2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《函數(shù)動點(diǎn)問題》專項(xiàng)檢測卷及答案

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1.已知二次函數(shù)y=/+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C(O,3),與x軸交于點(diǎn)4(-1,0),點(diǎn)網(wǎng)3,0),點(diǎn)。

為拋物線的頂點(diǎn).

(備用圖)

(1)求此二次函數(shù)解析式;

⑵連接DC,BC,OB,求證：△BCD是直角三角形;

(3)若點(diǎn)P是直線BC上方拋物線的一動點(diǎn)，當(dāng)“8CP面積取最大值時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

2.如圖1,拋物線y=Y+bx+c與x軸交于A(-LO),3(3,0)兩點(diǎn).

(1)求該拋物線的解析式;

(2)若點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn)，求△ABD的面積;

(3)如圖2,若P是拋物線上位于直線BC下方的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為/,當(dāng)f為何值

時(shí)，△P3C的面積最大？最大值是多少？

3.拋物線y=/-(冽+3)x+3機(jī)與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)3,與丁軸交于點(diǎn)C.

(1)若點(diǎn)4(-1,0),求機(jī)的值；

⑵如圖，在(1)的條件下，點(diǎn)。(-3J)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Af為直線下方拋物線上一

動點(diǎn)，求四邊形加CN的面積為S最大值及此時(shí)點(diǎn)”的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為-9,作直線PC,將直線PC向下平移

>0)個(gè)單位長度得到直線PC,若直線PC與拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn).

①直接寫出〃關(guān)于機(jī)的函數(shù)關(guān)系式；

②直接寫出當(dāng)時(shí)加的取值范圍.

4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-x+3與x軸交于點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)

C.已知拋物線y=o?+2x+c經(jīng)過氏C兩點(diǎn)，且與無軸交于另一點(diǎn)A.

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵若Af是直線上方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)(不與點(diǎn)CB重合)，過點(diǎn)M作必軸于點(diǎn)

D,交直線BC于點(diǎn)N,設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為加.

①如圖2,當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，線段取最大值？

②如圖3,尸是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為機(jī)+2,過點(diǎn)P作尸軸于點(diǎn)。，是否存

在PQ=MN?若存在，求出機(jī)的值；若不存在，請說明理由.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=(u：2+bx+c與x軸交于A(-3,0),B兩點(diǎn)，交V軸

于點(diǎn)C(0,4),對稱軸是直線尤=1,頂點(diǎn)為O.

一用圖

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）設(shè)拋物線的對稱軸DE交線段BC于點(diǎn)E,尸為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作軸的

垂線，交線段8c于點(diǎn)尸，若四邊形。麻尸為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)M是線段上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MV〃/1B,交AC于點(diǎn)N.點(diǎn)。從點(diǎn)B出以每

秒3個(gè)單位長度的速度沿線段54向點(diǎn)A運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為f（秒）.當(dāng)以"N為邊的—QMN

是等腰直角三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)/的取值.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=#+6x+c的圖像與龍軸交于A（-1,O）,B（3,0）

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0,-3）,M是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn).

⑴求該二次函數(shù)的解析式.

⑵若點(diǎn)M在直線2c的下方，則當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到什么位置時(shí)，△MBC的面積最大？并求出

△MBC的面積的最大值.

⑶若N是無軸上的一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使以2,C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

7.已知拋物線y=無+c與x軸交于點(diǎn)4（1,0）點(diǎn)8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0,-3）,

（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A,B,C重合），作PDLx軸，垂足為。，連接PC；

①如圖1,若點(diǎn)尸在第三象限，且/CPD=60。，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

②如圖2,直線PO交直線于點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對稱點(diǎn)￡落在y軸上時(shí)，直接

寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

8.如圖，拋物線＞=依2+云+。（。＞0）與苫軸分別交于人、8兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊），

與y軸交于點(diǎn)c.

（1）如圖1,點(diǎn)C（0,-3）,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,T）.

①求二次函數(shù)的解析式；

DF2

②點(diǎn)。為拋物線上第四象限內(nèi)一點(diǎn)，直線BC與OD相交于點(diǎn)E,當(dāng)當(dāng)=；時(shí)，求點(diǎn)。的

E03

坐標(biāo)；

⑵如圖2,A、B兩點(diǎn)x軸正半軸上，點(diǎn)P為拋物線上位于第一象限內(nèi)的一動點(diǎn)（尸在8的

右側(cè)），過點(diǎn)A、尸的直線交y軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)8、尸的直線交y軸于點(diǎn)N.當(dāng)A、8兩點(diǎn)

的橫坐標(biāo)為芯a＜吃）時(shí)，試探究空與梁之間的數(shù)量關(guān)系.

