.-.CH=-AC='3,

2

???S-M'X6X4=12=L/8.CE,

zizizjc22

24

:.CE=——

5

故選：A.

2.B

【分析】連接。耳尸。，判定四邊形尸EC。是矩形，推出PC=O￡,由三角形中位線定理得

到=因此=g尸C,當(dāng)尸CLAB時(shí)，尸C最小，由勾股定理求出的長(zhǎng)，由

11I?

三角形面積公式，得到的面積=,/以尸C=,/C?5C,求出PC=不，即可得到GH

的最小值是

答案第1頁(yè)，共37頁(yè)

【詳解】解：連接?！?尸C,

PD//BC,PE//CD,ZACB=90°,

???四邊形PEC。是矩形，

：.PC=DE,

???G、”分別是。P、PE的中點(diǎn)，

???GH是APDE的中位線，

.-.GH=-DE,

2

：.GH=-PC,

2

.?.當(dāng)PC最小時(shí)，GH最小,當(dāng)時(shí)，尸C最小,

此時(shí)4ACB的面積=-AB-PC=-AC-BC,

22

-.■ZC=90°,AC=3,BC=4,

???AB=yjAC2+BC2=5，

;.5PC=3x4,

.-.PC=y,

2255

??.GH的最小值是t，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線定理，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì),

關(guān)鍵是判定四邊形尸ECZ）是矩形，得到PC=DE,由三角形中位線定理得到G//=gpC,

由三角形面積公式求出PC的最小值.

3.C

【分析】本題考查平行線四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，關(guān)鍵是證明OE是的中

答案第2頁(yè)，共37頁(yè)

位線.連接/c交50于。，由平行四邊形的性質(zhì)推出/O=OC,OD=；BD,證明OE是

△/CR的中位線，得到bC=20E,求出BD=6,得到。0=3,求出0E=OD-QE=2,

從而FC=2OE=4.

【詳解】解：連接NC交2。于O,如圖所示：

?.?四邊形/BCD是平行四邊形，

.-.AO=OC,OD=~BD,

2

■■■AE=EF,

.?.0E是△/(?尸的中位線，

：.FC=20E,

■：DE=\,BE=5,

BD=1+5=6,

...on=1x6=3,

2

.-.OE=OD-DE=3-1=2,

；.FC=2OE=4.

故選：C.

4.(1)證明見解析

⑵16

【分析】本題考查了三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、完全平方

公式，熟練掌握三角形的中位線定理是解題關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)三角形的中位線定理可得ME=ME//OA,DN=goA,DN//OA,

再證出四邊形。EMN是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得證；

(2)先求出OB=2(W=2OD,再利用勾股定理可得OZ)2+a)2=32,然后利用完全平方

公式變形求值可得2。6CD的值，最后利用三角形的面積公式計(jì)算即可得.

【詳解】(1)證明：如圖，連接O4DE,MN,

答案第3頁(yè)，共37頁(yè)

???CE是△ABC的中線，點(diǎn)M是08的中點(diǎn)，

.-.ME=-OA,ME//OA,

2

同理可得：DN=^OA,DN//0A,

：.ME=DN,ME//DN,

???四邊形DEMN是平行四邊形,

.?."D和2VE■互相平分.

(2)解:由(1)已證：和互相平分，

：.OD=OM,

,?,點(diǎn)M是08的中點(diǎn)，

OB=2OM,

/.OB=20D,

?■BDLAC,OC2=32,

???。獷+5=。。2=32,

OD+CD=8,

2ODCD=(OD+C￡>)2-[OD2+C￡>2)=82-32=32,

??.AOCB的面積為goBCD=；x2O￡>CD=gx32=16.

5.(1)證明見解析

(2)2

【分析】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性

質(zhì)等知識(shí)；

(1)利用三角形中位線定理可得出跖〃EF：AB,結(jié)合得出

EF=AD,可證明四邊形NEED是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)即可得證；

(2)先證明ANBE為等邊三角形，可得AE=BE=2,再利用平行四邊形性質(zhì)求解即可.

答案第4頁(yè)，共37頁(yè)

【詳解】(1)證明：連接E尸，AE.

