2025年春高河中學(xué)高二第一次月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分)

1"(/2)一/(/)-

1.已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為4,則—°2Ax()

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】A

【解析】

【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義變形求解可得.

【詳解】由函數(shù)在x=/處的導(dǎo)數(shù)為%

則lim〃x°)=Um勺…生)

—。2Ax以一。-2(x0-Ax-x0)

=-1/，Uo)=-1x4=-2-

故選：A.

2.下列求導(dǎo)運(yùn)算不正確的是()

A.(e*.sinx)=(cosx+sinx)e*B.[4]=--L

C.(3x+ln3y=3lln3+-D.[ln(2x)]f=-

3x

【答案】C

【解析】

【分析】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法判斷各項的正誤.

【詳解】A：(e*,sinx)=(e^)'-sinx+ex-(sinx)r=ex-sinx+e%-cosx=(cosx+sinx)e%，對;

B：f—=-%"2二一"y，對；

yxJx

C：(3'+ln3j=(3"y+(ln3y=31n3,錯；

D：[ln(2x)J=工.(2X)'=L對.

2xx

故選：C

3.已知等比數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，其前〃項和為3，%%=3，/+。6=4,則3=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)求出。3。6=3,即可求出。3、4,即可求出再由求和公式計算可得.

【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列｛%｝單調(diào)遞增，。4。5=3，貝=〃4〃5=3，又。3+。6=4,

見=1［仇=3

（舍去）,所以八女=3,

解得,或1

4=3［。6=1

%(1-1)

所以,=:=1+=4

S3%(1-4)i-q

i-q

故選：D.

4.已知尸是橢圓氏二+*.=1（?！?〉0）上異于點(diǎn)4（—q,0）,B（a,O）的一點(diǎn)，￡的離心率為走，則

a~b2

直線4戶與外的斜率之積為（）

1

C.D.

44

【答案】C

【解析】

【分析】利用點(diǎn)戶與橢圓長軸兩頂點(diǎn)連線的斜率之積的不等式，建立等式，考查橢圓的方程，即可確定a,

6的關(guān)系，從而通過橢圓的離心率，求解即可.

2C22、

Xa-x

【詳解】設(shè)F（羽y）,點(diǎn)A（—a,o）,B（a,o）,橢圓反￡-1,/=b-

b2~

橢圓的離心率為走,

2

222

c6c°3?,a-b3SF-rlb1

?.—=—，—r=-，則——；—=一，所以一r=一

a24a-4礦4

點(diǎn)戶與橢圓長軸兩頂點(diǎn)連線的斜率之積為：」——匕==-^=--

x+ax-ax-aa4

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查斜率的計算，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.

5.已知函數(shù)y=/(x)為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，y=(d+4x+3)/'(x)的圖像如圖所示，以下命題正確的是

()

%

/~3-2-1。1x

A./(-3)是函數(shù)的極大值B.是函數(shù)的極小值

C./(%)在區(qū)間(—3,1)上單調(diào)遞增D.7(%)的零點(diǎn)是—3和—1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷了(%)的單調(diào)性，進(jìn)而逐項分析判斷.

【詳解】因?yàn)閥=(尤2+4尤+3)r(x)=(x+3)(x+l)r(x),

由圖可知：x<-3,(x+3)(x+l)/,(x)<0；一3<%<-1或x>-l,(x+3)(x+l)/,(x)>0；

且x<-3或x>-1,(x+3)(x+l)>0；-3<x<-L(x+3)(x+l)<0；

可得x<-3或-3<x<-l,/,(x)<0；x>-l,/,(x)>0；

且函數(shù)y=/(x)為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，

則V=/(九)在(―8,T)內(nèi)單調(diào)遞減，在(—L+8)內(nèi)單調(diào)遞增,

可知丁=/(無)有且僅有一個極小值/(-1)，無極大值，故AC錯誤，B正確；

由于不知y=/(x)的解析式，故不能確定y=/(x)的零點(diǎn)，故D錯誤；

故選：B.

6.一個矩形鐵皮的長為16cm,寬為10cm,在四個角上截去四個相同的小正方形，制成一個無蓋的小盒

子，若記小正方形的邊長為x(cm),小盒子的容積為V(cm),則()

A.當(dāng)x=2時，V有極小值B.當(dāng)x=2時，V有極大值

2020

C.當(dāng)％=一時，V有極小值D.當(dāng)％=——時，V有極大值

33

【答案】B

【解析】

【分析】

求出小盒子的容積，通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的極值情況可得答案.

