半角模型

1.核心知識(shí)

1、半角在內(nèi):正方形ABCD,點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊BC上./EOF=45°

BFCG^'B-------------------CG^~~BFC

【輔助線】延長BC至點(diǎn)G，使BG=DE,連接AG.

【結(jié)論】

①旋轉(zhuǎn)全等:△ABG^AADE,理由SAS.

②對(duì)稱全等:△FAG^AFAE，理由SAS.

③EF=BF+DE,進(jìn)而推出4CEF的周長等于正方形周長的一半.

④AF平分/BFE,AE平分/DEF.

2、半角在外:正方形ABCD,NEOF=45。，，與DC的延長線交于點(diǎn)E,與CB的延長線交于點(diǎn)F.

【輔助線】在CD截取DG=BF,連接AG.

【結(jié)論】

①旋轉(zhuǎn)全等：△ABF=A40G,,理由SAS.

②對(duì)稱全等：△EAG三XE4F,理由SAS.

③EF=DE-BF.

?AE平分/DEF.

真題精煉

1如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長線上一點(diǎn)，連接AE,AF,AM平

分NEAF交CD于點(diǎn)M若BE=DF=1,則DM的長度為（）

F

H

BEC

A.2B.V5C.V6D.y

2正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC,CD上運(yùn)動(dòng)(不與正方形頂點(diǎn)重合).作射線AE,將射線AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)45。,交射線CD于點(diǎn)F.

⑴如圖.點(diǎn)E在邊BC上,BE=DF,則圖中與線段AE相等的線段是

(2)過點(diǎn)E作EGLAF,垂足為G,連接DG,求NGDC的度數(shù).

3在復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決以下問題：【問題情境】如圖1,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,

點(diǎn)D、E在邊BC上，且NDAE=45o,BD=3,CE=4,求DE的長.解:如圖2,將^ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ACD',

連結(jié)ED.

由旋轉(zhuǎn)的特征得/BAD=/CAD,/B=/ACD,AD=AD',BD=CD'.VZBAC=90°,ZDAE=45°,.*.ZBAD+ZEA

C=45°.ZBAD=ZCAD',/.NCAD'+NEAC=45°,即/EAD'=45°.；.ZDAE=ZD'AE.^ADAE和A中，AD=

XD,,ZDAE=ZD'AE,AE=AE,.\①.；廄=口舊.又：

ZECD'=ZECA+ZACD'=ZECA+ZB=90°,Z.ffiRtAECD中，②.

VCD'=BD=3,CE=4,

DE=D'E=一③

【問題解決】上述問題情境中，“①”處應(yīng)填：;“②"處應(yīng)填：;“③"處應(yīng)填：.

劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應(yīng)萬

變.

【知識(shí)遷移】如圖3,在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，滿足△CEF的周長等于正方形AB

CD的周長的一半，連結(jié)AE、AF,分別與對(duì)角線BD交于M、N兩點(diǎn)才采究BM、MN、DN的數(shù)量關(guān)系并證明.

【拓展應(yīng)用】如圖4,在矩形ABCD中點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，目/EAF=/CEF=45。探究BE、EF、DF

的數(shù)量關(guān)系：

【問題再探】如圖5,在4ABC中,NABC=9(T,AB=4,BC=3,點(diǎn)D、E在邊AC上，且NDBE=45。.設(shè)AD=x,CE=y,

求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

4⑴操作一：如圖①，已知正方形紙片ABCD,將正方形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在正方形ABCD

的內(nèi)部，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M,折痕為AE,再將紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使AD與AM重合，折痕為AF,則

Z.EAF=一度.

⑵操作二：如圖②，將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N.我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)E的位置不同時(shí)，

點(diǎn)N的位置也不同.當(dāng)點(diǎn)E在BC邊的某一位置時(shí)，點(diǎn)N恰好落在折痕AE上，則^AEF=一度.

⑶在圖②中，運(yùn)用以上操作所得結(jié)論，解答下列問題：

①設(shè)AM與NF的交點(diǎn)為點(diǎn)P.求證：△ANP=△FNE-

②若AB=百,則線段AP的長為.

5數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式.

折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、AD都落在對(duì)角線AC上,展開得折痕AE、AF,連接EF,如

圖1.

(1)NE4F=,,寫出圖中兩個(gè)等腰三角形：_(不需要添加字母)；

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的NE4F繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點(diǎn)P、Q,連接PQ,如圖2.

(2)線段BP、PQ、DQ之間的數(shù)量關(guān)系為.

(3)連接正方形對(duì)角線BD若圖2中的.“4Q的邊AP、AQ分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)M、點(diǎn)N，如圖3,則名=_.

剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線BD剪開，如圖4.

圖4

(4)求證:BM2+DN2=MN2.