???點(diǎn)￡,尸分別為3C、/C的中點(diǎn)，

-.EF//AB,EF=-AB.

2

又MD=LAB,

2

：.EF=AD.

又???EF//AD,

二四邊形AEFD是平行四邊形.

尸與DE互相平分.

(2)解：在中，NABC=60°,BC=4,￡為8c的中點(diǎn)，

：.BE=LBC=2,NACB=3Q°,

2

：.AB=LBC=2,

2

AB=BE,

；.A4BE為等邊三角形,

.，?AE=BE=2,

又???四邊形AEFD是平行四邊形，

???DF=AE=2.

6.(1)證明見解析

⑵7

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線

定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形判定與的性質(zhì)及三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵.

(1)證明“GE0Ao/F(SAS),得GE=HF,NAEG=NCFH,則=得

GE//HF,即可得出結(jié)論；

(2)先由平行四邊形的性質(zhì)得出08=00=14,再證出4E=0E,可得EG是A/8。的中

位線，然后利用中位線定理可得EG的長(zhǎng)度.

答案第5頁(yè)，共37頁(yè)

【詳解】（1）證明：???四邊形45C。是平行四邊形,

AB〃CD,AB=CD,

ZGAE=ZHCF,

???點(diǎn)G,7/分別是45,。。的中點(diǎn),

??.AG=CH,

在△4G￡和△CHF中，

AG=CH

<ZGAE=ZHCF,

AE=CF

???"GE四△C7ZF(SAS),

，GE=HF,ZAEG=ZCFH,

/GEF=/HFE,

:?GE〃HF,

又?:GE=HF,

???四邊形￡GF〃是平行四邊形；

(2)解：連接交/C于點(diǎn)。如圖:

???四邊形ABCD是平行四邊形,

OA=OC,OB-OD,

???50=28,

OB=0D=14,

AE=CF,OA=OC,

OE=OF,

?/AE+CF=EF,AE=CF9

；.2AE=EF=2OE,

AE=OE,

又??,點(diǎn)G是45的中點(diǎn)，

答案第6頁(yè)，共37頁(yè)

???EG是的中位線,

.-.EG=-OB=7.

2

7.（1）證明見解析；（2）與/尸互相平分，見解析.

【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)；

（1）如圖所示，延長(zhǎng)。E到下，使得=證明A/EOGACE廠，得到

/A=/FCE,AD=CF,則4D〃C/，再由點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，得到4D=AD=C尸，即

可證明四邊形8CED是平行四邊形，則DE〃臺(tái)C,DF=BC,再由=即可證明

DE=LBC；

2

（2）如圖，連接。尸，證明四邊形/次石為平行四邊形，從而可得結(jié)論.

【詳解】證明：（1）如圖所示，延長(zhǎng)?！甑绞沟肈E=FE,

???點(diǎn)E是/C的中點(diǎn)，

AE=CE,

在△NED和廣中,

AE=CE

<NAED=ZCEF,

DE=FE

.-.6.AED^CEF（SAS）,

；./A=/FCE,AD=CF,

：.AD//CF,

,?,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

AD=BD=CF,

.??四邊形2CFD是平行四邊形,

DE//BC,DF=BC,

又；DE=FE,

答案第7頁(yè)，共37頁(yè)

.-.DE=-DF=-BC,

22

：.DE//BC,且。

2

(2)如圖，連接。尸，

???DE是△N2C的中位線，/尸是BC邊上的中線，

D,E,F分別為UBC的三邊中點(diǎn)，

DF//AC,EF//AB,

二四邊形ADFE為平行四邊形，

；.DE與AF互相平分.

8.C

【分析】解法一：延長(zhǎng)2C到E使=則四邊形NCED是平行四邊形，根據(jù)三角形的

中位線的性質(zhì)得到CN=，根據(jù)跟勾股定理得到

22

AB=ylAC2+BC2=V42+32=5>于是得到結(jié)論；

解法二：延長(zhǎng)CM交4D于T,證明ABMC絲得CM=M7,DT=BC=3,最后根據(jù)

勾股定理得到CT=^AC2+AT2=5，于是得到結(jié)論.