【詳解】小盒子的容積為V=x(16-2x)(10-2x)=4x3-52x2+160x(0<x<5),

20

所以丫'=12/—104X+160,令V'=0得x=2,或％=可舍去，

當(dāng)0〈尤<2時，V'>0,V(x)單調(diào)遞增，當(dāng)2〈尤<5時，V'<0,V(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)尤=2時V(x)有極大值為144.

故選：B.

7.已知等差數(shù)列{%}(neN+)的前〃項和為5“，公差d<0,—<-1,則使得5“>0的最大整數(shù)〃

為()

A.9B,10C.17D.18

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)仇<一1，可得％0，為異號，根據(jù)d<0可知的>°，60<0,且即)+。9<0,所以

%+47>0,4+%8<0，利用等差數(shù)列的前，7項和公式即可得出結(jié)果.

【詳解】解：因?yàn)?則<—1<0,所以異號，

。9

因?yàn)閐<0,所以%>。，。10<。，

又有」"<一1,所以［?！匆坏?，即。1()+。9<0，

因?yàn)榱?17(。；%)=17%〉0,九J8.；陽)=9&+40)<0,

所以S“>0的最大整數(shù)〃為17.

故選：C

8.函數(shù)/(x)=lnx與函數(shù)g(x)=/m：2+g有兩個不同的交點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是()

【答案】D

【解析】

Inx——

【分析】利用參變分類可得丁=加和的圖象有兩個交點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論后者的性質(zhì)后可得

/z(x)=2

參數(shù)的取值范圍.

[1_1

【詳解】由7^2+—=inx(x>0)得2

~廠

,InV--1

則問題轉(zhuǎn)化為y=機(jī)和/?(X)=2的圖象有兩個交點(diǎn)，

12"

—-%-2x\\nx——

而"~~22(l-lnx)

令〃(X)>0,解得0<x<e,令"(x)<0,解得％>e,

故/z(x)在(O,e)上單調(diào)遞增，

在(e,+8)單調(diào)遞減，貝l]/z(x)max=Me)=Ty

當(dāng)Xf+00時，入⑴-0的圖象有兩個交點(diǎn)；

當(dāng)XfO時，〃(尤)f—8的圖象有兩個交點(diǎn);

h(x)大致圖象如右所示:

故選：D

二、多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)

9.(多選題)已知函數(shù)/(x)=gx3-4x+4(xe［0,3］),則()

A.函數(shù)/(x)在區(qū)間。2］上單調(diào)遞減

B.函數(shù)/(%)在區(qū)間［0,3］上的最大值為1

C.函數(shù)/(%)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為y=-3x+y

D.若關(guān)于x的方程f(x)=a在區(qū)間［。,3］上有兩解，則(4］

【答案】AC

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/(%)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷AB選項；結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷C選項；畫

出函數(shù)/(幻大致圖象，結(jié)合圖象即可判斷D選項.

1,

【詳解】因?yàn)?"(x)=§x3—4X+4,xe［0,3］,

所以1(x)=-4=(x+2)(x—2),

令r(x)>0,即無>2；令/'(x)<0,即0?x<2,

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減，在［2,3］上單調(diào)遞增，故A正確；

因?yàn)?(0)=4,/(3)=1,

所以函數(shù)/(%)在區(qū)間［0,3］上的最大值為4,故B錯誤；

因?yàn)閺V⑴=—3,/⑴二；，

所以函數(shù)/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處切線方程為y-^=-3(x-1),

即y=-3xH—，故C正確；

3

4

因?yàn)?(2)=—函數(shù)/(x)大致圖象如圖，

要使方程y（x）=。在區(qū)間［0,3］上有兩解，

4

則——<a《l,故D錯誤.

3

故選：AC.

10.已知拋物線C：儼=4尤的焦點(diǎn)為尸，過尸的直線/交拋物線于A（XI,Ji）,B（X2,>2）兩點(diǎn)，且A,8

在其準(zhǔn)線上的射影分別為4,Bi,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若直線/_Lx軸，則|A8|=2B.中々=3C.?y2=-4D.ZAiFBi=

71

I

【答案】CD

【解析】

【分析】選項A,求解A,8點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出的長；選項BC,設(shè)出直線/的方程，聯(lián)立直線/與拋

物線C的方程組，消元得一元二次方程，得到兩根之積；D選項，由拋物線定義得到/A必產(chǎn)NAiFO=g

ZAFO,ZBFB!=ZBIFO=^ZBFO,從而得到答案.

