板塊二十二圓（一）方法研究——選填題

方法研究1圓與勾股定理（一）垂徑構(gòu)直角

典例精講

【例】如圖，0為等邊AABC的邊AB上的一點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心,0B為半徑的圓與0C交于點(diǎn)D,與BC

交于點(diǎn)E.若CD=2,CE=3,則0B的長為

典題精練

技巧一作垂徑

1.（2024武昌區(qū)）如圖,AB是。O的弦，點(diǎn)P在弦AB上,PA=4,PB=2,OP=g則。O的半徑為（)

A.5B.3V2C.4D.T17

技巧二連弧的中點(diǎn)與圓心

2.如圖，在半徑為3的。。中,AB是直徑,AC是弦,D是4'的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E.若E是BD的中點(diǎn)，則

AC的長是（）

盛百B.3V3C.3V2D.4V2

技巧三連弦的中點(diǎn)與圓心

3.（2024洪山區(qū)）如圖,AB是。O的直徑，點(diǎn)E在。?！?EC±AB于點(diǎn)（C,4C=4,CE=4A優(yōu)點(diǎn)G在。。上運(yùn)

動(dòng)（不與點(diǎn)E重合）,F為GE的中點(diǎn)，則CF的最大值為（)

X.4V2B.6C.4A/3D.8

方法研究2圓與勾股定理（二）直徑構(gòu)直角

典例精講

【例】（2024福州）如圖，在AABC中以AB為直徑的。。與AC相切于點(diǎn)A,與BC相交于點(diǎn)D,F是BC上一

點(diǎn)，且BF=BA,連接AF,若AC=8,CF=4,則DF的長為.

典題精練

技巧一知直徑用直角

1.（2024長春）如圖,AB是半圓的直徑,AC是一條弦,D是左的中點(diǎn),DB交AC于點(diǎn)G連接AD.當(dāng)DG=2,GB

=3時(shí),AG的長為.

技巧二知直徑構(gòu)直角

2.（2024洪山區(qū)）如圖，以矩形ABCD的邊AB為直徑作。0,以點(diǎn)B為圓心,AB長為半徑畫弧，交CD于點(diǎn)E,

連接BE交。。于點(diǎn)F.若EF=2,AD=6,則AB的長為.

技巧三構(gòu)直徑用直角

3.（2024黃石）如圖，弦AB,CD所對的圓心角分別是/4OB,/COD,若4OB與4OD互補(bǔ)，力B=8,CD=6,那

么。。的半徑為（）

A.5B.10C.5V2

方法研究3圓與勾股定理（三）切線構(gòu)直角

典例精講

技巧一連圓心與切點(diǎn)——構(gòu)直角

[例1]（2024宜昌）如圖,AB是。0的直徑，過圓上一點(diǎn)C作。。的切線，交AB的延長線于點(diǎn)P.若

tan4PC=|,OO的半徑為2,則PB的長是（）

X.2V5-2B.2V5-4C.2V3-2D.2

技巧二切線+垂徑——構(gòu)矩形

【例2】如圖,。0經(jīng)過矩形ABCD的頂點(diǎn)A,D,與BC相切于點(diǎn)F,與CD相交于另一點(diǎn)G.若祭，則黑的

值為.

典題精練

L如圖在AABC中,NC=90。,AC=4,AB=5,。O分別與AB,BC相切于點(diǎn)D,E,交AC于點(diǎn)GH.若GH=2,則。O

的半徑為.

2.（2024涼山州）如圖,OM的圓心為M（4,0）,半徑為2,P是直線y=x+4（分別交x軸，y軸于點(diǎn)A,B）上的一

動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作。M的切線，切點(diǎn)為Q,則PQ的最小值為.

方法研究4圓與全等

典例精講

技巧一構(gòu)旋轉(zhuǎn)全等

【例】（2024武漢中考）如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于。O,NABC=60tNBAC=NCAD=45o,AB+AD=2JJ[|。。

的半徑是（）

吟D些

若2

典題精練

技巧二構(gòu)對稱全等

1.（2024江漢區(qū)）如圖,AB,AC是。O的弦,D是女的中點(diǎn),E是AB上的一點(diǎn)連接DC,DE若BE=S瓜DC

=DE,且NCDE=90。,貝［|。。的半徑為（）

X.5V2B.5V3C.6V2D.9

技巧三構(gòu)蝶形全等

2.（2024江夏區(qū)）如圖,。0是△力BC的外接圓，弦BD交AC于點(diǎn)E,AE=DE,BC=CE,,過點(diǎn)。作OF，A

C于點(diǎn)F,延長FO交BE于點(diǎn)G.BDE=3,EG=2,,則AB的長為（）

X.4V3B.7C.8D.4V5

方法研究5圓與相似

典例精講

技巧一求線段比——構(gòu)"A、X型"相似

【例1】（2024武漢模擬）如圖,AB是。0的直徑,C是。O上一點(diǎn)/ACB的平分線交AB于點(diǎn)E,交。。于

點(diǎn)D.若。。的半徑是5,siM4BC=*則器的值為.