6如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段0D上，連接AP并延長交CD于點(diǎn)E,

過點(diǎn)P作PF14P交BC于點(diǎn)F，連接AF、EF.AF交BD于G,現(xiàn)有以下結(jié)論:①AP=PF;②DE+BF=EF;③PB—P

D=&BF;④SAAEF為定值;⑤S四邊形PEFG=SAAPG,以上結(jié)論正確的有（填入正確的序號(hào)即可）.

7如圖正方形ABCD中AD=4,且LEAF=45。,EC=1,將△2DE繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。后與4ABG

重合漣接EF過點(diǎn)B作交AF于點(diǎn)M，則以下結(jié)論DE+BF=EF,②BF=土③4F=,④S^BF=

瑞中正確的是（）

AD

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

8如圖，正方形ABCD的邊長為a,點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A,B重合）,.^DAM=45。,點(diǎn)F在射線AM

上，目力尸=&BE,CF與AD相交于點(diǎn)G，連接EC、EF、EG,則下列結(jié)論：

①/ECF=45。；

②4AEG的周長為（1+y）a;

@BE2+DG2=EG2-,

④AEAF的面積的最大值是ia2;

o

⑤當(dāng)BE=之a(chǎn)時(shí)，G是線段AD的中點(diǎn).其中正確的結(jié)論是（）

M

F

E

B

B.②④⑤C.①③④D.①④⑤

9如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)0(0,0),A(0,4),B(3,0)為頂點(diǎn)的R3AOB,其兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)的外角的

平分線相交于點(diǎn)P,且點(diǎn)P恰好在反比例函數(shù)y=:的圖象上，則k的值為()

A.36B.48C.49D.64

10如圖，在正方形ABCD中，AB=6,G是BC的中點(diǎn)，將△ABG沿AG對(duì)折至△AFG,延長GF交DC于點(diǎn)E,則D

E的長是().

A.1B.1.5C.2D.2.5

11矢巨形ABCD中,AB=2,BC=4,若AE=4/EAF=45。,貝?。軦F的長為.

12如圖1,已知四邊形ABCD是正方形，將△DAEADCF分別沿DE,DF向內(nèi)折疊得到圖2,此時(shí)DA與D

C重合（A、C都落在G點(diǎn)），若GF=4,EG=6,,則DG的長為.

13如圖，已知正方形ABCD的邊長為a,E為CD邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）,將△4DE沿AE對(duì)折至△AFE,

延長EF交邊BC于點(diǎn)G,連接AG,CF.給出下列判斷:

?^EAG=45。;②若DE=",貝!]AG//CF;

③若E為CD的中點(diǎn)，則4GFC的面積為總a?；④若CF=FG，則.DF=（V2-l）a;

⑤BG-DE+AF-GE=a2.其中正確的是

14如圖正方形中，△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△49廠,2夕,4L交對(duì)角線于點(diǎn)E,F,若AE=4AE=4,則EF-E

D為_______

15如圖①，E、F是等腰RtAABC的斜邊BC上的兩動(dòng)點(diǎn)，ZZ.EAF=45°,CD1B（CHCD=BE.

(1)求證:△ABE^AACD.

(2)求證：EF2=BE2+CF2.

⑶如圖②，作AHLBC,垂足為H.設(shè)乙EAH=a/FAH=8不妨設(shè)AB=VX請(qǐng)利用(2)的結(jié)論證明:當(dāng)a+p

tana+tanj?

=45°時(shí)，tan(a+0)=成立.

1-tanatan/?

16在矩形ABCD的CD邊上取一點(diǎn)E,將小BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處.

圖2

⑵如圖2,當(dāng)AB=5,且AF-FD=10時(shí).求BC的長

⑶如圖3,延長EF,與NABF的角平分線交于點(diǎn)MBM交AD于點(diǎn)N，當(dāng)NF=AN+尸。時(shí)，求”的值.

17如圖1,在正方形ABCD內(nèi)作AEAF=45°?AE交BC于點(diǎn)E,AF交CD于點(diǎn)F,連接EF,過點(diǎn)A作AH

，EF,垂足為H.

D

⑴如圖2,將^ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△AB△ABG.

①求證:△AGE^AAFE.

②若BE=2,DF=3,求AH的長.

⑵如圖3,連接BD交AE于點(diǎn)M,交AF于點(diǎn)N.請(qǐng)?zhí)骄坎⒉孪?線段BM,MN,ND之間有什么數(shù)量關(guān)系?并

說明理由.

18如圖，正方形ABCD的邊長為6,若CE=3逐，且NECF=45。,貝CF的長為()

B.3V5

19如圖，在正方形ABCD內(nèi)作/EAF=45°,連接EF,過點(diǎn)A作AHLEF,垂足為H,將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。得到△ABG若BE=2,DF=3廁AH的長為

20在等邊△4BC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N,D為&ABC外一點(diǎn)，且乙MDN=60。，LBDC

=1200,BD=CD.探究：當(dāng)點(diǎn)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的

周長Q與等邊△ABC的周長L的關(guān)系.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、CN、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)三=_

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DMgDN時(shí)，猜想(1)問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎?寫出你的猜想并加以

證明.