OBCN

9.如圖，已知直線y=-gx+2與1軸、y軸交于5,A兩點(diǎn)，拋物線y=-/+加；+。經(jīng)過

點(diǎn)A,8,點(diǎn)尸為線段上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作垂直于x軸的直線交拋物線于點(diǎn)N,交直線

AB于點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.

(1)求拋物線解析式；

(2)當(dāng)MN=2MP,求f的值；

⑶若點(diǎn)N到直線AB的距離為乙求d的最大值;

10.如圖①，拋物線>=辦2+版+4經(jīng)過A(-3,0),8(2,0)兩點(diǎn)，與>軸交于點(diǎn)C,連接AC.

圖②

(1)求該拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，若平分/SAC,求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

⑶如圖②，若點(diǎn)。是拋物線上位于第一象限的一動點(diǎn)，連接AQ,直線8。交y軸于點(diǎn)

過點(diǎn)B作直線BN〃A。交y軸于點(diǎn)N,連接在點(diǎn)。的運(yùn)動過程中，四邊形AMBN

的面積是否會發(fā)生改變？若不變，求其值；若改變，求出它的變化范圍.

11.已知拋物線Ly=o(x—3)2-4。(0>0)與無軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)2的左側(cè)),

其頂點(diǎn)為C,。是拋物線第一象限上一點(diǎn).

(1)求線段AB的長；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，若Sv.=Sv,，求37/54。的值;

(3)將拋物線L的圖象先向右平移a個(gè)單位長度，再向下平移2a個(gè)單位長度，得到拋物線

〃.點(diǎn)尸是拋物線〃上一動點(diǎn)，叢+尸5的最小值為4,求a的取值范圍.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-Y+笈+。經(jīng)過點(diǎn)僅,3),與x軸交于點(diǎn)A,

B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與丫軸交于點(diǎn)C,對稱軸直線/為x=l.

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo).

⑵設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)為點(diǎn)尸是直線/上的一個(gè)動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使R4-PD

有最大值？若存在，求出上4-尸￡＞的最大值；若不存在，請說明理由.

2

(3)M為拋物線上一點(diǎn)，連接MC,過點(diǎn)M作交直線/于點(diǎn)N,若tan/MCN=§,

求點(diǎn)M的坐標(biāo).

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=加+云+4(々。0)與y軸交于點(diǎn)A,與無軸交

于點(diǎn)”一2,0)、點(diǎn)C,且過點(diǎn)

(1)求拋物線的表達(dá)式；

⑵如圖1,點(diǎn)尸是直線AC上方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸ELAC,垂足為E.點(diǎn)尸、

G是了軸上的兩個(gè)動點(diǎn)(點(diǎn)下在點(diǎn)G的上方)，且FG=1,連接尸尸，CG.當(dāng)線段PE的長

度取得最大值時(shí)，求|PF-CG|的最大值；

(3)如圖2,直線/：y=-；x+4上有一點(diǎn)N,且N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,連接AB,BN.將拋物

線>=依2+區(qū)+4(。70)關(guān)于x軸對稱得到新拋物線，點(diǎn)。為新拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)

=時(shí)，寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并任選其中一個(gè)點(diǎn)。的坐

標(biāo)，寫出求解過程.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=G?+bx+c(awO)與x軸交于A(-2,0),B(8,0)

兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)c,S.OC=2AO,連接BC.

⑴求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖1,點(diǎn)尸是直線上方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸。〃y軸，交BC于點(diǎn)D,求

PD+2叵CD的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

5

⑶將拋物線y=依2+灰+cSH0)繞點(diǎn)N(l,0)旋轉(zhuǎn)180。，得到新拋物線y',在新拋物線y'上

找一點(diǎn)使得/3CW=45。，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

15.如圖，拋物線y=o(x-2)(x+4)與x軸交于A,3兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與V軸交于

點(diǎn)。(0,4).

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵直線y="+l與y軸交于點(diǎn)。，與X軸交于點(diǎn)N,與拋物線交于瓦/兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)b的

DF2

左側(cè)），連接BD,—=求VBD廠的面積；

⑶在（2）的條件下，P為拋物線對稱軸右側(cè)上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作交無軸于點(diǎn)。，

過點(diǎn)B作物/_LE尸于M,試問：是否存在點(diǎn)尸，使以點(diǎn)AP,Q為頂點(diǎn)的三角形與相

似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

參考答案

1.（1）y=—x2+2%+3

（2）證明見解析

（3）

【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行

求解是解題的關(guān)鍵：

（1）寫出兩點(diǎn)式，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

（2）求出DCBCOB,利用勾股定理逆定理進(jìn)行證明即可；

（3）求出直線3C的解析式，過點(diǎn)尸作PELx軸，交于點(diǎn)E,利用

列出二次函數(shù)解析式，求最值即可.