D

技巧二遇切割線——構(gòu)"子母型"相似

【例2】如圖，在RfABC中/C=90。,點(diǎn)D在斜邊AB上，以AD為直徑的半圓。與BC相切于點(diǎn)E,連接DE.

若AC=8,BC=6廁DE的長是.

典題精練

技巧三遇徑切圖——構(gòu)"射影型"相似

1.（2024泰安）如圖,AB是。O的直徑,AH是。。的切線,C為。。上一點(diǎn),D為數(shù)的中點(diǎn)，連接BD交AC

于點(diǎn)E,延長BD與AH相交于點(diǎn)F.若。尸=l,tanB=（,則AE的長為.

技巧四構(gòu)"仿A型"相似

2.（2024永安）如圖，在RfABC中/C=90°,點(diǎn)O在邊AC上，且4BO=NG4B,過點(diǎn)A作AD^BO,交B0

的延長線于點(diǎn)D,以點(diǎn)。為圓心,0D的長為半徑作。。，交B0于點(diǎn)E.若。0的半徑為5,BE=8廁線段AB的長為

方法研究6圓與三角函數(shù)-----2023武漢中考熱點(diǎn)

典例精講

技巧一構(gòu)直角求三角函數(shù)值

【例】（2023武漢中考）如圖，在四邊形ABCD中，28||8,2?；?乩以點(diǎn)D為圓心,AD為半徑的弧恰好與BC

相切，切點(diǎn)為E.若署=抑sinC的值是（）

典題精練

技巧二利用特殊角求三角函數(shù)值

1.（2024研口區(qū)）如圖,AB是。。的直徑，點(diǎn)C在。。±,1為A2BC的內(nèi)心.若NBIO=2NAIO,則tanzOBI

的值是（）

技巧三等角轉(zhuǎn)化求三角函數(shù)值

2.（2023蘇州改）如圖,AB是半圓。的直徑，點(diǎn)C,D在半圓上,（CD=助，連接OC,CA,OD,過點(diǎn)B作EB^AB,

交OD的延長線于點(diǎn)E.設(shè)△04C的面積為S30BE的面積為S?,,若=|,則tan/COE的值為.

方法研究7巧用面積法

典例精講

類型一三角形與圓

【例1】（2024武漢模擬）如圖，在RfABC中/BAC=90°,AD為中線.若AB=5,AC=12,設(shè)MBD與SCD的

內(nèi)切圓半徑分別為rj2,則i的值為

r2

類型二四邊形與圓

[例2]（2024江漢區(qū)）木匠黃師傅用長AB=3m,寬BC=2m的矩形木板做一個(gè)盡可能大的圓形桌面，他設(shè)

計(jì)了兩種方案：方案一：用矩形木板直接鋸一個(gè)半徑最大的圓；方案二：沿對角線AC將矩形鋸成兩個(gè)三角形,

適當(dāng)平移三角形并鋸一個(gè)最大的圓，則方案二比方案一的圓的半徑大m.

DC

'O

AB

方案一

典題精練

1.（武漢中考）如圖在AABC中,AB=7,BC=5,AC=8,則AABC的內(nèi)切圓的半徑為

2.（2023青山區(qū)）如圖,。0內(nèi)切于正方形ABCD,邊AD,CD分別與。0切于點(diǎn)E,F,點(diǎn)M,N分別在線段DE,DF

上，且MN與。。相切.若AMBN的面積為6,則。。的半徑為

實(shí)踐操作1實(shí)際問題與圓

典例精講

技巧一運(yùn)用垂徑

[例1]（2024湖北模擬）一次綜合實(shí)踐主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，測量一次性紙杯杯口的直徑.

小明同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯口，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A,

B,C,D四點(diǎn)，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為7cm,AB=8cm,CD=6cm.請你根據(jù)上述數(shù)據(jù)計(jì)算紙杯杯口

的直徑是cm.

技巧二運(yùn)用切線

[例2]（2024河南改）如圖1,塑像AB在底座BC上，點(diǎn)D是人眼所在的位置，當(dāng)點(diǎn)B高于人的水平視線D

E時(shí)，由遠(yuǎn)及近看塑像，會(huì)在某處感覺看到的塑像最大，此時(shí)視角最大.數(shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)經(jīng)過A,B兩點(diǎn)的圓與

水平視線DE相切時(shí)（如圖2）,在切點(diǎn)P處感覺看到的塑像最大經(jīng)測量，最大視角NAPB為30。,在點(diǎn)P處看塑像

頂部點(diǎn)A的仰角NAPE為60。,點(diǎn)P到塑像的水平距離PH為6m，則塑像AB的高為m.（結(jié)果精確到0.

