6.1分類加法計數原理與乘法計數原理同步訓練

學校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.甲同學計劃分別從3份不同的語文試卷、5份不同的數學試卷中各任選1份試卷練

習，則不同的選法共有（）

A.8種B.15種C.3,種D.5^種

2.文娛晚會中，學生的節(jié)目有5個，教師的節(jié)目有2個,如果教師的節(jié)目不排在第一個，也

不排在最后一個，并且不相鄰，則排法種數為（）

A.720B.1440C.2400D.2880

3.由未來科學大獎聯合中國科技館共同主辦的“同上一堂科學課”——科學點燃青春：

未來科學大獎獲獎者對話青少年活動于2023年9月8日在全國各地以線上線下結合的

方式舉行.現有某市組織5名獲獎者到當地三個不同的會場與學生進行對話活動,要求每

個會場至少派一名獲獎者，每名獲獎者只去一個會場，則不同的派出方法有（）

A.60種B.120種C.150種D.240種

4.一個三位自然數百位，十位，個位上的數字依次為仇c,當且僅當a>b,b<c時稱為

“凹數”（如213,312等），若a,b,ce{l,2,3,4},且仇?；ゲ幌嗤?，則這個三位數為“凹數”

的概率為（）

A.1l5B.—C.-17D.—

624324

5.現將四名語文教師，三名心理教師,兩名數學教師分配到三所不同學校，每個學校三人,

要求每個學校既有心理教師又有語文教師，則不同的安排種數為（）

A.216B.432C.864D.1080

6.2023年的五一勞動節(jié)是疫情后的第一個小長假，公司籌備優(yōu)秀員工假期免費旅游.

除常見的五個旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，淄博燒烤火爆全國，則

甲、乙、丙、丁四個部門至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數共有（）

A.1800B.1080C.720D.360

7.2024年3月22日國家文物局在北京公布2023年《全國十大考古新發(fā)現》，安徽省

皖南地區(qū)郎溪縣磨盤山遺址成功入選并排名第三，經初步確認，該遺址現存馬家浜文化區(qū)

、松澤文化區(qū)、良渚文化區(qū)、錢山漾文化區(qū)四大區(qū)域，總面積約6萬平方米.該遺址延續(xù)時

間長、譜系完整,是長江下游地區(qū)少有的連續(xù)時間近4000年的中心性聚落.對認識多元化

一體中華文明在皖南地區(qū)的演進方式具有重要的價值，南京大學歷史學院趙東升教授團

隊現在對該遺址四大區(qū)域進行考古發(fā)掘,現安排包含甲、乙在內的6名研究生同學到這4

個區(qū)域做考古志愿者，每人去1個區(qū)域，每個區(qū)域至少安排1個人，則甲、乙兩人安排在相

同區(qū)域的方法種數為（）

A.96B.144C.240D.360

8.甲、乙、丙、丁共4名同學參加某知識競賽，已決出了第1名到第4名（沒有并列名

次），甲、乙、丙三人向老師詢問成績，老師對甲和乙說：“你倆名次相鄰”，對丙說：“很

遺憾,你沒有得到第1名”，從這個回答分析,4人的名次排列情況種數為（）

A.4B.6C.8D.12

二、多項選擇題

9.某城市地鐵公司為鼓勵人們綠色出行，決定按照乘客的乘坐站數實施分段優(yōu)惠政

策，不超過9站的地鐵票價如表：

乘坐站數X0<x<33<%<66<x<9

票價阮234

現有甲、乙兩位乘客同時從首站乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過9站，

且他們各自在每個站下地鐵的可能性相同，則下列結論中正確的是（）

A.若甲和乙兩人共花費5元，則甲和乙下地鐵的方案共有9種

B.若甲和乙兩人共花費5元，則甲和乙下地鐵的方案共有18種

C.若甲和乙兩人共花費6元，則甲和乙下地鐵的方案共有9種

D.若甲和乙兩人共花費6元，則甲和乙下地鐵的方案共有27種

10.將4個不同的小球放入3個分別標有1,2,3的盒子中，不允許有空盒子的放法

有多少種？下列結論正確的有（）

A.C；C；C；C；B.CjA；C.C；C；A；D.18

11.有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，不同的排列方法數正確的是（）

A.排成前后兩排，前排3人，后排4人，共有A；xA：種方法

B.全體排成一排，男生互不相鄰，共有A；xA：種方法

C.全體排成一排，女生必須站在一起，共有A：xA：種方法

D.全體排成一排，其中甲不站在最左邊，也不站在最右邊，共有A；xA；種方法

12.數學中蘊含著無窮無盡的美，尤以對稱美最為直觀和顯著.回文數是對稱美的一種體

現，它是從左到右與從右到左讀都一樣的正整數，如22,121,3443,94249等,顯然兩位回文

數有9個:11,22,33,…,99;三位回文數有90個：101,111,121,...,191,202,...,999.下列說法

正確的是（）

A.四位回文數有45個B.四位回文數有90個

C.2"（〃eN*）位回文數有10"個D.2〃+l（〃eN*）位回文數有9x10"個

三、填空題

13.某迷宮隧道貓爬架如圖所示,5,C為一個長方體的兩個頂點,A石是邊長為3米的大

正方形的兩個頂點,且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小貓從A點沿著圖中的

線段爬到3點，再從5點沿著長方體的棱爬到C點，則小貓從A點爬到C點可以選擇的

最短路徑共有條.

