二次函數(shù)相等角問題

模型原理

1.等角

等角問題中，目標(biāo)角等于已知角，角定，則正切值定；角等，則正切值等，繼而轉(zhuǎn)化為定角問題.此外，若因等

角出現(xiàn)相似三角形，則可考慮直接利用相似求解.

2.和差角

1.在遇到一些角度如15。、75。、105。時(shí)，可以將其看做是某兩個(gè)特殊角的和差，如1!5。=45。-30。=60。-4

5。,75。=45。+30°,105°=60。+45。等，繼而轉(zhuǎn)化為定角問題；

2在遇到更一般的和差角問題時(shí)，一般可以通過導(dǎo)角轉(zhuǎn)化為定角或等角問題.

3.倍半角

倍半角問題主要通過等腰三角形、角分線或軸對(duì)稱將“倍角”和“半角”轉(zhuǎn)化為常規(guī)的定角或等角問題.

如圖，在等腰△ABC中，AB=AC,貝!]NCAD=2/B.

如圖，若BP平分NABC,貝（^ABC=2N4BP=2乙PBC.

真題精煉

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=-x2+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、B,與y軸相交于點(diǎn)C.

備用圖

(1)OC=—.

(2)如圖,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,0).

①當(dāng)IWxgm,且m>l時(shí)，y的最大值和最小值分別是s、t?s-t-2,求m的值；

②連接AC,P是該二次函數(shù)的圖象上位于y軸右側(cè)的一點(diǎn)(點(diǎn)B除外)，過點(diǎn)P作PD±x軸,垂足為D作/D

PQ=/ACO,射線PQ交y軸于點(diǎn)Q，連接DQ、PC.若DQ=PC,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

2.如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

C(0,3),對(duì)稱軸為直線x=-1,頂點(diǎn)為點(diǎn)D.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵連接DA,DC,CB,CA,如圖①所示，求證：^DAC=ABCO;

3.如圖1在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象經(jīng)過點(diǎn).2(-1,0),8(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.

⑴求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵連接BC，在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使Z.PCB=乙4BC?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，

請(qǐng)說明理由；

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+3分別交x軸、y軸于A,B兩點(diǎn)，經(jīng)過A,B兩點(diǎn)的拋物線y

=-x2+bx+cc與x軸的正半軸相交于點(diǎn)C(1,0).

⑴求拋物線的解析式；

⑵若P為線段AB上一點(diǎn)NAPO=NACB，求AP的長;

5如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx+4(a*0)經(jīng)過點(diǎn)4(-2,0))和點(diǎn)B(4,0).

⑴求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

⑵點(diǎn)P為該拋物線上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),直線CP將△ABC的面積分成2：1兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

⑶點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)/OCA=/OCB-NOMA時(shí).

求t的值.

6.拋物線y=ax2+bx+3過點(diǎn)A(-1,O),點(diǎn)B(3,0),頂點(diǎn)為C.

⑴求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo).

(2)如圖1,點(diǎn)P在拋物線上，連接CP并延長交x軸于點(diǎn)D,連接AC,若△D4c是以AC為底的等腰三角形,

求點(diǎn)P的坐標(biāo).

⑶如圖2,在(2)的條件下，點(diǎn)E是線段AC上(與點(diǎn)A,C不重合)的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，作乙PEF=4cAs邊EF

交x軸于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m,求m的取值范圍.

2

7如圖，拋物線y=ax+bx+cc與兩坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)A(-1,O)XB(3,0)、C(0,3),D是拋物線的頂點(diǎn),E是線

段AB的中點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式，并寫出D點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)F(x,y)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)：

①當(dāng)x>l,y>0時(shí)，求△BDF的面積的最大值.

②當(dāng)AAEF=NDBE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo).

8如圖，直線y=-%+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線y=-%2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B、C與x軸另

⑴求拋物線的解析式.

⑵在x軸上找一點(diǎn)E,使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值.

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得4APB=NOCB?若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理

9如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+3的圖象與y軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)B,拋

物線過點(diǎn)C(1,O),且頂點(diǎn)為D,連接AC、BC、BD、CD.

⑵點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于1,直線PC交直線BD于點(diǎn)Q.若ACQD=4ACB,求點(diǎn)P的坐

標(biāo).