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時(shí)，若AN=x,!MQ=

21如圖△ABC中，NACB=90。,AC=BC=1,,E、F為線段AB上兩動(dòng)點(diǎn)，目.乙ECF=45。，過點(diǎn)E、F分別

作BC、AC的垂線相交于點(diǎn)M.以下結(jié)論：①A8=②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，MH=|;@AF+BE=EF;④MG-M

H=京，其中正確結(jié)論為()

A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④

22如圖，在△ABC中，AB=AC,/BAC=120。點(diǎn)D、E在邊BC上，且Z.DAE=60。,將4ADE沿AE翻折，點(diǎn)D

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是D；連接CD,若BD=4,CE=5,,則DE的長為().

23如圖，點(diǎn)E,F分別為正方形ABCD的邊上一點(diǎn).AC,BD父于點(diǎn)O.且/EAF=45o,AE,AF分別父對(duì)角線BD

于點(diǎn)M,N,則有以下結(jié)論:①/AEB=ZAEF=ZANM;?EF=BE+DF;③△AOM^AADF;@SAAEF=2SAA

MN.正確的是

24正方形ABCD中，且/EAF=45。.下列結(jié)論:①AB2=BN-DM;②AF平分/DFE;③AM-AE=AN-AF;④BE+DF=V2

MN.其中正確的結(jié)論是().

C.①②③D.①②③④

25正方形ABCD中，E是BC邊上的一點(diǎn)，BE=4,EC=8,將正方形邊AB沿AE折疊到AF延長EF交DC于G,

連接AC,如下結(jié)論:①NEAG=45。;②FG=FC;③FC//AG;④SAGFC=14.正確結(jié)論個(gè)數(shù)是()

A.lB.2C.3D.4

26如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD，/B+/ADC=180。,點(diǎn)E、F分別在四邊形ABCD的邊BC、CD上，^EAF

=|ABAD,連接EF,試猜想EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系.

將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ADG,使AB與AD重合，由NB+乙4DC=180。彳導(dǎo)/FDG=180。，即點(diǎn)F、D、

G三點(diǎn)共線，易證AAFG0,故EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系為.

(2)類比引申

如圖2,在圖1的條件下，若點(diǎn)E、F由原來的位置分別變到四邊形ABCD的邊CB、DC延長線上，^EAF=1

NBA。,連接EF，試猜想EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.

(3)聯(lián)想拓展

如圖3,在△ABC中,/BAC=9(F,AB=AC,點(diǎn)D,E均在邊BC上，且NDAE=45。,若BD=1,EC=2,貝！jDE的長為

27旋轉(zhuǎn)變換是解決數(shù)學(xué)問題中一種重要的思想方法，通過旋轉(zhuǎn)變換可以將分散的條件集中到一起，從而方便解

決問題.

已知，AABC中，AB=a，點(diǎn)D、E在邊BC上，且ND2E=1a.

(1)如圖a,當(dāng)a=60。時(shí)，將△4EC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到AAFB的位置,連接DF.60°AAFB

②求證：AADE=AADF.

(2)如圖b,當(dāng)a=90。時(shí),猜想BD、DE、CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖b

(3)如圖c,當(dāng)a=120。,8。=4,=5時(shí)，請(qǐng)直接寫出DE的長為一.

1如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長線上一點(diǎn)，連接AE,AP,AM平

分NEAF交CD于點(diǎn)M，若BE=DF=1,則DM的長度為()

A.2B.V5C.y/6

2.【答案】(1)AF

(2)過G點(diǎn)作GM±AD交于M,延長MG交BC于N點(diǎn),

..NAMG=NDMG=NGNE=90°,

._________p

.四邊形CDMN是矩形，

,zAGM+zMAG=90°,

E&EC

:EG±AF,zEAF=45°,

.-.zAGM+zEGN=90°

?.zAGE=90o,zEAF=45°

."AEG是等腰直角三角形，

.-.AG=EG,

../EG席加AG,

."AMG%GNE(AAS),

.-.AM=GN,

?.AM+MD=GN+MG,

.-.MD=MG,

."MDG為等腰直角三角形，

..NMDG=45°,

..NGDC=45°;

當(dāng)點(diǎn)E在CD邊上時(shí)，如圖，

過點(diǎn)G作GN±DF交于N,延長NG交BA延長線于點(diǎn)M〃?.四邊形ADNM是矩形,

同理,AAMG2AGNE(AAS).

，GN=AM=DN,

."NDG為等腰直角三角形，

.-.zGDN=450,

.?.zGDC=180°-45o=135°,

綜上所述:NGDC的度數(shù)為45°或135°.

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】正方形與全等綜合

3【問題情境】

如圖L在SBC中/BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E在邊BC上，且NDAE=45°,BD=3,CE=4,求DE的長.