【詳解】拋物線C的焦點(diǎn)尸（1,0）,準(zhǔn)線方程x=-l,顯然/不垂直于y軸，設(shè)/的方程為x=my+l,由

x=my+1

2

<2得：y-4my-4=0,yi,”是此方程的二根，

y=4x

選項A,直線/_Lx軸，m=0,yi=2,"=2則|A5|=4,即選項A錯誤；

選項B,注第=-4,則％%=K./=（%%）=i，即選項B錯誤；

-1-4416

選項C,yi-y2=-4,即選項C正確；

選項D,如圖中，由拋物線的定義知，\AF］=\AiA\,：.ZAAiF=ZAFAif

又A4i〃x軸，/.ZAAiF=ZAiFO,：.ZAFAl=ZAiFO=^ZAFO,同理可得，ZBFBl=ZBlFO=^ZBFO,

：.ZAlFBl=ZAiFO+ZBlFO=^-CZAFO+ZBFO)=-,即選項D正確.

22

故選：CD

11.已知函數(shù)/(x)=(x—l)2(x—4)+機(jī)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x)()

A.若〃尤)有三個零點(diǎn)，則0(機(jī)＜4B./,(4-x)=/,(x)

C.x=l是/(x)的極小值點(diǎn)D.當(dāng)x?0,/(九絲0時，貝心心4

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性并求出了(%)極大值、"x)極小值，結(jié)合零點(diǎn)定義逐項判斷可得答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y(x)=(x—l)2(x—4)+加，所以/'(x)=3f—12X+9,

令/'(%)=0,解得x=l,或x=3,

當(dāng)x>3,或x<l,/'(x)>0,當(dāng)1<%<3,//(%)<0,

所以了(%)在(3,+8),(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減,

〃龍)極大值=7⑴=7〃，”尤)極小值="3)=-4+加，

m>0

對于A,得0<加<4,

-4+m<0

即/(1)=根＞0，/(3)=^4+m＜0,

因?yàn)椤癤)在(1,3)上單調(diào)遞減，所以“X)在(1,3)上只有一個零點(diǎn),

因?yàn)?（—1）=（—1—1）2（—1—4）+m=m—20<0,〃龍）在（—8,1）上單調(diào)遞增,

可得了（%）（—8,1）上只有一個零點(diǎn)，

因?yàn)椤?）=（5—1）2（5—4）+m=16+加>0,〃龍）在（3,母）上單調(diào)遞增，

可得了（九）在（3,+8）上只有一個零點(diǎn)，

綜上，/（%）有三個零點(diǎn)，故A正確；

對于B,/'（%）=3%2-12x+9,

f（4-x）=3（4-x）2-12（4-x）+9=3x2+12x+9,

所以/'（4—￡）=/'（￡）,故B正確;

對于C,x=l是的極大值點(diǎn)，故C錯誤；

對于D,當(dāng)“時,則”小值"⑶一+…,

'）[/（0）=-4+m>0

解得7”之4,故D正確.

故選：ABD.

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.己知函數(shù)/（》）=/'[2卜05%-5111%,則/■《）=.

［答案］_更##—

33

【解析】

JT兀71

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，代入x=：,求出了',得到函數(shù)解析式，可求/

6

171

【詳解】函數(shù)〃力=,S1ILX,貝Jr(x)=-/sinx-COSX

母-符吟哈

所以屯T則f(X)---^-COSX-

sinx，

故答案為：一空.

3

13.己知曲線y=lnx+2與y=ln(尤+。)公切線為y=Ax+l—ln2,則實(shí)數(shù)a=.

【答案】1

【解析】

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為?,In7+2),求得切線方程y=[x+lnf+l,根據(jù)題意，求得?=工,得到切線方

t2

程為y=2x+l—ln2,再設(shè)切點(diǎn)為(m,ln(m+a)),結(jié)合切點(diǎn)在切線上和-----=2,列出方程組，即可

m+a

求解.

【詳解】由函數(shù)y=hw+2,可得y'=」，

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為?,lnt+2),可得了憶尸；，則切線方程為y—(hu+2)=：(xT),

即y=1九+ln/+l,與公切線y=Ax+l—ln2重合，可得ln/+l=l—ln2,

t

可得/二工，所以切線方程為y=2x+l—ln2,

2

對于函數(shù)y=ln(x+a),可得y=」一，設(shè)切點(diǎn)為O,ln(s+a)),貝仃'|9=--一

x+am+a

ln(m+Q)=2m+1-In2

則11,解得m=——,a=l.