14.《九章算術》、《數書九章》、《周髀算經》是中國古代數學著作，甲、乙、丙三

名同學計劃每人從中選擇一種來閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有

.種.

15.如圖是一個3x3的九宮格，小方格內的坐標表示向量，現不改變這些向量坐標，重新

調整位置，使得每行、每列各三個向量的和為零向量,則不同的填法種數為

(o，i)

（T。）（。，。）（1，。）

3

(-I)(0,-1)

16.某比賽有8支隊伍參賽，分別為中國賽區(qū)1,2,3,4號隊伍，韓國賽區(qū)1,2,3

號隊伍，歐洲賽區(qū)1號隊伍.現淘汰賽需要抽簽，分四組兩兩對決，要求來自同一賽區(qū)

的隊伍不進行對戰(zhàn)且同一編號隊伍不進行對戰(zhàn).則會出現種不同的對局情況.

四,解答題

17.為慶祝3.8婦女節(jié)，某中學準備舉行教職工排球比賽，賽制要求每個年級派出十名老

師分為兩支隊伍，每支隊伍五人,并要求每支隊伍至少有兩名女老師，現高二年級共有4

名男老師,6名女老師報名參加比賽.

（1）高二年級一共有多少不同的分組方案？

（2）若甲，乙兩位男老師和丙，丁，戊三位女老師組成的隊伍順利奪得冠軍，在領獎合影時

從左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相鄰的位置，則一共有多少種排列方

式？

18.某次數學競賽初賽結束后，為了解競賽成績情況，從所有參加競賽的學生中隨機

抽取100名學生，得到他們的成績，將數據整理后分成五組：[50,60）,[60,70）,

[70,80）,[80,90）,[90,100],并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）補全頻率分布直方圖，若只有30%的人能進入決賽，則入圍分數應設為多少分

（保留兩位小數）？

（2）采用分層抽樣的方法從成績?yōu)閇80,100]的學生中抽取容量為6的樣本，再從該樣

本中隨機抽取2名學生進行問卷調查，求至少有1名學生成績不低于90的概率.

（3）進入決賽的同學需要再經過考試才能參加冬令營活動.考試分為兩輪，第一輪為

筆試，需要考2門學科，每科筆試成績從高到低依次有A+,A,B,C,。五個等級，

若兩科筆試成績均為A+,則不需要第二輪面試直接參加冬令營活動；若一科筆試成績

為A+,另一科筆試成績不低于3,則要參加第二輪面試，面試通過也可參加冬令營活

動，其他情況均不能參加活動.現有甲、乙二人報名參加考試.甲在每科筆試中取得

A+,A,B,C,。的概率分別為47,-1L,1-L,13上；乙在每科筆試中取得A+,

5612520

A,B,C,。的概率分別為工，工，工，,，上；甲、乙在面試中通過的概率分別為

4551020

上.已知甲、乙二人在筆試、面試的成績均互不影響，求甲、乙能同時參加冬令營

516

活動的概率.

19.在某設計活動中，李明要用紅色和藍色填涂四個格子（如圖所示），要求每種顏

色都用兩次，李明共有多少種不同的填涂方法？

20.已知6件不同的產品中有2件次品，4件正品，現對這6件產品一一進行測試，直

至確定出所有次品則測試終止.（以下請用數字表示結果）

（1）若恰在第2次測試時，找到第一件次品，且第4次測試時，才找到最后一件次

品，則共有多少種不同的測試情況？

（2）若至多測試4次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試情況？

參考答案

1.答案：B

解析：根據分步乘法計數原理，不同的選法共有3義5=15種.

故選：B

2.答案：B

解析：由題意可知，先將學生的節(jié)目全排列有A：=120種排法，

然后對教師節(jié)目進行插空有Aj=12種排法，

所以滿足題意的排法種數為120x12=1440種.

故選：B.

3.答案：C

解析：依題意,5名獲獎者按1：1：3去到三個不同會場，有C；A；種方法，

5名獲獎者按1：2:2去到三個不同會場，有等.A；種方法，

A?

r2r2

所以不同的派出方法有A；=60+90=150（種）.