10如圖，二次函數(shù)y=—/+2mx+2m+l(m是常數(shù)，且6>0)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B

的左側(cè))，與g軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,其對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E,與x軸交于點(diǎn)F,連接AC,BD.

⑴求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)(用數(shù)字或含m的式子表示)，并求NOBC的度數(shù).

(2)若N4C。=NCBD,求m的值.

(3)若在第四象限內(nèi)二次函數(shù)y=-x2+2mx+2m+l(m是常數(shù)，且rn>0)的圖象上，始終存在一點(diǎn)P,使

得NACP=75。,請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出m的取值范圍.

1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=+3與a軸交于點(diǎn)A，與g軸交于點(diǎn)B,拋物線y=|x2+bx

+c經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)A，頂點(diǎn)為點(diǎn)M.

(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)M的坐標(biāo).

(2)點(diǎn)E是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接EB,EA,當(dāng)4EAB的面積等于g時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo).

⑶將直線AB向下平移，得到過點(diǎn)M的直線y=mx+n,且與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,取點(diǎn)D(2,0),連接DM,求證:

ZADM-ZACM=45°.

【答案】(l)y=之久2一2居(3，—3).

(2)。，一|)啡—§

⑶證明見解析.

【解析】⑴對(duì)于y=-)+3,令y=-jx+3=0,

貝(Ix=6;令x=0,則y=3.

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(6,0)、(0,3),

拋物線=|x2+bx+c經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，故c=0,

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0=：x36+6。解得b=-2,

故拋物線的表達(dá)式為y=|%2-2x,

則拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3，當(dāng)x=3時(shí)，y=[--2乂=-3,

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,-3).

(2)如圖1.過點(diǎn)E作EH//y軸交AB于點(diǎn)H,

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(嗎/-2久),則點(diǎn)8(”-六+3),

則小EAB的面積

=S"HB+SAEHA—|XBHXOT!=|X6X(—|X+3—|X2+2x)=y,

解得X=1或|

故點(diǎn)E的坐標(biāo)為(I-1)-H)$

(3＞、直線AB向下平移后過點(diǎn)M(3,-3).

故直線CM的表達(dá)式為y=-|(x-3)-3=-jx-1,

令！=久-1=0解得x=-3,

故點(diǎn)C(-3,0),

過點(diǎn)D作DHLCM于點(diǎn)H.

...直線CM的表達(dá)式為y=—之萬—|,故tanzMCD=j,

貝!j：sinzMCD=5

則DH=CD-sinzMCZ)=(2+3)X=V5,

由點(diǎn)D、M的坐標(biāo)得，DM=J(2—3尸+(0+3》=同,

則sin乙HMD=簿=焉=當(dāng)故

ZHMD=45°=ZDMC=ZADM-ZACM=45°.

???ZADM-ZACM=45°.

2如圖，拋物線y=#％-3與z軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,直線1與拋物

線交于A,D兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,-3).

(1)請(qǐng)直接寫出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線1的函數(shù)表達(dá)式.

(2)若點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(mK)),過點(diǎn)P作PMLz軸,垂足為M,PM與直線1交于點(diǎn)N,

當(dāng)點(diǎn)N是線段PM的三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

⑶若點(diǎn)Q是y軸上的點(diǎn)，且/ADQ=45。,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【答案】(1)A(-2,0),B(6,0),直線1的函數(shù)表達(dá)式為y=-|x-1.

(2)(0,-3)或(3,-今

⑶(0,9)或(。，一￡)

【解析】⑴把y=0代入y=#一x7中，

得_x_3=0,

解得Xi=6,X2=-2,

???A(-2,0),B(6,0),

設(shè)直線1的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b(kr0),

把A(-2,0),D(4,-3)代入y=kz+b中,

zg[2k+Z)=0

信+Z)=-3

解得｛k=~\b=-1,

直線1的函數(shù)表達(dá)式為y=~lx-l.

(2)如圖，根據(jù)題意可知，點(diǎn)P與點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為

P(mf-m12——1\

i1

PM=|-m7—m—3|=——m7+zn+3,

44

11

MN=\--m-1|=-m+1,

22

NP=—Qm2-zn—3)=—|-m2++2.