解如圖2,將＜BD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到3CD，，連結(jié)ED'.

由旋轉(zhuǎn)的特征得NBAD=NCAD'/B=NACD',AD=AD',BD=CD'.

?.zBAC=90°,zDAE=45°,

zBAD+zEAC=45°.

..NBAD=NCAD',

..NCAD'+NEAC=45°,即NEAD'=45°.

..NDAE=ND'AE.

在中，

AD=AD'/DAE=ND'AE,AE=AE,

.①.

DE=D'E.

又?.NECD'=NECA+NACD'=NECA+NB=90。，

..在RhECD'中，②.

?.CD'=BD=3,CE=4,

..DE=D'E=③.

【問題解決】

上述問題情境中，"①"處應(yīng)填；"②"處應(yīng)填；"③"處應(yīng)填:.

劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變

應(yīng)萬變.

【知識(shí)遷移】

如圖3,在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，滿足4EF的周長等于正方形ABCD的周長的一半，

連結(jié)AE、AF,分別與對(duì)角線BD交于M、N兩點(diǎn).探究BM、MN、DN的數(shù)量關(guān)系并證明.

IS3

如圖4,在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且NEAF=NCEF=45。探究BE、EF、DF的數(shù)量關(guān)系：

.(直接寫出結(jié)論，不必證明).

用4

【問題再探】

如圖5,在SBC中/ABC=90°,AB=4,BC=3,點(diǎn)D、E在邊AC上，且NDBE=45°.設(shè)AD=x,CE=y，求y與x的函數(shù)

關(guān)系式.

ms

【答案】【問題解決】①SDE斗AD'E；②EC2+CD2=ED2;③5;【知識(shí)遷移】DN2+BM2="陀見解析；【拓

2

展應(yīng)用】2BE+2DF2=EF2；【問題再探】y=

bX-Zo

【解析】

【分析】

(1)【問題解決】根據(jù)題中思路解答即可；

(2)【知識(shí)遷移】如圖，將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90、得到AADF過點(diǎn)D作DH，BD交邊AF'于點(diǎn)H,連結(jié)NH,

由旋轉(zhuǎn)的特征得AE=AF',BE=DF'/BAE=NDAF'.結(jié)合題意得EF=DF+BE=DF+。尸'=F'F.證明^AE匡AF'F,得

出NEAF=NF'AF根據(jù)正方形性質(zhì)得出NABD=NADB=45°結(jié)合DH_LBD得出NADH=NHDB-NADB=45°.證明AAB

M學(xué)ADH,得出AM=AH;BM=DH.證明AAMNZAAHM得出MN=HN.在RfHND中，根據(jù)勾股定理即可求解；

(3)【拓展應(yīng)用】如圖所示，延長EF交AB延長線于M點(diǎn)，交AD延長線于N點(diǎn)，將^ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)901得至hAGH,連接HM,HE.則AAD匡AAGH.貝!]DF=GH,AG=AD,AF=AH/DAF=NHAG,根據(jù)NEAF=45°,證

明AAEH當(dāng)AE巳得出EF=HE,過點(diǎn)H作HO±CB交CB于點(diǎn)。過點(diǎn)H作HG±BM交BM于點(diǎn)M廁四邊形OHGB

為矩形彳導(dǎo)出OH=BG,OB=HG,證明ABME,ADNF,ACEF,AAMN是等腰直角三角形,得出GM=DN=DF=HG,NHME=

90°,在RbOHE中，根據(jù)勾股定理即可證明；

(4)【問題再探】如圖，將ABEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90\得至UBEC,連結(jié)E'D.過點(diǎn)E作EGJ_BC,垂足為點(diǎn)G,過點(diǎn)

E作EG」BC,垂足為G',過點(diǎn)E作E'FIIBA,過點(diǎn)D作DFllBC交AB于點(diǎn)H,E'FXDF交于點(diǎn)F.由旋轉(zhuǎn)的特征得

BE=BE',NCBE=NC'BE',EG=E'G',BG=BG'.根據(jù)NABC=90°,NDBE=45:得出NDBE'=45°,證明AEBD2AE'BD彳導(dǎo)

出DE=DE',根據(jù)勾股定理算出AC,根據(jù)AD=z,CE=y,表示出DE'=5-x-y,證明AAHD-AABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

表示出AH=|x,HD=|x,HB=4—，同理可得EG—^y,GC=|y.

EG'=ly,BG'=3-|y,證明四邊形FE'G'H為矩形彳導(dǎo)出

NF=90°,FH=1DF=|x+["￡1'=1-善+|y,在RtAE'FD中，根據(jù)勾股定理即可求解；

【詳解】

解：(1)【問題解決】解如圖2,將AABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AACD',連結(jié)ED'

由旋轉(zhuǎn)的特征得NBAD=NCAD，,NB=NACD',AD=AD',BD=CD'.

