情景分析題高頻考點(diǎn)訓(xùn)練40題

明考情-知方向

近年來中考命題改革強(qiáng)調(diào)核心素養(yǎng)導(dǎo)向，情景題的設(shè)置更加注重考查學(xué)生在真實(shí)情境中解決問題的能

力。難度一般中等或偏上，分值也比較可觀，但對應(yīng)考點(diǎn)掌握熟練，計(jì)算和審題上夠小心了，一般不會失

分。常考的類型主要包含一下三大類：

（1）實(shí)際建模問題：用函數(shù)、統(tǒng)計(jì)解決現(xiàn)實(shí)問題，

（2）幾何應(yīng)用：結(jié)合建筑測量、地圖比例尺、實(shí)物模型等情境；

（3）跨學(xué)科問題。

熱點(diǎn)題型解讀

1.（2025?陜西西安?二模）某校綜合與實(shí)踐小組的同學(xué)開展了主題為探究最大心率與年齡的關(guān)系項(xiàng)目化

學(xué)習(xí)，他們通過某醫(yī)學(xué)雜志收集到在一定年齡范圍內(nèi)的最大心率（最大心率指人體在進(jìn)行運(yùn)動時(shí)心臟每

⑵已知不同運(yùn)動效果時(shí)的心率如下:

運(yùn)動效果運(yùn)動心率占最大心率的百分比

燃燒脂肪60%?70%

提升耐力70%?80%

20周歲的小李想要達(dá)到提升耐力的效果，他的運(yùn)動心率應(yīng)該控制在次/分至______次/分；小美

想要達(dá)到燃燒脂肪的效果，她的運(yùn)動心率應(yīng)該控制在"4次/分至133次/分，小美的年齡是周

歲.

2.（2025,陜西?模擬預(yù)測）投壺（如圖1）是"投箭入壺"的簡稱，作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，不僅具有深厚的歷

史淵源和文化背景，還承載著中華民族的傳統(tǒng)禮儀和娛樂文化，成為連接傳統(tǒng)與現(xiàn)代的文化紐帶.其中

箭頭的行進(jìn)路線可看作一條拋物線，如圖2是一名男生在投壺時(shí)，箭頭行進(jìn)高度y（m）與水平距離穴m）

之間的函數(shù)關(guān)系圖象，投出時(shí)箭頭在起點(diǎn)處的高度。力為當(dāng)水平距離為1m時(shí)，箭頭行進(jìn)至最高點(diǎn)|m

處.

圖1圖2

⑴求箭頭行進(jìn)的高度y與水平距離x之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若8C是一個(gè)高為|m的圓柱形容器的最左端（看作垂直于x軸的線段），且。B=3m,通過計(jì)算判斷這

名男生此次投壺能否投中，請說明理由.

3.（2025,湖北?一模）【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】

【項(xiàng)目主題】研究擊球運(yùn)動

【項(xiàng)目背景】探究擊球運(yùn)動中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識，并運(yùn)用所學(xué)知識解決相關(guān)的問題.甲，乙，丙，丁四個(gè)

學(xué)習(xí)小組開展數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)實(shí)踐活動，獲取的所有數(shù)據(jù)共享.活動地點(diǎn)：比較開闊的草坪地.

【項(xiàng)目素材】

素材一：甲小組調(diào)試機(jī)器擊球，保證每一次的擊球方式相同，球在空中的飛行路線是相同的拋物線（在

無風(fēng)的情況下，且不考慮空氣阻力）.

素材二：乙小組用監(jiān)測儀器測得球的飛行高度h與水平距離s部分?jǐn)?shù)據(jù)如下.

水平距離S

06183036

（m）

飛行高度八09212524

（m）

素材三：丙小組用監(jiān)測儀器測得的小球飛行的水平距離s與時(shí)間t的關(guān)系，根據(jù)數(shù)據(jù)分析，s與t是正比例

函數(shù)關(guān)系，并根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)繪制成如下圖象（如圖1）.

素材四：如圖2所示，丁小組在草坪邊山坡點(diǎn)C處放置一個(gè)球框，并測得山坡BC的坡角a=36.8。，

AB=24m,BC=30m.

（參考數(shù)據(jù)：tan36.8°?7,sin36.8°~cos36.8°~7）.

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【項(xiàng)目任務(wù)】

任務(wù)一：直接寫出％與s的函數(shù)關(guān)系式;

任務(wù)二：當(dāng)小球飛行的高度達(dá)到16m時(shí)，求小球飛行的時(shí)間；

任務(wù)三：若在點(diǎn)4處擊球，球能否落在點(diǎn)C處的球筐中？請說明理由.

4.（2025,山西呂梁?一模）綜合與實(shí)踐

我國新能源汽車發(fā)展迅猛，2024年"月產(chǎn)銷量再創(chuàng)歷史新高，前11個(gè)月國內(nèi)累計(jì)銷量超1000萬輛，

與此同時(shí)，公共充電樁建設(shè)也快速推進(jìn)，截至2024年H月底，累計(jì)建成充電樁1235.2萬臺，技術(shù)的發(fā)

展越來越改善著人們的生活.圖1是一電動汽車充電站的停車棚，其棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的

一部分.圖2是棚頂?shù)呢Q直高度y（單位：m）與距離停車棚支柱2。的水平距離x（單位：m）近似滿足

二次函數(shù)y=-0.02乂2+bx+c的圖象，支柱力。=1.6m,最外端點(diǎn)3的坐標(biāo)為（6,2.68）.若一輛箱式純

電貨車需在停車棚下避雨，貨車截面可看作長CD=4m、高DE=2.2m的矩形.

ylmf

圖1圖2

⑴求該二次函數(shù)的表達(dá)式.