1m.參考數(shù)據(jù)：V3?1.73）

典題精練

1.（2024通遼）如圖，圓形拱門最下端AB在地面上，D為AB的中點(diǎn)，C為拱門最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過拱門

所在圓的圓心.若AB=lm,CD=2.5m,則拱門所在圓的半徑為m.

c

ADB

2.（2023宜昌）2023年5月30日，"神舟十六號"航天飛船成功發(fā)射.如圖，飛船在離地球大約330km的圓

形軌道上，當(dāng)運(yùn)行到地球表面P點(diǎn)的正上方F點(diǎn)時(shí)，從中直接看到地球表面一個(gè)最遠(yuǎn)的點(diǎn)是Q在RfOQF中,（。

P=OQ~6400km.則網(wǎng)的長約為km（結(jié)果取整數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：cosl6°~0.96,cosl80~0.95,cos20°~0.

94,cos22°~0.93,n~3.14)

實(shí)踐操作2圓的折疊與旋轉(zhuǎn)

典例精講

類型一圓的折疊

【例1】（2021武漢中考）如圖,AB是。。的直徑,BC是。。的弦，先將就沿BC翻折交AB于點(diǎn)D,再將.

皿沿AB翻折交BC于點(diǎn)E.若BE=畫，設(shè)zABC=a,貝g所在的范圍是（）c,-.?…?-

421.9°<a<22.3°5.22.3°<a<22.7°

C.22.7。<a<23.1。D.23.1°<a<23.5°J

類型二圓的旋轉(zhuǎn)

【例2】（2024孝感）已知AB為。O的直徑,C為。。上一點(diǎn)將2C繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度后

得至I」而，交AB于點(diǎn)E.若點(diǎn)D在。。上,AO=5EO=5,則陰影部分的面積為（）

4

A.8B.16C.4H—71

3

典題精練

1.（2024咸寧）如圖,AB是。。的直徑,C是上半圓上一點(diǎn)，將衣沿著弦AC翻折后恰好經(jīng)過0A的中點(diǎn)D,則

tanzBAC的值是.

2.（2023研口區(qū)）如圖,AB為。O的直徑,BC是弦，將左繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到近”點(diǎn)D恰好落在。O上,

AB交.而于點(diǎn)E.若OE=EB,AB=4,則BC的長是

實(shí)踐操作3圓的覆蓋與截取

典例精講

類型一圓的覆蓋

[例1]（2024武漢模擬）如圖所示的"趙爽弦圖”是由四個(gè)全等直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正

方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b.若（a-療=4,大正方形的面積為20,現(xiàn)用一個(gè)半徑

為r的圓形紙片將陰影部分完全覆蓋，貝Ur的最小值是.

類型二圓的截取

【例2】（2022武漢中考）如圖,在四邊形材料ABCD中，AD\\BC,^A=90°,AD=9crn,AB=20cm,BC=24

cm.現(xiàn)用此材料截出一個(gè)面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是（）

A..——J.J.VcmB.8cmC.6y/2cmD.10cm

C

典題精練

1.（2022武漢四調(diào)）如圖是由三個(gè)大小相同的正方形組成的"品"字型軸對稱圖案,測得頂點(diǎn)A,B之間的距離

為5.現(xiàn)用一個(gè)半徑為r的圓形紙片將其完全覆蓋，貝h的最小值是（)

B等

樗C等D?哼

2.（2023青山區(qū)）如圖,在四邊形材料ABCD中,AD，CD,AB=26cm,BC=30cm,tanB=tanC=￡.現(xiàn)用此材料

截出一個(gè)面積最大的圓形模板,則此圓的半徑為cm.

實(shí)踐操作4閱讀理解

典例精講

技巧一讀懂規(guī)律

【例】（2024武漢模擬）蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古

人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān).如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫法

如下：在水平直線上取長度為1的線段AB，作一個(gè)等邊三角形ABC,然后以點(diǎn)B為圓心,AB為半徑逆時(shí)針畫

圓弧交線段CB的延長線于點(diǎn)D（第一段圓弧），再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段AC的延長線

于點(diǎn)E，再以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑逆時(shí)針畫圓弧…以此類推，當(dāng)?shù)玫降?蚊香"恰好有12段圓弧時(shí)，"蚊香"

的長度為

典題精練

技巧二讀懂公式

1.（2023武漢四調(diào)）《數(shù)書九章》是我國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作,書中提出了已知三角形三邊a,b,

c求面積的公式S=2a2一仔亭竺升.若三角形的三邊a,b,c分別為7,6,3,則這個(gè)三角形內(nèi)切圓的半

徑是.

技巧三讀懂定理

2.（2023東湖高新區(qū)）17—18世紀(jì)，中國數(shù)學(xué)家、大文學(xué)家梅文鼎和英國數(shù)學(xué)家辛普森各自獨(dú)立地用簡化了的"

同徑法"證明了正弦定理："三角形中每一邊和它所對角的正弦值的比都等于外接圓的直徑".已知AABC中,AB=

5,AC=8,NBAC=60。,貝必ABC的夕卜接圓直徑為.