故選:c

4.答案：C

解析：試題解題思路：由于a,Z?,CG{1,2,3,4},且仇。互不相同,故可得4x3x2=24個三

位數.若力=1,則“凹數'有:213,214,312,314,412,413共6個;若=2,則“凹數”有：

324,423共2個.所以這個三位數為“凹數”的概率為有p=§=L

243

5.答案：B

解析：求不同的安排種數需要分成3步，把3名心理教師分配到三所學校，有A；種方法,

再把4名語文教師按2:1:1分成3組，并分配到三所學校，有C；A；種方法，

最后把2名數學教師分配到只有1名語文教師的兩所學校，有A；種方法，

由分步乘法計數原理得不同的安排種數為A；.C；A；.A；=432.

故選：B.

6.答案：B

解析：①恰有2個部門所選的旅游地相同，

第一步，先將選相同的2個部門取出，有C；=6種；

第二步，從6個旅游地中選出3個排序，有A：=120種，

根據分步計數原理可得，方法有6x120=720種；

②4個部門所選的旅游地都不相同的方法有A：=360種，

根據分類加法計數原理得，

則甲、乙、丙、丁四個部門至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數共有

720+360=1080種.

故選：B.

7.答案：C

解析：先將6名同學分成4組:一種方式是甲、乙組成一組,再從另外4人任選2人組成

一組，其余的一人一組;另一種方式是甲、乙與另外4人中的1人組成一組,其余的一人一

組.再把4組人分到4個區(qū)域，所以安排方法種數為（C+C；）A：=240.故選C.

8.答案：C

解析：解析：由題意可得丙不是第1名，甲，乙相鄰；

所以丙是第2名時，甲，乙只能是第3,4名,丁為第1名,此時共2種情況；

丙是第3名時，甲，乙只能是第1,2名,丁為第4名,此時共2種情況；

丙是第4名時，甲,乙有可能是第1,2名，或第2,3名，

當甲,乙是第1,2名時,丁為第3名,此時共2種情況；

當甲,乙是第2,3名時,丁為第1名,此時共2種情況；

所以一共有2+2+2+2=8種情況.

故選：C.

9.答案：BD

解析：因為甲、乙兩人乘坐地鐵，共花費5元，

則其中一人的乘坐站數不超過3,另一人的乘坐站數超過3不超過6,

設首站之后的前6站分別為A,Bj,G，4，B2,C2,

若甲乘坐地鐵不超過3站，則兩人下地鐵的所有方案為（A,4）,（4，與），（&。2），

（耳4）,（耳與），（4G），?4），（。，耳），?G）共8種,

同理，若乙乘坐地鐵不超過3站，也有8種方案，

因此甲和乙兩人共花費5元時共有18種下地鐵的方案，故A錯誤，B正確；

設首站之后的前9站分別為A,耳，G，4，B?,C2,&，鳥，C3,

若甲、乙兩人共付費6元，則共有三類方案，甲付2元，乙付4元；甲付3元，乙付3

元；甲付4元，乙付2元；

由選項AB的分析可知每類情況有9種方案，

所以甲、乙兩人共付費6元時共有27種下地鐵的方案，故C錯誤，D正確.

故選：BD.

10.答案：BC

解析：根據題意，4個不同的小球放入3個分別標有1,2,3的盒子中，且沒有空盒，

則3個盒子中有1個中放2個球，剩下的2個盒子中各放1個球，有2種解法：（1）

分兩步進行分析：①先將4個不同的小球分成3組，有C；種分組方法；②將分好的3

組全排列，對應放到3個盒子中，有A；種放法，故沒有空盒的放法有C；A；種.（2）分

兩步進行分析：①在4個小球中任選2個，在3個盒子中任選1個，將選出的2個小

球放入選出的小盒中，有C；C；種方法；②將剩下的2個小球全排列，放入剩下的2個

小盒中，有A；種放法，故沒有空盒的放法有C；C；A；種.選BC.

11.答案：ACD

解析：對于A：先選出前排3人，有A：種排法，剩余4人隨機排序有A：種排法，故

有種方法，A正確.

對于B：利用插空法，4名女生隨機排序有A：種排法，旁邊有5個空位，把男生排進

去有A；種排法，故有A：xA；種方法，B錯誤.

對于C：把4名女生放在一起有A：種排法，再和3名男生排序有A：種排法，故有

A：xA：種方法，C正確.

對于D：從其他6人抽出兩人排在兩側有A：種排法，再把剩余5人隨機排序有A；種

排法，故有A：xA：種方法，D正確.故選：ACD.

12.答案：BD

解析：據題意，對于四位回文數，有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、

2222、...、2992、...9009、9119、9229、...、9999,共90個，則A錯誤,B正確；

對于2〃位回文數，首位和個位數字有9種選法，第二位和倒數第二位數字有10種選

法,……，第n和第〃+1位也有10種,則共有9xl0xl0x......x10=9x101種選法，故C

錯；

對于2〃+1位回文數，首位和個位數字有9種選法，第二位和倒數第二位數字有10種選

法,……，第〃+1個數字，即最中間的數字有10種選法，

則共有9xl0xl0x......xl0=9xl0幾種選法，即2"+1(“wN*)位回文數有9x10〃個，所以D

正確.