?.zBAC=90°,zDAE=45°,

.-.zBAD+zEAC=45°

?.zBAD=zCAD',

"CAD'+NEAC=45°,即NEAD'=45°.

..NDAE=ND'AE.

在ADAE和AD'AE中,AD=AD'/DAE=ND'AE,AE=AE,

.?.①AADE當(dāng)AD'E.

.■.DE=D'E.

又.?NECD,=NECA+NACD,=NECA+NB=90。，

..在RbECD'中,((2)EC2+CDn=EDn.

■.OD'=BD=3,CE=4,

???DE=D,E=V32+42=53.

(2)【知識(shí)遷移】DN2+BM2=MN2-quadquad

證明如圖，將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90：得至hADF.

過點(diǎn)D作DH，BD交邊AF于點(diǎn)H,連結(jié)NH.

由旋轉(zhuǎn)的特征得AE=AF',BE=DF'/BAE=NDAF'.

由題意得EF+EC+FC=DC+BC=DF+FC+EC+BE,

，EF=DF+BE=DF+DF'=F'F.

在AAEF和AAF'F中,AE=AF',EF=F'F,AF=AF,

.”AE匡AF'F(SSS).quadquad

..NEAF=NF'AF.

又「BD為正方形ABCD的對(duì)角線，

..NABD=NADB=45°.

-.DH±BD,

.-.zADH=zHDB=zADB=45°

在SBM和AADH中,NBAM=NDAH,AB=AD/ABM=NADH,

.-.AABM^AADH(ASA),

，AM=AH,BM=DH.

在AAMN和SHN中，AM=AH/MAN=NHAN,AN=AN,

.“AMN學(xué)AHN(SAS).

.-.MN=HN.

在RbHND中，DN2+DH2=HN2,

DN2+BM2=MN2.

(3)【拓展應(yīng)用】2BE2+2DF2=EF2.

證明：如圖所示，延長EF交AB延長線于M點(diǎn)，交AD延長線于N點(diǎn)

將MDF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90*得到MGH,連接HM,HE.

則AADF當(dāng)AGH.

貝UDF=GH,AG=AD,AF=AH/DAF=NHAG,

?.zEAF=45°,

.-.zHAE=zHAG+zGAE=zDAF+zGAE=45o,

在SEH和3FE中

AH=AF

{ZHAE=ZFAE=45°,

AE=AE

.qAEH*AEF(SAS),

.".EF=HE,

過點(diǎn)H作HO±CB交CB于點(diǎn)O,過點(diǎn)H作HGJ_BM交BM于點(diǎn)M,則四邊形OHGB為矩形.

.-.OH=BG,OB=HG,

?.zCEF=45°,

..NCEF=NCFE=NDFN=NDNF=NBME=NBEM=45°,

."BME,ADNF,ACEF,AAMN是等腰直角三角形，

，CE=CF,BE=BM,DN=DF,AN=AM,

.-.AM-AG=AN-AD,

.-.GM=DN=DF=HG,

..NHMG=45°,

NHME=45°+45°=90°,

在RSOHE中，OE2+OH2=HE2,(OB+BE)2+BG2=EH2,

(GW+BE?+BG2=EH2,

即(GH+BE)2+(BM-GM)2=EH2,

又二EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,

(GH+BE)2+(BE-GH?=EF2,

即2(OF2+BE2)=EF2,

(4)【問題再探】如圖，將ABEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ABEC,連結(jié)ED過點(diǎn)E作EG^BC,垂足為點(diǎn)G,過點(diǎn)

E作EG」BC,垂足為G'過點(diǎn)E作E'FllBA,過點(diǎn)D作DFlIBC交AB于點(diǎn)H,E'F、DF交于點(diǎn)F

由旋轉(zhuǎn)的特征得BE=BE'/CBE=NC'BE，,EG=E'G',BG=BG'.

?.zABC=90°,zDBE=45°

.?.zCBE+zDBA=45°,

.?.zC'BE'+zDBA=45°,BP.NDBE'=45。,

在AEBD和AE'BD中,BE=BE'/DBE=NDBE',BD=BD.

.?.△EBD學(xué)E'BD(SAS),

.-.DE=DE',

:zABC=90°,AB=4,BC=3,

???AC=7AB2+BC?=5,

又；AD=x,CE=y,

，DE'=DE=5-x-y,

?.DFllBC,

.?.zADH=zC,zAHD=zABC=90°,

.“AHDSAABC,

AHHDADXrqri.JT4rrn3

ABBCAC555

4

??.HB=AB-AH=4--x

5

同理可得EG=^y,GC=|y.