［詳解X1）解：：二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C（0,3）,與x軸交于點(diǎn)A（-1,O）,點(diǎn)B（3,0）,

y=a(x+l)(x-3),把C(0,3)代入，得：。=一1,

y-—(x+l)(x-3)=—x?+2x+3；

(2)y=-%?+2%+3=-(x-1)?+4,

???0(1,4),

VB（3,0）,C（0,3）,

/.BD3*2=（3-l）2+42=20,BC2=32+32=18,CD2=12+（4-3）2=2,

，BC2+CD2=18+2=20=BD2,

，△BCD是直角三角形；

(3)V8(3,0),C(0,3),

設(shè)直線2c的解析式為：y=kx+3,把3(3,0)代入，得：k=—l,

y=~x+3,

過點(diǎn)尸作軸，交于點(diǎn)E,設(shè)尸+2,"+3),貝1|：E(/n,-m+3),

PE=—m1+2m+3+m—3=—m2+3m=—m—+一,

I24

13（3丫93<3丫27

：.s=-PEOB=-

BCPBCP22（4212）8

3

當(dāng)機(jī)=5時(shí)，BC尸面積最大,

315

此時(shí)：尸

25T

2.（1）y=x2-2x-3

(2)8

327

(3)當(dāng)％=彳時(shí)，△依C的面積最大，最大值是干

2o

【分析】本題考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的綜合、求一次函數(shù)的解析式等知識,

熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)點(diǎn)A（T0）,3（3,0）,利用待定系數(shù)法求解即可得；

（2）先將拋物線的解析式化成頂點(diǎn)式，求出頂點(diǎn)。的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式求解

即可得；

（3）先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再過點(diǎn)尸作x軸的垂線，交直線于點(diǎn)E,

求出點(diǎn)尸,E的坐標(biāo)，從而可得的長，然后根據(jù)△P3C的面積為SVBPE+SVWE，利用二次

函數(shù)的性質(zhì)求最值即可得.

l-b+c=O

【詳解】（1）解:將點(diǎn)4（一1,0）,3（3,0）代入y=x2+法+。得：

9+3b+c=0

所以該拋物線的解析式為y=Y-2x-3.

（2）解：如圖，點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn),

將拋物線y=V-2了-3化成頂點(diǎn)式為y=(》一1)2一4,

.,.￡>(1,-4),

/.△ABD的AB邊上的高為|=4,

vVA(-1,0),3(3,0),

/.AB=3-(-l)=4,

△ABD的面積為4x4=8.

2

（3）解：對于拋物線了=尤2-2x-3,

當(dāng)尤=0時(shí)，y=—3,即C（0,—3）,

設(shè)直線BC的解析式為y=%彳+%（%w0）,

將點(diǎn)3（3,0）,C（0,-3）代入得：［：［+?=0,解得

-71為--3

則直線BC的解析式為y=X-3,

???P是拋物線上位于直線2c下方的一個(gè)動點(diǎn)，且點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為"

，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為尸僅，廠-2/-3）,且0</<3,

如圖，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)E,

；?點(diǎn)E的坐標(biāo)為磯。-3）,

EP=t—3—（廣一2t—3）=—1~+37,

VB（3,0）,C（0,-3）,

△€：「￡1的￡P(guān)邊上的高與..3PE的EP邊上的高之和等于3-0=3,

△P3C的面積為SBPE+SCPE=-x3(-r+3r)=--|-j+—,

乙乙\乙Jo

2

3

???由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在0<，<3內(nèi)，當(dāng)";時(shí)，△MC的面積取得最大值，最大值為

2

27

T

327

所以當(dāng)方=彳時(shí)，△P3C的面積最大，最大值是丁.

2o

3.=

(吟，吟,-？)

324

(3)①〃=；(3)2；②-275+3<m<1^5<m<253

【分析】（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線方程，求解方程得機(jī).

（2）先確定各點(diǎn)坐標(biāo)與直線BC解析式，將S拆分為S^C+SBCM，用坐標(biāo)表示面積得二

次函數(shù)，依其性質(zhì)求解.

(3)①求〃關(guān)于加關(guān)系式：確定P,C坐標(biāo)得直線PC式，平移后聯(lián)立拋物線，由△=()推導(dǎo).