⑵判斷此純電貨車（填"能"或"不能"）完全停到車棚內(nèi)，并說明理由.

⑶為確保在車棚內(nèi)能容納長5m、高2.5m的車輛進(jìn)入充電，現(xiàn)對該車棚進(jìn)行改造.受經(jīng)費(fèi)與場地面積所

限，仍使用原來的棚頂，采用抬高支柱。4的方式進(jìn)行改造，則抬高的高度至少需要大于多少米？

5.（2025,河北石家莊?一模）如圖，在一次足球訓(xùn)練中，某球員從球門（原點(diǎn)。處）正前方8m的4處射門,

球射向球門的路線可近似成一條拋物線，當(dāng)球飛行的水平距離為6m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球離地面的

高度為3m.

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

（2）已知球門高。B為2.5m,通過計(jì)算判斷該球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素的影響）;

⑶已知點(diǎn)C為。B上一點(diǎn)，OC=2.25m,若該球員帶球向正后方移動mn再射門（射門路線的形狀、球的

最大高度均保持不變），球恰好經(jīng)過。C區(qū)域（含點(diǎn)。和點(diǎn)C）,求兀的取值范圍.

6.（2025?湖北孝感?二模）研究背景：某校數(shù)學(xué)興趣小組到蔬菜基地了解某種有機(jī)蔬菜的銷售情況，并利用

所學(xué)的數(shù)學(xué)知識對基地的蔬菜銷售提出合理化建議.

材料一：某種蔬菜的種植成本為每千克10元，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該蔬菜的日銷售量y（千克）與銷售

單價(jià)x（元）是一次函數(shù)關(guān)系；

材料二：該種蔬菜銷售單價(jià)為12元時(shí)，日銷售量為1800千克；銷售單價(jià)為15元時(shí)，日銷售量為1500

千克.

任務(wù)一：建立函數(shù)模型

（1）求出y與x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍；

任務(wù)二：設(shè)計(jì)銷售方案

（2）設(shè)該種蔬菜的日銷售利潤為少（元），市場監(jiān)督管理部門規(guī)定，除去每日其他正常開支總計(jì)1000

元外，該蔬菜銷售單價(jià)不得超過每千克18元，那么該種蔬菜的銷售能否獲得日銷售利潤8600元？如果

能，蔬菜的銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？如果不能，請求出最大日銷售利潤.

7.(2025,山西晉中?一模)綜合與實(shí)踐

項(xiàng)目主題：愛心發(fā)卡溫暖傳遞

項(xiàng)目背景：寒假期間，王老師計(jì)劃制作人B兩款DIY手工發(fā)卡，并將售賣后的全部利潤捐贈給福利院.為

助力王老師確定最優(yōu)加工方案，實(shí)現(xiàn)利潤最大化，從而給予福利院兒童更多幫助，小輝開展了以"探究

愛心發(fā)卡最佳加工方案”為主題的項(xiàng)目化學(xué)習(xí).

驅(qū)動任務(wù)：探究能獲取最大日利潤的發(fā)卡加工方案.

收集信息：

(1)受制作條件限制，王老師每日最多可制作力、B兩款發(fā)卡共20只，

(2)經(jīng)市場調(diào)查，兩款DIY手工發(fā)卡市場需求旺盛，預(yù)期每日制作的發(fā)卡均可售罄.扣除各項(xiàng)成本后,

具體獲利情況如下：

①4款：當(dāng)每天加工10只時(shí)，每只獲利15元，如果每天多加工1只，那么平均每只獲利將減少0.5元；

②8款：每只獲利9元.

解決問題：

⑴設(shè)王老師每天加工4款發(fā)卡X只，每只力款發(fā)卡獲利y元，則y與X的函數(shù)關(guān)系式為(10<%<20)；

(2)設(shè)每日的銷售總利潤為w元，求w關(guān)于x(10<%<20)的函數(shù)表達(dá)式；

⑶通過計(jì)算說明使日銷售利潤最大的加工方案.

8.（2025?陜西西安?二模）【問題探究】

下面是某品牌新能源車輛的車機(jī)智駕系統(tǒng)關(guān)于彎道對通行車輛長度的限制的研究.

（1）用線段模擬汽車通過寬度相同的直角彎道，探究發(fā)現(xiàn)：

①當(dāng)CD<248時(shí)（如圖1）,線段CD（填"能"或"不能"）通過直角彎道.

②當(dāng)CD=248時(shí)，必然存在線段CD的中點(diǎn)E與點(diǎn)8重合的情況，線段CD恰好不能通過直角彎道（如

圖2）.此時(shí)，乙4DC的度數(shù)是.

③當(dāng)CD>2AB時(shí)，線段CD（填"能"或"不能"）通過直角彎道.