【詳解】解：解法一：延長(zhǎng)8C到E使=則四邊形/CED是平行四邊形，

.1C是BE的中點(diǎn)，

是AD的中點(diǎn)，

:.CM=-DE=-AB,

22

答案第8頁(yè)，共37頁(yè)

■：ACA.BC,

AB=^AC2+BC2=A/42+32=5，

,-,CM=--

2

解法二：延長(zhǎng)CM交4D于7,

AD//BC,

ZMBC=ZMDT,

■：MD=MB,NBMC=ADMT,

.-.A(ASA),

:.CM=MT,DT=BC=?>,

:4D=6,

:.AT=3),

?.?/C=4,ZCAT=90°,

CT=>JAC2+AT2=V42+32=5，

:.CM=MT=-CT=~,

22

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，全等三角形的判

定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

9.D

【分析】本題主要考查了、三角形中位線定理、正方形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、勾股定理，

延長(zhǎng)DC至點(diǎn)P,使C尸=DC,連接尸尸，AP,AF,由三角形中位線定理可得打'=2CN,

由正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可得/尸="評(píng)=4右，/尸=爐下=&，由三角形三邊

關(guān)系可得尸尸V4尸+/尸，從而可得尸尸的最大值為4石+也，即可得解，熟練掌握以上知

識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)。C至點(diǎn)P,使CP=DC,連接尸尸，AP,AF,

答案第9頁(yè)，共37頁(yè)

?點(diǎn)M是。尸的中點(diǎn)，CP=DC,

:.CM是ADFP的中位線，

PF=2cM,

???正方形ABCD、正方形AEFG的邊長(zhǎng)分別為4和1,

AP=^+^=475>/b=6,

?/PF<AF+AP,

二尸尸的最大值為46+收，

.,.CM的最大值為2指+",

2

故選：D.

10.3

【分析】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形中位線等

于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.證明根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

AD=AB=3cm,BE=ED,進(jìn)而求出。C,再根據(jù)三角形中位線定理解答即可.

【詳解】解：???/￡平分/A4C,

NBAE=ZDAE,

???BE工AE,

ZAEB=ZAED=90°,

在“EB和AAED中，

BAE=ADAE

<AE=AE,

AAEB=NAED

△AEB2AAED（ASA）,

答案第10頁(yè)，共37頁(yè)

AD=AB=14cm,BE=ED,

DC=AC-AD=20-14=6(^),

■：BE=ED,尸是5c的中點(diǎn)，

尸是ABDC的中位線，

:.EF=^DC=3(cm),

故答案為：3.

【分析】(1)延長(zhǎng)3。至點(diǎn)。，使連接NO、CD,先證四邊形ABC。是平行四

邊形，再證平行四邊形是矩形，得4C=BD,即可得出結(jié)論；

(2)由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得再由三角形中位線定理得收

然后由/C=40,得BE=EF,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：證明：如圖1,延長(zhǎng)8。至點(diǎn)。，使QD=O8,連接4。、CD,

圖I

OA=OC,

二四邊形/BCD是平行四邊形,

/ABC=90°,

平行四邊形/BCD是矩形，

AC=BD,

:.OB=-AC,

2

故答案為：OB=^AC-

答案第11頁(yè)，共37頁(yè)

（2）證明：如圖2,

NABC=90°，￡是/C的中點(diǎn),

???尸是CD的中點(diǎn),

.,.斯是A/CD的中位線,

:.EF=-AD,

2

AC=AD,

BE=EF,

Z1=Z2.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中

線性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握直角三角形斜邊上的中線

性質(zhì)和三角形中位線定理，證出08=是解題的關(guān)鍵.

12.6

【分析】此題考查了三角形中位線定理，等腰三角形性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)；延長(zhǎng)/C

至點(diǎn)廠使得CF=C3,連接3/，作CGL8尸于點(diǎn)G,則/尸=/CBF=L//C8=3O。，易

2

得2斤=26，又由已知得+=++=+斯，則/￡=￡尸，故DE為公ABF

中位線，從而得DE=LBF=6

2

【詳解】延長(zhǎng)NC至點(diǎn)尸使得CF=C8,連接5/，作CGL3產(chǎn)于點(diǎn)G,

答案第12頁(yè)，共37頁(yè)

F

???BG=FG=BC-cos30°=石，

■■BF=2^3，

?；DE平分MBC的周長(zhǎng)

：.DA+AE=DB+BC+CE=DB+EF,

???。是中點(diǎn)，

DA=DB,

???AE=EF,

???DE為44BF中位線,

.-.DE=-BF=y/3.