分兩種情況：

①當(dāng)PM=3MN時(shí)得一(租2+僧+3=36771+1),

解得mi=0,m2=-2(舍去)，

當(dāng)m=0時(shí)-m2—m—3=—3,

4

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-3).

②當(dāng)PM=3NP時(shí)得—1租2+m+3=3^m2+：m+2),

解得m】=3,012=2(舍去)

當(dāng)m=3時(shí).-m2—m—3=

44

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，-學(xué)，

???當(dāng)點(diǎn)N是線段PM的三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-3)或(3,-^).

⑶?直線y--^x-1與y軸交于點(diǎn)E,

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,-1),

分兩種情況：①如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在y軸正半軸上時(shí)，記為點(diǎn)Qi.

過點(diǎn)Qi作QiH,直線1,垂足為H,則/QiHE=ZAOE=90°,

???處EH=NAE。，

QiHE△AOE,

QiHHE

"'AO一'QE'

QTH_HE

2?1，

???QiH=2HEf

又@DH=45°/Qi”D=90°,

???乙HQJ)=@DH=45°,

??.DH=QrH=2HE,

?''HE=ED,

連接CDJ.?點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,-3).

；.CD_Ly軸.

???ED=VEC2+CD2=7[-l-(-3)]2+42=2V5,

；.HE=2遮QiH=4V5

QiE=J*+Qi"2={(2正)+(4V5)=10,

0Q1=QrE-OE=10-1=9,

；?點(diǎn)Qi的坐標(biāo)為(0,9).

②如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在y軸負(fù)半軸上時(shí)，記為點(diǎn)Q2,過點(diǎn)Q2作Q2G,直線1,垂足為G，則^Q2GE=乙4。￡=9

0°,

Z.Q2EG=Z.AEO,

Q2GE△AOE,

Q3GEG

??~AO-謔

DQ2G_EG

氏---=—■

21

?,?Q?G=2EG,

又：ZQ2DG=45°,ZQ2G￡）=90°,

???乙DQ2G=Z-Q2DG=45°,

DG=Q2G=2EG,

二?ED=EG+DG=3BG.

由①可知,ED=2V5

3EG=26，

I22

???EQ2=[EG2+Q2G2=J律）+律）=拳

???OQ2=OF+E（?2=1+y=y

???點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（0,一日）

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0,9）或（0,一葭）.

3如圖，拋物線y=a/+9+c與z軸交于A(-2,0)、B(6,0)兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C.直線1與拋物線交于A、D

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,3).

⑴求拋物線的解析式與直線1的解析式；

(2)若點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)且在直線1上方，連接PA、PD,求當(dāng)△PAD面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及該面積的最大

值；

⑶若點(diǎn)Q是g/軸上的點(diǎn)，且/ADQ=45。,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【答案】⑴拋物線的解析式為y=-；/+%+3,直線1的解析式為y=i%+l;(2)APAD的面積的最大值為

4z

*P(1,[(3)Q的坐標(biāo)為().(0號(hào))或(0,-9).

【解析】

解：⑴：拋物線y=a/+故+。與x軸交于A(-2,0)、B(6,0)兩點(diǎn)，

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-6),

解得,x=-2,或x=6,

???D(4,3)在拋物線上，

.-.3=a(4+2)x(4-6),

解得a=，

.,?拋物線的解析式為y=+2)(%-6)=一:/+x+3,

:直線1經(jīng)過A(-2,0)、D(4,3),

設(shè)直線1的解析式為y=kx+m(k#0),

貝！]{-2k+m=04k+m=3,

解得r-2；

b=l

，直線1的解析式為y=|x+1;

⑵如下圖1所示中，過點(diǎn)P作PE//y軸交AD于點(diǎn)F.設(shè)P+m+3),則F(加加+1).

SAPAD=|--xA)-PF=3PF,

:.PF的值最大值時(shí)，△PAD的面積最大，

???PF=--m2+m+3—-m—1=—~m2+-m+2=—(m—l)2+-

42424v74

1

:.m=l時(shí)，PF的值最大，最大值為［,此時(shí)△PAD的面積的最大值為2P(1邛)

⑶如下圖2所示，中,將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AT,則T(-5,6),

A.

