第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年黑龍江省牡丹江第二高級中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={?2,?1,0,1,2}，B={x|x2+4x+3>0}，則A∩B=A.{?1,0} B.{0,1} C.{?1,0,1} D.{0,1,2}2.已知變量x與y負相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)x?=4,y?A.y=0.4x+4 B.y=1.2x+0.7 C.y=?0.6x+8 D.y=?0.7x+8.23.已知ln(x+4y)=2lnx+lny，則12x+1A.2 B.2 C.224.若(ax?1x)6的展開式中常數(shù)項等于?20A.1 B.32 C.0 D.645.已知函數(shù)f(x)=x?lnx，則f(x)單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A.(?∞,0) B.(1,+∞)

C.(?∞,0)∪(1,+∞) D.(0,1)6.“a>1”是“二次函數(shù)f(x)=ax2?2x+1在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知f(x)=ln(1+x)+ln(1?x)，若f(2a?1)<f(?a)，則實數(shù)aA.(?∞,13)∪(1,+∞) B.(?∞,0)∪(0,13)8.f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，有xf′(x)+2f(x)>0恒成立，則(

)A.f(1)>4f(2) B.f(?1)<4f(?2)

C.4f(2)<9f(3) D.4f(?2)<9f(?3)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法中，正確的命題是(

)A.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2)，P(X<4)=0.8，則P(2<X<4)=0.2

B.線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強；反之，線性相關(guān)性越弱

C.已知兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為y=a+bx，若b=2，x?=1，y?=3，則a=1

D.若樣本數(shù)據(jù)2x1+1，210.下列命題中，正確的命題是(

)A.長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約40%的人近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機超過1?，這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天玩手機不超過1?的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為38

B.在三位數(shù)中，形如“aba(b<a)”的數(shù)叫做“對稱凹數(shù)”，如：212，434，?，則在所有三位數(shù)中共有37個對稱凹數(shù)

C.北京2022年冬奧會即將開幕，北京某大學(xué)5名同學(xué)報名到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，每個場館至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有150種

D.用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字且比1000大的四位奇數(shù)共有3611.已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x+2)+f(x)=0，且當(dāng)0<x≤1時，f(x)=2x.函數(shù)g(x)是R上的偶函數(shù)，g(x+y)=g(x)g(y)，且g(x)>0，則下列結(jié)論正確的是(

)A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱

B.f(x)是周期為4的周期函數(shù)

C.g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增

D.f(0)g(2025)+f(1)g(2024)+f(2)g(2023)+f(3)g(2022)+…+f(2024)g(1)=0三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.函數(shù)f(x)=1x213.某種疾病的患病率為0.50，患該種疾病且血檢呈陽性的概率為0.49，則已知在患該種疾病的條件下血檢呈陽性的概率為

．14.已知函數(shù)f(x)=x+2,x∈(?∞,0],ex,x∈(0,+∞),若存在x1，x2(四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2?2x在x=1處取得極值．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=x2+ax+3．

(1)當(dāng)a=?4時，求不等式f(x)≥0的解集；

(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤6a2+3的解集為17.(本小題15分)

近幾年，AI技術(shù)加持的智能手機(以下簡稱為AI手機)逐漸成為市場新寵.為了解顧客的購買意愿，某手機商城隨機調(diào)查了100位顧客購買AI手機的情況，得到數(shù)據(jù)如表：購買AI手機購買不帶AI的手機總計男性顧客4070110女性顧客603090總計100100200(1)依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，能否認(rèn)為購買AI手機與顧客的性別有關(guān)？

(2)為提升AI手機的銷量，該手機商城針對購買AI手機的顧客設(shè)置了抽獎環(huán)節(jié)，抽獎規(guī)則如下：①共設(shè)一、二等獎兩種獎項，分別獎勵200元、100元手機話費，抽中一、二等獎的概率分別為13，12，其余情況不獲獎金；②每位顧客允許連續(xù)抽獎兩次，且兩次抽獎相互獨立，記某購買AI手機的顧客兩次所獲得獎金之和為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考公式：χ2=α0.0100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82818.(本小題17分)

2021年7月24日中華人民共和國教育部正式發(fā)布《關(guān)于進一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負擔(dān)和校外培訓(xùn)負擔(dān)的意見》，簡稱“雙減”政策．某校為了解該校小學(xué)生在“雙減”政策下課外活動的時間，隨機抽查了40名小學(xué)生，統(tǒng)計了他們參加課外活動的時間，并繪制了如下的頻率分布直方圖．如圖所示．

(1)由頻率分布直方圖估計該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)；

(2)由頻率分布直方圖可認(rèn)為：課外活動時間t(分鐘)服從正態(tài)分布N(μ,13.42)，其中μ為課外活動時間的平均數(shù)．用頻率估計概率，在該校隨機抽取5名學(xué)生，記課外活動時間在(49.1,89.3]內(nèi)的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望(精確到0.1)．