【問題解決】

（2）如圖3,某彎道外側(cè)形狀可近似看成反比例函數(shù)y=長久>0）的圖象，第一象限的角平分線交圖象

于點(diǎn)彎道內(nèi)側(cè)的頂點(diǎn)5在射線上，彎道內(nèi)側(cè)的兩邊分別與x軸、y軸平行，O4=2m,4B=4

m.用矩形PQMN模擬汽車，發(fā)現(xiàn)當(dāng)PQ的中點(diǎn)E與點(diǎn)臺重合，且PQ1AB時(shí)，矩形PQMN恰好不能通過

該彎道.若PQ=bm,PN=2m,要使矩形PQMN能通過該彎道，求6的最大整數(shù)值.（參考數(shù)據(jù)：V2

a1.4,V3~1.7）

圖1圖2圖3

9.（2025?河北?一模）如圖1,光滑桌面AB的長為120cm,兩端豎直放置擋板力C和BD,小球尸（看作一點(diǎn)）

從擋板4C出發(fā)，勻速向擋板BD運(yùn)動，撞擊擋板BD后反彈，以原速返回?fù)醢錋C,過程中小球和擋板4c的

距離y（cm）與時(shí)間x（s）的關(guān)系圖象如圖2所示.（注：小球和擋板的厚度忽略不計(jì)，撞擊和反彈時(shí)間忽略

不計(jì)）

⑴圖中m=,n-,小球的速度為cm/s.

⑵求圖2中直線EF的函數(shù)解析式.

（3）若小球從擋板2C向擋板BD運(yùn)動的過程中，同時(shí)，擋板2C以6cm/s的速度勻速向擋板BD運(yùn)動，運(yùn)動過

程中（小球與擋板BD撞擊前），當(dāng)小球恰好位于這兩個(gè)擋板中點(diǎn)處時(shí)，運(yùn)動時(shí)間為ts,請直接寫出/的

值.

10.(2025?浙江?模擬預(yù)測)根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

乒乓球發(fā)球機(jī)的運(yùn)動路線

素如圖1,某乒乓球臺面是矩形，長為280cm,寬為150cm,球網(wǎng)高度為14cm.乒乓

材球發(fā)球機(jī)的出球口在桌面中線端點(diǎn)。正上方25cm的點(diǎn)P處.

假設(shè)每次發(fā)出的乒乓球都落在中線上，球的運(yùn)動的高度y(cm)關(guān)于運(yùn)動的水平距離

素

x(m)的函數(shù)圖象是一條拋物線，且這條拋物線在與點(diǎn)P水平距離為100cm的點(diǎn)Q處

材

達(dá)到最高高度，此時(shí)距桌面的高度為45cm,乒乓球落在桌面的點(diǎn)M處.以。為原點(diǎn)，

桌面中線所在直線為%軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.

素如圖3,若乒乓球落在桌面上彈起后，在與點(diǎn)。的水平距離為300cm的點(diǎn)R處達(dá)到最

材高，設(shè)彈起后球達(dá)到最高時(shí)距離桌面的高度為％(cm).

問題解決

研究乒(1)求出從發(fā)球機(jī)發(fā)球后到落在桌面前，乒乓球運(yùn)動軌跡的函數(shù)表達(dá)

任

乓球的式(不要求寫出自變量的取值范圍).

務(wù)

飛行軌

跡

任擊球點(diǎn)(2)當(dāng)h=20時(shí)，運(yùn)動員小亮想在點(diǎn)R處把球沿直線擦網(wǎng)擊打到點(diǎn)0,

務(wù)的確定他能不能實(shí)現(xiàn)？請說明理由.

任擊球點(diǎn)(3)若h=40,且彈起后球飛行的高度在離桌面30cm至50cm時(shí)，小

務(wù)的距離亮可以獲得最佳擊球效果，求擊球點(diǎn)與發(fā)球機(jī)水平距離％的取值范圍.

圖1

11.(2025?江西?模擬預(yù)測)綜合與實(shí)踐

根據(jù)以下素材，完成探究任務(wù).

城墻建多高才能抵御敵方的進(jìn)攻？

【素材1】圖1是古代一種攻城器械"發(fā)石車"，其投出去的石塊運(yùn)動軌跡是拋物線的一部分.

【素材2】如圖2,防守方的護(hù)城墻BD垂直于地面墻高BD=10m,進(jìn)攻方把“發(fā)石車"放置在距B

處90m的4處，石塊從4處豎直方向上的C處被投出，當(dāng)石塊在空中飛行到與AC的水平距離為50m時(shí)，

石塊離地面4B的高度最高，最高高度為27m.

【解決問題】

(1)當(dāng)AC=2m時(shí).

①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求拋物線(石塊運(yùn)動軌跡)的解析式；

②進(jìn)攻方的石塊能飛進(jìn)防守方的城墻嗎？若能，城墻應(yīng)加建多高以上，才能讓進(jìn)攻方的石塊飛不進(jìn)防

守方城墻；若不能，請說明理由.

(2)問：石塊初發(fā)點(diǎn)C與4的距離在什么范圍內(nèi)，防守方無須加高城墻？

12.（2025?廣西?一模）在生物實(shí)驗(yàn)室，科研人員對一種生物標(biāo)本進(jìn)行真空冷卻實(shí)驗(yàn)，探索低溫環(huán)境對標(biāo)本

細(xì)胞活性的影響.標(biāo)本初始溫度為45。l在真空冷卻過程中，溫度T（單位：℃）與冷卻時(shí)間t（單位:

分鐘）滿足一次函數(shù)關(guān)系：前8分鐘，溫度每分鐘下降2.5。（：；8分鐘后，調(diào)整冷卻設(shè)備，溫度每分鐘

下降2。5同時(shí)，標(biāo)本的細(xì)胞活性y與溫度T也滿足一次函數(shù)關(guān)系，且當(dāng)7=35久時(shí)，y=0.7；當(dāng)T=25℃

時(shí)，y=0.3.