2

故答案為：V3.

13.(1)見解析

(2)1

【分析】(1)根據(jù)CE平分N/C2,AE1CE,運(yùn)用ASA易證明△/CEg△尸CE.根據(jù)全

等三角形的性質(zhì)，得AE=EF,C/=/C,根據(jù)三角形的中位線定理即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)三角形的中位線定理即可求解.

【詳解】(1)解：延長(zhǎng)/￡交5c于尸，

?;CE平分NACB,4ELCE于點(diǎn)E,

ZACE=ZFCE,NAEC=ZFEC=90°,

在和AFCE中,

答案第13頁(yè)，共37頁(yè)

ZACE=ZFCE

<CE=EC,

NAEC=NFEC=90。

:.AACE/AFCE.

AE=EF,

???點(diǎn)。是45的中點(diǎn)，

AD=BD,

是尸的中位線.

DE//BC；

(2)AACE^AFCE,

CF=AC=5,

是的中位線.

DE=^BF=^(BC-AC)=^(7-5)=1,

故。E的長(zhǎng)為1.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的中位線定理，正確地作出輔助線

是解題的關(guān)鍵.

14.A

【分析】如圖，延長(zhǎng)24,CD交于點(diǎn)F,根據(jù)角平分線和垂線證得2F=3C,DF=CD,再利

用中位線的性質(zhì)得到/尸=20E,即可計(jì)算/2=2廣NR求得答案.

【詳解】如圖，延長(zhǎng)24,CD交于點(diǎn)尸，

F

?：BD平分乙48C,

ZFBD=ZCBD,

CDLBD,

??.△F2C是等腰三角形(三線合一),

答案第14頁(yè)，共37頁(yè)

■,BF=BC=10,DF=DC,

??.D是C尸的中點(diǎn)，

■.E是邊NC的中點(diǎn)，

.?.DE是尸的中位線，

???AF=2DE=4,

：.AB=BF-AF=6-,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是做出輔助線,

利用等腰三角形和中位線的性質(zhì)解答.

15.—

4

【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，設(shè)交于點(diǎn)G,過。

點(diǎn)作DF〃BE,則。尸尸為EC中點(diǎn)，在口伍40尸中求出/尸的長(zhǎng)度，根據(jù)已知條

3

件易知G為ND中點(diǎn)，因此E為/尸中點(diǎn)，則=尸，即可求解.

【詳解】解：設(shè)交于點(diǎn)G,過。點(diǎn)作。尸〃8E,

;AD=BE=3,則DP=1.5,AF^^AD2+DF2

BE是dBC的角平分線，

ZABG=ZDBG

又AD±BE,

：.NAGB=ZDGB=90°

???ABAD=ABDA

又?.?BG=BG

:.AABG知DBG,

:.G為AD中點(diǎn)，

:.E為AF中點(diǎn)，

答案第15頁(yè)，共37頁(yè)

333A/5

AC=-AF=—x------

222

故答案為：苧

16.2

【分析】利用勾股定理求得/C=12,分別延長(zhǎng)CD、CE交AB于點(diǎn)F、G,證明

△ADC咨ZXADF和△BE84BEG，推出=。尸，/C=/b=12,CE=EG,8C=8G=5,

得到。E是A4FG的中位線，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：ZC3=90°,43=13,BC=5,

???AC=A/132-52=12，

分別延長(zhǎng)CD、CE交4B于點(diǎn)F、G,

C

???N。分別平分/歷IC,ZADC=ZADF=90°,又AD=AD,

ADC咨ZXADF(ASA),

CD=DF,AC=AF=U,

同理△BEC之△BEG(ASA),

；.CE=EG,BC=BG=5,

二。￡是A4FG的中位線，

：.DE=-FG,

2

■.■FG^AF+BG-AB^12+5-13^4,

.-.DE=-x4=2,

2

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，證明。E是

“AFG的中位線是解題的關(guān)鍵.