參考數(shù)據(jù)：當(dāng)X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)時，P(μ?σ<X≤μ+σ)=0.682719.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ln(a?x)．

(1)當(dāng)a=2時，求f(x)在x=1處的切線的傾斜角；

(2)若x=0是函數(shù)g(x)=xf(x)的極值點，

(i)求實數(shù)a的值；

(ii)設(shè)函數(shù)F(x)=x+f(x)xf(x).證明：答案解析1.【答案】D

【解析】解：解不等式x2+4x+3>0，得x<?3或x>?1，即B={x|x<?3或x>?1}，

又A={?2,?1,0,1,2}，

∴A?B={?2,?1,0,1,2}∩{x|x<?3或x>?1}={0，1，2}．

故選：D．

解不等式化簡集合B，再利用交集的定義求解作答．2.【答案】C

【解析】解：因為變量x與y負相關(guān)，所以b?<0，由此排除A，B選項；

因為x?=4，y?=5.6，將其代入C，D選項進行檢驗，即可得到C項正確．

故選：3.【答案】D

【解析】解：因為ln(x+4y)=2lnx+lny=lnx2y，

所以x+4y=x2y，x>0，y>0，

所以y=xx2?4，

則12x+1y=12x+4.【答案】C

【解析】解：因為(ax?1x)6的展開式中常數(shù)項等于?20，

所以由Tr+1=C6r(ax)6?r(?1x)r=C6ra6?rx6?2r(?1)r，

當(dāng)6?2r=0?r=3，5.【答案】B

【解析】解：f′(x)=1?1x=x?1x，x>0，

當(dāng)x>1時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，即函數(shù)的單調(diào)性遞增區(qū)間為(1,+∞)．

故選：B6.【答案】A

【解析】解：二次函數(shù)f(x)=ax2?2x+1在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增可得a>0??22a=1a≤1，

解得a≥1，a>1是7.【答案】C

【解析】解：因為f(x)=ln(1+x)+ln(1?x)=ln(1?x2)(?1<x<1)，

則f(x)為偶函數(shù)，且x>0時，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知f(x)單調(diào)遞減，

由f(2a?1)<f(?a)得，|2a?1|>|?a|，|2a?1|>|?a|?1<2a?1<1?1<?a<1

8.【答案】C

【解析】解：令g(x)=x2f(x)，

因為x>0時，有xf′(x)+2f(x)>0恒成立，

所以x>0時，g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)>0，

故g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

因為f(x)為奇函數(shù)，f(?x)=?f(x)，

所以g(?x)=(?x)2f(?x)=?x2f(x)=?g(x)，

故g(x)為奇函數(shù)，

故g(x)在R上為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，

則g(2)>g(1)，即4f(2)>f(1)，A錯誤；

g(?1)>g(?2)，即f(?1)>4f(?2)，B錯誤；

g(2)<g(3)，即4f(2)<9f(3)，C正確；

g(?2)>g(?3)，即4f(?2)>9f(?3)，D錯誤．9.【答案】CD

【解析】【分析】本題考查線性回歸方程的性質(zhì)與應(yīng)用，考查正態(tài)分布的性質(zhì)及方差的性質(zhì)，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．

由正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷A，由相關(guān)系數(shù)的概念可判斷B，由回歸方程過樣本中心(x?,y?【解答】

解：對于A選項，隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2)，P(X<4)=0.8，則P(2<X<4)=P(X<4)?P(X<2)=0.8?0.5=0.3，故A錯誤；

對于B選項，因為|r|越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，故B錯誤；

對于C選項，因為回歸方程過樣本中心(x?,y?)，所以有3=a+2×1，解得a=1，故C正確；

對于D選項，由方差的性質(zhì)D(aX+b)=a2D(X)，可得，若樣本數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，…10.【答案】ACD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A，設(shè)從每天玩手機不超過1?的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率為p，則有0.2×0.5+(1?0.2)p=0.4，解可得p=38，A正確；

對于B，對稱凹數(shù)aba中，若b=0，有9種情況，若b≠0，有C92=36種情況，則有9+36=45種情況，即有45個對稱凹數(shù)，B錯誤；

對于C，先將5人分為3組，再將分好的三組安排到三個場館做志愿者，有(C53+C52C32A22)×A33=150種安排方法，C正確；

對于D，當(dāng)萬位數(shù)字為1或3時，個位數(shù)字有1種情況，有C2111.【答案】ABD

【解析】解：由f(x+2)+f(x)=0，得f(x+2)=?f(x)，可得f(x+1)=?f(x?1)，

又∵函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，∴f(1?x)=?f(x?1)，則f(x+1)=f(1?x)，