②求加取值范圍，將〃關(guān)系式代入不等式，換元求解再回代.

【詳解】(1):拋物線過點(diǎn)水-1,。)

1+(ZM+3)+3利=0

/.m=-l,拋物線解析式為：y=x2-2x-3；

(2)由(1)知A(—1,0),0(—3,12),

???AB=4,

13

?，-5SDC=-X(3+-)X15=27,

過點(diǎn)M作MQ〃》軸交直線于點(diǎn)

y=x-3,

設(shè)一2［一3),則Q(a,o-3),

MQ——4+3a,

?Q_12/、_3/3、2J7

BCM=-x3x(-tz+3a)=--{a--),

222o

?e3,3、2J7

,?J四邊形BOCM_2/5(Q5)9

???當(dāng)Q=3時(shí)，S有最大值為27+"=四

288

3is

此時(shí)“(工-E)；

24

M7+3

(3)@y=^-(jn+3)x+3m的對稱軸為直線犬=——

設(shè)直線PC的解析式為y=k'x+b,

誓―解得kf=-6

b'=3m'

V=3m

所以y=-6x+3m,

直線PC平移后的直線PC的解析式為：y=-6x+3m-n,

y=-6x+3m—n-

聯(lián)立2/?“，整理得％n-(加一3)%+〃=0,

y=x-(m+3)x+3m

:直線PC，與拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn),

???△=(根-3)2-4〃=0,

所以T22；

②當(dāng)〃=1時(shí)，m=1或m=5,

當(dāng)〃=5時(shí)，m=2石+3或m=-26+3,

-2A/5+3<m<1或5<m<2加+3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的求法、一次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的

計(jì)算方法以及直線與拋物線交點(diǎn)問題中判別式的運(yùn)用，熟練掌握二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的求

法、一次函數(shù)解析式的確定方法、圖形面積的計(jì)算方法以及利用判別式判斷直線與拋物線交

點(diǎn)個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵.

4.(1)y=-%2+2%+3

33、3

(2)①機(jī)=5?②存在,m=-^m=-

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求二次函數(shù)

解析式，求線段長度的最值，利用相等線段求坐標(biāo)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函

數(shù)的性質(zhì).

(1)利用一次函數(shù)的解析式求得3(3,0),C(0,3),再利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)解析

式;

（2）①假設(shè)M，w,-W+2m+3）,N（以一機(jī)+3）,列出跖V=-蘇+3/〃（。＜相＜3）,分析跖V

關(guān)于機(jī)的二次函數(shù)即可求解；

②設(shè)P（根+2,-病一2m+3）,列出-加2+3加=卜療_2租+3],分類進(jìn)行討論求解即可.

【詳解】（1）解：當(dāng)y=-x+3的函數(shù)值為0時(shí)，即_犬+3=0,

解得x=3,

???B（3,0）,C（0,3）,

fc=3

將3（3,。）,。（0,3）代入y=a/+2%+c得9a+6+°=0

[a=~\

解得?

[c=3

所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-/+2x+3；

（2）解：①假設(shè)點(diǎn)療+2加+3）,N（m,-m+3）,根據(jù)題意可得，

AW=—m2+2m+3-（—m+3）=—m2+3m（0＜m＜3）,可以看作A/N關(guān)于用的二次函數(shù)，開

33

口向下，頂點(diǎn)為最高點(diǎn)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為.-2x（-1）=5'在加的取值范圍之內(nèi)，

-329

???MN的最大值為.（7,

4x（—1）4

3

??.當(dāng)m=5時(shí)，線段MN取最大值；

②存在，理由如下：

假設(shè)P（%+2,—＞一2根+3）,貝I]尸。=|-m2-2m+3|,

當(dāng)PQ=MN時(shí)，即+3m=|-m2-2m+3|,

當(dāng)尸點(diǎn)在x軸上方時(shí)，-病+3機(jī)=-/-2加+3,

角軍得機(jī)=士，止匕時(shí)，—加2—2m+3=一＞0；

525

當(dāng)尸點(diǎn)在x軸下方時(shí)，—m2+3m=m1+2m-3?

39

解得m=—或加=一1（舍去），此時(shí)，一根2-2根+3=-一＜0；

24

綜上，當(dāng)機(jī)=￡3或者機(jī)=；3時(shí)，PQ=MN.