EG=1y,BG=BG=3—3，

'.E'G'±AB,zABC=90o,

.-.E'G'llBCllFD,

X'.E'FllAB^FHG'=zAHD=gO0,

，四邊形FE'G'H為矩形

???NF=90°,FH=EG=|y,DF=DH+FH=^x+^y,

FE，=HG，=HB-BG，=4-"-(3-|y)=1-善+》

在RbE'FD中，EF2+DF2=ED2.

(i一+C久+(y)=(5一久一曠尸

【點(diǎn)睛】

本題是四邊形的綜合題，考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、正方形的性質(zhì)和判定、勾股定理、等

腰直角三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換作圖，掌握

以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

4實(shí)踐與探究.

(1)操作一：如圖①，已知正方形紙片ABCD,將正方形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在正方形ABCD

的內(nèi)部，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，折痕為AE,再將紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使AD與AM重合,折痕為AF,則NE

AF=度.

(2)操作二：如圖②，將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N.我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)B的位置不同時(shí),

點(diǎn)N的位置也不同.當(dāng)點(diǎn)E在BC邊的某一位置時(shí)，點(diǎn)N恰好落在折痕AE上.則NAEF=度.

(3)在圖②中，運(yùn)用以上操作所得結(jié)論，解答下列問題：

①設(shè)AM與NF的交點(diǎn)為點(diǎn)P.求證:AANP%FNE;

②若4B=舊,則線段AP的長為.

【答案】⑴45

⑵60

(3)①證明見解析.

亞百_2

【解析】(1),.四邊形ABCD是正方形，

..zBAD=90°,

由折疊的性質(zhì)可知,AABE%AME/ADF學(xué)AMF.

..NBAE=NMAE,NDAF=NMAF,

：zBAE+zMAE+zDAF+zMAF=zBAD=90°,

:2zMAE+2zMAF=90°,

.?.zMAE+zMAF=45°,

即NEAF=45°.

(2)由折疊的性質(zhì)可知，

△ABE2AAMEFFCEVAFNE,

，NAEB=NAEM,ZAEM=ZCEF,

.'.zAEB=zAEM=zCEF.

?.zAEB+zAEM+zCEF=180°.

.-.zAEB=zAEM=zCEF=60o.

即NAEF=60°.

(3)①?.四邊形ABCD是正方形，

???NB=NC=90°,

由折疊的性質(zhì)可知,AABE2AAME'FNE2AFCE,

，NAME=NB=90°,NFNE=NC=90°,

NANP=180°-NFNE=90°=/FNE,

:zEAF=45°,

.?.zAFN=zFNE-zEAF=45°,

.■.zAFN=zEAF,

.'.AN=FN,

-??ZAME=NFNE=90°,

???NNAP+ZAEM=90",

NNFE+ZAEM=90°,

，NNAP=NNFE,

在AANP和AFNE中，

NNAP=NNFE

{AN=FN,

NANP=NFNE

.“ANP學(xué)FNE(ASA).

②?.在RbA在中/AEB=60°,AB=V3

D口ABV3.

.?.BE=--------=7=1,

tan^AEB

1.四邊形ABCD是正方形，

AB=BC=V3,

???CE=BC-BE=43-1,

?.zC=90o,zFEC=60o,

.?.zEFC=30°,

???EF=2CE=2V3-2,

???△ANP學(xué)FNE,

???AP=EF=2四一2.

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】四邊形與折疊問題

5綜合與實(shí)踐.

數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式.通過活動(dòng)可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動(dòng)手動(dòng)腦能力，拓展思維

空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn).讓我們一起動(dòng)手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會(huì)活動(dòng)帶給我們的樂趣.

折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、AD都落在對(duì)角線AC上,展開得折痕AE、AF,連接EF,如圖

1.

(l)zEAF=,寫出圖中兩個(gè)等腰三角形：(不需要添加字母)；

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的NEAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點(diǎn)P、Q,連接PQ,如圖2.

⑵線段BP、PQ、DQ之間的數(shù)量關(guān)系為.

⑶連接正方形對(duì)角線BD若圖2中的NPAQ的邊AP、AQ分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)M、點(diǎn)N，如圖3則/=_.

D1V1

剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線BD剪開，如圖4.

￡3994

(4)求證:.BM2+DN2=MN2.

【答案】（1）45°；AAEF'CEF

（2）BP+DQ=PQ

⑶V2

⑷證明見解析.

【解析】（1）如圖1中，

??四邊形ABCD是正方形，

..AB=AD=BC=CD/BAD=90°.

.“ABCFADC都是等腰三角形，

:NBAE=NCAE/DAF=NCAF,

.ZEAF=|(zBAC+ND4C)=45。，

.NBAE=NDAF=22.5O,NB=ND=90°,AB=AD,

.“BAE學(xué)DAF(ASA),

..BE=DF,AE=AF,

?：CB=CD,

CE=CF.

.△AEF「CEF都是等腰三角形.

⑵結(jié)論:PQ=BP+DQ.