故選：BD.

13.答案：120

解析：小貓要從A點爬到C點，需要先從A點爬到3點,需要走3橫3豎,則可選的路徑

共有C=20條，再從3點爬到C點的路徑共6條，用分步乘法計數原理可得小貓可以選

擇的最短路徑有20x6=120條.

14.答案:24

解析：若三人選書沒有要求，則有33=27種，

若三人選擇的書完全相同，則有3種，

所以三人選擇的書不全相同，不同的選法有27-3=24種.

故答案為：24.

15.答案：72

解析：

123

456

789

首先對3x3的九宮格每個位置標注數字，

第一步先排(0,0%一共9個位置，因此有C；種排法，

根據對稱性知,(0,0)所在的行和列只能排(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1),

不妨設(0,0)在1位置，

第二步排2位置，則從1,-1),。,-選一個，因此有C；種排法,

則3位置的數也定下來了，

第三步排4位置，則從1,-1）,。,-剩余的兩個中挑一個，因此有C；種排

法，

接著排7位置,7位置是（1,1）,1,-1），（1,-1），（-M）中剩余的最后一個，

相當于（0,0）所在的行和列都定下來了，

則使得每行、每列各三個向量的和為零向量，其他四個位置的向量排法是唯一的，

因此按分步乘法計數原理知,C；xC；xC；=72（種）

因此共有72種排法，

故答案為：72.

16.答案：8

解析：記中國賽區(qū)1,2,3,4號隊伍分別為A,B,C,D,韓國賽區(qū)1,2,3號隊伍

分別為a,b,c,歐洲賽區(qū)1號隊伍為機，

根據題意，A只能對戰(zhàn)0,c中的一支隊伍，

當A對戰(zhàn)Z?時，3可以對戰(zhàn)a,c,中的一支隊伍，

若3對戰(zhàn)a,則C只能對戰(zhàn)機，故。只能對戰(zhàn)c,只有1種情況；

若3對戰(zhàn)c,則C可以對戰(zhàn)a,加中一支隊伍，。對戰(zhàn)剩下的隊伍，一共有2種情況；

若3對戰(zhàn)機，則C只能對戰(zhàn)a,故。只能對戰(zhàn)c,只有1種情況；

當A對戰(zhàn)c時，3只能對戰(zhàn)a,機中的一支隊伍，

若3對戰(zhàn)a,則C可以對戰(zhàn)小機中一支隊伍，。對戰(zhàn)剩下的隊伍，一共有2種情況；

若3對戰(zhàn)機，則C可以對戰(zhàn)a,6中一支隊伍，。對戰(zhàn)剩下的隊伍，一共有2種情況；

綜上：對局情況一共有1+2+1+2+2=8種.

故答案為：8.

17.答案：（1）120種

（2）36種

c3C2

解析：（1）兩組都是3女2男的情況有=60（種）：

一組是1男4女，另一組是3男2女的情況有CjC：=60（種），

所以總情況數為60+60=120（種），故一共有120種不同的分組方案；

（2）丙站在左1位洪有C；xA；xA；=12（種）不同的排列方式；

丙站在左2位，共有C；xA；xA；=8（種）不同的排列方式;

丙站在左3位，共有C；xA；xA；=8（種）不同的排列方式;

丙站在左4位共有C；xA；xA；=8（種）不同的排列方式.

綜上所述，共有36種排列方式.

18.答案：（1）圖見解析，入圍分數應設為76.25分

3

⑵-

5

⑶1

解析：（1）由頻率分布直方圖可知，成績在［70,80）的頻率為

1-(0.015+0.030+0.010+0.005)xl0=0.40,

所以［70,80)組的縱軸為0.40+10=0.040,所以補全頻率分布直方圖如圖所示.

頻率

組距

0.040

0.030

0.015

0.010

0.005

0福/分

又(0.010+0,005)X10=0.15<0,3,

(0.040+0.010+0.005)xl0=0,55>0.3,

所以7。％分位數位于［7。,8。）內，為"能21°+7°=7625,

所以入圍分數應設為76.25分.

（2）依題意從［80,90）內抽取6x—也一=4人，標記為1,2,3,4；

0.01+0.005

0.005

從［90,100］內抽取6x=2人,標記為a,b.

0.01+0.005

從6人中隨機選2人，其樣本空間為

。={(L2),(1,3),(1,4),(1,。),=母(2,3),(2,4),(2,公(2,垃(3,4),(3,。),(3,垃(4,垃(4,垃3加)

共包含15個樣本點，即有