-------=22

^m+a

故答案為：1

14.已知左＞0,對任意的—,+x),不等式e"(A%—1)2exluv恒成立，則上的取值范圍是

【答案】[1,+。)

【解析】

求出叵擔(dān)

【分析】構(gòu)造函數(shù)〃x)=xeX(xeR),利用單調(diào)性得到質(zhì)—INlux,分離參數(shù),g(x)=

X

xe：，+s］，的最大值即可

【詳解】由條件得(fct-l)>xlnx=e1nx?lux,

構(gòu)造函數(shù)/⑺=*(X€R),對其求導(dǎo)得/■'(%)=(x+l)e"令/'(力=0得x=_i,

于是當(dāng)％<—1時，/'(x)<0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞減；當(dāng)x>—1時，/'(力>0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞增.

因?yàn)樨?gt;0,xe|,+oo,所以質(zhì)—1>—1,lax>-l,根據(jù)/(依—1)2/(lux),得到米—121m:,

］nY+1

分離參數(shù)得左2上一對VxeJ恒成立,

x

lr,ln%+1

只需左2(Z-----)max

-1、_1

構(gòu)造函數(shù)g(x)=nnr

1%+1xe-,+<?,對其求導(dǎo)得/(力=——)

_e)x

令g'(x)=0得x=l,于是當(dāng)』<x<l時，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;

e

當(dāng)%>1時，g'(X)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

所以gCOmax=g(l)=L于是左上1，因此％的取值范圍是

故答案為：［1,+8)

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+ox,aeR.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性;

(2)若/(九)^尤+1恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

(2)|—oo,l---

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)/(九)的導(dǎo)數(shù)，討論。的范圍確定導(dǎo)數(shù)正負(fù)可得出單調(diào)性;

(2)由已知得aVx+1—1nx恒成立,x+1-lnx

令g(x)=,x>0,利用導(dǎo)數(shù)求得g(x)的最小值即可.

xX

【小問1詳解】

由/(x)=lnx+依,則/'(%)=，+〃,無>()

當(dāng)讓0時，/'(力>0恒成立，則“力在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時，令/'(%)=0,解得x=—

x《0,-/時，/(%)>0,則“X)在￡|上單調(diào)遞增；

時，/(%)<0,則/(%)在］一十,+8］上單調(diào)遞減.

【小問2詳解】

由題意lnx+dr4％+1恒成立，

x+1-luxJx+1-lnx^l

因?yàn)閤>0,即得---------恒成立，即----------，x>0,

%\X7min

、―/、x+1-lnx八.I”、lnx-2

i己g(x)=--------,x>0,貝|Jg(x)=---2-，

XX

令g'(x)=0,得Me?,令g'(x)<0,得0<無<—即g(x)在(Od)上單調(diào)遞減,

令g'(x)>0可得x>e2,即g(x)在卜2,+句上單調(diào)遞增，

所以8⑴血=g(e?)=l—

所以一-豆,即實(shí)數(shù)。的取值范圍為/.

16.已知函數(shù)/（無）=卜2-2%+4）6”,461^.

(1)若。=1,求函數(shù)/(幻在xe［0,3］上的最大值和最小值;

(2)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性.

【答案】(1)最大值為4e3,最小值為0；

(2)答案見解析.

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/(幻在XG［0,3］的單調(diào)性，求極值和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值，即可求解;

(2)對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)未知數(shù)。的不同范圍，分別求出函數(shù)單調(diào)性.

【小問1詳解】

當(dāng)〃=1時，/(x)=(x2-2x+l)e\則廣(x)=(d—1)^,

令/'(X)=(%2-1)9'=。，得x=l或％=—1,

由于xe[0,3],

所以當(dāng)XG(0,1),r(x)<0,/(x)在(0,1)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)XG(1,3),r(x)>0,/(X)在(1,3)單調(diào)遞增，

所以/(幻在龍=1時取到極小值，且/(1)=0,

又因?yàn)?(0)=1,/⑶=4e3,

綜上，函數(shù)/(%)在xe[0,3]上的最大值為4e3,最小值為0.

小問2詳解】

因?yàn)?(%)=(￡—2x+ajex,aeR,所以f'(x)=(%?+a-2)e*,aGR,

當(dāng)a—220,即a22時，/f(x)=(x2+?-2)ex>0,

/(x)在(-oo,+oo)單調(diào)遞增，

當(dāng)〃一2<0,即〃<2時，

令/'(x)=(%2+Q_2)e*=0,則i=±J2-a，

所以當(dāng)xeb”,—J=),/'(x)>0,/(x)在卜廳￡)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe卜\/2-a,J'2-a),/'(%)<0,/(x)在卜丁2-a,,2-a)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(、2-a,+e)f'(x)>0,/(x)在(,2—a,+”)單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)aN2時，/(幻在(—8,+。)單調(diào)遞增，

當(dāng)a<2時，/(x)在—J2—ab(J2—a,+”)單調(diào)遞增,在(―,2—a,/2—a)單調(diào)遞減.