理曲如圖2中，延長CB到T,使得BT=DQ,

?.AD=AB,zADQ=zABT=90°,DQ=BT,

..△ADQ*ABT(SAS),

.-.AT=AQ,zDAQ=zBAT,

?.ZPAQ=45O,

.-.NPAT=NBAP+NBAT=NBAP+^DAQ=45",

NPAT=ZPAQ=45°,

?.AP=AP,

.“PAT%PAQ(SAS),

.■.PQ=PT,

?.PT=PB+BT=PB+DQ,

，PQ=BP+DQ.

故答案為:PQ=BP+DQ.

(3)如圖3中，

0B3

1.四邊形ABCD是正方形，

.-.zABM=zACQ=zBAC=450,AC=V2AB,

NBAC=NPAQ=45°,

.-.zBAM=zCAQ,

.“CAQSABAM,

絲=絲=/

BMAB

故答案為：V2

(4)如圖4中，將AADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得至以ABR,連接RM,

D

.-zBAD=90°/zMAN=45°/

??.NDAN+NBAM=45°,

?zDAN=/BAR,

NBAM+NBAR=45。，

???ZMAR=NMAN=45°,

.AR=AN,AM=AM,

「.△AMR%AMN(SAS),

，RM=NM,

.ND=NABR=NABD=45°.

NRBM=90°,

RM2=BR2+BM2,

?.DN=BR,MN=RM,

BM2+DN2=MN2.

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

6如圖,在正方形ABCD中，點(diǎn)。是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OD上,連接AP并延長交CD于點(diǎn)E,

過點(diǎn)P作PF±AP交BC于點(diǎn)F,連接AF、EF,AF交BD于G,現(xiàn)有以下結(jié)論:①AP=PF;②DE+BF=EF;③PB-PD=V2

BF;（?SAAEP為定值;⑤=S-PG以上結(jié)論正確的有（填入正確的序號(hào)即可）

【答案】①②③⑤

【解析】???四邊形ABCD是正方形，PF±AP,

.?.zAPF=zABC=zADE=zC=90°,AD=AB,zABD=45°,

@/zABC+zAPF=180°,

，由四邊形內(nèi)角和可得NBAP+NBFP=180°,

，點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，

..NAFP=NABD=45°,

?■.MPF是等腰直角三角形，

，AP=PF,故①正確；

②把AAED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AABH,如圖所示:

.■,DE=BH,ZDAE=ZBAH,ZHAE=90°,AH=AE,

..NHAF=NEAF=45°,

?.AF=AF,

.“AEP學(xué)AHF(SAS),

..HF=EF,

??-HF=BH+BF,

，DE+BF=EF;故②正確；

③連接AC,在BP上截取BM=DP,連接AM，如圖所示:

1?點(diǎn)0是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，

.-.OB=OD,BD±AC,

.-.OP=OM,AAOB是等腰直角三角形，

AB=y[2A0,

由①可得點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，

/.zAPO=zAFB,

??/ABF=NAOP=90。，

A

.,.△AOP^ABFZ

.OP_OA_AP_y[2

"BF~AB~AF-2'

OPJBF,

?.-BP-DP=BP-BM=PM=20P,

PB-PD=&BF,故③正確；

④過點(diǎn)A作AN，EF于點(diǎn)N,如圖所示

由②可得NAFB=NAFN

?.zABF=zANF=90°,AF=AF,

."ABF當(dāng)ANF(AAS).

.AN=AB,

若AAEF的面積為定值，則EF為定值，

??點(diǎn)P在線段0D上,

■.EF的長不可能為定值，故④錯(cuò)誤；

⑤由③可得笫=當(dāng)

.NAFB=NAFN=NAPG,NFAE=NPAG,

.-.△APG-AAFE,

.GP_AP_y[2

''EF~AF~2'

.S"GP2-1

"S“EP_-心(2、)-2,

1

SA4Gp-ASAAEF，

故⑤正確；

綜上所述：以上結(jié)論正確的有①②③⑤；

故答案為①②③⑤.

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】四點(diǎn)共圓的應(yīng)用

7已知，如圖，在正方形ABCD中,AD=4,E,F分別是CD,BC上的點(diǎn)，且NEAF=45°,EC=1,將&ADE繞點(diǎn)A沿順時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)90。后與MBG重合，連接EF,過點(diǎn)B作BMIIAG，交AF于點(diǎn)M，則以下結(jié)論:①DE+BF=EF,②BF=三

@AF=，④SXMBF=急中正確的是（）.

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【答案】D

【解析】?.AG=AE,zFAE=zFAG=45°,AF=AF.

.△AFE*AFG(SAS),

.".EF=FG,

DE=BG,

..EF=FG=BG+FB=DE+BF,故①正確，

BC=CD=AD=4,EC=1,

..DE=3,設(shè)BF=x，則EF=x+3,CF=4-x,

在Rt△ECF中，(久+3/=(4-x)2+I2,

解得久7

BF=^,AF=J42+GJ=華，故②正確，③錯(cuò)誤，

:BM//AG,

.△FBMs^FGA,

SMBM_CFB\2

S^FGA一母

SXFBM=急，故④正確?