17.2

【分析】連接CF并延長(zhǎng)交3。于G,先求出48=10,由AD是ZA4C的平分

答案第16頁(yè)，共37頁(yè)

線推出5D=/B=10,證明ADG尸也A/C尸(ASA)得G尸=CF,DG=AC=6,則

BG=BD-GD=4,再證明所為ACBG的中位線，即可得解.

【詳解】解：如圖，連接CF并延長(zhǎng)交助于G,

在△/8C中，ZACB=9Q°,AC=6,CB=8,

■■AB=dAC?+BC。=A/62+82=10)

?.■AC//BD,

：.ACAD=4D,

???/。是/A4c的平分線，

/BAD=ZCAD,

.-2D=/BAD,

BD=AB=10,

???點(diǎn)/為4。的中點(diǎn)，

:?DF=AF,

在△OG尸和廠中，

ZDFG=/AFC

<DF=AF,

ZGDF=ZCAF

???△DG尸之△ZCF(ASA),

??.GF=CF,DG=AC=6,

??.BG=BD-GD=10-6=4,

???點(diǎn)E為的中點(diǎn)，Gb=W即點(diǎn)尸是CG的中點(diǎn)，

???￡方為的中位線，

EF=—BG=—x4=2,

22

廠的長(zhǎng)為2.

故答案為：2.

答案第17頁(yè)，共37頁(yè)

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理定理，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對(duì)等邊，全等三角

形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理.解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的中位線定理、全等

三角形的判定和性質(zhì)，正確地添加輔助線構(gòu)造全等三角形.

18.(1)CE=CF,理由見解析

(2)證明見解析

(3)W=1

【分析】(1)利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可；

(2)利用正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)得到斯=血3,再利用角平分線的定義,

正方形的性質(zhì)和等腰三角形的判定定理得到CG=CF,則結(jié)論可得；

(3)延長(zhǎng)NN交所于點(diǎn)。，利用正方形的性質(zhì)和勾股定理求得所，再利用三角形的角平

分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)得到/N=QN,EQ=EA=8,再利用三角形的中位

線定理解答即可.

【詳解】(1)解:CE與CF的數(shù)量關(guān)系為：CE=CF.理由如下：

???四邊形ABCD是正方形，

CD=BC,NABC=ZBCD=ZD=90°,

■：ZABC+ZEBC=\iQ°

ZEBC=90°=ZD

■：CF1CE

ZECF=Z90°

ZECF-ZBCF=/BCD-ZBCF

即：ZBCE=ZDCF.

在AEBC與△FDC中，

ZEBC=ZD=90°

<CB=CD,

NBCE=ZFCD

答案第18頁(yè)，共37頁(yè)

.?.AEBC%FDC(ASA),

CE=CF-

(2)證明：CFICE,CE=CF,

，在C尸是等腰直角三角形，

:.ZCFE=45°,EF=y[2CF,

???四邊形48。是正方形，

ZCAD=45°,

ZCAD=ZCFE.

一:FG平分~NAFE,

ZEFG=ZAFG.

NCFE+ZEFG=ACAD+ZAFG,

即NCFG=ZCGF,

CG=CF,

EF=V2CG;

(3)解：延長(zhǎng)/N交E尸于點(diǎn)。，如圖,

由（1）知：△E3C之△FDC,

BE=FD=\.

???四邊形/BCD是正方形，

ZDAB=90°,AB=AD=AF+FD=6+l=y,

AE-8,

由勾股定理得：

EF=-jAE2+AF2=10，

???四邊形ABC。是正方形，

：.4C平分NR4D,

???尸G平分N/EE,三角形的三條角平分線交于一點(diǎn),

答案第19頁(yè)，共37頁(yè)

EG平分NAEF,

/.ZAEN=ZQEN.

?/ENLAN,

ZANE=ZQNE=90°.