技巧四讀懂方法

3.（2023福建）我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)"，即利用圓的內(nèi)接正多邊

形逼近圓的方法來近似估算，他用這種思想得到了圓周率n的近似值為3.1416.如圖，的半徑為1,運(yùn)用“割

圓術(shù)"，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)。。的面積，可得IT的估計(jì)值為學(xué),，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計(jì)，

可得n的估計(jì)值為.

板塊二十二圓（一）方法研究——選填題

方法研究1圓與勾股定理（一）垂徑構(gòu)直角

典例精講

【例】如圖，0為等邊△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，以點(diǎn)0為圓心，0B為半徑的圓與OC交于點(diǎn)D,與BC

交于點(diǎn)E.若CD=2,CE=3,則0B的長為5.

解:過點(diǎn)0作OFXBE于點(diǎn)F,則BF=FE=：0B設(shè)BF=FE=x,/人、

貝!]OB=0D=2x,?,?OF=遮％,。。=2%+2,CF=%+3,

...在RtACOF中,（（百久丁+（X+3）2=（2x+2）2,2x=5,即0B=5.

典題精練

技巧一作垂徑

1.（2024武昌區(qū)）如圖,AB是。O的弦，點(diǎn)P在弦AB上,PA=4,PB=2,OP="則。O的半徑為（A）

B.3V2D.V17

解:過點(diǎn)O作OH_LAB于點(diǎn)H,連接OA,，AH=jAB.?/PA=4,PB=2,AB=4+2=6,AH=3,PH^AP^tH^4-3=1.

VOP=V17OH=yj0P2-PH2=4,OA=<AH2+OH2=5,AOO的半徑是5.故選A.I)

技巧二連弧的中點(diǎn)與圓心

2.如圖，在半徑為3的。O中,AB是直徑,AC是弦,D是女的中點(diǎn),AC與BD交于點(diǎn)E.若E是BD的中點(diǎn),

則AC的長是（D）

X.-V3B.3V3D.4V2

解:連接OD交AC于點(diǎn)F,連接BC,則NACB=90『D是AC的中點(diǎn),.二OD垂直平分AC,.。尸=喬二。尸|田。

,VE是BD的中點(diǎn),△DEF^ABEC,DF=BC=2OF,OF=1,BC=2,RtAABC中，AC=<AB2-BC2=4五.

技巧三連弦的中點(diǎn)與圓心

3.（2024洪山區(qū)）如圖,AB是。O的直徑，點(diǎn)E在。。上,ECLAB于點(diǎn)C,AC=4,CE=4近點(diǎn)G在。O上運(yùn)動(dòng)（不

與點(diǎn)E重合）,F為GE的中點(diǎn)，則CF的最大值為（B）

X.4V2B.6C.4V3D.8、

解:連接OEQF.：F是EG的中點(diǎn),.,.OF±EG,.\ZOFE=90°.VEC_LAB,；.ZOCE=90°,可抽點(diǎn)/§E,F節(jié)以O(shè)

E為直徑的圓上,.0E.設(shè)OE=i?，在RtAOEC中,OC=OE-AC=r-4,CE=4V2,根據(jù)勾股全理」f/c?+C

7

E2=r2,..（r-鏟+（4V2）=r2,r=6,.,.CF的最大值為6.故選B.

方法研究2圓與勾股定理（二）直徑構(gòu)直角

典例精講

【例】（2024福州）如圖，在△ABC中以AB為直徑的。O與AC相切于點(diǎn)A,與BC相交于點(diǎn)D,F是BC上

一點(diǎn)且BF=BA,連接AF,若AC=8,CF=4廁DF的長為_

解:連接AD.以AB為直徑的＜30與AC相切于點(diǎn)A,BAXAC,ZBAC=90°.VBA=BF,設(shè)BA=BF=x，在Rt

△ABC中根據(jù)勾股定理得AB2+AC2=BC?,即%2+82=(久+4產(chǎn)解得x=6,；.BC=10.：AB是直徑,AD_LBD,

VABAC=BCAD,gp6x8=10AD,解得AD=卷在RtAABD中根據(jù)勾股定理，得BD=>JAB2-AD2=

._(g)2=g,；.DF=BF-BD=6—三=獲

典題精練

技巧一知直徑用直角

1.（2024長春）如圖,AB是半圓的直徑,AC是一條弦,D是左的中點(diǎn),DB交AC于點(diǎn)G,連接AD.當(dāng)DG=2,GB=3

時(shí),AG的長為V14

解:：AD=CD,；.NABD=NDAC.；AB是直徑,/ADB=NGDA=90°,ADGABDA,：.=...XD2=DG

-BD=2x5=10,在RtAADG中，由勾股定理彳導(dǎo)AG=y/AD2+DG2=V14.