48

5.(1)^=-----x9+——x+4

1515

⑵《嗒

(3?的值為5或2或m

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

(2)先求出8(5,0),再根據(jù)待定系數(shù)法求出直線BC的表達(dá)式為y=-1x+4,

則可求進(jìn)而求出￡>￡=2，設(shè)尸］。，-\p2+2。+4］，貝［JF］P，-［P+4),

AA

pF=-±p^+±p,由四邊形DE尸尸為平行四邊形，DE=PF,由此建立方程求解即可；

(3)分NNMQ=90。,/加。=90。和//?？?90。討論，三種情況利用等腰直角三角形的

性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

9a-3b+c=Q

【詳解】(1)解：根據(jù)題意，得，c=4

-±=i

、la

4

a=---

15

Q

解得6=天，

c=4

48

拋物線的表達(dá)式為>=一去龍2+亮龍+4；

48

(2)解：y=--x2+—x+4,

當(dāng)%=i時(shí)，

???頂點(diǎn)。

4?

當(dāng)y=0時(shí)，---x2H----尤+4=0,

1515

解得不=5,x2=-3,

.??3(5,0),

設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+n,

5k+n=0

則

n=4

k一

解得5,

〃二4

y=-1x+4,

當(dāng)x=i時(shí)，y=g

,，?4年

.?.群笆_”=竺,

15515

^P[P，~l5p2+15P+J)則尸(p「g4p+4]，

5

4R(一

PF=---p2+—p+4--5+4

1515I153

???四邊形。砂尸為平行四邊形,

DE=PF,

」+與=更

15315

解得Pi=1（不符題意，舍去），P2="

；,2p+4=——x4+4=",

1515151515

（3）解：設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為［九-g機(jī)+4

4

.?.M2八，軸，N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為川+4

.?.0點(diǎn)的坐標(biāo)為（加,0），

設(shè)直線AC的解析式為y=kxx+bx,

.J-3Z]+4=0

'U=4

.V,

4=4

；?直線AC的解析式為y=1x+4,

把y=_[m+4代入,^-—m+4=—x+4,

553

解得X=-二加,

二?N點(diǎn)坐標(biāo)為（一1加，一1根+4],

84

..MN=—m,MQ=——m+4,

又丁△MNQ是以MN為直角邊的等腰直角三角形,

：.MN=MQf

.448

??—m+4=—m,

55

.5

..m=—,

3

???2點(diǎn)坐標(biāo)為（|,。],

6>e=|,

??.BQ=3t=BO-OQ=^-f

._io

.?/z———：

9

如圖所示，當(dāng)N"NQ=90。時(shí),

,則Q（-g〃z,0）,

84

：.MN=-mfNQ=——m+4,

同理得"N=NQ,

.48

??——m+4=-m,

55

,5

..m=—,

3

???Q點(diǎn)坐標(biāo)為(TO),

???OQ=lf

BQ=3t=BO+OQ=6,

；?，=2；

當(dāng)NMQN=90。時(shí)，過。作QPLMN于P,

由①知：N的坐標(biāo)為1-|相,根+41，

同理得MQ=N。，

144

NP=MP=-MN=-m,PQ=--m+4,

.cc41

九oj,

,/△MN。是以"N為斜邊的等腰直角三角形,

PQ=MP,

?44

—m=——m+4,

55

解得:72=：,

.?明。］，

9

BQ=3t=BO-OQ=-f

?._3

??4—；

2

綜上所述，當(dāng)以MN為邊的-QMN是等腰直角三角形時(shí)，》的值為5或2或g.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三

角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握二次函數(shù)的性格知識.

6.(1)y=x2-2x-3

3?7(325、

⑵當(dāng)機(jī)=5時(shí)，有面積最大值《■,此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為“天一1.

(3)存在，點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(2,-3)或(l+g,3)或

【分析】(1)直接運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；

(2)過點(diǎn)M作y軸得平行線交直線BC于點(diǎn)P,連接MC、MB,再求得直線BC得解析式

為y=%—3,設(shè)—2機(jī)—m—3),貝|=加一3-(1一2加一3)=->+3帆，

進(jìn)而用m表示出AMBC的面積，最后運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答；

(3)由題意可得：B(3,0),C(0,-3),設(shè)2帆-3),N(〃,0),然后分BC、BM、BN

為對角線，分別根據(jù)平行四邊形對角線相互平分解答即可.