故選:D.

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】正方形中的半角模型

8如圖，正方形ABCD的邊長為a,點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A,B重合）,ZDAM45。,點(diǎn)F在射線AM

上，目力尸=0BE,CF與AD相交于點(diǎn)G,連接EC、EF、EG,則下列結(jié)論:

①NECF=45。；

②MEG的周長為（1+乎）因

（3）BE2+DG2=EG2;

④AEAF的面積的最大值是"2；

O

⑤當(dāng)BE=京時(shí)，G是線段AD的中點(diǎn).

其中正確的結(jié)論是（）

A.①②③B.②④⑤C.①③④D.①④⑤

【答案】D

【解析】如圖1中，在BC上截取BH=BE,連接EH,

M

.BE=BH,zEBH=90°,

EH=V2FE,

???AF=V2BE,

.-.AF=EH,

.NDAM=NEHB=45°,NBAD=90°.

.?.zFAE=zEHC=135°,

■.BA=BC,BE=BH,.-.AE=HC,

."FAE%EHC(SAS),

.".EF=EC,zAEF=zECH,

ZECH+NCEB=90°,

???ZAEF+NCEB=90",

..NFEC=90°,

"ECF=NEFC=45。,故①正確;

如圖2中，延長AD到H,使得DH=BE,

貝SCBEVACDH(SAS),

..NECB=NDCH,

NECH=NBCD=90°,

NECG=NGCH=45°,

CG=CG,CE=CH,

."GCE%GCH(SAS),

.-.EG=GH,

■.GH=DG+DH,DH=BE,

，EG=BE+DG,故③錯(cuò)誤；

."AEG的周長=AE+EG+AG=AE+AD+DH

=AE+AD+EB=AB+AD=2a,故②錯(cuò)誤；

設(shè)BE=x，則AE=a-x,AF=V2x,

■■■SAAEF=；(a-x)久=—；/+久=一；。一；a)2+ga2,

ZZZZZo

???一VO,

2

當(dāng)a=京時(shí)，3EF的面積的最大值為沙，故④正確；

如圖3,延長AD到H,使得DH=BE,

M

同理,EG=GH,

BE=2則AE=1a,

設(shè)AG=y，則DG=a-y,

14

**?EG=GH=ci-y~ct=-u—y,

在Rt^AEG中，AE2+AG2=EG2,

艮(|?)2+y2=(1a-y)2-

解得y=|a.

.?.當(dāng)BE=京時(shí)，G是線段AD的中點(diǎn),故⑤正確.

綜上,①④⑤正確.

故選:D.

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】正方形與全等綜合

9如圖，在平面直角坐標(biāo)系中以坐標(biāo)原點(diǎn)0(0,0),A(0,4),B(3,0)為頂點(diǎn)的RfAOB,其兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)的外角的平

分線相交于點(diǎn)P,且點(diǎn)P恰好在反比例函數(shù)y=強(qiáng)勺圖象上，則k的值為().

A.36B.48C.49D.64

【答案】A

【解析】過點(diǎn)P分別作AB、x軸、y軸的垂線，垂足分別為C、D、E,如圖，

.A(0,4),B(3,0),

.-.OA=4,OB=3,

AB=V32+42=5,

?■?AOAB的兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)的外角的平分線相交于點(diǎn)P,

?.-PE=PC,PD=PC,

；.PE=PC=PD,

設(shè)P(t,t),則PC=t,

S4P4E+S&PAB+S&PBD+SAOAB=S新CPEOD，

|xtx(t-4)+|x5xt+jxtx(t-3)+|x3x4

=txt,

解得t=6,

.?.P(6,6),

把P(6,6)代入y=kz得k=6x6=36.

故選：A.

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義

10如圖，在正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中點(diǎn)將3BG沿AG對(duì)折至/FG,延長GF交DC于點(diǎn)E，則DE

的長是().

A.lB.1.5C.2D.2.5

【答案】C

【解析】如圖，連接AE,

.■.AB=AD=AF,zD=zAFE=90°,

在RbAFE和RbADE中，

,AE=AE

[AF=AD

.RtAAFE^RtAADE,

.-.EF=DE,

設(shè)DE=FE=x，則EC=6-x.

■.G為BC中點(diǎn)BC=6,

，CG=3,

在RtAECG中,根據(jù)勾股定理，得:(6-久尸+9=(x+3>,

解得x=2.

則DE=2.

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】翻折問題與勾股定理

11如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若AE=V^NEAF=45°,則AF的長為

【答案】

【解析】取AB的中點(diǎn)M，連接ME,在AD上截取ND=DF,

BE

設(shè)DF=DN=x,

丁四邊形ABCD是矢巨形，

/.z