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

⑴求在不同階段標(biāo)本溫度T關(guān)于冷卻時(shí)間t的函數(shù)解析式;

（2）當(dāng)細(xì)胞活性降至0.1時(shí)，求標(biāo)本冷卻時(shí)間.

13.（2025?陜西?模擬預(yù)測）電子體重秤的原理是當(dāng)人站在秤盤上時(shí)，壓力施加給傳感器，傳感器發(fā)生彈性

形變，從而使阻抗發(fā)生變化，輸出一個(gè)變化的模擬信號，進(jìn)而將該信號進(jìn)行處理并輸出到顯示器.某

綜合實(shí)踐活動小組設(shè)計(jì)了簡易電子體重秤：制作一個(gè)裝有踏板（踏板質(zhì)量忽略不計(jì)）的可變電阻上

R（。）與踏板上人的質(zhì)量?。╧g）之間的幾組對應(yīng)值如下表:

人的質(zhì)量小

0306090120

（kg）

可變電阻R240180120600

⑴在平面直角坐標(biāo)系中描出表中數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)，R與加符合初中學(xué)習(xí)過的某種函數(shù)關(guān)系，則可能是

函數(shù)關(guān)系；（選填"一次""二次""反比例"）

（2）根據(jù)以上判斷，求R關(guān)于加的函數(shù)關(guān)系式；

⑶當(dāng)可變電阻R為100。時(shí)，求人的質(zhì)量加應(yīng)為多少kg?

14.（2025?山西呂梁?一模）綜合與實(shí)踐

驅(qū)動任務(wù)：

跳繩，作為一項(xiàng)全民皆可參與的運(yùn)動，只要一根繩子就能跳遍天下，是一項(xiàng)簡單、有趣的運(yùn)動.不僅

可以鍛煉身體，增強(qiáng)免疫力，還可以訓(xùn)練反應(yīng)能力和協(xié)調(diào)能力.單人跳、多人跳、花樣跳，簡單易學(xué),

精彩紛呈.學(xué)校計(jì)劃在運(yùn)動會上增加跳繩比賽項(xiàng)目，數(shù)學(xué)應(yīng)用研習(xí)小組協(xié)助跳繩籌備組對多人跳繩的

戰(zhàn)隊(duì)方式進(jìn)行了相關(guān)設(shè)計(jì).

研究步驟：

數(shù)學(xué)建模：圖1是甲，乙兩人甩繩子的示意圖，當(dāng)繩子甩到最高處時(shí)，其形狀可近似地看作一條拋物

線（如圖2所示）.

實(shí)踐操作：

第一步：選兩名身高基本相同的男同學(xué)為持繩手，量得兩人拿繩子的手離地面的高度都為1m,并且兩

人相距6m；

第二步：經(jīng)過多次試跳發(fā)現(xiàn)：當(dāng)繩子甩到最高處時(shí)，身高1.75米的小敏同學(xué)從乙持繩手的左側(cè)距離乙

1.5米處進(jìn)入游戲，恰好通過；

第三步：現(xiàn)以兩人的站立點(diǎn)所在的直線為x軸，過甲拿繩子的手作x軸的垂線為y軸，建立如圖2所示的

平面直角坐標(biāo)系.

問題解決：

圖1圖2

同

學(xué)

123456789

編

號

身1.501.611.771.531.681.751.701.681.78

高

/m

⑴求繩子甩到最高處時(shí)所對應(yīng)的拋物線表達(dá)式并求出其頂點(diǎn)坐標(biāo).

（2）當(dāng)繩子甩到最高處時(shí)，通過計(jì)算說明身高1.50m的小明，從甲持繩手的右側(cè)距離甲1m處進(jìn)入游戲能

否通過跳繩.

⑶現(xiàn)有9位同學(xué)身高統(tǒng)計(jì)如下表，計(jì)劃采取一路縱隊(duì)并排的方式同時(shí)起跳（如圖1）,為了保證安全，

要求人與人之間距離至少0.5m,此時(shí)繩子能否順利地甩過所有隊(duì)員的頭頂？若能，請寫出隊(duì)列安排方

案；若不能，請說明理由.

15.(2025?陜西漢中?模擬預(yù)測)東北地區(qū)的凍梨以其獨(dú)特的地域風(fēng)貌與味道而出名，在好奇心的驅(qū)動下,

住在東北地區(qū)的林同學(xué)前往調(diào)查了凍梨的價(jià)格，以下是他走訪20個(gè)攤位后整理的數(shù)據(jù)，請你根據(jù)數(shù)據(jù)

回答下列問題:

⑴扇形統(tǒng)計(jì)圖中，5元/斤的攤位占統(tǒng)計(jì)總數(shù)的_%

(2)這20個(gè)樣本的平均值為一眾數(shù)為一

⑶林同學(xué)通過詢問還了解到，凍梨的進(jìn)價(jià)為L5元/斤，且凍梨的售價(jià)與銷量成某種關(guān)系，以4元/斤為

基礎(chǔ)售價(jià)，日銷量為20斤，每提高1元/斤，日銷量便減少2斤，但是價(jià)格不能超過5.5元/斤，則你

認(rèn)為凍梨的售價(jià)應(yīng)定為多少可達(dá)到最大日利潤？最大日利潤為多少？

16.(2025?貴州遵義?一模)高爾夫球運(yùn)動是一項(xiàng)具有特殊魅力的運(yùn)動.如圖，是小美在某高爾夫俱樂部中

的一次擊球.已知：小美擊球點(diǎn)。到坡腳工的距離。力=15米，CD-.AD=2:5,洞口C距離坡腳”的距

離4c=3同米，小美從。點(diǎn)打出一球向球洞C點(diǎn)飛去，球的路線為拋物線，如果不考慮空氣阻力，

當(dāng)球達(dá)到最大高度8米時(shí)，球移動的水平距離為20米.