【詳解】(1)解：將點(diǎn)4B,。代入二次函數(shù)解析式，

a-b+c=0a=l

可得<94+36+。=。,解得<b=-2f

c=-3。二一3

*,?—*次函數(shù)表達(dá)式為y=x2—2x—3；

(2)如圖，過點(diǎn)M作y軸得平行線交直線于點(diǎn)P,連接MC、MB,

設(shè)直線3C得解析式為>=履+乙將8,C坐標(biāo)代入,

0=3k+tk=\

可得公，解得

—3t=—3

所以直線得解析式為y=X-3,

設(shè)M(辦“—2m—3),則PM=m-3-^m2-2m—3)=—m2+3m,

??Q—qas

.0BMC一口BMP丁uCMP

=；XMPX(XB-%)

1

=-x(-療+3mjx3

2

3IT27,

2

2

327（325

當(dāng)根=5時(shí)，△MBC有面積最大值可，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為

2T

（3）解：存在,

由題意可得：3（3,0）,C（0,-3）,

設(shè)/（見1—2〃L3）,N（W,O）以對角線分類,

當(dāng)BC為對角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分,

x+x^x+xm+n=3

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得:BcMN,即

%+%=%+%m2—2m—3=—3，

m=0m=2

解得:〃=3（舍棄）或

n=1

所以點(diǎn)"的坐標(biāo)為（2,-3）；

當(dāng)為對角線時(shí)，同理可得:

x+x=x+xm+3=n

BMcN,即

m2-2m-3=-3'

m=0m=2

解得:I（舍棄）或

n=5

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,-3）；

當(dāng)5N為對角線時(shí)，同理可得:

xB+xN=xc+xMgJ3+n=m

y§+yN=)c+%，(m2-2m-3-3=0

m=1+A/7m=1-

解得：,

n=—2+V7

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1+近,3）或（1-近,3卜

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,-3）或（1+近,3）或（1-近,3）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的綜合、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊

形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵.

39

7.（l）y=—x2+—x-3

44

⑵①A；②“〉野巾號）

【分析】（1）將A（LO）,C（0,-3）兩點(diǎn)代入拋物線的解析式，解方程即可；

（2）①設(shè)直線PC交x軸于E,可推出,COE為30。直角三角形，進(jìn)而求得點(diǎn)E坐標(biāo)，從而

求出PC的解析式，將其與拋物線的解析式聯(lián)立，化為一元二次方程，從而求得結(jié)果；

②可推出四邊形PECE'是菱形，從而得出PE=CE,分別表示出PE和CE,從而列出方程，

進(jìn)一步求得結(jié)果.

【詳解】（1）解：由題意得，

c=-3

<-+b-3=0,

[4

：.<4,

a=3

3g

.,?拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y==無2+：x-3；

44

（2）解：①如圖1,

設(shè)直線PC交X軸于E,

?.?PD//OC,

：.NOCE=NCPD=60。,

???ZCOE=90°,

???ZCEO=90°-ZECO=30°,

???CE=2OC=6,

：.0E=AC=36

???點(diǎn)七（3若,0）,

???直線PC的解析式為：y=^x-3,

3

由2爐+2工一3=%一3得，

443

X,=-3,%2=。（舍去），

9

即點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為迪-3；

9

②如圖2,

3Q

令一一+—x-3=0,

44

解得玉=-4,冗2=1，

???貝口0）,

直線BC過3（＜0）、。（0,—3）兩點(diǎn)，

3

直線5C的解析式為：y=-二元-3,

4

分以下兩種情況:

點(diǎn)P在第三象限時(shí)，作族，y軸于尸,

??,點(diǎn)E與E'關(guān)于PC對稱,

：?NECP=NE'PC,CE=CE,

???PE〃丁軸,

:./EPC=/PCE',

：.ZECP=ZEPC,

：.PE=CE,

：.PE=CE,

???四邊形PECE為平行四邊形,

???,PECE為菱形,

：.CE=PE,

u：EF//OA,

3

/二篇，￡L

4

.CE—m

CE=——m,

4

39

*.*PE=-—m-3-|—m2+—m-3出蘇-3%,

4444

.53.

??—m=—m2—5m,

44

7

???叫=。（舍去），m2=,

當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，

同理可得：——m=—m2+3m,

44

17

.,.?=0（舍去），m4=-y,

綜上所述：點(diǎn)尸的坐標(biāo)為尸，:一個(gè)］或尸

【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角

形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，作

輔助線，表示出線段的數(shù)量.