技巧二知直徑構(gòu)直角

2.（2024洪山區(qū)）如圖,以矩形ABCD的邊AB為直徑作。O,以點(diǎn)B為圓心,AB長為半徑畫弧，交CD于點(diǎn)E,

連接BE交。。于點(diǎn)F.若EF=2,AD=6,則AB的長為10

解:連接AF.iiEAABF絲△BEC（AAS）,；.BF=CE,；.BE-BF=CD-CE,即DE=FE=2.,ZAB=CD,ZC=90°,BC=AD=6,

CE=AB-2,

BE=AB,BE2=CE2+BC2,

：.AB2=（AB-2/+62,解得AB=10.

技巧三構(gòu)直徑用直角

3.（2024黃石）如圖.弦AB,CD所對的圓心角分別是/AOB,/COD.若/AOB與NC。?；パa(bǔ),AB=8,CD=6,那么。

O的半徑為（A）

A.5B.10C.5V2D.5V3

解:延長CO交。O于點(diǎn)E,連接DE.YCE是。O的直徑,NCDE=90。.

VZAOB和NCOD5^,ZCOD+ZDOE=180°,.\ZDOE=ZAOB.

VAB=8,.*.DE=AB=8.

：CD=6,由勾股定理彳導(dǎo)CE=y/CD2+DE2=V62+82=10,

???OO的半徑是5.故選A.

方法研究3圓與勾股定理（三）切線構(gòu)直角

典例精講

技巧一連圓心與切點(diǎn)一構(gòu)直角

【例1】（2024宜昌）如圖.AB是。O的直徑，過圓上一點(diǎn)C作0O的切線，交AB的延長線于點(diǎn)P.若

tan乙4PC=|,?O的半徑為2,則PB的長是（A）

X.2V5-2B.2V5-4C.2V3-2D.2

解:連接OC廁OC=OB=2.VCP是OO的切線，二ZOCP=90°.<oP

???tanzXPC=患=3PC=4,在RtAOCP中，OP=VOC2+CP2=V22+42=2瓜：.PB=OP-OB^2

V5-2.故選A.

技巧二切線+垂徑一構(gòu)矩形

【例2】如圖,。O經(jīng)過矩形ABCD的頂點(diǎn)A,D,與BC相切于點(diǎn)F,與CD相交于另一點(diǎn)G.若喘=：,則會(huì)的

AD4CG

值為—:

解:連接FO并延長交AD于點(diǎn)E,連接0D,過點(diǎn)O作OHLDG于點(diǎn)H,則OE,AD,DH=HG=OE,設(shè)OE=x,AB=3a,

則AD=4a,「?OD=OF=3a-x,ED=2a,在RtAOED中，x2+(2a)2=(3a—x)2,??.x=-a,DG=2x=-a,CG=CD—

63

4DG5

DG=-u,—=—.

3CG4

典題精練

1.如圖在4ABC中,/C=9(T,AC=4,AB=5,。。分別與AB,BC相切于點(diǎn)D,E,交AC于點(diǎn)G,H.若GH=2廁。O的

半徑為竽.

解:連接OEQDQAQG,過點(diǎn)O作OFLAC于點(diǎn)F.

VOO與BC,AB相切于點(diǎn)E,D,；.OE_LBC,OD_LAB,BD=BE,

ZC=90°,.\四邊形OECF為矩形,CF=OE,：AC=4,AB=5,；.BC=3,

?.?OF_LAC,；.FH=FG=1,設(shè)OE=r,CE=a，貝(JBE=BD=3-a,AD=a+2.在RtAOAD和RtAOAF^.AO2=AD2+OD2=A

F2+OF2,r2+(a+2)2=a2+(4-r)2,；.a=3-2r>0,在RtAOFG中，產(chǎn)=42十7=爭，???2r<3,；.r=—.

2.（2024涼山州）如圖,。M的圓心為M（4,0）,半徑為2,P是直線y=x+4（分別交x軸,y軸于點(diǎn)A,B）上的一動(dòng)點(diǎn)，

過點(diǎn)P作。M的切線，切點(diǎn)為Q,則PQ的最小值為」_____V7,

解:連接MP,MQ.：PQ是。M的切線，MQ^PQ,PQ=y/PM2-MQ2=WW-你..當(dāng)PM最小時(shí),PQ最

小，即當(dāng)MPXAB時(shí),MP最小易求OA=OB=4,；./BAO=45o,AM=8,當(dāng)MP±AB時(shí),MP=AM-sinZ.BAO=8X

f=4V2,..PQ的最小值=J(4V2)2-4=2V7.