Jr

1S2

設(shè)DT交y軸于點(diǎn)Q廁/ADQ=45。,

VD(4.3),

..?直線DT的解析式為+p

號(hào))，

作點(diǎn)T關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)Tv(l,-6),則直線DT/的解析式為y=3x-9,設(shè)DQ/交y軸于點(diǎn)Q：則/ADQ，=45。.

.*.Q'(0,-9),

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,9或(0,-9).

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)與幾何綜合

-x2+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、B,與y軸相交于點(diǎn)C.

⑵如圖,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,0).

①當(dāng)iWzWm,且m>l時(shí),y的最大值和最小值分別是s、t,s-t=2,求m的值;

②連接AC,P是該二次函數(shù)的圖象上位于y軸右側(cè)的一點(diǎn)(點(diǎn)B除外)，過點(diǎn)P作PD±x軸,垂足為D.作/DP

Q=/ACO,射線PQ交y軸于點(diǎn)Q,連接DQ、PC.若DQ=PC,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

【答案】(1)8

(2)0V2+1

②1或弓手

【解析】⑴當(dāng)x=0時(shí),y=3,即OC=3.

⑵①將點(diǎn)A坐標(biāo)代入y=-z2+bx+3,

得,-l-b+3=0,

解得:b=2,

,解析式為：y=-X2+2%+3,

而s=—x2+2%+3=—(%—l)2+4

J對(duì)稱軸為直線：m=l,

當(dāng)10xWnv&m>l時(shí)，

t/隨著x的增大而減小，

???當(dāng)x=1,8=-1+2+3=4,當(dāng)x=m時(shí)，t=-m2+2m+3,

由s-t=2得，4+m2—2m—3=2,

解得:m=l+V2m=1-V2(舍)，

：.m=1+V2.

②在RtAACO中,tan/ACO=蔡=$

由題意得?.DP//CQ,DQ=PO.

???四邊形DPCQ為平行四邊形或等腰梯形,

VDP//y軸.

AZ1=ZDPQ,

NDPQ=NACO,

1

tanZ-DPQ=tanZ-ACO=tanzl=

,,OF_FD_1

?OQ~PD~3?

設(shè)FD=k,OF=n,則PD=3k,OQ=3n,

3k=3+3n,

n=k-l,

AP(2k-l,3k),

將點(diǎn)P(2/c—L3fc)/tAy=——+2%+3,

得：—(2/c-I)?+2(2fc-1)+3=3k,

解得：k=3班=0(舍).

5cy3

AXp=-X2—1=

產(chǎn)42’

當(dāng)四邊形DPCQ為等腰梯形時(shí)，則PC=QD過點(diǎn)P作PE±y軸于點(diǎn)E,

VDP//1軸，

APE=DO,

ARtAPOE^RtADQO,

ACE=QO,

.?.QO+OE=QC+QO,

.,.QE=OO=3,

tanzl=

3

tPE_1

??QE?3，

設(shè)PE=p，則QE=3p,

/.3p=3.

即xp=l;

當(dāng)點(diǎn)P在z軸下方拋物線上時(shí)，此時(shí)四邊形DPCQ是平行四邊形，則DP=QC,

1

tanzDPQ=tanZ.ACO=tanz.1=

.OG_DG_1

??OQ-P。-3'

設(shè)OG=e,DG=g.

；.OQ=3e,DP=3g=QC,

OQ-OC=CQ,

；.3e-3=3g,

g=e-l,

AP(2e-l,3-3e),

將點(diǎn)P坐標(biāo)代入y=一/+2%+3,

得：—(2e—1)2+2(2e—1)+3=3-3e,

解得e=H醫(yī)或=三,

OO

而當(dāng)e=『時(shí),g=e-l<0,故舍,

o

7+V73

c=2e—1=

P4

綜上：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1或I手.

5如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)0(0,3),對(duì)

稱軸為直線x=-l,頂點(diǎn)為點(diǎn)D.

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵連接DA,DC,CB,CA,如圖①所示,求證:ZDAC=ZBCO;

【答案】(l)y=-x2-2x+3(2)見解析

【解析】⑴解：通過題意得，上中一,隹二二...二次函數(shù)的表達(dá)式為：

y=—x2—2%+3;

(2)證明:?.?當(dāng)x=-l時(shí),y=-l-2x(-1)+3=4,；.D(-1,4),由一久2-2久+3=0

得，zi=-3,X2=1,；.A(-3,0),B(l,0)；.AD2=(-l+3)2+42=20,；C(0,3),，

CD2=(4—3尸+(-1)2=2,AC2=32+32=18,AC2+0D2=AD2,???