即函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，故A正確；

由f(x+2)=?f(x)可得f[(x+2)+2]=?f(x+2)?[?f(x)]=f(x)，

即f(x+4)=f(x)，

∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，故B正確；

函數(shù)g(x)是R上的偶函數(shù)，g(x+y)=g(x)g(y)，且g(x)>0，

令x=y=0，得g(0)=g2(0)，得g(0)=1，

令y=?x，得g(0)=g(x)g(?x)=g2(x)=1，

得g(x)=1，即g(x)=1在[0,+∞)上為常數(shù)函數(shù)，故C錯誤；

∵函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，∴f(2)=?f(0)=0，

又∵當(dāng)0<x≤1時，f(x)=2x，∴f(1)=2，則f(3)=?f(1)=?2，

∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0，

又∵g(x)=1，∴f(0)g(2025)+f(1)g(2024)+f(2)g(2023)+f(3)g(2022)+...+f(2024)g(1)

=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2024)=506×0+f(2024)=0+f(0)=0，故D正確．

故選：ABD．

由f(x+2)+f(x)=0及函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)推導(dǎo)出f(x+1)=f(1?x)，判斷A；推導(dǎo)出f(x+4)=f(x)判斷B；利用賦值法求得g(x)=1為常數(shù)函數(shù)判斷C；由g(x)=1將所求式子轉(zhuǎn)化為f(0)+f(1)+f(2)+...+f(2024)，求出函數(shù)f(x)的一個周期和，結(jié)合函數(shù)12.【答案】(?∞,?3)∪(?3,2]

【解析】解：由題意可得，x2?9≠02?x≥0，解得x≤2且x≠?3，

所以函數(shù)f(x)=1x2?9+2?x的定義域是(?∞,?3)∪(?3,2]．13.【答案】0.98

【解析】【分析】本題考查了條件概率的計算，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．

設(shè)事件A表示“患某種疾病”，設(shè)事件B表示“血檢呈陽性”，則P(A)=0.5，P(AB)=0.49，代入P(B|A)=P(AB)【解答】

解：設(shè)事件A表示“患某種疾病”，設(shè)事件B表示“血檢呈陽性”，

則P(A)=0.5，P(AB)=0.49，

∴在患該種疾病的條件下血檢呈陽性的概率為：

P(B|A)=P(AB)P(A)=0.490.514.【答案】[ln2,2)

【解析】解：顯然x1≤0，x2>0，

由題意可知x1+2=ex2，故x1=ex2?2，

∴x2?2x1=x2?2ex2+4，

由x1+2=ex2>1可得?1<x1≤0，故?1<ex2?2≤0，∴0<x15.【答案】單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,?23)，(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(?23,1)．

【解析】解：(1)由題意得f′(x)=3x2+2ax?2，

則f′(1)=3+2a?2=0，解得a=?12，

故f(x)=x3?12x2?2x，定義域為R，

f′(x)=3x2?x?2，令f′(x)<0得?23<x<1，令f′(x)>0得x>1或x<?23，故f(x)在(?∞,?23)，(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(?23x(?1,??(?1(1,2)f′(x)+0?0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f(x)極大值=f(?23)=2227，f(x)極小值=f(1)=?32．

又f(2)=2，f(?1)=12，

故f(x)的最大值為216.【答案】{x|x≤1或x≥3}；

?4．

【解析】(1)a=?4時，由f(x)≥0，得x2?4x+3≥0，

所以(x?1)(x?3)≥0，解得x≤1或x≥3．

所以不等式f(x)≥0的解集為{x|x≤1或x≥3}；

(2)由f(x)≤6a2+3，得x2+ax?6a2≤0，

因為不等式x2+ax?6a2≤0的解集為[a?4,a2?4]，

且方程x2+ax?6a2=0的兩個根為?3a和2a，

所以?3a=a2?42a=a?4a<0，或17.【答案】解：(1)零假設(shè)H0：購買AI手機與顧客的性別無關(guān)，

則χ2=200×(40×30?60×70)2100×100×110×90≈18.182>10.828，

依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，

即能認(rèn)為購買AI手機與顧客的性別有關(guān)；

(2)因為抽中一、二等獎的概率分別為13，12，

所以抽不到獎的概率為1?13?12=16，

由題意可知，X的所有可能取值為0，100，200，300，400，

則X

0

100

200

300

400

P

1

1

13

11所以E(X)=0×136【解析】(1)計算χ2的值，與臨界值比較即可；

(2)由題意可知，X的所有可能取值為0，100，200，300，400，求出相應(yīng)的概率，進而得到X的分布列，再結(jié)合期望公式求解即可．

18.【答案】解：(1)由圖可知，該組數(shù)據(jù)中位數(shù)位于第四組，

設(shè)中位數(shù)為x，

則2(x?60)=(70?x)，解得x=1903，

平均數(shù)為：35×0.05+45×0.15+55×0.2+65×0.3+75×0.2+85×0.1=62.5．

(2)μ=t?=62.5，σ=13.4，

μ?σ=62.5?13.4=49.1，μ+2σ=62.5+13.4×2=89.3，

所以P(49.1<t≤89.3)=P(μ?σ<t≤μ+2σ)=0.6827+0.95452=0.8186，

由題意可知，【