xA

⑴如圖L建立直角坐標(biāo)系，求拋物線解析式；

(2)判斷小美這一桿能否把高爾夫球從O點(diǎn)直接打入球洞C點(diǎn)，請說明理由；

⑶如圖2,小美打完第一桿后，再次揮出第二桿，此時(shí)球的飛行路線為y=-擊/+白，求此次揮桿

中小球離斜坡力C的最大豎直高度MN.

17.(2025?安徽,一模)2025年元旦，希望中學(xué)開展"冬日情暖，喜迎元旦”活動，小亮同學(xué)對會場進(jìn)行裝

飾.如圖1所示，他在會場的兩墻4B、CD之間懸掛一條近似拋物線y=a/—0.8x+c的彩帶，如圖2

所示，已知墻28=CD=3,且4B、CD之間的水平距離8。為8米.

木Mm)

*I

F、MF2

S(5jDXin)

圖1圖2圖3

⑴求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)為了彩帶造型美觀，小亮把彩帶從點(diǎn)M處用一根細(xì)線吊在天花板上，如圖3所示，使得點(diǎn)M到墻2B

距離為3米，使拋物線％的最低點(diǎn)距墻4B的距離為2米，離地面2米，求點(diǎn)M到地面的距離；

⑶為了避免人的頭部觸到彩帶，小亮將點(diǎn)M到地面的距離提升為3米，并調(diào)整點(diǎn)M的位置，使拋物線尸2

對應(yīng)的二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)始終為今若設(shè)點(diǎn)M距墻的距離為機(jī)米，拋物線尸2的最低點(diǎn)到地面的距

離為n米.

①試探究九與ni的關(guān)系式；

②當(dāng)2WnW：時(shí)，求nt的取值范圍.

18.(2025?陜西咸陽?模擬預(yù)測)在2025年春晚的舞臺上，名為《秧80T》的創(chuàng)新節(jié)目驚艷亮相！這場科技

與藝術(shù)的跨界盛宴不僅是一場精彩的表演，更是中國機(jī)器人產(chǎn)業(yè)"軟硬協(xié)同”能力的集中展現(xiàn).機(jī)器人愛

好者李祎同學(xué)為了解某種搬運(yùn)機(jī)器人的工作效率，將一臺機(jī)器人的搬運(yùn)時(shí)間x(h)和目的地貨物總量y

(kg)記錄如下表:

⑴在平面直角坐標(biāo)系中描出表中數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)，目的地貨物總量與這臺機(jī)器人的搬運(yùn)時(shí)間符合初中學(xué)

習(xí)過的某種函數(shù)關(guān)系，則可能是函數(shù)關(guān)系；(選填"一次""二次""反比例")

(2)根據(jù)以上判斷，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

⑶當(dāng)目的地貨物總量為560kg時(shí)，這臺機(jī)器人的搬運(yùn)時(shí)間是多少h?

19.(2025?陜西咸陽?模擬預(yù)測)中醫(yī)常用碾藥工具一一藥碾子(如圖1)起源于東漢時(shí)期，它不僅是一種工

具，更是一種文化的象征，代表了古代醫(yī)者的智慧和對中藥炮制的精益求精.圖1中碾槽外輪廓的上

沿和下沿可分別近似地看成兩條拋物線的一部分，如圖2,上沿和下沿的兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)。和點(diǎn)4

點(diǎn)。與點(diǎn)4到水平地面的距離相等.上沿拋物線的頂點(diǎn)為下沿拋物線的頂點(diǎn)為P,以。4所在直線為x

軸，過點(diǎn)。且垂直于。4的豎直線為y軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，上沿拋物線滿足關(guān)系式

1-1Q

y=正(x—4)2_萬，PH=2dm-

⑴求下沿拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)B與點(diǎn)C是兩個(gè)支撐架與下沿拋物線的交點(diǎn)，若點(diǎn)B與點(diǎn)C到無軸的距離均為|dm,求點(diǎn)B與點(diǎn)C之間

的距離.

20.（2025?廣東佛山?一模）綜合與實(shí)踐.

【實(shí)踐背景】

人體工學(xué)座椅通常具有可調(diào)節(jié)的功能，座椅的傾斜度、高度和深度等都可以根據(jù)使用者的需求進(jìn)行調(diào)

整.座椅在如圖1的形態(tài)下，靠背與座面基本垂直，腳板收攏于座面下方，其結(jié)構(gòu)簡圖如圖3所示.