8.⑴①y=/_2x-3；②。（I）或。（2,-3）；

（2）今=要，理由見解析

OBCN

【分析】（1）①設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=a（x-l）2-4,然后把C（0,-3）代入即可求解；

②求出點(diǎn)8的坐標(biāo)為：（3,0）,用待定系數(shù)法求出直線的解析式y(tǒng)=x-3,設(shè)點(diǎn)

，療一2m-3）,則H（加，祖-3）,證明OCE^tDHEn—=-=代入數(shù)據(jù)求出m

OCEO3

的值，從而得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

,/、/、OAx

（2）設(shè)拋物線解析式為＞龍-西）（了-赴），則方=1，當(dāng)％=0時(shí)，＞=時(shí)無2，即

。（0,陰々）.尸（",0（“-占）（力-*2）），用待定系數(shù)法求出直線AP的表達(dá)式為

y=a（n-x2）x-xia（n-x2）,得出點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（0,-*7（〃一9）），同理可得，點(diǎn)

N（Q,-x2a（n-xX\,求出CN=amx2,進(jìn)而可證明=

OBCN

【詳解】（1）解：①設(shè)拋物線的表達(dá)式為：J=O（%-1）2-4,

把C（0,-3）代入，得

-3=ax（O-l）2-4,

解得a=X,

y=(x—l)2—4=x2—2x—3；

②令0=%2—2X—3,

解得X\~—1,%2=3,

即點(diǎn)5的坐標(biāo)為：(3,0),

設(shè)直線BC的解析式為＞=kxx+bx,

則〔f占3fc+fe=0，

.■=1

,=-3，

y=x-3,

如圖，作DH〃OC,交直線BC與H,

設(shè)點(diǎn)3),則H(n加一3),

DH=m—3—^m2—2m—3^=—m2+3m.

DH//OC,

：.qCEsQHE,

.DHDE_2

，'~OC~~EO~3,

.-m2+3m2

,?=—，

33

解得〃?[=1,恤=2,

.?.。(1,-4)或。(2,-3)；

（2）解：理由如下：

OBCN

/、/、OAX/、

設(shè)拋物線解析式為y=a（x-占）（x-%2），貝U而=『，當(dāng)x=。時(shí)，＞=叫芍，即C（o,依1當(dāng)）.

設(shè)點(diǎn)P（n,＜7（ra-x1）（M-x2））,

設(shè)直線AP的表達(dá)式為：y=k2x+b2,

kn+b=a(n-石）（九一％2）

則＜22

k2Xy+4=0

k=〃(〃一元2)

解得2

b2=-xxa(n-

y=a（ji-x2）x-xia{ji-x2）,

當(dāng)犬=0時(shí)，y=_再〃（〃_%2），

，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（0,-占4（〃一%））,

同理可得，點(diǎn)雙（0,-々4（〃-玉）），

貝|CM=afwC],CN=arruc2,

CM_%

CNx2

.OACM

「OB-GV,

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交

點(diǎn)，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何綜合等，難度較大，屬中考壓軸題.

7

9.（1）y=-x2+—X+2

⑵，=1

（3）竽

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求二

次函數(shù)解析式等等，通過把求線段的長轉(zhuǎn)換成點(diǎn)P橫坐標(biāo)的二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

（1）先根據(jù)一次函數(shù)解析式求出4B的坐標(biāo)，再把A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式中求出拋

物線解析式即可；

（2）由尸&0）,^Myt,--t+2\,N\t,-t2+—t+l\,分別表示出入CV=f2+4/,

MP=-^t+2,由MN=2MP,建立方程，-尸+由=2(-3^+2],解方程即可得到答案；

(3)如圖所示，連接附、NB,設(shè)點(diǎn)N到相的距離為d,設(shè)，同理得至IJ初"-產(chǎn)+書，利

用勾股定理求出AB=2宕，根據(jù)5.=-2(/-2)2+8,最大值為8,得S人g=8,

推出』=至，即"的最大值為更

55

【詳解】(1)解：直線y=-；x+2中，x=0時(shí)，y=2；y=0時(shí)，x=4.

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,0).

???拋物線》=-X2+法+。經(jīng)過點(diǎn)A,B,

*=2

1-16+4〃+。=0

\b=l

解得：\2,

c=2

7

拋物線的解析式為y=-/+：*+2；

(2)解：?.?設(shè)點(diǎn)P&0)(0<?<4),則點(diǎn)用“,一1+2)N‘T2+}+2),

MN=—?2H—Z+2—|—+2|=-產(chǎn)+4fMP=—才+2,

2I2J2

?；MN=2MP,

：.—〃+4/=21—]+2),

解得：r=1或4(與點(diǎn)3重合，舍去)，

t=1；

(3)解：點(diǎn)N到直線48的距離為d,

求d的最大值即為求,/WB面積的最大值，

連接NA、NB,如下圖所示，

?.?點(diǎn)8(4,0)、4(0,2),

-4,OA=2,

由(2)得：MN=-t2+4t,

：.S3=1AW-OB=1(-f2+4z)x4=-2(f-2)2+8<8,

.,.一AA?面積最大為8,

?1?5版=：4小3=8，

解得d=至，

5

即d的最大值為更；

5

2?