AAOD=90°,tan^DAC=絲=摩=j乙BOC=90。,二

AC3V23

(~ip-1

tan^BCO=—=ADAC=乙BCO;

oc3

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)與幾何綜合

A

6如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,O),B(3,O),

⑴求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)連接BC,在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P,使/PCB=NABC?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在,

請(qǐng)說明理由；

【答案】⑴y=-|/+疑+2⑵P(2,)或(浮-翼)

【解析】【分析】

(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)通過題意，分情況討論，①過點(diǎn)C作關(guān)于z=l的對(duì)稱點(diǎn)P,即可求P的坐標(biāo)，②x軸上取一點(diǎn)D,使得DC=

DB,則/DCB=/ABC,設(shè)D(d,O),根據(jù)勾股定理求得CD,BD,建列方程，解方程求解即可；

⑴解：：由二次函數(shù)y=ax2+bx+2,,令z=0,則y=2,C(0,2),\?過點(diǎn)A(-1,O),B(3.O),設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為

y=a(x+1)(%-3)=a(x2-7.x-3),將點(diǎn)C(0,2)代入得,2=-3a,解得a=-|,；.y=-|x2+|x+2,

(2)二?二次函數(shù)(y^ax2+bx+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,O),B(3,O),.,.拋物線的對(duì)稱軸為z=l,①如下圖所示，過點(diǎn)C

作關(guān)于x=l的對(duì)稱點(diǎn)P,；.CP〃AB,；.NPCB=NABC,；C(0,2),；.P(2,2).

②x軸上取一點(diǎn)D,使得DO=DB很［|NDCB=NABC,設(shè)D(d,O),貝UCD=V22+d2,BD=3-d".22+d2=(3

512

—d)?解得d=*，即D(|，0),設(shè)直線CD的解析式為丫二依+仇后卜):^^解得廣；二1，.直線CD的解析式為

12X+2

y-一

5X-o

立

解得

+2聯(lián)rr

y--1-2Xtt

52242y-2

y--%+-X+

33

??.P管，-鬻)，綜上所述，P(2,2)或償,一鬻)

7如圖，在平面直角坐標(biāo)系z(mì)Oy中，直線y=kx+3分別交z軸、y軸于A,B兩點(diǎn)，經(jīng)過A,B兩點(diǎn)的拋物線y

=-％2+b%+c與X軸的正半軸相交于點(diǎn)C(1,0).

⑴求拋物線的解析式;

⑵若P為線段AB上一點(diǎn)NAPO=/ACB,求AP的長；

【答案】(l)y=-x2-2x+3；(2)2V2;

【解析】⑴令x=0,則y=3,.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0.3),拋物線y=-x2+bx+經(jīng)過點(diǎn)B(0,3),C(l,0),

{_]+°+°=0解得{W..拋物線的解析式為：y=—x2—2x+3;⑵令y=0,則—%2—2%+3=0,解得網(wǎng)=1,z?

=-3,.,.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0),；.OA=3,OB=3,OC=1,AB=V0A2+OB2=V32+32=3&

ZAPO=ZACB.HZPAO=ZCAB,.*.APAO^ACAB,.,.AO=AB,BP竽=矗AP=2V2；

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)與特殊平行四邊形

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)與平行四邊形

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定綜合

【業(yè)務(wù)題型】運(yùn)算題

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx+4(a*0)經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)B(4,0)

(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

⑵點(diǎn)P為該拋物線上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),直線CP將小ABC的面積分成2：1兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

⑶點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)ZOOA=ZOCB-ZOMA時(shí)，求t

的值.

【答案】(l)y=-1/+x+4.

(2)P(6,-8).

(3)t=2或10.

【解析】⑴將A(-2,0),B(4,0)代入解析式得?