【實(shí)踐操作】

現(xiàn)需要將座椅從圖1的形態(tài)變成適合小李的圖2的形態(tài)，使得靠背力E與腳板BF平行，請?jiān)趫D4中用尺

規(guī)作圖法畫出腳板BF；（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）

【升級設(shè)計(jì)】

如圖5,現(xiàn)將上述座椅簡圖置于平面直角坐標(biāo)系中，把靠背4E由直變曲，并賦予座面AB一定的座位深

度，使其不再與地面平行.其中曲線4E是二次函數(shù)的部分圖象，點(diǎn)4為頂點(diǎn)：線段4B=5皰cm（實(shí)

際生產(chǎn)時(shí)取48~45cm）；

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）如果座椅兩扶手之間相距60cm,現(xiàn)在還要制作一個(gè)無蓋的長方體形紙箱用于包裝此座椅，提供如

下面積足夠大的長方形紙皮，請你直接在圖6中畫出設(shè)計(jì)圖（紙箱的展開圖），并在圖中標(biāo)明尺寸.（要

求：包裝箱的體積最小）

21.（2024,河北石家莊?模擬預(yù)測）為打造旅游休閑城市，某村莊為吸引游客，沿綠道旁的母親河邊打造噴

水景觀（如圖1）.為保持綠道地面干燥，水柱呈拋物線狀噴入母親河中.圖2是其截面圖，已知綠道

路面寬。4=3.5米，河道壩高4E=5米，壩面4B的坡比為i=1:0.5（其中i=tan/ABE）,當(dāng)水柱離噴

水口。處水平距離為2米時(shí)，離地平面距離的最大值為3米.

圖1圖2

以。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，解決問題：

⑴求水柱所在拋物線的解析式；

⑵出于安全考慮，在河道的壩邊/處安裝護(hù)欄，若護(hù)欄高度為1.25米，判斷水柱能否噴射到護(hù)欄上,

說明理由；

⑶河中常年有水，但一年中河水離地平面的距離會隨著天氣的變化而變化，水柱落入水中能蕩起美麗

的水花，從美觀角度考慮，水柱落水點(diǎn)要在水面上；

①河水離地平面4。距離為多少時(shí)，剛好使水柱落在壩面截線4B與水面截線的交點(diǎn)處？

②為保證水柱的落水點(diǎn)始終在水面上，決定安裝可上下伸縮的噴水口，設(shè)壩中水面離地平面距離為

米，噴水口離地平面的最小高度機(jī)隨著/z的變化而變化，直接寫出加與力的關(guān)系式.

22.（24-25九年級上?廣東揭陽?期末）【綜合實(shí)踐】

如圖1所示，是《天工開物》中記載的三千多年前中國古人利用桔椽在井上汲水的情境，受桔椽的啟

發(fā)，小杰組裝了如圖2所示的裝置.其中，杠桿可繞支點(diǎn)。在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，支點(diǎn)。距左端口=1

m,距右端勿=04m,在杠桿左端懸掛重力為80N的物體（杠桿原理：阻力x阻力臂=動力x動力臂,

如圖2,即尸4義人=FBXL2）

ky/cm

8-r-T-r-r-r-r-r-T-r-T-r-，

01------------------------------------------------?

1020304050x/N

⑵為了讓裝置有更多的使用空間，小杰準(zhǔn)備調(diào)整裝置，當(dāng)重物8的質(zhì)量變化時(shí)，切的長度隨之變化.設(shè)

重物8的質(zhì)量為無N,“的長度為ycm.貝!］：

①y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是

②完成表格：a=_；b=_.

③借助表格，在圖3的直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象.

⑶在（2）的條件下，若點(diǎn)/的坐標(biāo)為（20,0）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,2）,在（2）中所求函數(shù)的圖象上存在

點(diǎn)C，使得S44BC=46,請求出點(diǎn)C的坐標(biāo).

23.（2024?福建泉州,模擬預(yù)測）【項(xiàng)目化學(xué)習(xí)】

項(xiàng)目主題：從函數(shù)角度重新認(rèn)識"阻力對物體運(yùn)動的影響

項(xiàng)目內(nèi)容：數(shù)學(xué)興趣小組對一個(gè)靜止的小球從斜坡滾下后，在水平木板上運(yùn)動的速度、距離與時(shí)間的

關(guān)系進(jìn)行了深入探究，興趣小組先設(shè)計(jì)方案，再進(jìn)行測量，然后根據(jù)所測量的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并進(jìn)一

步應(yīng)用.

實(shí)驗(yàn)過程：如圖（°）所示，一個(gè)黑球從斜坡頂端由靜止?jié)L下沿水平木板直線運(yùn)動，從黑球運(yùn)動到點(diǎn)4

處開始，用頻閃照相機(jī)、測速儀測量并記錄黑球在木板上的運(yùn)動時(shí)間x（單位：s）、運(yùn)動速度u（單位:

cm/s）、滑行距離y（單位：cm）的數(shù)據(jù).

（1）請?jiān)趫D（6）中畫出u與％的函數(shù)圖象;

Av/（cm/s）

11

10

9「一丁『十十十-十一1十十：「

8—*—?—?—:—；——:—；—；—:

7一十十十十十十十十十十產(chǎn)

4

3—1—?—1-—?—?—:—>—1—:—?—?—；

2.................

ol123456789101112*/s

（b）

任務(wù)二：觀察分析

（2）數(shù)學(xué)興趣小組通過觀察所作的函數(shù)圖象，并結(jié)合已學(xué)習(xí)過的函數(shù)知識，發(fā)現(xiàn)圖（6）中"與方的函

數(shù)關(guān)系為一次函數(shù)關(guān)系，圖（c）中y與x的函數(shù)關(guān)系為二次函數(shù)關(guān)系.請你結(jié)合表格數(shù)據(jù)，分別求出"與x

的函數(shù)關(guān)系式和y與久的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出自變量的取值范圍）

Ay/cm

O123456789101112x/s

任務(wù)三：問題解決

（3）若黑球到達(dá)木板點(diǎn)力處的同時(shí)，在點(diǎn)力的前方ncm處有一輛電動小車，以2cm/s的速度勻速向右直

線運(yùn)動，若黑球不能撞上小車，求n的取值范圍.