10.(1)y=--x2--x+4

517

⑵尸

4'T

(3)四邊形AWBN的面積不會改變，四邊形4WBN的面積為三

【分析】(1)設(shè)拋物線6的解析式為：y=a(x+3)(x-2),再將C(0,4)代入求出a的值即

可求解；

(2)記AP與，軸的交點(diǎn)為點(diǎn)。，過點(diǎn)。作DE1AC于點(diǎn)E,在RtaCDE中，由勾股定理

可得OD的長，即可求出。點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線AP的解析式與二次函數(shù)解析式聯(lián)立，即可

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)設(shè)+求出直線BQ的解析式，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理可得直線AQ

的解析式，根據(jù)3N〃A。，求出直線RV的解析式，從而可得點(diǎn)N的坐標(biāo)，求出MN,再根

據(jù)/邊形.N即可求解?

【詳解】(1)解：設(shè)拋物線片的解析式為：y=a(x+3)(x-2),

把C(0,4)代入上式得，得。=-申

（2）解：記AP與，軸的交點(diǎn)為點(diǎn)。，過點(diǎn)。作DE2AC于點(diǎn)E,如圖所示:

圖①

又P4平分4AC,

:.OD=DE,AE=AO=3,

77

由（1）得了=—X2—x+4,當(dāng)尤=0時(shí)，y=4,

33

,■,C（0,4）,OC=4,

A（-3,0）,

AC=732+42=5>

:.CE=AC-AE=2,

設(shè)OD-x,貝!JDE=x,CD=4—x,

在RtACDE中，由勾股定理得：CE2+DE2=CD2,

即22+x2=（4-x）2,

3

解得：X=]，

設(shè)直線AP的解析式為y=k1x+bl,

把人（一3,0）,。店

代入y得,

~~3k]+4=0

,73，

b、=一

[2

K=-

12

解得：

,3

b[=-

,12

13

/.y——xH—,

22

22

y=——x2——x+4

33

聯(lián)立

13

y=—x+—

22

解得：x=3或-3（舍去），

4

將尤=?5代入y1尤+；3中，得＞=］17，

517

P

45T

（3）解：設(shè)點(diǎn)°［夕,—g/-+,

8(2,0),

設(shè)直線BQ的解析式為y=k2x+b2,

2k2+b2=0

.j222,

qk2+b2-14+4

72c

解得：J,

4=/+4

二直線8Q的解析式為y=1—gq—2]x+g?+4,

.[《。，京+力，

同理可得：直線AQ的解析式為：y=]-|q+g)x-2q+4,

BN//AQ,

設(shè)直線BN的解析式為y=(-|q+￡|x+〃，

8(2,0),

0=(一三+jx2+”,

解得：〃=gq-'|，

（224、48

直線BN的解析式為y=[-§夕+§卜+§4-

33

.?沖,].|

_4/4844820

線段A/7V的長度為5g+4_葭”§=—〃+4——4+—=——

33333

1x^x5=^

二?S四邊形AMBN=2MN,AB=

233

二四邊形AMBN的面積不會改變，四邊形AM3N的面積為日.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式，角平分線的性質(zhì)定理，勾股

定理，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問題，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

H.(1)4

(2)2

(3)76-2<?<2+>/6

【分析】⑴在y=-3)2一4a(a>0)中，當(dāng)y=0時(shí)，a(x—3)2-4〃=0,解得：/=1,%=5,

求得點(diǎn)A、5的坐標(biāo)，即可求得答案;

（2）當(dāng)a=l時(shí)，利用待定系數(shù)法可得直線3C的解析式為y=2%-10,連接AD,過點(diǎn)。作

。石_Lx軸于點(diǎn)區(qū)由SVB8=SVABC，可得AD〃BC,可得直線AD的解析式為y=2x-2,

聯(lián)立方程求得。（7,12）,再運(yùn)用正切函數(shù)定義即可求得答案；

（3）由平移得新拋物線Z/：y=々（％—3—々）2_4〃_2々=〃（％—3—0）2一6〃，再由PA+尸3的

最小值為4,且AB=4,可知：點(diǎn)尸在線段A3上，即拋物線Z/的對稱軸左側(cè)與x軸的交點(diǎn)

為P,即求得。的取值范圍.

【詳解】（1）解：在y=〃（x-3）2—4a（Q>。）中，

當(dāng)>=0時(shí)，〃（1