方法研究4圓與全等

典例精講

技巧一構(gòu)旋轉(zhuǎn)全等

【例】（2024武漢中考）如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于。O,/ABC=6（r,NBAC=/CAD=45o,AB+AD=2jJ!|OO的

N；C

半徑是（A）

D.立

*2

解:過點(diǎn)C作CMLAB于點(diǎn)M,CN±AD交AD延長線于點(diǎn)N,過點(diǎn)O作OH_LAC于點(diǎn)H,連接OAQC.證Rt

ACDN^RtACBM,；.ND=MB.VAB+AD=AM+MB+AD=AM+DN+AD=AM+AN=2AM=2,；.AM=1.

VAACM是等腰直角三角形,；.AC=V2AM=V2.VZB=60°,AZAOC=2ZB=120°.

???OA=OC,OH1AC,AH=-AC=—,^AOH=-^AOC=60",

'222

??.sin乙40"=sin60。=翳=當(dāng),:.OA=號:.OO的半徑是1.故選A.

典題精練

技巧二構(gòu)對稱全等

1.（2024江漢區(qū)）如圖,AB,AC是0O的弦,D是怒的中點(diǎn),E是AB上的一點(diǎn)，連接DC,DE.若BE=5V6,DC=DE,

且/CDE=90。,則。O的半徑為（B）

X.5V2B.5V3C.6V2D.9

技巧三構(gòu)蝶形全等

2.（2024江夏區(qū)）如圖,。O是AABC的外接圓，弦BD交AC于點(diǎn)E,AE=DE,BC=CE過點(diǎn)。作OFLAC于點(diǎn)F,

延長FO交BE于點(diǎn)G.若DE=3,EG=2廁AB的長為（B）

X.4V3B.7C.8D.4V5

解:連接CD,ilEAAEB四△DEC（ASA）,；.EB=EC,：BC=CE,，BE=CE=BC,4~

.^.△EBC為等邊三角形,.^./ACB=60。作BM_LAC于點(diǎn)M,^.^OFJ_AC,.^.AF=CF,I/夕公1

AEBC為等邊三角形，二ZGEF=60°,.\ZEGF=30°,VEG=2,EF=1,B、

'：AE=ED=3,CF=AF=4,AC=8,EC=5,；.BC=5,VZBCM=60°,

LMBC=30V.CM=j,SM=V3CM=^..-.AM=AC-CM=.

?+（巨=7.故選注

AB=y/AM2+BM2=

方法研究5圓與相似

典例精講

技巧一求線段比一構(gòu)“A、X型”相似

【例1】（2024武漢模擬）如圖,AB是。0的直徑,C是。O上一點(diǎn),NACB的平分線交AB于點(diǎn)E,交。O于

點(diǎn)D.若。。的半徑是5,sik48C=|,則案的值為一今解:過點(diǎn)C作CHLAB于點(diǎn)H,連接OD.：AB是直徑,

5DE25

ACB=90°.

VsinZABC=AC=|,AB=2x5=10,/.AC=6,BC=^AB2-AC2=8.

AABC的面積=|XB-CH=^AC-BC,10CH=6X8,CH=g.

技巧二遇切割線一構(gòu)“子母型”相似

[例2]如圖在RtAABC中,NC=90。,點(diǎn)D在斜邊AB上以AD為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)E,連接

DE若AC=8,BC=6,則DE的長是蜉.

解:連接AE,OE.在RtAABC中,AB=10,設(shè)。O的半徑為r,則OA=OE=r,.\OB=10-r.

V-I-n八lT-iA/-?BEBOOE口BE10—TT々73/日40門廠10

證△BOE△BAC,=一,即—=——=一，角星彳導(dǎo)r=—,BE=—.

BCABAC610893

BDE

△△BE4喏=案=打值+"=心,...DE=等

典題精練

技巧三遇徑切圖一構(gòu)“射影型”相似

1.（2024泰安）如圖,AB是。O的直徑,AH是。O的切線,C為。O上一點(diǎn),D為公的中點(diǎn)，連接BD交AC

于點(diǎn)E,延長BD與AH相交于點(diǎn)F.若DF=l,tanB=點(diǎn)則AE的長為V5.

解：連接AD證△DAFADBA,=tanB=；?￡)/=1,AD=2

：.AF='AD?+DF2=V5.VD為公的中點(diǎn)，AD=CD,

：./ABD=NDAC=NDAF.：ZADE=ZADF=90°,

???90°-4DAE=90°-zDXF?gPZAED=ZAFD,AE=AF=V5

技巧四構(gòu)“仿A型”相似

2.（2024永安）如圖,在RtAABC中,/C=90。,點(diǎn)O在邊AC上，且/CBO=/CAB,過點(diǎn)A作ADLBO,交BO的延

長線于點(diǎn)D,以點(diǎn)0為圓心,OD的長為半徑作。O,交BO于點(diǎn)E.若。。的半徑為5,BE=8,則線段AB的長為_掌

解:過點(diǎn)O作OF_LAB,垂足為F.：AD_LBO,/C=90o,/AOD=/BOC,；.ZDAO=ZCBO,VZCBO=ZCAB,.\Z

口人0=/840,；人口_180,€^_1人8,.,.0口=0E由題意得08=13,€^=5.在口rOBF中，由勾股定理，得BF=V132-52=l

f)ppp-1o

2.VZOBF=ZABD,ZOFB=ZADB,AAOBF^AABD,-

方法研究6圓與三角函數(shù)