17.如圖1,在矩形A3CD中，3。=243=2,￡是">中點(diǎn)，將ACDE沿直線CE翻折到的位

置，使得PB=6,如圖2.

圖2

（1）求證：面PCE_L面ABCE；

（2）求PC與面A3P所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）2叵.

11

【解析】

【分析】（1）連結(jié)8E,可得BELEC,結(jié)合兩圖，可得BE1EC,BE±PE,又ECcQEuE，根據(jù)

線面垂直的判定定理證得面PEC,再利用面面垂直的判定定理證得結(jié)果；

（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以A3,AE直線為x軸，y軸，以經(jīng)過點(diǎn)A且垂直于平面A6CE的直線為z軸建

立直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦值的絕對值得到結(jié)果.

【詳解】（1）證明：連結(jié)助,

由圖1可得BE_LEC

在圖2中BE=J2,PE=1,PB=73,/.BE1PE

又,.,ECc尸石二足二5石上面PEC

：.BEczffiABCE；.面PCE_\_面ABCE

(2)以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以A3,A石直線為不軸，V軸，以經(jīng)過點(diǎn)A且垂直于平面ABCE的直線為z軸建

立直角坐標(biāo)系.

(13^/2]

由題意可知，B(1,0,0),C(1,2,0),E(0,l,0),P

AP=PE，通=(1,0,0)

設(shè)面ABP法向量為：=(%,%z)

n-AP=0令〉="得2=-3,所以尢=(0,"—3)

n-AB=0

’11

PC=

2,2,

2^/22

sin6)=|cos^PC,n

/|PC|X|?|11

所以直線PC與面的尸所成角的正弦值為拽2.

11

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，解題方法如下:

(1)結(jié)合平面幾何的知識得到線線垂直，利用線面垂直的判定定理證得線面垂直;

(2)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求得平面的法向量和直線的方向向量，求得其所成角的余弦值，進(jìn)而得到線面

角的正弦值.

18.已知正項數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，且滿足%=9,45〃=%+2%+機(jī).

(1)證明：｛4｝為等差數(shù)列.

(2)求加的值和｛4｝的通項公式.

(3)若數(shù)列出｝滿足"=」三，其前〃項和為T“，證明：7；,<4.

【答案】(1)證明過程見解析；

(2)m=-15?a”=2〃+3；

(3)證明過程見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)〃22時，q,=S〃—S,i得到a“—=2,證明出｛可｝為等差數(shù)列；

(2)利用等差數(shù)列性質(zhì)及%=9得到4=5,結(jié)合2%+根=0求出爪=—15,并得到通項公式；

⑶勿=〃.(",利用錯位相減法求和,得到<=4—(〃+2)g)<4.

【小問1詳解】

4S.=a；+2a“+根①，

當(dāng)〃22時，4s“_]=+2a0T+m②，

式子①-②得4an=a；+2an-2%,

故a1-2an-a；--2an_x=0,故(%+-an_x-2)=0,

｛■為正項數(shù)列，故a“+%>0,所以?！耙?。"_1-2=0,

即a,,-a,i=2,｛a“｝為公差為2的等差數(shù)列；

【小問2詳解】

由(1)知，｛%｝為公差為2的等差數(shù)列，

%=9,故％=。3—2x2=5,

45〃=4+2%+相中，令〃=1得4%=a；+24+加，

即如一2%+根=0,

將。1=5代入上式得25—10+根=0,解得加二—15,

｛，〃｝的通項公式為an=q+2(H—1)=5+2〃—2=2〃+3；

【小問3詳解】

an一32n+3-3(1

b〃=-----=n?—

1=1+2義；+3義[3]

故H+2x[)+3x[)+...+喂)

式子③-④得

-*=2-(n+2)

故北=4一(〃+2)<4.

19.己知函數(shù)〃x)=2at+(2-a)lnx+L

(1)當(dāng)a<0時，討論了(%)的單調(diào)性;

(2)若a=0,g(x)=em—f+g+L討論方程=。的根的個數(shù).

x

【答案】(1)答案見解析；

(2)答案見解析.

【解析】

【分析】(1)應(yīng)用分類討論及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

nalnr2

(2)根據(jù)已知有Q+mx-e-+ln%;構(gòu)造/z(x)=x+e\xe(0,+“)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,

C1

得到〃Z利用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)的單調(diào)性和最值，即可得參數(shù)范圍.

X

【小問1詳解】

f(x)=lax+(2-a)ln%+—的定義域?yàn)?0,+"),則/(x)=⑶1),依+1)