24.（2025,廣西柳州?一模）［綜合探究］運(yùn)用二次函數(shù)來研究植物幼苗葉片的生長狀況.在大自然里，有很

多數(shù)學(xué)的奧秘.圖1是一片美麗的心形葉片，圖2是一棵生長的幼苗都可以看作把一條拋物線的一部

分沿直線折疊而形成.

圖1圖2

【探究一】確定心形葉片的形狀

（1）如圖3建立平面直角坐標(biāo)系，心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數(shù)丫=a/—4a久一4a+1圖

象的一部分，已知圖像過原點(diǎn)，求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);

【探究二】研究心形葉片的寬度：

（2）如圖3,在（1）的條件下，心形葉片的對稱軸，即直線曠=久+1與坐標(biāo)軸交于4B兩點(diǎn)，拋物

線與x軸交于另一點(diǎn)C,點(diǎn)C,3是葉片上的一對對稱點(diǎn)，CQ交直線4B于點(diǎn)G.求葉片此處的寬度CCi；

【探究三】探究幼苗葉片的長度

（3）小李同學(xué)在觀察幼苗生長的過程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函數(shù)y=a/

—4ax—4a+l圖象的一部分；如圖4,幼苗葉片下方輪廓線正好對應(yīng)探究一中的二次函數(shù).已知直線

PD（點(diǎn)P為葉尖）與水平線的夾角為45。，求幼苗葉片的長度PD.

25.（24-25九年級上?福建泉州?階段練習(xí)）【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】

【項(xiàng)目主題】自動旋轉(zhuǎn)式灑水噴頭灌溉蔬菜

【項(xiàng)目背景】尋找生活中的數(shù)學(xué)，九（1）班分四個(gè)小組，開展數(shù)學(xué)項(xiàng)目式實(shí)踐活動，獲取所有數(shù)據(jù)共

享，對蔬菜噴水管建立數(shù)學(xué)模型.菜地裝有1個(gè)自動旋轉(zhuǎn)式灑水噴頭灌溉蔬菜，如圖1所示，觀察噴

頭可順、逆時(shí)針往返噴灑.

【項(xiàng)目素材】

素材一：甲小組在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，噴水口中心。有一噴水管。4從/點(diǎn)向外噴水，噴

出的水柱最外層的形狀為拋物線，以水平方向?yàn)閤軸，點(diǎn)。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)噴水

口）在y軸上，x軸上的點(diǎn)。為水柱的最外落水點(diǎn).

素材二：乙小組測得種植農(nóng)民的身高為L75米，他常常往返于菜地之間.

素材三：丙小組了解到需要給蔬菜大鵬里拉一層塑料薄膜用來保溫保濕，以便蔬菜更好地生長.

【項(xiàng)目任務(wù)】

任務(wù)一：丁小組測量得噴水口中心點(diǎn)。到水柱的最外落水點(diǎn)。水平距離為7.6米，其中噴出的水的最

高點(diǎn)正好經(jīng)過一個(gè)直立木桿EF的頂部廠處，木桿高EF=4米，距離噴水口。E=3.6米，求出水柱所在

拋物線的函數(shù)解析式.

任務(wù)二：乙小組發(fā)現(xiàn)這位農(nóng)民在與噴水口水平距離是尸米時(shí)，不會被水淋到，求P的取值范圍.

任務(wù)三：丙小組測量發(fā)現(xiàn)薄膜所在平面和地面的夾角是45。，截面如圖3,求薄膜與地面接觸點(diǎn)與噴水

口的水平距離是多少米時(shí)，噴出的水與薄膜的距離至少是10厘米？（精確到0.1米）

圖1圖2圖3

26.（2025?貴州?一模）某商鋪老板為了防止商品久曬受損，在門前安裝了一個(gè)遮陽棚，如圖所示，遮陽篷力B

長為1.5米，與墻面力。的夾角NH4D=75。，靠墻端/離地高4。為2.2米，遮陽棚前段下擺的自然垂直長

度BC=0.2m,（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：sin75°?0.97,cos75°?0.26,tan75°?3.73）

（1）如圖1,求遮陽棚上的3點(diǎn)到墻面4D的距離；

（2）如圖2,當(dāng)太陽光線EF與地面DG的夾角為53。時(shí)，求陰影OF的長（參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.8,cos