典例精講

技巧一構(gòu)直角求三角函數(shù)值

【例】（2023武漢中考攻口圖，在四邊形ABCD中,AB〃CD,AD，AB,以點(diǎn)D為圓心,AD為半徑的弧恰好與BC

相切，切點(diǎn)為E.若箸=［，則sinC的值是（B）

A.-B.—C.

33

典題精練

技巧二利用特殊角求三角函數(shù)值

1.（2024研口區(qū)）如圖,AB是。O的直徑，點(diǎn)C在。O上,1為△ABC的內(nèi)心.若NBIO=2NAIO,則tan/OBI的

值是（B）

解:延長BI交。O于點(diǎn)D,連接AD,則ND=/C=90o,，/CAB+/CBA=90。.

VI為AABC的內(nèi)心，；.AlAB=AIAC=|NC4B,N/B4=AlBC=^CBA,

：.4DIA=nAB+Z/SX=-ACAB+-^CBA=45",Z.DAI=zDM=45°,

22

NAIB=18()o?NDIA=135o,??.AD=ID.???NBIO=2NAIO,NAK)+NBIO=NAIB=135。，

/.ZAIO+2ZAIO=135°,.\ZAIO=45°,.\ZBIO=90°,OI±BD,/.AD=ID=IB=|BD,

tanzOF/=絲=工，故選B.

BD2

技巧三等角轉(zhuǎn)化求三角函數(shù)值

2.(2023蘇州改)如圖,AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C,D在半圓上,(前=加，連接OC,CA,OD,過點(diǎn)B作EBLAB,交

OD的延長線于點(diǎn)￡.設(shè)4OAC的面積為Si,△OBE的面積為$2,若合|,則tanZCOE的值為一V2—.

解:過點(diǎn)C作CH_LAOT^H.VCD=MD,.\ZCOE=ZBOE=ZCAO,=乙BOE,：.tanzX

S23BE3

=tanZCOE,—="，即—=—=AH=2m很!]BO=3m=AO=CQ,；.0H=3m-2m=m,：.CH=2V2m,.-.tanZTl

AHOBBEOB3A

=~=V2,???tanzCOF=V2.

A~~~tToB

方法研究7巧用面積法

典例精講

類型一三角形與圓

【例1】(2024武漢模擬)如圖，在RtAABC中,/BAC=9(r,AD為中線.若AB=5,AC=12,igAABD與4ACD

的內(nèi)切圓半徑分別為rx,r2，則3的值為______2________.

丁2o

解:連接OAQB,OD,IA,IC,ID,過點(diǎn)O,點(diǎn)I分別作BC的垂線，垂足為M,N.在R3ABC中,AB=5,AC=12,；.BC=1

3,VAD為中線,；.AD=BD=CD^-BC=--：S=SMC。，即+BD+AD)-0M=-(AC+AD+CD)-IN

22AABD242

,Ix(5+13)r1=?x(12+13)r2,§=慕

ZZ/2lo

B

類型二四邊形與圓

[例2]（2024江漢區(qū)）木匠黃師傅用長AB=3m,寬BC=2m的矩形木板做一個(gè)盡可能大的圓形桌面，他設(shè)計(jì)

了兩種方案：方案一：用矩形木板直接鋸一個(gè)半徑最大的圓；方案二：沿對角線AC將矩形鋸成兩個(gè)三角形，適

當(dāng)平移三角形并鋸一個(gè)最大的圓，則（方案二比方案一的圓的半徑大m.

解：方案一中的最大半徑為1m方案二中,設(shè)。0與AB相切于點(diǎn)M,與。

BF相切于點(diǎn)N，連接OM,0N,0B，設(shè)半徑為r,則S_=jx3x2=|x3^

方案一方案二

-r+|x2-r,解得r=1-1=|(m).

倏，

典題精練

1.(武漢中考)如圖，在△ABC中,AB=7,BC=5,AC=8JJ1SABC的內(nèi)切圓的半徑為V3.

解:設(shè)圓心為0,連接OA,OB,OC,作AD_LBC于點(diǎn)D.設(shè)BD=a，則CD=5-a,則AB2-BD2=AD2=AC2-CD2,^

72—=82—(5一方,解得a=l,；.AD=4次，設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為r,=f+y+y,r=8,即內(nèi)切

圓的半徑為V3

2.(2023青山區(qū))如圖,。O內(nèi)切于正方形ABCD,邊AD,CD分別與。O切于點(diǎn)E,F,點(diǎn)M,N分別在線段DE,DF

上，目MN與。0相切.若AMBN的面積為6,則。O的半徑為V6.