在△￡7%和△EN0中，

ZANE=ZQNE

<EN=EN,

ZAEN=ZQEN

二△EN心△ENQgK),

AN=QN,EQ=EA=8,

.\FQ=EF-EQ=10-S=2f

■■-AN=QN,M為/尸的中點(diǎn)，

:.MN為AAQF的中位線，

:.MN=^FQ=1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾

股定理，角平分線的性質(zhì)，三角形的中位線，熟練掌握正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.(1)①EF=3BD,②EF=”D

/QX3-$/3+2y[6

4

【分析】⑴根據(jù)題意得NZW=N&4D和=ZCED=90°,進(jìn)一步得EF=gco,

結(jié)合CD=BD,即可得跖

2

②延長(zhǎng)至S,使￡S=Z)E,連接45,CS,則斯是ADCS的中位線，有EF=；CS,判

定NE垂直平分DS,WAD=AS,ZDAE=ZEAS=-ADAS,>ABAC=ADAS

一2

/BAD=NCAS成立,利用SAS證明AAB。會(huì)A/CS,貝l|有2r)=CS；

⑵延長(zhǎng)DE至S,使ES=DE,連接/S,CS,過點(diǎn)。作于點(diǎn)T.則斯是AOCS

的中位線，有EF=*S,同上可證絲A/CS,^CS=BD.貝I」AD=2M,在Rt"O￡

中得DE,4D=2DE,進(jìn)一步判定zUBC是等邊三角形，可得//AD=45。，求得

答案第20頁(yè)，共37頁(yè)

BT^DT=—BD,貝lj可得=+結(jié)合△4SC是等邊三角形即可求得面積.

2

【詳解】(1)解：①EF=gBD,理由如下：

?：ADAE=-ABAC=a,

2

??.ZDAE=ZBAD，

???AB=AC,

:?BD=CD,

???ZAED=90°,

???/CED=90°,

???點(diǎn)/是線段的中點(diǎn)，

:,EF=-CD,

2

???CD=BD,

：.EF=-BD-

2

②EF=”D,理由如下：

延長(zhǎng)。E至S,使ES=DE,連接4S,CS,如圖，

???斯是4OCS的中位線，

：.EF=-CS,

2

???NAED=90。,

ZAES=90°=ZAEDf

???ZE垂直平分。S,

??.AD=ASf

???/DAE=ZEAS=-ADAS,

答案第21頁(yè)，共37頁(yè)

■：ADAE=-ABAC,

2

ABAC=ADAS,

ABAC-ACAD=ADAS-ACAD,

/BAD=ZCAS,

■：AB=AC,AD=AS,

%/CS(SAS),

:.BD=CS,

:.EF=gBD；

(2)解：延長(zhǎng)。E至S,使ES=DE,連接/S,CS,過點(diǎn)。作。7_L48于點(diǎn)T.如圖,

??,點(diǎn)下是線段CD的中點(diǎn)，

.?.E尸是AOCS的中位線，

.-.EF=-CS,

2

同上可證A/B。也A/CS,

:.CS=BD.

???BD=2EF=V2，

3

在中，ZDAE=30°,AE=-,

2

???DE=^-,AD=IDE=y/3,

???ZBAC=2a=60°,AB=AC,

.??△/BC是等邊三角形，

/ABC=60°,

???ZDBC=15°,

???NABD=45°,

：,BT=DT=—BD=\,

2

答案第22頁(yè)，共37頁(yè)

在RtA^Z>7中，AT=^AD2-DT2=V2，

■■AB=BT+AT=1+42，

???△4BC是等邊三角形，

次邛（1+6=已返

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的

判定和性質(zhì)、三角形中位線定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟悉等腰三角形的和全等三角形

的性質(zhì).

20.（672-7）

【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，中位線定理.取

的中點(diǎn)K,連接DK,證明AEOK^—D^SAS）,得到KE=B廠，求出KE的長(zhǎng)即可得到

BF.

【詳解】解：取48的中點(diǎn)K,連接OK,

???點(diǎn)。為8C的中點(diǎn)，點(diǎn)K為48的中點(diǎn),

??.OK是△NBC的中位線，

;.DK=LCA,DK//AC,

2

???C4=C5,點(diǎn)。為的中點(diǎn)，

：,BD=-CB=-CA,

22

DK=BD,

???N4C5=90。,DK//AC,

；,/KDB=90。,

???ZEDK+ZKDF=ZFDB+ZKDF=90°,

???ZEDK=ZFDB,

???△￡￡獷為等腰直角三角形，

答案第