53°?0.6,tan53°?1.33）

27.（2025,安徽?一模）隨著時(shí)代的發(fā)展和人們生活水平的提高，私家車越來越多，停車越來越難，停車場

的建造就成為解決問題的途徑之一.如圖是一個(gè)新建的地下停車場的設(shè)計(jì)示意圖，已知坡道4B的坡比

i=1:2.4,的長為8.4米，CD的長為0.9米.按規(guī)定，停車場坡道口上方需張貼限

高標(biāo)志，以便告知停車人其車輛能否安全駛?cè)?，請根?jù)所給數(shù)據(jù)，確定該停車場入口的限高，即D”的

長為多少？

28.（2025,河南焦作,一模）綜合與實(shí)踐

【問題情境】

如圖（1）為一個(gè)圓形噴水池，水池的圓心。處有一噴水裝置，數(shù)學(xué)活動小組計(jì)劃使用皮尺測量水池的

直徑，但因噴水裝置阻擋，所以無法直接測量直徑，需要如何進(jìn)行呢？（水池邊緣厚度忽略不計(jì)）

【方案解決】

出發(fā)前，同學(xué)們設(shè)計(jì)了如下兩種方案：

方案一：如圖（2）,先在水池邊上取4B兩點(diǎn)，使得40,B三點(diǎn)共線，再在水池外取一點(diǎn)C,測得

AC,BC的長，在AC的延長線上取點(diǎn)D,使得CD=4C,在BC的延長線上取點(diǎn)￡使得CE=8C,最后測

得DE的長即為直徑4B的長；

方案二：如圖（3）,先在水池邊上取4B兩點(diǎn)，使得40,B三點(diǎn)共線，再在水池外取一點(diǎn)C,測得

AC,BC的長，在4c的延長線上取點(diǎn)。，使得CD=SC,在BC的延長線上取點(diǎn)E,使得CE=沏7,最后

測得DE的長，便可求出力B的長.

⑴請你選擇其中一個(gè)方案判斷理論上是否可行，并說明理由；

（2）同學(xué)們?nèi)?shí)地考察后，發(fā)現(xiàn)噴水裝置較大，阻擋視線，難以保證40,B三點(diǎn)共線，經(jīng)過討論，同

學(xué)們利用《圓》一章的知識，設(shè)計(jì)并實(shí)施了方案三：如圖（4）,在水池邊上取三點(diǎn)力，B,C,使得

AB=AC,測得4B=4C=12米，BC=8米，通過計(jì)算，可以求得圓形水池的直徑.請根據(jù)測量的數(shù)

據(jù)，求出水池的直徑.（結(jié)果精確到0.1米，其中魚=1.414）

29.（2025?遼寧沈陽?一模）單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動的裝置.某興趣小組利用單擺進(jìn)行相關(guān)的實(shí)驗(yàn)探

究，并撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告如表.

實(shí)

驗(yàn)

探究擺球運(yùn)動過程中高度的變化

主

題'

實(shí)擺球，擺線，支架，攝像機(jī)等

驗(yàn)

用

具

實(shí)如圖1,在支架的橫桿點(diǎn)。處用擺線懸掛一個(gè)擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始

驗(yàn)往復(fù)運(yùn)動.（擺線的長度變化忽略不計(jì)）如圖2,擺球靜止時(shí)的位置為點(diǎn)4拉緊擺

說線將擺球拉至點(diǎn)B處，8。1。4于點(diǎn)。，Z-BOA=64°,BD=18.9cm；當(dāng)擺球運(yùn)動

明至點(diǎn)C時(shí)，NCQ4=37°,CE104于點(diǎn)E.（點(diǎn)。在同一平面內(nèi)）

1

實(shí)

驗(yàn)

圖

示

圖1圖2

解決問題：根據(jù)以上信息，求4E的長.

（參考數(shù)據(jù):sin37°~0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75,sin64°?0.90,cos64°?0.44,tan64°

?2.05,結(jié)果精確到lcm）

30.（2025,河北石家莊,一模）數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐小組進(jìn)行了項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的實(shí)踐探究，并繪制了如下記錄表格.

（結(jié)果精確到0.01m,參考數(shù)據(jù)：sin70°~0.940,cos70°?0.342,tan70°~2.747,舊21.732）

3L（2025,遼寧沈陽?模擬預(yù)測）中國古代運(yùn)用"土圭之法”判別四季.夏至?xí)r日影最短，冬至?xí)r日影最長，春

分和秋分時(shí)日影長度等于夏至和冬至日影長度的平均數(shù).某地學(xué)生運(yùn)用此法進(jìn)行實(shí)踐探索，如圖，在示意

圖中，產(chǎn)生日影的桿子48垂直于地面，48長8尺.在夏至?xí)r，桿子在太陽光線4C照射下產(chǎn)生的日影為

BC-在冬至?xí)r，桿子在太陽光線力D照射下產(chǎn)生的日影為BD.已知NACB=73.4。，AADB=26.6°.

示意圖

⑴求冬至?xí)r日影BD的長度;

（2）求春分和秋分時(shí)日影長度（結(jié)果精確到0.1尺）.(參考數(shù)據(jù)：sin26.6°?0.45,cos26.6°?0.89,

tan26.6°?0.50,sin73.4°?0.96,cos73.4°?0.29,tan73.4°?3.35)

32.（2025?山東濟(jì)寧,模擬預(yù)測）解答:

如何設(shè)計(jì)搖椅椅背有坐墊長度？

某公司設(shè)計(jì)制作一款搖椅，圖1為效果圖，O

A

1\

圖2為其側(cè)面設(shè)計(jì)圖.其中FC為椅背，EC為

素

坐墊，C、。為焊接點(diǎn)，且CD與4B平行，支

材

架4C,BD所在直線交于圓弧形底座所在圓的

圓心。.設(shè)計(jì)方案中，要求4B兩點(diǎn)離地面高圖1圖2

度均為5厘米，4B兩點(diǎn)之間距離為70厘米.

經(jīng)研究，NOCF=53。時(shí)，舒適感最佳.現(xiàn)用C)

、、

來制作椅背FC和坐墊EC的材料總長度為160X

厘米，設(shè)計(jì)時(shí)有以下要求：

素'9E

（1）椅背長度小于坐墊長度；

材

（2）為安全起見，搖椅后搖至底座與地面相

S3

切于點(diǎn)力時(shí)（如圖3）,F點(diǎn)比E點(diǎn)在豎直方向

上至少高出12厘米