.4a-2b+4=0解得fa=--

116a+4b+4=0，用'人=1

.拋物線解析式為y=—：/+%+生

(2)取D(2,0),易得霹=2,則1=2,

BD^>ABOD

連接CD,與拋物線的交點(diǎn)即為P點(diǎn)坐標(biāo),

如圖易得CD直線為y=-2x+4.

y——2?+4

________一{-#+，+/{%=6y=-8,

；.P(6,-8).

(3)VZOCA=ZOCB-ZOMA,

ZOCB=ZOOA+ZOMA=45°.

如圖易得/OCA=/OCD,

ZOOB=ZOOD+ZBOD=45°,

ZOMA=ZBCD,

過D作DEJ_BC,

在RtABDE中,NDBE=45。，BD=2,

/.DE=BE=V2

在RtAOBO中,.BC=V2OB=4&,

；.CE=BC-BE=3V2

在RtAODE中，tanzDCF=—=

貝(Itan^OMA=tanzDCf=-=—,

~3OM,

.*.OM=3OA=6,

當(dāng)M往y軸正半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)t=?=2,

當(dāng)M往p軸負(fù)半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)t=早=10.

9.拋物線y=ax2+bx+33過點(diǎn)A(-l,0),點(diǎn)B(3,0),頂點(diǎn)為C.

⑴求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo).

(2)如圖1,點(diǎn)P在拋物線上，連接CP并延長交：：軸于點(diǎn)D,連接AC,若小DAC是以AC為底的等腰三角

形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)如圖2,在(2)的條件下，點(diǎn)E是線段AC上(與點(diǎn)A,C不重合)的動(dòng)點(diǎn)，連接PE,作/PEF=NCAB,邊EF

交z軸于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m,求m的取值范圍.

【答案】(l)y=-/+2X+3,C(1,4).

⑵P(鴻).

(3)—1<m<slant

4

11.如圖，拋物線y^ax2+bx+cc與兩坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)A(-1,O)、B(3,0)、0(0,3),D是拋物線的頂點(diǎn)，E是線

段AB的中點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式，并寫出D點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)F(x,y)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)：

①當(dāng)x>l,y>0時(shí)，求△BDF的面積的最大值.

②當(dāng)ZAEF=ZDBE時(shí).求點(diǎn)F的坐標(biāo).

【答案】⑴解析式為y=-x2+2x+3,D的坐標(biāo)為(1,4).

(2)①當(dāng)x=2時(shí)，SABDP取最大值，最大值為1.

⑦(2-V5-2V5-2)或(-6，-2遮-2).

【解析】⑴將A(-l,0)、B(3,0)、C(0,3)代入yax2+bx+c,

a—b+c=0a=—1

{9a+3b+c=0,解得{b=2

c=3c=3

..?拋物線的解析式為y=-x2+2x+3

y=—%2+2%+3=—(%—I)2+4,

???頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4).

(2)①過點(diǎn)F作FM//y軸，交BD于點(diǎn)M，如圖1所示

設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n(m，O),

將(3,0)、(1,4)代入y=mx+n,

{3m+九=0m+n=4,解得：嚴(yán)一二2

?.?直線BD的解析式為y=-2x+6.

?1點(diǎn)F的坐標(biāo)為3-％2+2%+3),

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為((%，—2%+6),

???FM——X2+2%+3—(—2%+6)=—X2+4%—3

22

'S^BDF—-(yB—yD)=—%+4z—3=—(%—2)+1

A-l<0,

當(dāng)X=2時(shí),BDP取最大值，最大值為1.

②方法一：過點(diǎn)E作EN//BD交y軸于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)B,在y軸負(fù)半軸取ON=ON,連接EN：射線EN,

交拋物線于點(diǎn)F2，如圖2所示.

VEFi//BD,

JZABFi=ZDBE.

VON=ON',EO±NN',

???Z-AEF2=Z-AEF1=Z-DBE.

二是線段AB的中點(diǎn),A(-1,O),B(3,0),

，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,0)

設(shè)直線EFi的解析式為y=-2x+瓦,將E(1,O)代入y=-2x+bi,

-2+瓦=0.解彳導(dǎo):bi=2,

，直線EFi的解析式為y=-2x+2、

聯(lián)立直線EFi、拋物線解析式成方程組，

Jy--2x+2

-x1+2x+3*

解得：{:1蔡'{"曾求J舍去),

點(diǎn)