解:設(shè)。O與MN相切于點(diǎn)K,正方形的邊長為2a廁AE=DE=DF=CF二a,MK=ME,NK=NF,設(shè)MK=ME二x,NK=NF

二y,在RtADMN中，?：MN=x.+y,DN=a—y,DM=a—x,(%+y)2=(a—y)2+(a—x)2,??.ax+ay+xy=

吟,??S^BMN=S正方形ABCD~S—BM一SMMN~S^BCN—6,4a2—|x2ax<(a+%)—|(a—x)(c^—y)—Jxga(a

+y)—6+)_6.a2—6?af.(。0的半徑為迷

''

DNFC

實(shí)踐操作1實(shí)際問題與圓

典例精講

技巧一運(yùn)用垂徑

【例1】(2024湖北模擬)一次綜合實(shí)踐主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，測量一次性紙杯杯口的直徑.小

明同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯口，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A,B,

C,D四點(diǎn)，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為7cm,AB=8cm,CD=6cm.請你根據(jù)上述數(shù)據(jù)計(jì)算紙杯杯口的直徑是

10cm.

解:設(shè)圓心為0,連接OD,0B,過點(diǎn)。作MN_LAB于點(diǎn)N,交CD于點(diǎn)M.；CD〃AB,；.MN_LCD,；.MN=7.：AB

=8,CD=6,DM=\CD=3,BN=^AB=4.設(shè)0M=x，貝！|0N=MN-0M=7-x.,/OM2+MD2=OD2,ON2+BN2=OB2,OM2

+MD2=ON2+BN2,x2+32=(7-x)2+42,/.x=4,0M=4,.\0D=存+42=5,紙杯的直徑為5x2=10.

技巧二運(yùn)用切線

[例2]（2024河南改）如圖1,塑像AB在底座BC上點(diǎn)D是人眼所在的位置，當(dāng)點(diǎn)B高于人的水平視線D

E時(shí)，由遠(yuǎn)及近看塑像，會(huì)在某處感覺看到的塑像最大，此時(shí)視角最大.數(shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)經(jīng)過A,B兩點(diǎn)的圓與

水平視線DE相切時(shí)（如圖2）,在切點(diǎn)P處感覺看到的塑像最大.經(jīng)測量，最大視角NAPB為30。,在點(diǎn)P處看塑像

頂部點(diǎn)A的仰角/APE為60。,點(diǎn)P到塑像的水平距離PH為6m，則塑像AB的高為6.9m.（結(jié)果精確到0.1m.

參考數(shù)據(jù)：V3x1.73）

解:：ZAPH=60°,PH=6,AH=PHtan60°=6V3

ZAPB=30°,.\ZBPH=ZAPH-ZAPB=30°,

BH=PH?tan300=2V3,

???AB=AH-BH=4陋x

典題精練

1.（2024通遼）如圖，圓形拱門最下端AB在地面上，D為AB的中點(diǎn)，C為拱門最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過拱門所

在圓的圓心.若AB=lm,CD=2.5m.則拱門所在圓的半徑為D3m.

解：連接OA.：D為AB的中點(diǎn)，C為拱門最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過拱門所在圓的圓心,AB=1,；.￡D，AB,AD=B

D=0.5.設(shè)拱門所在圓的半徑為rm,；.OA=OC=i?，而CD=2.5m,

OD=2.5-r,：.r2=0.52+(2.5-r)?,解得r=1.3.

2.（2023宜昌）2023年5月30日，“神舟十六號”航天飛船成功發(fā)射.如圖，飛船在離地球大約330km的圓形軌

道上，當(dāng)運(yùn)行到地球表面P點(diǎn)的正上方F點(diǎn)時(shí)，從中直接看到地球表面一個(gè)最遠(yuǎn)的點(diǎn)是Q.在RtAOQF中,OP=O

Q=6400km.則P。的長約為2010km(結(jié)果取整數(shù)).(參考數(shù)據(jù):(cos16°=0.96,cos18°=0.95,cos20°=0.94,cos22°~0.

93,71-3.14)

解:由題意知，F(xiàn)Q是。O的切線,二/OQF=90°//OP=OQ=6400km,FP=330km,OF=OP+FP=6730km,

?r\r\6400cclycokx111yLlLi、i187rx6400crxYrxi

..cosa=00=益茄?0.95,??.a=18,PQ的長約為———?2010fcm.

圖2

實(shí)踐操作2圓的折疊與旋轉(zhuǎn)

典例精講

類型一圓的折疊

【例1】（2021武漢中考）如圖,AB是。O的直徑,BC是。O的弦，先將沅沿BC翻折交AB于點(diǎn)D,再將BD

沿AB翻折交BC于點(diǎn)E.若BE=屋股NABC=a,則a所在的范圍是（